Физика, 9 -11 классы

Материалы и контрольное задание №1 по физике для учащихся 9-11 классов
Физика, 9 -11 классы
Ф.9-11.1.1. Сосуд в форме куба с ребром 36 см заполнен водой и керосином равных
масс. Найти давление на дно сосуда.
Ф.9-11.1.2. В цилиндрическое ведро диаметром 25 см налита вода, занимающая
объём 12 л. Каково давление воды на стенку ведра на высоте 10 см от дна?
Ф.9-11.1.3. Тело массой 40 г соединили с телом массой 80 г и объемом 40 см3. Оба
тела поместили в сосуд с водой. При полном погружении они вытеснили 140 см3
воды. Определить плотность первого тела.
Ф.9-11.1.4. Прямой конус плавает в жидкости так, что ось его вертикальна, а
вершина обращена вверх. Плотность материала конуса составляет 7/8 плотности
жидкости. Во сколько раз высота подводной части конуса меньше всей его высоты?
Ф.9-11.1.5. Три одинаковых сообщающихся сосуда частично заполнены водой.
Когда в левый сосуд налили слой керосина высотой 20 см, а в правый высотой 25 см,
то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько повысился уровень воды в
среднем сосуде?
Ф.9-11.1.6. В U-образной трубке находятся вода, ртуть и масло.
Уровень ртути в левом и правом коленах одинаков, а высота столба
воды равна Н (рис.). В некоторый момент открывается вентиль в
тонкой горизонтальной трубке, соединяющей колена на высоте H/2
над уровнем ртути. Как изменится уровень масла в правом колене?
Ф.9-11.1.7. В высокой U-образной трубке с внутренним диаметром d = l см и
радиусом закругления нижней части R=3 см находится Vо= 50 см3 ртути. В левое
колено трубки наливают 2 л воды. На какое расстояние ртуть переместится вдоль
трубки?
Ф.9-11.1.8. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет сечение поршней 100
и 10 см2. На большой поршень встает человек массой 80 кг. На какую высоту
поднимется после этого малый поршень?
Ф.9-11.1.9. При помощи гидравлического пресса нужно поднять груз массой 100 т.
Определите число ходов малого поршня за 1 мин, если за один ход он опускается на
20см. Мощность двигателя при прессе 3,68 кВт, к. п. д. пресса 75%. Отношение
площадей 0,01.
Ф.9-11.1.10. Предположим, что в опыте Паскаля с разрыванием бочки в бочку
вставляется не одна, а две одинаковые трубки. Изменится ли давление воды в бочке?
Изменится ли сила давления воды на стенки бочки?
ЗАКОНЫ ГИДРОСТАТИКИ
Жидкости и газы при движении как целое представляют собой механическую
систему, части которой взаимодействуют друг с другом посредством только сил
давления. Действительно, когда жидкость (здесь и далее, говоря о жидкости, мы
подразумеваем и газ тоже) находится в покое, вязкость не проявляется — жидкое трение возникает лишь при движении слоев жидкости друг относительно друга или
относительно твердого тела.
1. О законе Паскаля
Для жидкости, как известно, выполняется закон Паскаля. А. Штейнберг
предлагает провести мысленный эксперимент, назвав его «стрельбой по крутым и
сырым яйцам». Что будет, если попасть приблизительно в центр крутого яйца? Пуля
пройдет навылет, оставив в яйце более или менее аккуратное отверстие. А если яйцо
сырое? Вероятно, интуиция подсказывает вам, что при метком попадании оно
разобьется вдребезги, как бы взорвется. И это — одно из проявлений закона Паскаля,
который утверждает, что в жидких телах (в отличие от твердых) давление
передается без изменения в каждую точку жидкости. Давление, оказываемое
пулей на скорлупу сырого яйца в точке попадания, передается во все точки жидкости
и соответственно действует изнутри на скорлупу, разрывая ее.
Давление, которое оказывает сжатая жидкость на стенки сосуда, связано с тем,
что молекулы непрерывно бомбардируют изнутри эти стенки. Но движение молекул в
жидкости хаотическое, и поэтому они с одинаковым «усердием» бомбардируют
любую стенку сосуда. Отсюда сразу следует, что закон Паскаля, раз он связан с
хаотичностью теплового движения, справедлив не только для жидкостей, но и для
газов.
Проведем еще один мысленный эксперимент. Поставим пустую бутылку на
землю и будем бить по горлышку сверху вниз палкой, пытаясь разбить бутылку.
Предположим, что разбить бутылку вам не удалось. Тогда вам поможет закон
Паскаля. Наполните бутылку водой доверху и заткните пробкой. А теперь достаточно
сравнительно несильно ударить по пробке — и бутылка благополучно развалится на
части.
Говорят, что честь первооткрывателя такого экзотического способа разбивания
бутылок принадлежит Галилео Галилею, который все это проделывал лет за 3040 до
рождения выдающегося Блез Паскаля. Но вот объяснения результатов эксперимента
принадлежит именно Паскалю.
Предположим, что сила удара по пробке F1. Давление, которое при ударе
оказывается на пробку площадью
S1,
равно р1 =
F1
. Это давление передается
S1
жидкости, а жидкость передает его на боковые стенки и донышко бутылки. И если
общая площадь стенок и донышка S2, то на них будет действовать сила F2 = р1S2
=F1
S2
.
S1
Несложный подсчет показывает, что для обычной бутылки емкостью в 1/2
литра отношение S2/S1 составляет по порядку величины несколько сотен.
Именно во столько раз оказывается усиленным ваш удар. Естественно, что
даже если бить не очень сильно, бутылке все равно не устоять.
Вот что Паскаль писал в своем «Трактате о равновесии жидкостей» «Если
сосуд, наполненный водой и закрытый со всех сторон, имеет два отверстия, одно в
100 раз больше другого, которые прикрыты точно подогнанными к ним поршнями,
то один человек, надавливающий
на малый поршень, уравновесит силу 100
человек, надавливающих на поршень в 100 раз больший, и преодолеет силу 99. И
каково бы ни было отношение этих отверстий, всегда, когда силы, приложенные к
поршням, относятся друг к другу, как отверстия, силы эти будут в равновесии.
...Отсюда следует, что сосуд, наполненный водою, является новым
принципом механики и новой машиной для увеличения сил в желаемой степени,
потому что при помощи этого средства человек может поднять любую
предложенную ему тяжесть».
Совершенно ясно, что в этих словах полностью сформулирована идея
гидравлического подъемника, гидравлического пресса, гидравлического привода
тормозов современного автомобиля и многих других подобных
устройств.
Паскаль прославился остроумными опытами по гидростатике.
Он в это время жил в Руане, и толпа в несколько сот горожан
собиралась на его демонстрации как на праздничные представления.
Один из самых известных опытов Паскаля, поразивший воображение
жителей Руана, по идее близок к эксперименту с разбиванием бутылки.
В тонкую длинную трубку, вставленную в закупоренную наполненную водой бочку,
наливалась вода. Уровень воды в трубке повышался, и в какой-то момент крепко
сколоченная бочка разрывалась.
Итак, еще раз о главном в законе Паскаля:
1. Жидкость оказывает давление на стенки сосуда, в котором она находится, или на
любую другую поверхность, соприкасающуюся с ней.
2. Давление — величина скалярная. Оно измеряется абсолютной величиной
нормальной (перпендикулярной поверхности) силы, действующей со стороны
жидкости на единицу площади поверхности: р =
F
.
S
3. Давление в различных точках поверхности может быть разным. Поэтому площадь
S мы должны брать достаточно маленькой.
4. По закону Паскаля давление жидкости не зависит от ориентации поверхности. Как
бы ни была расположена поверхность в данном месте жидкости, давление на нее
будет одним и тем же.
5. Сила давления всегда перпендикулярна поверхности. В обычных условиях она
направлена так, как если бы жидкость стремилась расшириться.
6. Давление жидкости на глубине h (гидростатическое давление) рассчитывается как
ph = ρgh, где ρ – плотность жидкости. С учетом атмосферного давления р0 давление в
любой точке жидкости на глубине h равно р = рh + р0 = ρgh + р0.
Примеры ответов на вопросы
1. Сосуд EABCDF (см. рисунок) с приставным
дном ВС опущен в резервуар с водой. Вода в
объеме ABCD имеет массу 2,5 кг и весит,
соответственно, 24,5 Н. Если на дно ВС
поставить узкую гирю весом 25 Н, оно не
отрывается. А если налить 2,5 кг воды, то
отрывается. В чем дело?
Ответ: Сила давления снизу на приставное дно ВС равна весу водяного столба в
форме цилиндра с основанием ВС и высотой h. Из-за формы сосуда вес этого столба
больше, чем 25 Н. Поэтому под тяжестью гири приставное дно не отрывается. Когда
же налита вода, силы давления сверху и снизу одинаковы, и дно отрывается под
действием собственной тяжести.
2. В жидкости на глубине h гидростатическое давление, как известно, равно ρgh.
Почему это давление в соответствии с законом Паскаля не передается на
поверхность?
Ответ: Противоречие разрешается, если рассмотреть механизм передачи давления по
Паскалю. Сжимая внешней силой жидкость, мы увеличиваем ее плотность, и
возникают упругие силы, препятствующие дальнейшему уплотнению. Они же
вызывают давление на соседний слой, которое и передается по жидкости. Сила же
гидростатического давления скомпенсирована весом вышележащего столба жидкости
и аналогичным образом передаваться не может.
3. Три сосуда, имеющие формы цилиндра, усеченного конуса и перевернутого
усеченного конуса с одинаковыми площадями оснований и равными объемами,
доверху наполнены водой. Как соотносятся между собой силы давления поды на дно
сосудов?
Ответ: Сила давления на дно наибольшая у сосуда, имеющего форму усеченного
конуса, наименьшая — у перевернутого конуса.
Примеры решения задач на закон Паскаля
1. Гидростатическое давление
Задача 1. Атмосферное давление у поверхности Венеры – 10,3 МПа, сила тяжести 1,2 раза меньше, чем на Земле. Какова будет на Венере высота столба ртути в
барометрической трубке?
Решение. Высота h столба ртути определяется из условия рв = рт  gв  h, где gв –
ускорение свободного падения на Венере. Сила тяжести, действующая на тело массы
m, на Венере равна Fв = gвm, а на Земле Fз = gзm. Масса тела и на Земле, и на
Венере одна и та же, а Fз/Fв = 1,2. Следовательно, gв = gз/1,2 = 8,2 м/с2. Таким
образом,
pв
10,3  10 6 Па
h

 91 м.
р т g в 13,6  10 3 кг / м 3  8,2м / с 2
Задача 2. В цилиндрический сосуд диаметром D = 0,2 м
вставлен поршень с длинной вертикальной трубкой
диаметром d = 0,05 м (рис. 1). Максимальная сила
трения между поршнем и стенками сосуда F = 100 Н.
Через трубку в сосуд наливают воду. При каком уровне
воды в трубке Н поршень начнет двигаться? Чему
будет равна при этом сила давления воды на дно
сосуда? Поршень расположен на высоте h = 0,2 м от
дна сосуда. Плотность воды р = 103 кг/м3. Массой
поршня с трубкой пренебречь.
Решение. Давление в жидкости на уровне поверхности
Рис. 1
поршня определяется расстоянием от этого уровня до
свободной поверхности жидкости: р1= ρg(H - h).
Поршень начнет двигаться, когда сила давления на него со стороны жидкости
станет равной максимальной силе трения: р1(S-s) = FTp, где S = πD2/4 и s = πd2/4 —
площади поперечных сечений сосуда и трубки соответственно. Подставляя сюда
выражение для р1, находим H = h+
4 Fтр
g ( D 2  d 2 )
= 0,5 м.
Давление на дно сосуда р2 = ρgH. Сила давления
F = p2S = ρgH
D 2
4
 160 Н.
Задача 3. Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с
водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно
поднимают. Как зависит сила, прикладываемая к поршню, от высоты h его
поднятия? Площадь поперечного сечения трубы S, атмосферное давление р0.
Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и его трением о стенки трубы
пренебречь.
Решение. При поднятии поршня вода под действием
атмосферного давления будет вначале заполнять трубу (рис. 2).
Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно
атмосферному давлению р0. Давление воды на поршень меньше
атмосферного на величину веса столба жидкости высотой h и
площадью основания, равной единице: р = р0 - ρgh.
Сверху на поршень по-прежнему действует атмосферное
давление. Поэтому для удержания поршня на высоте h к нему
надо приложить силу, равную F = (р0 - p)S = ρgh S и
направленную вверх.
Рис. 2
С увеличением h давление воды на поршень будет
уменьшаться. На высоте h0 = p0/ρg = 10 м (р0 = 98 кН/м2)
давление обратится в ноль. При дальнейшем поднятии
F
поршня уровень воды в трубе изменяться не будет, так
F
как сила атмосферного давления, действующая на столб
жидкости в трубе снизу, уравновесится силой тяжести. p0S
Для удержания поршня на высоте h > h0 к нему
надо приложить силу F = p0S.
Зависимость прикладываемой к поршню силы F
от высоты его поднятия h изображена графически на
Рис. 3
рисунке 3.
Высота столба воды в трубе h0 = р0/(ρg),
очевидно, может служить для измерения атмосферного давления р0. Однако обычно в
барометрах используют ртуть, и нормальному атмосферному давлению тогда
соответствует значительно меньшая высота столба ртути hрт= р0/(ρртg) (плотность
ртути ρрт= 1,36·104 кг/м3).
Задача 4. В аквариум прямоугольного сечения налита вода (плотность воды ρ =103
кг/м3) до высоты Н = 0,5 м. Определите силу, действующую на стенку аквариума
длиной l=1 м.
Решение. В данном случае давление меняется с глубиной погружения h, причем меняется по линейному закону р = ρgh. Не вызывает сомнения, что равнодействующая
всех сил давления направлена горизонтально. А чему равен ее модуль? Обычно при
ответе на этот вопрос используют формулу p = pcрS, где S = lH— площадь соприкосновения воды со стенкой, а рср= ρgH/2 — среднее
давление, равное давлению на середине глубины. И
такой ответ, безусловно, верный. Попробуем объяснить, почему используется именно это давление в
качестве среднего.
Рассмотрим
прямоугольную
призму
(из
материала плотности q) высотой l, в основании
которой лежит прямоугольный равнобедренный
Рис. 4
треугольник со стороной Н. Поставим эту призму на горизонтальную поверхность
(рис. 4). Нетрудно видеть, что сила давления призмы на поверхность по модулю
совпадает с силой давления воды на боковую поверхность аквариума (вследствие
одинаковости распределения давлений по поверхности соприкосновения). Но сила
давления призмы — это ее вес, поэтому
Fд = ρgH
H
H
l=( ρg l) (lH) = 1250 H.
2
2
Итак, действительно в качестве среднего давления воды следует взять давление
на середине глубины.
При решении задачи мы нигде не учитывали атмосферное давление. Может ли
оно изменить ответ? И еще: как изменится сила давления на стенку, если эту стенку
сделать резиновой?
Задача 5. В сосуд, имеющий форму куба с ребром а,
налита доверху жидкость плотностью ρ. Определите
силы давления жидкости на дно и стенки сосуда.
Решение. Давление жидкости на дно сосуда равно весу столба
жидкости высотой а с площадью основания, равной единице: р1
= ρgа, где g — ускорение свободного падения. (Для простоты
здесь и в других задачах, где это специально не оговорено,
предполагается, что атмосферное давление отсутствует.) Сила
давления на дно сосуда (рис. 5) F1 = p1S = ρ g a3.
Рис. 5
Давление на боковую грань куба будет зависеть от
расстояния до поверхности жидкости.
Давление жидкости на самом верхнем уровне равно
0, а на глубине h давление жидкости равно р = ρgh = ρgа.
Так как давление изменяется с глубиной по линейному
закону (рис. 6), среднее давление можем найти как
ga  0
среднее арифметическое pcp=
. Для определения
2
силы давления нужно среднее давление
жидкости
ga
2
ga 2 ga 3
умножить на площадь боковой грани: F2 =
·а =
.
2
2
Рис. 6
Задачи для самостоятельного решения
(Эти задачи не относятся к контрольной работе, но, при желании, Вы можете
прислать свои решения и они будут проверены.)
Ф(дз).9-11.1.1.
Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с
ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды, которая не вытекает из трубки.
Определите изменение уровня ртути в сосуде. Диаметр сосуда D = 0,06 м, плотность
ртути ρ0 = 1,36·104 кг/м3. Толщиной стенок трубки пренебречь.
4m
 1,8 см.
0 D 2
Ф(дз).9-11.1.2.
В цилиндрический сосуд залиты в равных объемах ртуть, вода и керосин.
Определить давление на дно сосуда, если общая высота столба жидкости 12 см.
Ответ: 6,16 кПа
Ф(дз).9-11.1.3.
В сосуд с водой вставлена трубка сечением 2 см2. В трубку налито 72 г
масла. Найти разность уровней масла и воды.
Ответ: Δh =
Ответ: 9 см
Ф(дз).9-11.1.4.
Сосуд без дна погружен в воду. Нижнее основание его закрыто
пластинкой площадью 100 см2 и весом 1,5 Н. Глубина погружения нижнего основания 27 см.
Какой высоты слой масла нужно налить в сосуд, чтобы пластинка оторвалась?
Ответ: 32 см
Ф(дз).9-11.1.5.
Открытую с обеих сторон цилиндрическую трубку длиной 1 м
наполовину погружают в ртуть. Затем верхнее отверстие трубки плотно закрывают,
вынимают трубку из ртути. В трубке остается столбик ртути длиной 25 см.
Определите по этим данным атмосферное давление (в кПа).
Ответ: 102 кПа
Ф(дз).9-11.1.6.
Узкую цилиндрическую запаянную с одного конца трубку длиной
L=45 см погружают открытым концом в сосуд со ртутью на глубину 40 см.
Атмосферное давление равно 76 см рт. ст. Какова будет высота столбика ртути в
трубке?
Ответ: h = (L+l+H- ( L  l  H ) 2  4 Ll ) / 2 =12,1 см.
Ф(дз).9-11.1.7.
В бак с жидкостью опущена длинная трубка диаметром d, к
которой снизу плотно прилегает цилиндрический диск толщиной h и диаметром D.
Плотность материала диска ρ1, больше плотности жидкости ρ,. Трубку медленно
поднимают вверх. Определите, на каком уровне диск оторвется от трубки.
   D2
Ответ: H  h 1 2 2 .
1 d
Ф(дз).9-11.1.8.
Для взятия пробы грунта на дно океана на стальном тросе
опускается прибор. Найдите предельную глубину погружения, если предел прочности
на разрыв стали σ = 4,8·108 Н/м2. Массой прибора по сравнению с массой троса
можно пренебречь. Плотность стали ρ=7,8·103 кг/м3, плотность морской воды
ρ0=1,08·103 кг/м3.
Ответ: 7,2 км.
2. Сообщающиеся сосуды
Примером другого гидростатического устройства, широко используемого в
практике, являются сообщающиеся сосуды. Известен закон
сообщающихся сосудов: если давление над жидкостью в
сосудах одинаково, то уровни жидкости в них равны.
Нетрудно доказать этот закон для случая цилиндрических
сосудов. Так как жидкость в соединительной трубке
находится в равновесии, то давления на нее с обеих сторон
должны быть одинаковы. Поэтому равны и уровни жидкости
в сосудах.
Рис. 7
В общем случае для доказательства закона
сообщающихся сосудов можно воспользоваться принципом
отвердевания, который часто используют в гидростатике. Суть этого принципа
заключается в следующем: всегда можно представить себе, что часть жидкости
отвердела — равновесие оставшейся части жидкости от этого не нарушится. Так, в
цилиндрических сообщающихся сосудах мы можем мысленно выделить часть
жидкости, которая заполняла бы сообщающиеся сосуды любой извилистой формы
(рис. 7), и представить себе, что остальная часть жидкости отвердевает. Тогда
равновесие выделенной нами части жидкости не нарушится, и, следовательно, уровни
жидкости в извилистых сообщающихся сосудах будут такими же, какими были в
цилиндрических сосудах, т.е. одинаковыми.
Закон сообщающихся сосудов справедлив только для однородной жидкости.
Если в сосуды налиты жидкости разных плотностей, то уровни в сосудах могут быть
разными.
Задача 6. В U-образную трубку налита ртуть. Поверх ртути в одно из колен трубки
налили воду (рис. 8). Высота столбика воды l = 0,1 м. Определите разность уровней
жидкостей в коленах трубки. Нарисуйте график
зависимости давления в обоих коленах трубки от высоты.
Плотность ртути ρрт= 1,36·104 кг/м3, плотность воды ρ0
= =103 кг/м3. Атмосферное давление не учитывайте.
Решение. Давления на ртуть на уровне h0 соприкосновения
воды и ртути в обоих коленах должны быть одинаковы
(закон сообщающихся сосудов для однородной жидкости).
Поэтому ρ0g l = ρрт g(l - Δh), где разность уровней h2 – h1
обозначена через Δh.
(    0 )l
 0,09 м.
Отсюда Δh = pm
Рис. 8
 pm
Давление в колене, содержащем только ртуть, меняется с высотой h по закону
p1 = ρрт g(h1 – h). Эта формула справедлива и в изогнутой части трубки. (Представьте
себе, что изогнутое колено сообщается с прямым цилиндрическим сосудом, в
котором тоже находится ртуть. Тогда давления на одинаковой высоте в обоих сосудах
должны быть равны.) В другом колене в области h0 < h
< h2, где находится только вода, давление p2= ρ0g (h2 h).
Ниже уровня h0 зависимость давления от высоты
дается той же формулой, что и в первом колене:
p1 = ρ0g l + ρрт g(h0 – h)= ρрт g(h1 – h).
Зависимость давления в коленах трубки от
высоты изображена графически на рисунке 9. Как
видно, выше уровня h0 давления на одинаковой высоте
Рис. 9
разные.
Задача 7. В сообщающихся сосудах, диаметры которых относятся как 1:2,
находится вода. В широкий сосуд наливают дополнительно столб масла высотой Н0.
На сколько поднимется уровень воды в узком сосуде? Плотность воды и масла
известны.
Решение. Пусть сначала уровень воды находился на высоте h, а после добавление
масла установился в узком сосуде на высоте h1, а в широком - h2. Запишем условие
равенства на уровне дна сосуда: ρ2gH0+ ρ1gh2= ρ1gh1. Условие сохранения объема
d 2

 h2d 2  h (d 2  4d 2 ) , где d— диаметр узкого
воды: h1
4
4
сосуда. Получим систему уравнений: ρ2H0+ ρ1 h2= ρ1h1
h1 + 4h2 = 5h.
Отсюда можно найти подъем уровня жидкости: h1- h =
42
Н0 .
5 1
Задачи для самостоятельного решения
Ф(дз).9-11.1.9.
Ртутный манометр (рис. 10) состоит из
p
Рис. 10
двух трубок с площадью сечения S1 и S2, причем S1/S2=2. На сколько изменилось
измеряемое давление, если уровень ртути в левом колене поднялся на Δh=10
мм?
Ответ: Δp=3ρgΔh ≈ 4 кПа.
Ф(дз).9-11.1.10. В бочку с водой упал стеклянный диск. Его диаметр D = 30 см,
толщина h =5 мм, плотность стекла d=2,6·103 кг/м3. Чтобы его достать, в бочку
опустили трубку диаметром d=10 см, плотно прижали ее к диску, выкачали воду и
стали медленно поднимать вверх.
Определите, до какого расстояния до
поверхности воды можно таким способом поднять диск.
Ответ: H = (D/d)2(ρ - ρ0)h/ρ0 =7,2 см
(здесь ρ0= 103 кг/м3 - плотность воды).
Ф(дз).9-11.1.11. Воронка массой М, имеющая форму усеченного конуса с радиусом
основания R, стоит на столе. Края воронки плотно прижаты к поверхности стола.
Сколько воды будет налито в воронку к моменту ее отрыва от стола, если высота
уровня воды в воронке в этот момент равна h?
Ответ: m = ρπR2h - М.
Ф(дз).9-11.1.12. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на
20 см, а большой - поднимается на 1 см. С какой силой действует пресс на зажатое в
нем тело, если на малый поршень действует сила 500 Н, а КПД пресса 95 %?
Ответ: 9,5 кН
Ф(дз).9-11.1.13. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом
прессе, если к длинному плечу рычага, передающего давление на малый поршень,
приложена сила 100 Н, соотношение плеч рычага равно 9, а площади поршней пресса
соответственно равны 5 см2 и 500 см2? КПД пресса 80 %.
Ответ: 72 кН
Ф(дз).9-11.1.14.
Для подъема груза на высоту 45 см воспользовались гидравлическим
прессом с КПД, равным 75 %, и соотношением площадей поршней 1:100. Определить количество ходов, которое должен сделать малый поршень, если ход его равен 20 см.
Ответ: 300.
3. Выталкивающая сила
На тело, погруженное в жидкость, как известно, действует выталкивающая
сила. Эта сила является равнодействующей сил давления жидкости на тело. Найдем,
например, выталкивающую силу, действующую на кубик с ребром а, целиком
погруженный в жидкость плотностью ρ. Сила давления со стороны жидкости на
верхнюю грань кубика равна F1 = ρ gha , где h — расстояние от этой грани до
поверхности жидкости (для простоты мы считаем, что плоскость верхней грани
кубика параллельна поверхности жидкости).
На нижнюю грань кубика действует сила F2 = ρ g(h+a)a2.
Силы давления на боковые грани кубика уравновешивают друг друга.
Равнодействующая сил давления, т.е. выталкивающая сила, равна и направлена
вертикально вверх. Мы получили закон Архимеда: выталкивающая сила равна силе
тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость.
В общем случае закон Архимеда можно доказать с помощью принципа
отвердевания. Мысленно заменим погруженное тело жидкостью. Очевидно, что эта
жидкость будет находиться в равновесии. Следовательно, сила тяжести, действующая
на нее, уравновешена силами давления со стороны окружающей жидкости. Если
теперь представить себе, что выделенная нами часть отвердела, то равновесие
оставшейся части не нарушится, и поэтому не изменятся силы давления на
отвердевшую жидкость. Равнодействующая этих сил будет по-прежнему равна силе
тяжести.
При доказательстве мы считали, что тело целиком погружено в жидкость.
Однако аналогичные рассуждения легко провести и в случае, когда только часть тела
находится в жидкости (проделайте это сами). И мы опять получим, что
выталкивающая сила равна силе тяжести , действующей на вытесненную телом
жидкость: F = ρgV, где ρ — плотность жидкости, V — объем погруженной в жидкость
части тела, g — ускорение свободного падения.
Одним из самых распространенных вопросов, связанных с выталкивающей
силой является следующая ситуация.
Задача 8. В сосуде с водой плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды в сосуде,
если лед растает? Что будет, если в лед вморожен а) кусочек свинца; б) кусочек
пробки?
Решение. Если лед чистый или в него вморожен кусочек пробки, то уровень воды не
изменится. Если же в лед вморожен кусочек свинца, уровень воды понизится.
Попробуйте математически или логически доказать или опровергнуть
правильность приведенного ответа.
Задача 9. На дне водоема установлена П-образная
конструкция из трех одинаковых балок, соединенных
между собой (рис. 11). Как зависит сила давления
этой конструкции на дно от уровня воды в водоеме?
Рассмотрите два случая:
1) вода подтекает под опоры;
2) опоры плотно соприкасаются с дном.
Балки имеют квадратное сечение со стороной а,
длина балки l = 2а.
Рис. 11
Плотность материала балок ρ0, плотность воды ρ.
Решение. Сила давления Fa на дно определяется
разностью силы тяжести конструкции 6ρ0gа3 и
выталкивающей силы F.
В первом случае, когда вода подтекает под
опоры (например, если дно водоема покрыто галькой
— рисунок 12, справедлив закон Архимеда.
Зависимость выталкивающей силы от высоты уровня
воды h дается формулами:
F = 2 ρgha при h ≤ а,
Рис. 12
F = 2 ρgа + 4ρgа (h - а) при a≤ h ≤ 2a,
F = 6 ρga3 при h ≥ 2a.
Соответствующий график для силы Fa
изображен на рисунке 13,— он обозначен цифрой 1.
Во втором случае отсутствует давление воды
на опоры снизу (рис. 12), и пользоваться законом
Архимеда уже нельзя. Для определения силы F
необходимо найти равнодействующую сил давления:
F = 0 при h ≤ а,
F = 2 ρgа (h - а) при a ≤ h ≤ 2a,
Рис. 13
F = 2 ρga (h - a) - 4 ρga (h - 2a) при h ≥2а.
Последнее выражение обращается в нуль при h
= За и при больших h становится отрицательным. Это означает, что при h > За силы
давления не выталкивают конструкцию из воды, а наоборот, прижимают ее ко дну.
Зависимость силы давления на дно от высоты уровня воды показана на втором
графике рисунка 13.
Задача 10. Пробковый кубик с ребром а = 0,1 м погрузили в воду на глубину h = 0,2 м
с помощью тонкостенной трубки диаметром d= 0,05 м (рис. 14). Определите, какой
груз надо положить в трубку, чтобы кубик от нее оторвался. Плотность пробки ρ0
= 200 кг/м3, плотность воды ρ = 10 кг/м3.
Решение. Вес груза равен разности выталкивающей силы F,
действующей на кубик, и силы тяжести кубика Мg = ρ0ga3.
Если бы кубик был окружен со всех сторон водой, то на
него по закону Архимеда действовала бы выталкивающая
сила F0 = ρga3. В нашем случае выталкивающая сила будет
большей, так как на часть поверхности верхней грани
кубика, «заключенную» в трубку, не действует давление
воды:
F = ρga3+ ρghS, где S = πd2/4 — площадь сечения трубки.
Таким образом, сила тяжести грузика
ghd 2
Рис. 14
 12 Н.
mg = F- Mg=( ρ - ρ0)ga3 +
4
Масса грузика m ≈ 1,2 кг.
Выталкивающую силу, действующую на кубик, можно найти и другим
способом. Рассмотрим кубик с трубкой как единое тело, вытесняющее объем воды V
= a3 + Sh. Тогда по закону Архимеда на кубик с трубкой действует выталкивающая
сила F = ρgV = ρga3+ ρghS, которая равна выталкивающей силе, действующей на
кубик, так как равнодействующая сил давления воды на трубку равна нулю.
Задачи для самостоятельного решения
Ф(дз).9-11.1.15. Трубка ртутного барометра подвешена на нити. Определите
натяжение нити, если высота уровня ртути в трубке Н = 0,76 м, внешний диаметр
трубки D = 0,02 м, внутренний d = 0,017 м, нижний конец трубки погружен в ртуть на
глубину h = 0,1 м, масса трубки m =0,3 кг, плотность ртути ρ = 1,36·104 кг/м3.
Считайте, что торцы трубки плоские.
g
Ответ: T = mg +
(Hd2- h(D2- d2)) ≈ 50 Н.
4
Ф(дз).9-11.1.16. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с
ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды, которая не вытекает из трубки.
Определите изменение уровня ртути в сосуде. Диаметр сосуда D = 0,06 м, плотность
ртути ρ0 = 1,36·104 кг/м3. Толщиной стенок трубки пренебречь.
Ответ: Δh =
4m
 1,8 см.
0 D 2
Ф(дз).9-11.1.17. В цилиндрические сообщающиеся сосуды диаметрами D = 0,06 м
и d = 0,02 м налита вода. Как изменятся уровни воды в сосудах, если в один из
сосудов поместить тело массой m = 0,02 кг, которое будет плавать в воде? Плотность
воды ρ = 103 кг/м3.
Ответ: Δh =
Ф(дз).9-11.1.18.
В
бассейн
с
водой
погружен
4m
 6·10-3 м.
0 ( D 2  d 2 )
опрокинутый
вверх
дном
тонкостенный цилиндрический сосуд высотой 1м с сечением дна 0,1 м2, заполненный
маслом. Глубина погружения дна сосуда 2 м от поверхности воды в бассейне.
Определить силу, действующую изнутри сосуда на его дно.
Ответ: 12,2 кН
Ф(дз).9-11.1.19. Банка цилиндрической формы наполовину заполнена маслом
плотностью ρ. Высота банки L. Закрыв банку пластинкой, ее переворачивают вверх
дном и опускают в воду плотностью ρо. На какой глубине находится дно банки, если
между дном и маслом в банке имеется слой воздуха высотой d? Атмосферное
давление р0. Температуру считать неизменной. В воде пластинку убирают.
p
L(    0 )
L
d .
Ответ: H  0 (  1) 
 0 g 2d
20
Ф(дз).9-11.1.20. В двух сообщающихся цилиндрических
сосудах с одинаковым поперечным сечением площадью 100 см2
находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают воду
массой 20 кг и в неё опускают плавать груз массой 7,2 кг. На
х
h
х
сколько сантиметров переместится уровень ртути во втором
сосуде?
Ответ: h 
mg  Mg (m  M )

;
 PT gS
 PT S
h
2
х= 
mM
 0,1 м.
2  PT S