11_modul_15_urok_2

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 2)
Урок 2. Иррациональные уравнения и неравенства
План урока






2.1. Введение
2.2. Иррациональные уравнения
2.3. Иррациональные неравенства
2.4. Задачи с параметрами
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Напомнить основные принципы решения уравнений и неравенств, в записи которых
содержатся радикалы, рассмотреть некоторые задачи с параметром, связанные с этим
материалом.
1.1. Введение
Иррациональные уравнения и неравенства содержат в своей записи квадратные
корни из алгебраических выражений, а иногда — корни более высокой степени. Процесс
решения таких уравнений и неравенств чаще всего связан с возведением обеих частей
уравнения или неравенства в квадрат или в другую степень. Важно понять, что без учета
некоторых дополнительных условий такое преобразование может приводить к уравнению
или неравенству, которое не равносильно исходному. Поэтому требуется проводить
дополнительное исследование. Иногда полезно заранее учитывать некоторые
необходимые условия, которым должны удовлетворять решения уравнения или
неравенства. Каждое такое условие может сокращать множество значений переменных,
среди которых содержатся корни уравнения.
На данном уроке мы напомним, какие необходимые условия следует учитывать
при решении иррациональных уравнений и неравенств.
Вопрос. Может ли из неравенства A  B следовать равенство A2  B 2 ?
(Предполагаемый ответ. Может. Например, 5  5 , но (5)2  (5)2 ).
2.2. Иррациональные уравнения
Напомним, что из равенства A  B следует равенство A2  B 2 . Это означает, что
все корни уравнения вида f ( x)  g ( x) являются также корнями уравнения f 2 ( x)  g 2 ( x) .
Обратное утверждение неверно. При возведении обеих частей уравнения в квадрат могут
изменяться области определения частей уравнения и появляться посторонние корни.
Однако после нахождения всех корней уравнения f 2 ( x)  g 2 ( x) проверкой можно
отобрать среди них корни исходного уравнения f ( x)  g ( x) .
Пример 1. Решить уравнение
3
x 1
4
 x 1

x2
x2
Решение. Приведем слагаемые в правой части уравнения к общему знаменателю:
x  1 x 2  3x  2
3


x2
x2
Возведя обе части в квадрат, находим
(1)
2
x  1  x 2  3x  2 
9


x2  x2 
(2)
9( x 2  3x  2)  ( x 2  3x  2)2  x  2
Пусть y  x 2  3x  2 . Тогда полученное уравнение примет вид 9( y  4)  y 2 , откуда
y 2  9 y  36  0 , y1  12 , y2  3 .
При y  y1  12 получаем
x 2  3x  2  12 x 2  3x  14  0
x1 
3  65
3  65
 x2 

2
2
Для y  y2  3 имеем
x 2  3x  2  3 x 2  3x  1  0
x3 
3  5
3  5
 x4 

2
2
Найденные значения удобно проверять, подставляя их в уравнение (1), равносильное
исходному уравнению. При проверке следует учитывать области определения частей
уравнения и условие совпадения знаков частей уравнения. В данном примере это сводится
к проверке неотрицательности правой части уравнения
x  1 x 2  3x  2
3


x2
x2
I. Пусть x1  32 65 . Тогда
65  1
 0
2
65  1
x1  2 
 0
2
x12  3x1  2  y1  12
Поэтому при x  x1 обе части уравнения (1) положительны, а квадраты частей этого
уравнения равны, так как x1 является корнем уравнения (2). Отсюда следует, что x1 —
корень исходного уравнения.
II. Пусть x2  32 65 . Тогда
x1  1 
x22  3x2  2  y1  12
1  65
 0
2
При x  x2 правая часть уравнения (1) отрицательна, значит, x2 не является корнем
исходного уравнения.
III. Пусть x3  32 5 . Тогда
x2  2 
x32  3 x3  2  3
5 1
 0
2
При x  x3 правая часть уравнения (1) отрицательна, следовательно, x3 не является
x3  2 
корнем исходного уравнения.
IV. Пусть x4  32 5 . Тогда
1  5
 0
2
1 5
x4  2 
 0
2
x42  3x4  2  y2  3
Поэтому при x  x4 обе части уравнения (1) определены и положительны, а их квадраты
равны, так как x4 является корнем уравнения (2). Следовательно, x4 — корень исходного
уравнения.
Ответ: 32 65 , 32 5 .
x4  1 
Вопрос. Как показать, что при x1 
3
65 1
2
выполняется равенство
 65  1 
x1  1
 12  
 
x1  2
 2 
(Предполагаемый ответ. Сравним квадраты частей равенства и проверим, что они
равны. Так как в квадрат возводились положительные числа, и квадраты чисел равны, то и
сами числа равны.)
Напомним, что уравнение f ( x)  g ( x) равносильно уравнению f 2 ( x)  g 2 ( x) на
множестве тех значений x , для которых одновременно выполняются условия f ( x)  0 и
g ( x)  0 , а также на множестве тех значений x , для которых одновременно выполняются
условия f ( x)  0 и g ( x)  0 .
Далее, числа x , для которых f ( x)  0 и g ( x)  0 , не могут быть корнями уравнения
f ( x)  g ( x) , так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.
Аналогично, числа x , для которых f ( x)  0 и g ( x)  0 , также не могут быть корнями
уравнения f ( x)  g ( x) .
Указанные свойства позволяют свести проверку корней к проверке условий в виде
некоторых простых неравенств.
.
Пример 2. Решить уравнение
x2  2 x  6  2 x 1
Решение. Обе части уравнения определены, когда x 2  2 x  6  0 , причем выражение в
левой части неотрицательно. Значит, для корней должно выполняться неравенство
2x 1  0 . При этих условиях данное уравнение равносильно уравнению
x 2  2 x  6  (2 x  1)2 
Отметим, что для корней последнего уравнения выражение x 2  2 x  6 автоматически
неотрицательно. Поэтому в данном случае проверка неравенства x 2  2 x  6  0
становится излишней.
Далее получаем x 2  2 x  6  4 x 2  4 x  1 , 3 x 2  2 x  5  0 , x1  53 , x2  1 .
При x  x1 имеем 2 x  1  73  0 , значит, x1 — корень исходного уравнения.
При x  x2 получаем 2x 1  0 , следовательно, x2 не является корнем исходного
уравнения.
Ответ: 53 .
Вопрос. Как с помощью графиков проверить, что данное уравнение имеет единственный
корень?
(Предполагаемый ответ. На одном чертеже строим графики функций
f ( x)  x 2  2 x  6 и g ( x)  2 x  1 . Затем определяем число точек пересечения этих
графиков.)
Рассмотрим теперь задачу, содержащую тригонометрические функции.
.
Пример 3. Решить уравнение
6sin 2 x  2sin x  0
Решение. Левая часть уравнения определена, когда sin 2x  0 . Записав данное уравнение в
виде 6sin 2 x  2sin x , для его корней получаем условие sin x  0 . Таким образом,
исходное уравнение равносильно системе уравнений и неравенств:
sin 2 x  0

2
6sin 2 x  4sin x
sin x  0

Учитывая, что из второго уравнения системы следует неравенство sin 2x  0 , полученную
систему можно заменить на равносильную:
6sin 2 x  4sin 2 x

sin x  0
Сначала решим уравнение 6sin 2 x  4sin 2 x . Преобразуя, получаем
12sin x cos x  4sin 2 x
sin 2 x  3sin x cos x  0
sin x(sin x  3cos x)  0
Возможны такие случаи.
I. sin x  0 , x   k , k  Z .
II. sin x  3cos x . Заметим, что если cos x  0 , то  sin x  1 . Поэтому числа x , для которых
cos x  0 , не являются корнями уравнения sin x  3cos x . Следовательно, обе части
sin x
tg x  3 , которое
уравнения можно поделить на cos x и получить уравнение cos
x  3 или
равносильно уравнению sin x  3cos x . Отсюда x  arctg3   n , n  Z .
Изобразим найденные значения на тригонометрической окружности (рисунок 1),
где x1  2 k , x2  3  2 k , x3    2 k , x4    arctg3  2 k , k  Z .
Для получения ответа остается проверить условие sin x  0 , которое выполняется для
серий чисел x1 , x3 и x4 .
Ответ: x   k , x    arctg3  2 n , k  n  Z .
Вопрос. Какие корни имеет уравнение
6sin x  2sin 2x  0 ?
6sin 2 x  2sin x  0
y
6sin y  2sin  0 , и поэтому его
2
(Предполагаемый ответ. В тексте найдены корни уравнения
Если здесь заменить 2x на y , то получится уравнение
корни y  2 k , y  2  2arctg3  4 n , k  n  Z .)
Иногда при решении уравнения удобно сначала сделать замену неизвестной.
Пример 4. Найти решения уравнения
3
10  x  3 3  x  1
Решение. Обе части этого уравнения определены при всех действительных x .
Пусть
y  3 3  x . Тогда
Следовательно,
3
x  3  y3
и уравнение принимает вид
3
7  y3  y  1.
7  y 3  y  1, 7  y 3   ( y  1)3 , 7  y3  y3  3 y 2  3 y  1 , y 2  y  2  0 ,
y1  1 , y2  2 . При y  y1 получаем
3
3  x  1, 3  x  1, x1  2 .
Для y  y2 имеем 3  x  (2)3 , 3  x  8 , x2  11 .
Ответ: x1  2 , x2  11 .
Вопрос. Как решить данное уравнение, не производя замену неизвестной?
(Предполагаемый ответ. Преобразуем уравнение к виду 3 10  x  3 3  x  1 и затем
обе части возведем в куб. После преобразований оказывается, что относительно
выражения 3 3  x возникает квадратное уравнение.)
Формула
a 2  a  позволяет иногда свести иррациональное уравнение к
уравнению с модулями.
Пример 5. Решить уравнение
4  x  4 x  4  4  x  4 x 
Решение. Заметим, что
4  x  4 x 
 22  2  2   x  (  x ) 2 
 (2   x ) 2 
Поэтому
4  x  4  x  2   x  
Аналогично получается равенство
4  x  4  x  2   x  
Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению
 2   x    2   x  4
Далее удобно сделать замену y   x , где y  0 . Тогда придем к уравнению
2 y  2 y  4.
Его решение сводится к рассмотрению случаев, зависящих от знаков выражений под
модулем (рисунок 2). С учетом неравенства y  0 возможны два случая.
I. Пусть 0  y  2 . Тогда  2  y  2  y ,  2  y  2  y и уравнение принимает вид
(2  y )  (2  y )  4 или 4  4 . Следовательно, его решениями являются все
рассматриваемые значения 0  y  2 . Поэтому 0   x  2 , 0  x  4 , 4  x  0 .
II. Пусть y  2 . Тогда  2  y  2  y ,  2  y  y  2 и уравнение принимает вид
(2  y )  ( y  2)  4 , 2 y  4 , y  2 . Найденное значение не удовлетворяет условию y  2 .
Ответ: [-4;0].
Вопрос. Как решить рассмотренное уравнение, избавляясь от иррациональностей
возведениями в квадрат?
(Предполагаемый ответ. Сначала находим условия области определения,
преобразуем к виду 4  x  4  x  4  x  4  x  4 , и с учетом того, что обе части
неотрицательны, возведем в квадрат. После преобразований получается уравнение
x2  8x  16  x  4 , которое также решается возведением в квадрат с учетом знака
правой части.)
Это важно
К серьезным ошибкам при решении иррациональных уравнений приводит
A
небрежное обращение с выражениями вида
AB ,
, A B и неправильными
B
попытками их преобразования в тех случаях, когда значения выражений
A èëè B отрицательны. Чтобы пояснить это, вернемся к уравнению x  1  3  xx12  x 4 2 из
примера 1 и рассмотрим следующий способ решения.
Решение. Обе части уравнения определены при условиях x  2  0 и xx12  0 .
Домножим обе части данного уравнения на x  2 :
x 1
( x  1)( x  2)  3( x  2) 
 4
x2
Выполним далее следующие преобразования:
x 1
( x  2) 

x2
 ( x  2) 2 
x 1

x2
 ( x  1)( x  2)
Если действовать таким образом, то произойдет непоправимая ошибка, так как получится
уравнение
(3)
( x  1)( x  2)  3  ( x  1)( x  2)  4
корни которого равны 32 65 и 32 65 . В результате пропадет корень 32 5 , который ранее
был найден.
Правильные рассуждения на намеченном пути приводят к рассмотрению двух
случаев.
I случай. Пусть x  2  0 . Тогда упомянутое выше преобразование будет корректным, а
исходное уравнение и в самом деле превратится в уравнение (3). Положим
y  ( x  1)( x  2) , где y  0 . В результате уравнение (3) перепишется в виде
y 2  3 y  4  0 , откуда y1  1 , y2  4 . С учетом условия y  0 получаем y  y2  4 ,
( x  1)(x  2)  4 , ( x  1)( x  2)  16 , x 2  3x  14  0 , x1  32 65 ,
x  2  0 удовлетворяет только x1 , а x2 — посторонний корень.
II случай. Пусть x  2  0 . Тогда
x2  32 65 . Неравенству
( x  2) 
x 1

x2
  ( x  2)2 
x 1

x2
  ( x  1)( x  2) 
а исходное уравнение принимает вид
( x  1)( x  2)  3  ( x  1)( x  2)  4  0
Полагая z  ( x  1)( x  2) , где z  0 , придем к уравнению z 2  3 z  4  0 с корнями z1  1 ,
z2  4 . С учетом условия
z0
получаем
z  z1  1 , откуда
,
.
x4 
x3 
x4 
удовлетворяющий условию x  2  0 , получаем x  x4 .
В итоге приходим к тому же ответу, который получен в примере 1.
Вопрос. Чем отличаются области определения выражений
f ( x)  g ( x) и  f ( x)  g ( x)
( x  1)( x  2)  1 ,
x  3x  1  0 ,
2
3 5
2
3 5
2
( x  1)( x  2)  1 ,
Выбирая
корень,
2.3. Иррациональные неравенства
Напомним, что при решении иррациональных неравенств возводить обе части в
квадрат с сохранением знака неравенства можно только в том случае, когда обе части
исходного неравенства неотрицательны. Если это условие выполняется, то достаточно
решить неравенство, возведенное в квадрат, и отобрать те значения неизвестной, при
которых обе части исходного неравенства будут неотрицательны. В остальных случаях
решения находятся из других соображений.
Пример 6. Решить неравенство
3 x  22
 1
x4
Решение. Обе части неравенства определены при условиях x  4  0 и 3x  22  0 , откуда
вытекает, что
22
x  [ 4)  (4)
3
Заметим, что 3x  22  0 для всех x из найденного множества.
Далее рассмотрим два случая.
I случай. Пусть x [ 223 4) . Тогда 3xx422  0 , а поэтому исходное неравенство
выполняется и подавно. Следовательно, промежуток [ 223 4) является частью множества
решений исходного неравенства.
II случай. Пусть x  (4) . Умножив обе части исходного неравенства на положительное
выражение x  4 , получаем 3x  22  x  4 . Обе части этого неравенства положительны
3x  22  x 2  8 x  16 , x 2  5 x  6  0 ,
при рассматриваемых значениях x , поэтому
x  (6)  (1) . Выбирая значения x из промежутка (4) (рисунок 3), получаем
(1) — оставшуюся часть решений исходного неравенства.
Ответ: [ 223 4)  (1) .
Вопрос. Как решить неравенство
3x  22
 1
x4
(Предполагаемый ответ. Из области определения удалить числа, найденные в
примере 6, и то, что останется, будет множеством решений указанного неравенства.)
Рассмотрим очередную задачу.
Пример 7. Решить неравенство
9 x  4  x  2  8
Решение. Обе части неравенства определены при условиях 9x  4  0 , x  2  0 , откуда
вытекает, что x  [2) .
Преобразуем неравенство к виду
9 x  4  x  2  8
Так как при всех допустимых x обе части последнего неравенства положительны, то
можно возвести в квадрат:
9 x  4  64  16 x  2  x  2
8 x  58  16 x  2 
4 x  29  8 x  2 
Далее рассмотрим два случая.
I случай. Пусть 4x  29  0 , то есть x  294 . Тогда правая часть неотрицательна, левая
отрицательна, а поэтому все значения x из промежутка [2 294 ) являются решениями
исходного неравенства (рисунок 4).
II случай. Пусть 4x  29  0 , то есть x  294 . Тогда
(4 x  29) 2  64( x  2)
16 x 2  8  29 x  292  64 x  128
16 x 2  8  37 x  292  128  0
Уравнение 16 x 2  8  37 x  292  128  0 имеет дискриминант
D  (8  37) 2  16  4(292  128) 
 82 (37 2  292  128) 
 82 ((37  29)(37  29)  128) 
 82 (8  66  128)  82  42 (33  8) 
 82  4 2  5 2 
а его корни
8  37  32  5 57
 
32
4
8  37  32  5 17
x2 
 
32
4
Следовательно, решением квадратного неравенства является промежуток ( 174  574 ) . Выбирая
x1 
из него значения x , удовлетворяющие условию x  294 , получаем [ 294  574 ) (рисунок 5).
Общий ответ находим как объединение множеств решений из первого и второго случаев.
Ответ: [2 574 ) .
Вопрос. Как решить рассмотренную задачу, если в самом начале сделать замену
неизвестной y  x  2 ?
(Предполагаемый ответ. В этом случае 9 x  4  9  ( y 2  2)  4  9 y 2  22 , и само
неравенство приводится к виду 9 y 2  22  y  8 . Остается решить это неравенство, не
забыть, что y  0 , после чего найти соответствующие значения x .)
Иногда иррациональное неравенство возникает как вспомогательное при решении
некоторой основной задачи. В этом случае вспомогательная задача также должна
решаться по общим правилам решения иррациональных неравенств.
Пример 8. Решить неравенство
5x  4  x2  5x  2
Решение. Область определения обеих частей неравенства задается системой
5 x  2  0,

2
4  x  0,

2
5 x  4  x  0
2
Решениями первого из неравенств системы являются x   , второе имеет решения
5
2  x  2 . Чтобы найти решения третьего из неравенств, представим его в виде
4  x2  5x
(4)
и рассмотрим два случая.
I случай. Пусть 5x  0 , причем x  [2 2] , то есть 0  x  2 . Тогда правая часть (4)
отрицательна, левая часть неотрицательна, а поэтому все x из промежутка  0;2 являются
решениями неравенства (4).
II случай. Пусть 5x  0 , причем x  [2 2] , то есть 2  x  0 . Возводя обе части (4) в
квадрат, последовательно получаем 4  x 2  25 x 2 , 26 x 2  4 , 
2
13
 x
2
13
. Учитывая,
что 2  x  0 , заключаем  132  x  0 .
Объединяя промежутки, полученные в первом и во втором случаях, находим все решения
[ 132  2] третьего из неравенств системы. Поэтому множество решений системы
неравенств есть пересечение промежутков [ 52 ) , [- 2; 2] [2
5

2
13
и  52  
2
13
2
13
 2] . Так как
4
25
 264 , то
. Отсюда следует, что обе части исходного неравенства определены
при всех значениях x из отрезка [ 132  2] .
Перейдем теперь к решению основной задачи. Так как при всех значениях x из
найденного отрезка обе части исходного неравенства неотрицательны, то их можно
возвести в квадрат. Получим 5x  4  x2  5x  2 или 4  x2  2 . Снова возникло
неравенство, обе части которого неотрицательны. Поэтому 4  x 2  22 , x 2  0 , откуда
x  0 . Выбирая из отрезка [ 132  2] все x  0 , приходим к ответу.
Ответ: [
2
13
 0)  (0 2] .
Вопрос. Какое из двух чисел  103 и 
2
13
больше другого?
9
234
(Предполагаемый ответ. Сначала сравним числа ( 103 )2  100
и
 100
13
получим
3
10

2
13
. Отсюда  103  
2
13
2
13
200
, и
 100
13
.)
2.4. Задачи с параметрами
Иррациональные неравенства часто возникают при решении уравнений и
неравенств с параметрами в ходе проверки условий, которым должны удовлетворять
корни.
Пример 8. При каждом значении a найти, для каких x выполняется неравенство
x2
log 2 ( x  1)( x  3)  log 2
 a
x 3
Решение. Сначала найдем множество, на котором определены обе части данного
неравенства. Оно задается системой
( x  1)  ( x  2)  0,

x2
 x  3  0
Решением первого из этих неравенств является множество (;1) (3; ) , а решением
(; 2) (3; ) . Поэтому обе части заданного неравенства
второго – множество
определены на множестве M  (;1) (3; ) . В этой области можно выполнить
следующие преобразования:
x2
log 2 ( x  1)  ( x  3) 
 log 2 2a ,
x 3
log 2 ( x  1)( x  2)  log 2 2 a .
Так как основание логарифмов больше 1, то
( x  1)( x  2)  2a èëè x 2  3x  2  2a  0 .
Для решения полученного квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения
x 2  3x  2  2a  0 :
D  9  8  4  2a 
x1 
3  1  4  2a

2
3  1  4  2a

2
Так как D  0 и корни существуют при любом действительном a , то множество решений
квадратного неравенства имеет вид [ x1  x2 ] .
Для получения ответа к заданной задаче остается из найденных решений
квадратного неравенства выбрать те, которые входят в множество M . Чтобы это сделать,
сравним x1 и x2 с числами 1 и 3.
x2 
I. Соотношение x1  1 равносильно
3  1  4  2a
 1 или 1  4  2a  1
2
a
Так как 2  0 при любом a , то последнее неравенство всегда выполняется.
Следовательно, x1  1 при любом a .
II. Соотношение x2  1 равносильно
3  1  4  2a
 1 или 1  4  2a  1
2
Последнее неравенство не выполняется ни при каком a . Следовательно, x2  1 при любом
a.
III. Соотношение x2  3 равносильно
3  1  4  2a
 3 или 1  4  2a  3
2
Отсюда последовательно получаем 4  2a  1  9 , 4  2 a  8 , 2a  2 , a  1 . Значит, x2  3 при
a  1.
IV. Рассуждая, как и в предыдущем случае, заключаем, что x2  3 при a  1 .
В итоге получаем следующее:
— при a  1 отрезок [ x1  x2 ] расположен по отношению к множеству M , как показано на
рисунке 6, поэтому при a  1 множество решений исходного неравенства есть
промежуток [ x11) ;
— при a  1 отрезок [ x1  x2 ] расположен по отношению к множеству M , как показано на
рисунке 7, поэтому при a  1 множество решений исходного неравенства также равняется
промежутку [ x11) ;
— при a  1 отрезок [ x1  x2 ] расположен по отношению к множеству M , как на рисунке 8,
поэтому при a  1 множество решений исходного неравенства совпадает с [ x11)  (3 x2 ] .
Ответ:
[ 3
1 42a
2
1) при a  1 ;
[ 3
1 42
2
1)  (3 3
a
1 42a
2
] при a  1 .
Пример 9. При каждом значении p решить уравнение
lg( x 2  2 px)  lg(8x  6 p  3)  0
Решение. Обе части уравнения определены, когда
(5)
x 2  2 px  0 8 x  6 p  3  0
При этих условиях заданное уравнение равносильно квадратному уравнению
x 2  2 px  8x  6 p  3
Заметим, что для каждого из корней этого уравнения обе части имеют одинаковый знак.
Поэтому проверку условий (5) можно сократить до проверки только одного из них,
например, 8 x  6 p  3  0 .
Решим теперь получившееся квадратное уравнение:
x 2  2 px  8 x  6 p  3  0
x 2  2( p  4) x  6 p  3  0
D  4( р  4) 2  4(6 p  3) 
 4( p 2  14 p  13)  4( p  1)( p  13)
Отсюда D  0 при p  1 или p  13 и D  0 при p  1 или p  13 . Следовательно, при
1  p  13 квадратное уравнение не имеет корней; при p  1 имеет корень x  3 ; при
p  13 имеет корень x  9 ; при p  1 или p  13 имеет два различных корня:
x1  4  p  p 2  14 p  13
x2  4  p  p 2  14 p  13
(отметим, что для указанных значений при p  1 верны равенства x1  x2  3 , и при
p  13 верны равенства x1  x2  9 ).
Далее по отдельности рассмотрим каждый из корней.
I. Число
x1  4  p  p 2  14 p  13
8x1  6 p  3  0 или
является корнем исходного
уравнения, если
8(4  p  p 2  14 p  13)  6 p  3  0
29  14 p  8 p 2  14 p  13  0
8 p 2  14 p  13  29  14 p
Решим получившееся неравенство.
29
1. Если 29  14 p  0 или p  14
, то неравенство не выполняется.
29
2. При p  14
обе части неравенства неотрицательны, значит
64( p 2  14 p  13)  (29  14 p ) 2 
64 p 2  64 14 p  64 13  292  58 14 p  196 p 2 
132 p 2  6 14 p  292  64 13  0
132 p 2  6 14 p  9  0
44 p 2  28 p  3  0
Для решения последнего неравенства находим корни соответствующего квадратного
уравнения:
D  282  4  44  3  162 
14  8
1
 
44
2
14  8
3
p2 
 
44
22
Множеством решений квадратного неравенства будет ( 12 )  ( 223 ) Выбирая
29
значения p  14
, которые удовлетворяют условию p  1 или p  13 , получаем множество
( 12 )  ( 223 1] . В итоге заключаем, что x1 является корнем исходного уравнения, если
p  ( 12 )  ( 223 1] .
p1 
II. Число
x2  4  p 
p 2  14 p  13
является корнем исходного уравнения, если
8 x2  6 p  3  0 или
8(4  p  p 2  14 p  13)  6 p  3  0
8 p 2  14 p  13  14 p  29
Решим это неравенство.
29
1. Если 14 p  29  0 или p  14
, то неравенство выполняется при всех
удовлетворяющих условию p  1 или p  13 . Отсюда получаем промежуток ( 1] .
29
2. При p  14
обе части неравенства неотрицательны, значит,
p,
64( p 2  14 p  13)  (14 p  29) 2 
44 p 2  28 p  3  0
Решение последнего неравенства — интервал между вычисленными ранее корнями
соответствующего квадратного уравнения, то есть ( 12  223 ) . Числа p из этого
29
промежутка не удовлетворяют условию p  14
, поэтому в случае 2 рассматриваемое
неравенство решений не имеет.
В итоге получаем, что x2 является корнем исходного уравнения при p  (1] .
Ответ:
при p   12 два корня 4  p  p 2  14 p  13 ;
при  12  p   223 один корень 4  p  p 2  14 p  13 ;
при p  1 один корень 3;
при p  1 корней нет.
Вопрос. При каких значениях p уравнение из последнего примера имеет единственный
корень?
(Предполагаемый ответ. Из полученного ответа сразу находим, что один корень
1
при  2  p   223 и при p  1 ).
Проверь себя. Иррациональные уравнения и неравенства
Задание 1. Укажите все правильные варианты ответа
.
На каких из указанных промежутков значение выражения
 1.
 2.
 3.
 4.
( x  2)  (1  x)
9  x2
положительно?
x  (3;  2)
x  (2;0)
x  (0;1)
x  (1;3)
(Правильные варианты: 2, 3)
На каких из указанных промежутков значение выражения
( x  2  1)  (2  x  3)
x 1  5  x
отрицательно?
 1. x  (2;  1)
 2. x  (1;1)
 3. x  (1; 2)
 4. x  (2;5)
(Правильные варианты: 2, 4)
На
каких
из
указанных
промежутков
значение
выражения
( õ  4)  log 2 ( x  2)
log 2 (7  x)
положительно?
 1. x  (2;3)
 2. x  (3; 4)
 3. x  (4;6)
 4. x  (6;7)
(Правильные варианты: 1, 3)
На каких из указанных промежутков значение выражения
отрицательно?
 1. x  (1; 2)
 2. x  (2; 4)
 3. x  (4;5)
 4. x  (5;9)
( x  4)  (log 5 (9  x)  log 5 ( x  1))
( x  2)  log 5 ( x  1)
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
Проверь себя. Иррациональные уравнения и неравенства
Задание 2. Укажите правильные варианты ответа.
В каких случаях два указанные неравенства равносильны?
 1. x  2  x  1 и x  2  ( x  1)2
 2. x  1  x  2 и x  1  ( x  2)2
 3. x  3  x  2 и x  3  ( x  2)2
 4. x  4   x  3 и x  4  ( x  3)2
(Правильные варианты: 2, 3)
В каких случаях два указанные неравенства равносильны?
 1. x  1  x  2 и x  1  ( x  2)2
 2.
x  2  x  3 и x  2  ( x  3)2
 3.
x  3  x  1 и x  3  ( x  1)2
 4. x  1  x  2 и x  1  ( x  2)2
(Правильные варианты: 1, 3)
В каких случаях два указанные неравенства равносильны?
 1. x  2  x  1  1 и ( x  2  x  1)2  1
 2. x  1  x  2  1 и ( x  1  x  2)2  1
 3. x  2  x  1  1 и x  2  2 ( x  2)  ( x  1)  x  1  1
 4. x  1  x  2  1 и x  1  (1  x  2)2
(Правильные варианты: 1)
В каких случаях два указанные неравенства равносильны?
x2
 1.
 1 и x  2  x 1
x 1
x 1
 2.
 1 и x 1  x  2
x2
x2
 3.
 1 и x  2  x 1
x 1
x 1
 4.
 1 и x 1  x  2
x2
(Правильные варианты: 2, 4)
Домашнее задание
1. Решите уравнения: а)
cos3x  2cos x  0 ; в)
2. Решите уравнения: а) x 
3. Решите уравнения:
x
x 3

2
x 3
; б) x  5 
а) x  6 x  9  x  6 x  9  6 ;
6sin 2 x  2cos x  0 .
x
x 5

6
x 5
; в) x  1 
x 1
x 1

6
x 1
.
x4 x4  x4 x4  4;
б)
в)
x 1 2 x  2  x 1 2 x .
4.
Решите
уравнения:
а)
3
3
в) x  45  x  53  2 .
5. Решите неравенства: а) 5xx111  1 ; б)
3
x  9  3 x  10  1 ;
3 x 1
x 3
 1 ; в)
2 x 5
x 4
б)
3
x  50  3 x  48  2 ;
 1.
6. Найдите решения неравенств: а) 4 x2  5x  50  10  5x ; б) 2 2 x2  8x  10  3x  3 ;
в) 3 x2  60 x  500  5x  70 .
7. Решите неравенствa: а) 21x  16  x  4  20 ; б)
2 x  16  x2  2 x  4 ; б)
8. Решите неравенства: а)
в)
x  36  x2  x  6 ; г)
9. Решите неравенства: а)
5 x  6  x  1  4 ; в) x  2  3 .
1
x
x2  x  2  x2  2 x  3  1 ;
x 2  4 x  x 2  3x  4  1 .
 1  13  6x ; б) 1  2x  25  24x ; в) 2  1x  40  5x .
10. При каждом значении a решите неравенства: а) log8 x( x  4)  log8
x 2
x 4
a;
б) log 2 ( x  1)( x  3)  log 2 xx11  a ; в) log8 ( x  4)  log8 x x 2  a .
11. Определите, при каких значениях параметра a уравнение:
а) log x 1 ( x 2  ax)  1 ;
б) log x a ( x  2)  2 ;
2
в) log x  2 ( x 2  ax  3a  9)  1
имеет единственное решение.
12. Найдите все значения a , при каждом из которых ровно один корень уравнения
x 2  2(a  1) x  3a  1  0 удовлетворяет неравенству x  1.
13. Найдите все значения a , при каждом из которых ровно один корень уравнения
x 2  2(a  2) x  4  3a  0 удовлетворяет неравенству x  1 .
14. Найдите все значения a , при каждом из которых ровно один корень уравнения
x 2  2(a  3) x  9  2a  0 удовлетворяет неравенству x  2 .
15. Найдите все значения a , при которых уравнение:
а) log1a (2  cos x  sin 2x )  2 ;
б) log a 2 ( 178  cos x  sin 2x )  3 ;
в) log a 3 (5  3cos x  6sin 2x )  2
имеет хотя бы одно решение.
Словарь терминов
Равносильность уравнений. Два уравнения называются равносильными, если
множества их корней одинаковы (равны).
Равносильность неравенств. Два неравенства называются равносильными, если
множества их решений одинаковы (равны).
Равносильность систем уравнений и неравенств. Две системы называются
равносильными, если множества их решений одинаковы (равны).
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-2-01.CDR
Рисунок 2. 11-2-02.CDR
Рисунок 3. 11-2-03.CDR
Рисунок 4. 11-2-04.CDR
Рисунок 5. 11-2-05.CDR
Рисунок 6. 11-2-06.CDR
Рисунок 7. 11-2-07.CDR
Рисунок 8. 11-2-08.CDR