ОСТОРОЖНО! ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

ОСТОРОЖНО!
ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Различные методы решения иррациональных уравнений,
иррациональные уравнения в ЕГЭ.
Автор: СОКОЛОВА НАТАЛЬЯ БОРИСОВНА
Учитель высшей категории, эксперт по проверке ЕГЭ.
Стаж работы – 20 лет.
ГБОУ СОШ №2005
2013 год.
Здравствуйте дорогие учителя, родители, учащиеся! Я хочу познакомить
вас с такой темой в математике, с которой вы, скорее всего, почти не
знакомы. Конечно, исключая учителей математики. И поэтому она кажется
вам сложной и непонятной. Я покажу вам многие методы решения
иррациональных уравнений на конкретных примерах. Расскажу, в каких
случаях надо применять один метод решения, а в каких другой.
Продемонстрирую наиболее простые способы решения иррациональных
уравнений из ЕГЭ. И, наконец, дам свой любимый завершающий урок по
этой теме.
1. Различные методы решения иррациональных уравнений.
Избавление от иррациональности путем возведения в квадрат обеих
частей уравнения. Без введения ограничений или проверки корней
подстановкой в первоначальное уравнение, метод неверен.
Рассмотрим уравнение: 38х 2  3х  20 =  6х .
Возводить в квадрат можно только неотрицательные выражения. Левая часть
уравнения неотрицательна по определению квадратного корня, а на правую
часть наложим условие, что она неотрицательна, т.е. больше или равна нулю.
Итак, 38 х 2  3х  20  36 х 2 , при условии, что  6х  0 , или х  0 .
Решим квадратное уравнение. Сначала запишем его в стандартном виде:
2 х 2  3х  20  0 . Теперь воспользуемся формулой для решения квадратных
уравнений. Найдем дискриминант: D  (3) 2  4  2  (20)  9  160  169 , D  13 .
1.1.
Найдем корни квадратного уравнения: Х 1, 2 
3  13
, х1  4 , х2  2,5 .
4
Эти корни соотносим с условием, наложенным на правую часть
иррационального уравнения. Выбираем корень х  2,5 . Ответ: -2,5.
Можно решать еще проще. Т.е. не накладывать на правую часть уравнения
условие о ее неотрицательности, а, просто, решить квадратное уравнение, и
подставить корни в первоначальное иррациональное уравнение.
Попробуем подставить вместо «х» число «4» в первоначальное уравнение.
?
38  4 2  3  4  20  6  4, получим, что
576  24 . Значит, число 4 не является
корнем иррационального уравнения. Теперь подставим число «-2,5».
2
38   2,5  3   2,5  20  6   2,5 , получим, что 225  15 . Значит число -2,5
является корнем иррационального уравнения.
Решение иррационального уравнения с помощью замены
переменной (иногда этот метод называют «подстановка»).
Решим уравнение х 2  3х  11  х 2  3х  5 .
Представим правую часть уравнения так, чтобы в ней содержалось
полностью подкоренное выражение. х 2  3х  11  х 2  3х  11  6 .
Введем новую переменную. Пусть х 2  3х  11  t , тогда х 2  3х  11  t .
1.2.
2
Таким образом, мы переходим к уравнению t  t 2  6 , при условии, что t  0 ,
т.к. значение квадратного корня – неотрицательно. Запишем уравнение
сначала в стандартном виде: t 2  t  6  0 . Найдем его корни по теореме Виета.
t1  t 2  1 и t1  t 2  6 . Значит t1  3 , t 2  2 . Но по условию, что t  0 , мы
оставим только t1  3 . Теперь вернемся к подстановке х 2  3х  11  t . Вместо
t подставим в уравнение число 3. И решим его возведением обеих частей
уравнения в квадрат. х 2  3х  11  3 , х 2  3х  2  0 . По теореме Виета имеем:
х1  х2  3, х1  х2  2 . Значит х1  1, х2  2 . Ответ: 1; 2.
2
Особый вид уравнений, когда произведение множителей, один из
которых имеет ограничения в допустимых значениях, равно нулю.
Эти уравнения часто встречаются в ЕГЭ, причем на месте
иррациональностей может стоять тригонометрическое выражение или
логарифм.
Решим уравнение х 2  16 х  5  0 . Произведение равно нулю тогда и только
тогда, когда один из множителей равен нулю, при условии существования
каждого множителя. Воспользуемся этим утверждением.
х 2  16  0 или х  5  0 , при условии существования квадратного корня:
х  5  0 . Получается при решении три корня х  4, х  4, х  5 . Но условию
х  5 соответствует только число 5. Поэтому, ответ: 5.
1.3.
Метод подбора корней. Метод часто вообще не знаком детям. Хотя
первые уравнения мы все решали подбором корней.
Решим уравнение х  12  х . Будем подставлять в уравнение натуральные
числа, начиная с 1. Итак, при х  1 получаем 1  12  1 ; при х  2 , 2  12  2 ;
при х  3 , 3  12  3 ; при х  4 , 4  12  4 . Значит число 4 – корень
уравнения. Ответ: 4.
1.4.
1.5. Графический метод решения иррациональных уравнений.
В ЕГЭ в заданиях С 5 часто используют в решении графическое исследование
уравнения.
Решим уравнение 1  3х  1  х графически. Для этого построим эскизы
графиков функций у  1  3х и у  1  х в одной системе координат и найдем
абсциссы точек их пересечения.
Из чертежа видно, что графики функций пересекаются в одной точке с
абсциссой х  0 .Чтобы быть уверенными в точности этого числа, необходимо
подставить его в уравнение и проверить. Итак, подставим найденное
значение х  0 в уравнение:
1  3  0  1  0 , 1  1 . Значит, число 0 – корень уравнения.
Ответ: 0.
Теперь сравним сильные и слабые стороны этих методов решения
иррациональных уравнений.
№
метод
сильная сторона
метода
1.1. возведения в
1. Можно применять во
квадрат обеих
многих видах
частей уравнения иррациональных
уравнений.
2. Т.к. в учебниках
рассмотрен этот метод,
дети его запоминают.
1.2. замена
переменной
1.3. произведение
множителей,
один из которых
имеет
ограничения в
допустимых
1. Упрощает
вычисления.
2. Не дает
посторонних
корней.
1. Единственно
возможный метод для
решения этого типа
уравнений.
слабая сторона метода
1. Решение состоит из двух
частей. Ученики забывают
проверить корни,
используя ограничения.
2. Часто решение содержит
в себе сложные
преобразования и
вычисления.
1. Не все учащиеся видят
возможность ввести
замену переменной.
1. Ученики забывают
учесть ограничения.
значениях, равно
нулю
1.4. подбор корней
1.5. графический
метод
1. Помогает решить
даже самое трудное
уравнение за две
минуты.
1. Наглядный и
поэтому понятный
метод.
2. Легко определять
количество корней
уравнения.
1. Не отвечает на вопрос о
количестве корней
уравнения.
1. Необходим навык
построения различных
графиков функций.
2. Корни находятся
приближенно, поэтому их
надо проверять на
точность.
Далее я расскажу о более сложных методах решения иррациональных
уравнений.
1.6. Переход к равносильному уравнению с модулем.
Решим уравнение: х  19  8  х  3  х  7  4  х  3  6 . Если такое уравнение
никогда не разбиралось на уроке, то любой нормальный ребенок решать его
и не станет. Поэтому, надо сначала объяснять детям, еще в 8 классе, тему
«Модули».
2
Увидим и докажем, что х  19  8  х  3 = 4  х  3  и


2
х  7  4  х  3  2  х  3 . Тогда по формуле
а 2  а имеем равносильное
уравнение: 4  х  3  2  х  3  6 . Решать это уравнение будем с помощью
подстановки х  3  t , при условии, что t  0 . Уравнение с модулем общего
вида решается особым методом, о котором я расскажу в следующей работе.
Корнями уравнения 4  t  2  t  6 являются все числа промежутка  2  t  4 .
Учитывая условие, имеем 0  t  4 . Таким образом,  3  х  13 . Ответ:  3;13 .
1.7. Двойная подстановка.
Решим уравнение 3 26  х  10  х  6 . Сложность этого уравнения состоит в
том, что корни разных степеней. Поэтому избавиться от иррациональности
сложно.
Введем подстановки: 3 26  х  а ,
10  х  b , тогда 26  х  а 3 ,
10  х  b 2 .
a  b  6,
Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 
3
2
a  b  36.
a  3,
b  3,
a  4,
a  0,
и 

b  10,
b  6.
Значит х  1, х  90 , х  26 .
Решая систему уравнений, получим 
и
Корни 1 или -26 легко находились подбором, а вот корень -90 можно было
определить только так. Ответ: -90, -26, 1.
1.8. Решение с помощью особой формулы.
Решим уравнение 3 х  6  3 х  5  3 2 х  11  0 .
Т.к. равенство а 3  b 3  с 3  3аbс выполняется тогда и только тогда, когда
а  b  c  0 или а  b  с , то уравнение вида 3 f ( х)  3 g ( х)  h( х) эквивалентно
уравнению f ( х)  g ( х)  (h( х)) 3  3  3 f ( х)  g ( х)  h( х) при условии, что не
существует таких х , что f ( х)  g ( х)  (h( х)) 3 .
Применяя формулу, перейдем к равносильному уравнению:
х  6  х  5  (2 х  11)  3  3 ( х  6)( х  5)(2 х  11) . Упростив левую часть, получим:
 3  3 ( х  6)( х  5)(2 х  11)  0 , значит х  6, х  5, х  5,5. Ответ: -6; -5; -5,5.
1.9. Исследование уравнения с помощью свойств функций.
Решим уравнение 8 х  2  2  3х.
Корень х  1 находим подбором, потом доказываем, что других корней
нет: функция у  8 х  2 возрастает на луче  2;, а функция у  2  3х
убывает на нем, поэтому более одной общей точки графики этих функций
иметь не могут, и х  1 - единственный корень уравнения.
1.10. Домножение на сопряженное выражение.
Решим уравнение 4 х 2  7 х  3  4х 2  6х  6  3  х. Домножим левую и
правую часть уравнения на сопряженное выражение:
4 х 2  7 х  3  4 х 2  6 х  6 . Получим х  3  (3  х)  ( 4 х 2  7 х  3  4 х 2  6 х  6 ) .
Отсюда уже видно, что корень уравнения х  3. Ответ: 3.
Теперь вы имеете представление о том, как можно решать иррациональное
уравнение. Хочу отметить, что методы можно комбинировать или
использовать сразу несколько. Так, решив уравнение подбором, можно
проверить свое решение графически. И, если заметили еще корень, то
продолжить решение. Ведь уравнение считается решенным, если найдены
все его корни или доказано, что их нет.
Еще вы, наверное, увидели, что способность решать иррациональные
уравнения, тесно связана с другими математическими знаниями, умениями и
навыками. Необходимо уметь решать линейные, квадратные уравнения и
неравенства. Необходимо уметь отбирать корни, подходящие под
определенные условия. Необходимо видеть уравнение целиком. Надо уметь
себя проверить.
Такое количество методов решения иррациональных уравнений позволит вам
не искать вычислительную ошибку, а просто решить уравнение другим,
более простым и удобным способом.
2. Как выбирать метод решения иррационального уравнения?
В таблице приведены различные уравнения. Вы можете решить их
самостоятельно предложенным способом. Ответы даны.
Уравнение
Раздел Метод решения
ЕГЭ
В5
Подбор
В5
Возведение в
квадрат с
проверкой
В5
Подстановка
5 х  х3
5х 2  3х  10  2 х
2  3 х  5  6 х  18  0
6
5х  4  х 2  12  4  х 2
В5
х 2  4 х  5  2 х 2  8х  17  4
В5
сos 2 0,5 х  2 cos 0,5 х  1  (3 cos 0,5 х  5) 2  3  4
С1
16  (2 х  3) 2  4  cos 2
5х
3
С1
ответ
4
2
64
х  t, t  0
Перенести в
2
одну сторону,
вынести общий
множитель и
воспользоваться
методом 1.3.
Исследовать с
2
помощью
свойств
функций

Переход к
  4n,
3
равносильному
nZ
уравнению с
модулем
Исследовать с
1,5
помощью
свойств
функций
Надеюсь, что вы смогли решить, хотя бы, первые четыре уравнения. Решение
пятого уравнения я покажу.
Итак, решим уравнение х 2  4х  5  2х 2  8х  17  4 .
х 2  4 х  5  ( х  2) 2  1, значит ( х  2) 2  1  1 , т.е.
х 2  4 х  5  1.
2 х 2  8 х  17  2  ( х  2) 2  9, значит 2  ( х  2) 2  9  9, т.е.
2 х 2  8х  17  3.
Таким образом, равенство возможно, если оба корня достигают своих
наименьших значений 1 и 3 при одном и том же значении х. Такое значение
переменной х существует. Это х=2. Ответ: 2.
Приведу пример аналогичного уравнения, которое корней иметь не будет.
Такое уравнение не дадут решать на ЕГЭ, но оно позволит лучше понять ход
рассуждений. Итак, решим уравнение: х 2  2 х  5  х 2  6х  10  3.
х 2  2 х  5  ( х  1) 2  4, т.е. х 2  2 х  5  2 ,
х 2  6 х  10  ( х  3) 2  1, т.е. х 2  6 х  10  1. Таким образом, если оба
квадратных корня достигнут своих наименьших значений, то равенство
числу 3 возможно. Но корни достигают этих наименьших значений при
различных значениях переменной х. Поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
3. Итоговый урок по теме: Иррациональные уравнения.
Цель урока: 1. Показать на примере одного уравнения различные методы
решения иррациональных уравнений, возможность дополнять и проверять
решение при помощи использования двух и более различных методов
решения уравнения.
2. Систематизировать знания по теме.
3. Закрепить умения и навыки решения иррациональных уравнений
различными методами.
4. Дать возможность каждому ученику почувствовать уверенность в себе
и в своих знаниях.
5. Подготовить учеников к успешной сдаче ЕГЭ.
План урока:
1. Дать определение иррационального уравнения, вспомнить о его
особенностях, видах. Выписать на доске названия методов решения
иррациональных уравнений.
2. Рассмотреть уравнение х  8  4  х . Предложить методы его решения.
Ученик, предложивший метод, решает уравнение на доске. Потом
рассказывает о том, почему он выбрал именно такой метод решения, в чем
его сильная сторона. Поясняет, с какими трудностями он столкнулся.
Первый ученик. Решим уравнение возведением в квадрат с условием, что
правая часть неотрицательна.
Итак, ( х  8 ) 2  (4  х) 2 при условии, что 4  х  0.
Решим квадратное уравнение х  8  16  8 х  х 2 .
Запишем его в стандартном виде х 2  9 х  8  0.
 х1  х2  9,
, значит х1  1, х2  8.
 х1  х2  8
Найдем корни уравнения по теореме Виета 
Корень х2  8 не удовлетворяет условию х  4 , а корень х1  1
удовлетворяет этому условию. Значит, решением иррационального
уравнения х  8  4  х является число 1. Ответ: 1.
Второй ученик. Предлагаю решить это уравнение заменой переменного.
Представим уравнение в виде х  8  ( х  8)  12.
Пусть х  8  t , при условии, что t  0, тогда уравнение будет иметь вид
t  t 2  12 . Решим это уравнение t 2  t  12  0, по теореме Виета t1  4 ,
t 2  3 . Исходя из условия t  0 , отберем корень t 2  3 .
Вернемся к подстановке, и решим уравнение х  8  3 возведением в
квадрат обеих неотрицательных частей уравнения.
х  8  9 , х  1. Ответ: 1.
Третий ученик. А я предлагаю решить это уравнение графически.
Для этого построим эскизы графиков функций у  х  8 и у  4  х в одной
системе координат и найдем абсциссы точек их пересечения.
Из чертежа видно, что графики пересекаются в одной точке с абсциссой
х  1. Проверим точность найденного значения. Подставим 1 в
уравнение. 1  8  4  1 , 3  3 . Равенство выполняется. Ответ: 1.
Четвертый ученик. Зачем вообще решать это уравнение? Ведь корень х=1
можно найти сразу - подбором.
Пятый ученик. Да, но количество корней подбором не определишь.
Значит, к подбору надо добавить либо графическое решение, либо
исследование. Кстати, исследование здесь совсем не сложное. Ведь
функция у  х  8 возрастает на промежутке  8; , а функция у  4  х
убывает на этом же промежутке. Таким образом, графики этих функций
могут пересекаться не более чем в одной точке. И корень х=1
единственный.
Учитель. Итак, мы решили одно и то же уравнение пятью различными
способами. Посмотрели на него с разных сторон. Я думаю, мы не зря
потратили время. Теперь мы полностью уверены в правильности нашего
решения. Предлагаю вам выбрать метод решения для более сложного
уравнения: 2 х  3  2 х  3 .
Ученики предлагают различные методы решения этого уравнения. Они
объясняют, почему выбрали тот или иной метод решения.
Итак, чтобы равенство было возможно, правая часть уравнения должна
быть неотрицательна. Значит, 2 х  3  2х  3 . Теперь уравнение имеет вид
2х  3  2х  3 .
Два ученика решают уравнение на доске. Один - графически, другой –
подстановкой.
Пусть 2 х  3  t , t  0 , тогда t  t 2 ,
t  (1  t )  0 ,
t  0 или t  1 .
Вернувшись к подстановке, получим: х  1,5 , х  1 .
Ответ: -1,5; -1.
На примере этого уравнения мы показали, как можно комбинировать
метод исследования, использования свойств функций, подстановку,
графический метод для уверенного решения одного уравнения.
3. Закрепление пройденного материала, индивидуальная практическая
работа.
Ученикам на 5-10 минут даются карточки с одним иррациональным
уравнением, которое надо решить одним способом, и проверить
правильность решения другим способом. Карточки разного уровня
сложности. Раздаются в зависимости от уровня знаний ученика.
Примеры уравнений для карточек (справа даны ответы):
1 уровень
2 уровень
5
3
х  10  х  2 ;
1
3,8
х  5  х  1;
1
4  3х  3х  2 ;
0
 х 2  4 х  5  х 2  3х  10 ;
-5
8
2х  3  9  2х ;
3
 х 2  100  х 2  2 х  120 ;
10
4
х 1  х 1;
-1;
0
х  1  11  х ;
8
3х  4  8  3х ;
7  х  х 1;
3
4 5х  6  5х  1 ;
12  х  х ;
3
х  5  х 1 ;
2 х  5  х  2 ;
4 х  6  х 1
3 уровень
19
х6  х6
6; 7
7  2х  2х  7
3,5; 4
4. Подведение итогов.
Ученикам предлагается высказать свое мнение об изученной теме и
рассказать о тех способах решения, которыми они пользовались при
выполнении практической работы. Учащиеся выбирают самый лучший метод
решения иррационального уравнения. В конце урока объявляются отметки за
практическую работу, за работу на уроке.
Итогом урока можно считать то, что ученики свободно владеют темой и
могут уверенно решать иррациональные уравнения различных видов в ЕГЭ.
Надеюсь, что теперь вы увереннее будете решать иррациональные
уравнения. До встречи, при изучении темы «Иррациональные неравенства» и
«Модули».