П Р А В

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственный университет - Высшая школа экономики
Факультет довузовской подготовки
Программа дисциплины
Высшая математика. Часть 1
для слушателей подготовительного отделения в магистратуру
Автор: д.ф.-м.н., доцент А.Е. Лепский
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
____________________ А.С. Шведов
___________________Ф.Т. Алескеров
«_____» __________________ 2009 г.
«____»_____________________ 2009 г
Утверждена
Декан ФДП
_________________С.В. Квашонкина
« ____» ___________________2009 г.
Москва
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные часы
СеминаЛекции
ры
Самостоят.
работа
1 семестр
I. Элементы векторной и линейной алгебры
1 Векторная алгебра
5
2
1
2
2 Матрицы и определители
3
1
1
1
3 Системы линейных алгебраических уравнений
5
1
2
2
4 Линейное пространство и линейные операторы
3
1
1
1
Собственные значения и собственные векторы
линейного оператора
4
1
1
2
4
1
1
2
5
6 Квадратичные формы
II. Элементы математического анализа
1
Предел последовательности и функции. Бесконечно малые величины и их сравнение
5
1
2
2
2
Непрерывность и дифференцируемость функции. Формула Тейлора.
5
2
1
2
3
Применение производной к исследованию
функции и построению ее графика
8
3
3
2
Дифференциальное исчисление функций многих
4 переменных (ФМП). Градиент и производная по
направлению.
5
2
1
2
Нахождение локальных экстремумов ФМП,
5 нахождение наибольшего и наименьшего значений ФМП на компакте.
5
1
2
2
6 Выпуклые и вогнутые функции и множества.
2
1
Нахождение условных экстремумов ФМП. Эко7 номические приложения. Задача оптимизации:
графический метод решения.
10
3
1
4
3
III. Дифференциальные уравнения
Основные понятия теории дифференциальных
1 уравнений (ДУ). Примеры ДУ. Теорема существования решения задачи Коши.
2
1
1
2
Некоторые классы ДУ 1-порядка, имеющие решения в квадратурах.
7
2
2
3
3
Линейные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
7
1
2
4
80
24
24
32
Всего часов
2
Формы рубежного контроля
Формы контроля знаний студентов:
-
текущий контроль: домашнее задание;
итоговый контроль: письменный зачет (письменная контрольная работа).
Образцы типовых задач для всех форм контроля приводятся после программы.
Содержание программы
I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Векторная алгебра ([1], гл.I; [2], гл.1; [4], гл.3)
Определение, операции с векторами и их свойства. Понятия коллинеарных и компланарных векторов, критерии коллинеарности и компланарности. Понятие векторного
пространства. Линейная зависимость и независимость векторов, критерии линейной
зависимости и независимости. Базис в векторном пространстве, разложение вектора
по базису. Изменение координат при переходе к новому базису. Системы координат.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.
2. Матрицы и определители ([1], гл.V; [2], гл.6, §; [4], гл.1)
Определение, линейные операции с матрицами и их свойства. Специальные виды
матриц. Определители 1-го, 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Реккурентное определение детерминанта n-го порядка. Вычисление векторного и смешанного произведений с помощью определителей. Понятие ранга матрицы, элементарные
преобразования матриц. Обратная матрица.
3. Системы линейных алгебраических уравнений ([1], гл.V; [2], гл.7; [4], гл.2).
Основные определения. Решения СЛАУ по формулам Крамера. Матричный способ
решения СЛАУ. Метод Гаусса.
4. Линейное пространство и линейные операторы ([1], глVI., §1,2,3; [2], §20-23; [4],
гл.4).
Понятие и примеры линейного пространства. Базис в ЛП, размерность пространства.
Понятие скалярного произведение в ЛП и евклидова пространства, примеры. Линейный оператор, матрица линейного оператора, примеры. Понятия образа и ядра ЛП.
Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису. Симметричный и ортогональный операторы.
5. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора ([1],
гл.VI, §4; [2], §24; [4], §4.3)
Понятия с.з. и с.в. линейного оператора, примеры. Характеристическое уравнения.
Спектр и след. Свойства с.з. симметричного оператора. Приведение матрицы оператора к диагональному виду.
6. Квадратичные формы ([1], гл.VI, §6; [2], §32; [4], §4.5).
Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции. Знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
3
II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1. Предел последовательности и функции. Бесконечно малые величины и их
сравнение ([5], гл.1, §; [7], гл.2, 3).
Предел последовательности и функции, их свойства. Понятие бесконечно малой величины. Сравнение бесконечно малых величин. Понятие неопределенности при вычислении пределов.
2. Непрерывность и дифференцируемость функции. Формула Тейлора ([5], гл.2,
3; [7], гл.4, 5, 7, 8).
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на
отрезке. Производная и дифференциал. Правила дифференцирования. Теоремы Лагранжа, Коши, Лопиталя. Формула Тейлора.
3. Применение производной к исследованию функции и построению ее графика
([5], гл.3; [7], гл.9, §).
Исследование возрастания и убывания функции на промежутке с помощь производной. Локальный экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума. Исследование выпуклости и вогнутости функции на
промежутке с помощью второй производной, нахождение точек перегиба. Асимптоты.
4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (ФМП). Градиент и производная по направлению ([6], гл.1, 2; [7], гл.10).
Понятие ФМП в метрическом пространстве. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФМП. Дифференцируемость и частные производные ФМП. Дифференциал
n-го порядка и формула Тейлора для ФМП. Производная по направлению. Вектор градиента ФМП и его свойства.
5. Нахождение локальных экстремумов ФМП, нахождение наибольшего и
наименьшего значений ФМП на компакте ([6], гл.3, §; [4], гл.6).
Понятие локального экстремума ФМП. Необходимые и достаточные условия локального экстремума ФМП. Гессиан. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
ФМП на компакте.
6. Выпуклые и вогнутые функции и множества ([6], гл.3; [4], гл.6).
Понятие выпуклого множества в линейном пространстве. Свойства выпуклых множеств.
Понятие выпуклой и вогнутой ФМП. Критерии выпуклости и вогнутости. Критические
точки выпуклых (вогнутых) функций.
7. Нахождение условных экстремумов ФМП. Экономические приложения. Задача оптимизации: графический метод решения ([6], гл.3, 4; [4], гл.6).
Понятие условного экстремума ФМП. Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточные условия существования условного экстремума. Окаймленный гессиан. Экономические приложения
(максимизация функции полезности при бюджетных ограничениях). Решение задачи оптимизации графическим методом.
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений (ДУ). Примеры
ДУ. Теорема существования решения задачи Коши ([8], гл.1; [9], гл.1; [10], §1).
Понятия ДУ, порядка ДУ, общего решения ДУ, задачи Коши. Некоторые задачи экономического характера, приводящие к ДУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
4
2. Некоторые классы ДУ 1-порядка, имеющие решения в квадратурах ([8], гл.1;
[9], гл.1; [10], §2, 4, 5, 6).
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ 1-го порядка, метод вариации. Уравнение Бернулли, схема решения Бернулли. Уравнение в
полных дифференциалах.
3. Линейные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной
правой частью ([8], гл.1; [9], гл.2; [10], §11).
Однородное линейное ДУ: структура общего решения. Однородное ДУ с постоянными
коэффициентами, характеристическое уравнение. Структура общего решения неоднородного ДУ. Нахождение частного решения неоднородного ДУ со специальной правой
частью методом неопределенных коэффициентов. Принцип суперпозиции. Понятие
устойчивости решения ДУ.
Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1977.
2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное пособие/ Под. ред. Д.В. Беклемишева. 2-е изд., перераб. − М.: Физматлит, 2003.
3. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. − М.: Изд-во ВШЭ, 1998.
4. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: ЭКСМО, 2006.
5. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ для студентов экономического
факультета. Часть 1: Учебное пособие. − М.: ГУ-ВШЭ, 2006.
6. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ для студентов экономического
факультета. Часть 2: Учебное пособие. − М.: ГУ-ВШЭ, 2008
7. Малугин В.А. Математика для экономистов. Математический анализ. Курс лекций. – М.:
ЭКСМО, 2005.
8. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу «Дифференциальные и разностные уравнения»:
Учебное пособие. − М.: ГУ-ВШЭ, 2001.
9. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001.
10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для
вузов. – М.: Наука, 1985.
Домашнее задание
В каждом задании (или задаче) учащийся должен решить по одному примеру, номер
которого соответствует номеру варианта.
I. Линейная алгебра
1. Определители и матрицы: [1, ИДЗ-1.1, стр.32], задания 1 и 2.
2. Системы линейных алгебраических уравнений: [1, ИДЗ-1.2, стр.41], задания 1, 2, 3, 4.
3. Векторная алгебра: [1, ИДЗ-2.1, стр.67], задания 1, 2, 3; [1, ИДЗ-2.2, стр.75], задания 1, 2.
4. Линейная алгебра: [2], задачи 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11.
5
II. Математический анализ
1. Пределы и непрерывность функции одной переменной: [1, ИДЗ-5.1, стр.158],
задания 1-9; [1, ИДЗ-5.2, стр.167], задания 1-4.
2. Производная: [1, ИДЗ-6.1, стр.205], задания 1-14; [1, ИДЗ-6.2, стр.221], задания 1-6.
3. Применения производной: [1, ИДЗ-6.3, стр.229], задания 1-7; [1, ИДЗ-6.4, стр.241],
задания 2,3,4.
4. Функции многих переменных: [3, ИДЗ-10.1, стр.222], задания 1-6; [3, ИДЗ-10.2,
стр.231], задания 1-5; [4], задания 1,2; [5], задания 1,2.
III. Дифференциальные уравнения
1. Дифференциальные уравнения первого порядка: [3, ИДЗ-11.1, стр.290], задания 1-5.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков: [3, ИДЗ-11.2, стр.301], задания 1-5.
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: [3, ИДЗ11.3, стр.314], задания 1-5.
Литература для выполнению домашнего задания
1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1/ под ред. А.П. Рябушко,
− Минск: Высшая школа, 1990.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). — М: Высшая
школа, 1983.
3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2/ под ред. А.П. Рябушко,
− Минск: Высшая школа, 1990.
4. файл: conditional_extremum
5. Сборник задач по математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова.
– М.: ИНФРА-М, 2003.
МИНИМУМ ЗАДАЧ К ЗАЧЕТУ
1. Даны векторы a  6i  7 j  6k и b  6i  8k , заданные в ДПСК (O; i , j , k ) . Найдите:
а) скалярное произведение ( a , b ) и длины векторов a и b ;
б) угол между векторами a и b ;
в) орты векторов a и b ;
г) проекцию вектора a на направляющую прямую вектора b .
2. Пусть {e1 , e2 , e3} - базис в пространстве геометрических векторов, причем e1  1 , e2  2 ,
e3  3 , e1 , e2   6 , e1 , e3  e2 , e3   3 и a  e1  3e2  2e3 , b  e1  3e3 . Найдите:
а) скалярное произведение ( a , b ) и длины векторов a и b ;
б) угол между векторами a и b .
3. При каком значении t проекция вектора a  (t 2 , t ,1) на ось вектора b  (3, 6, 2) будет
наибольшей? Найдите косинус угла между векторами a и b в этом случае.
4. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a  (1, 4,3) , b  (2,1,5) и
a b .
6
5. Определите, при каком значении m векторы a  i  j  mk , b  j , c  3i  k компланарны и найдите линейную зависимость между векторами в этом случае.
6. При каком значении t проекция вектора a (t 2 ; t;1) на ось вектора b (3;6; 2) будет
наибольшей? Найдите косинус угла между векторами a и b в этом случае.
7. Какой угол образуют единичные векторы a и b , если векторы a  2b и 5a  4b перпендикулярны.
1 2 2 3
8. Вычислите определитель 0 3 2 2 а) разложив его по 2-й строке; б) разложив его по
2 1 3 3
3 2 1 1
третьему столбцу; в) приведя его к треугольному виду.


 3 2
1
1
9. Для матриц A   1 1 и B  1 1 2 найдите: а) AB ; б) BA ; в)  AB  ; г)  BA  .
2
3
1
 2 3 


10. Проверить совместность и определенность системы уравнений и в случае определенности решить ее: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) с помощью обратной матрицы. В случае неопределенности, но совместности системы решить ее методом Гаусса:

 2 x1  x2  3x3  10,
 x1  x2  3x3  2,
а) 2 x1  3x2  2 x3  6, б)  x1  3x2  5 x3  1,

4 x1  3x2  6 x3  18.
 3x1  5 x2  8 x3  1;
 2 x1  x2  3x3  4 x4  2

3x1  2 x2  3x3  2 x4  4
11. Решите систему: а)  x1  3x2  2 x3  x4  1 б)  x1  x2  4 x3  2 x4  2 .
3x1  5 x2  8 x3  9 x4  3

5 x1  3x2  2 x3  2 x4  6
12. Проверить, что векторы a  3i  2 j  4k , b  2i  3 j  5k , c  4i  5 j  k образуют базис
в пространстве всех геометрических векторов и разложить вектор x  6i  2 j  3k по этому
базису.
13. Дана система векторов a1  (0,1, 2,3, 4) , a2  (1, 1,0, 2,3) , a3  (1,1, 4, 4,11) ,
a4  (3, 1, 4, 0,17) . Исследовать на линейную зависимость эту систему векторов. Укажите
какую-либо максимальную линейно независимую подсистему этой системы.
14. Проверить, что оператор A , действующий в пространстве арифметических векторов A3
по правилу Ax  (3x1  2 x2 , x1  2 x2  x3 , 4 x3  2 x1 ) , является линейным. Найдите матрицу этого
оператора
а) в каноническом базисе;
б) в базисе f1  (2, 4,5) , f2  (3, 2, 2) , f3  (4,1, 2) (предварительно убедитесь, что эти
векторы образуют базис).
t
1
15. Проверьте, что оператор Ax(t )   x( s )ds , действующий в пространстве всех многочлеt0
нов, степени не больше 2-х, является линейным. Найдите матрицу этого оператора
а) в каноническом базисе 1, t , t 2 ;
7
б) в базисе f1 (t )  3t  1 , f 2 (t )  t 2  t , f3 (t )  t 2  2 (предварительно убедитесь, что эти
многочлены образуют базис).
16. Найдите, при каком значении  в системе векторов a1  (1,  ,3, 0,1) , a2  (3,1,0, 2,1   ) ,
a3  (1,5, 6, 2, 3) , a4  (5,11, 2  7 , 6, 7) ровно два независимых вектора.
17. Решите задачу на собственные значения и собственные векторы оператора, матрица ко0 0 0 
торого в некотором базисе равна A   0 1 1  . Можно ли матрицу этого оператора приве 0 0 1


сти к диагональному виду?
18. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного
матрицей 9 4 .
12 5


19. Приведите квадратичную форму к каноническому виду 1) методом Лагранжа; 2) методом
собственных значений. Является ли форма положительно или отрицательно определенной?
а) K (x)  9 x12  6 x1 x2  3x22  2 x32 ;
б) K (x)  7 x12  4 x1 x2  7 x22  2 x1 x3  2 x2 x3 .
20. Выясните, являются ли указанные квадратичные формы положительно или отрицательно
определенными 1) методом собственных значений; 2) с помощью критерия Сильвестра:
а) K (x)  2 x12  4 x1 x2  5 x22  x32  2 x1 x3 ;
б) K (x)  3x12  6 x1 x2  4 x22  2 x32  2 x2 x3 .
21. Определите порядок малости функции y  f ( x) относительно функции y  x  1 при
x 1 : а) y  x x 1; б) у  3 1  x .
22. Напишите уравнение касательной к кривой x 
2t  t 2
2t  t 2
y

,
в точке t  1.
1 t3
1 t3
23. Докажите, что функция T ( x)  0.5cos(2 arccos x) удовлетворяет уравнению
(1  x2 )T ( x)  xT ( x)  4T ( x)  0 .
24. Найдите пределы:
3
(77 n  2  1)(26n  2)
8n 2  1  4 16n3  3n  1
3  6  ...  3  2n
lim
lim
а) lim
;
б)
;
в)
;
n 
n 
n 5  10  ...  5  2 n
2002n  3
n12 3  n5  n  1
sin 2 x  sin 6 x
4  3x  2  x
г) lim
; д) lim
.
3
x  2
x 1
2x  
x 1
25. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте эскиз ее графика:
2
1
2
а) y ( x)  9  x ,1 x  0 ; б) y ( x)  (2  xx) , x  0 ; в) y ( x)  4 x  x1, x  0 .
( x  1) , x  0
( x  3) , x  0
e ,x0



26. Найдите производные функций в указанных точках:
а) y  tg 2  3x   2 16  , y(0)  ? ; б) y  3(2 x 1) cos x  e , y(1)  ? ;
в) y  arcsin(2 3 x )  log 4 (3 x  1) , y (1)  ? ; г) y 
д) y 
sin 2 (3 x)
, y(0.5)  ? ;
5x  3
(4 x  2)3  5 3x  32
2 x 2 1
y

arc
cos
x
y
(0)

?
,
;
е)
, y( 2 2)  ? ;



4
5 x  16  (2 x  1)5
8
3
 3 x 2  2 3 x cos  x  4cos 2  x 
ж) y  
 , y (1)  ? ; з) y  log 2 (2log 4 (0.5log 2 x)) ,
x  8cos3  x


y(256)  ? .
27. Найдите пределы с помощью правила Лопиталя:
x
tgx  sin x
ln(tgx)
2 x
2
lim
а) lim x  ln
; б) lim
;
в)
;
г)
.
lim
cos
x 0
x  4 cos 2 x
x 
x 
x3
x
1 x


 
28. Исследуйте функцию с помощью производных и постройте эскиз графика:
2 x2  x 1
а) y 
; б) y  ln(3  x)  x  1 .
x 1
29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  1  28x3  31x2  8x на отрезке
[1; 0,5] .
30. Найдите, при каких значениях a функция y  a  3x  (a  2)  9x  3 возрастает на всей числовой оси.
31. Из всех трапеций, вписанных в окружность радиуса 2, одна из сторон которых равна
диаметру окружности, найти ту, площадь которой максимальна.
32. Постройте эскиз графика функции y  ( x 2  1) x  4 , исследовав ее с помощью производной первого порядка. Найдите асимптоты.
x2  y 2
. Найдите:
x y
а) семейство линий уровня этой функции;
б) уравнение касательной плоскости и нормальной прямой в точке M (1,1,1) .
33. Дана функция z 
 x y
34. Даны функция z  ln 
 , точка M (2,1) и вектор l  4i  3 j . Найдите:
 x y
а) gradz M ; б) z l ; в)  M , n M .
M
35. Прибыль предпринимателя на единицу выпускаемой продукции z зависит от объемов
используемых ресурсов x и y ( x, y  0 ) следующим образом: z  1  x2  2 y 2  2xy  7 x .
Найдите:
а) при каких объемах x и y прибыль будет наибольшей;
б) наименьшее значение прибыли, если предприниматель ограничен в ресурсах
2 y  x  16 , и технологически 0  x  20 , y  1 ;
в) наибольшее значение прибыли, если x  y  8 (методом множителей Лагранжа);
г) на сколько % предприниматель должен увеличить объем ресурса y  1 , чтобы его
прибыль возросла наибольшим образом, если объем ресурса x  4 он увеличил на 10%;
д) приближенное значение z (4, 01;5,97) с помощью дифференциала.
36. Дана функция u  x2  3 y 4 . Найдите:
а) производную по направлению u l
M
, если M (1; 2) , l  4i  3 j ;
9
б) на сколько процентов нужно увеличить ресурс y , так чтобы прибыль u ( x, y ) возросла наибольшим образом, если ресурс x будет увеличен на 10% и текущее значение ресурсов x  1 , y  2 ;
в) на сколько процентов можно уменьшить ресурс x  1 , чтобы после увеличения ресурса y  2 на 0,5% прибыль не изменилась;
г) найдите с помощью дифференциала приближенно значение u (1, 02;0,97) .
37. Найдите точки локального экстремума функции u  4xy  2x2  4 y 2  2x  8 y 11 .
38. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции u  4x2  4xy  2 y 2  2 y в области
D : x  2 y  4 , x  1, y  2 .
39. Методом Лагранжа найдите точки экстремума функции u  3x  2 y при условии
x2  xy  3 y 2  5 .
40. Решите графически задачу оптимизации L  3x  2 y  max , если 4 x  5 y  10 ,
5 x  2 y  5 , 0  x  2 , y  0,5 . Проанализируйте чувствительность ограничений.
41. Найдите соотношения цен трех товаров, если наборы y1  (1,14, 4) и y2  (4,5,11) этих
товаров имеют одинаковую стоимость, которая в два раза больше стоимости набора
y3  (3,3, 2) .
42. Определите тип и найдите общее или частное решение следующих дифференциальных
уравнений:
а) xy cos y  x2  1 , y (1)  0 ;
б) ( x 2  1) ydy  2 xdy  ( x  1) ydx ;
в) (2 x  y )dy  (3x  2 y )dx , y (1)  1 ;
г) xy  y (1  ln y  ln x) ;
2 2
3
2
2
д) ( x y  3 y)dy  ( 3 xy  2 x )dx  0 ;
e) (2 y sin x  3x)dy  ( y 2 cos x  3 y)dx  0 .
43. Доход Y (t ) является суммой инвестиций I (t ) и величины потребления C (t ) :
Y (t )  I (t )  C (t ) . Скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций:
bY (t )  I (t ) . Найдите Y (t ) , если известно, что b  0,5 , C (t )  3,5t  1 , Y (0)  2 .
44. Найдите выражение для объема реализованной продукции y  y (t ) и его значение при
t  5 , если известно, что кривая спроса p ( y )  3  2 y , норма акселерации l  2 3 , норма инвестиций m  0, 6 , y (0)  1 . Функция y (t ) удовлетворяет уравнению y  mlp ( y ) y .
45. Решите задачу Коши y  4 y  f ( x) , y(0)  1 6 , y(0)  0 , если:
а) f ( x)  sin 2 x ; б) f ( x)  x  3 .
46. Найдите общее решение ДУ: а) y IV  3 y  4 y  0 ; б) y IV  4 y  5 y  0 .
47. Для данного линейного ДУ и указанных правых частей найдите общий вид частного решения с неопределенными коэффициентами. Решите задачу Коши для правой части f1 :
а) y  2 y  y  fi ( x) , y (0)  y(0)  0 , f1  xe x , f 2  x 2  3 , f3  3e x , f 4  sin 2 x ,
f5  x  cos x ;
б) y  7 y  8 y  fi ( x) , y (0)  y(0)  1 , f1  sin x , f 2  x3  2 x , f3  x 2e x , f 4  2 x  e2 x ,
f5  ( x  1)e2 x .
10