Математический анализ в схемах» (для учеников 11

Учебное пособие
по математике
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В СХЕМАХ»
(для учеников 11-х классов)
Г. Каменск-Шахтинский
2012г.
Автор: __________________ Мазуренко Н. И.,
учитель первой категории
Пояснительная записка
Данное учебное пособие ставит, прежде всего, своей целью оказать помощь
учителю при изложении материала ученикам, которые изучают дисциплину «Алгебра и начала анализа», и в частности раздел «Математический анализ».
Схемы помогают и ученикам в организации их самостоятельной работы по
овладению системы знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.
Конспекты учащихся, таким образом, имеют определения, общие формулы,
схемы, которые предназначены усилить внимание на главных понятиях, их последовательном размещении и связях.
Такие опорные конспекты помогают учащимся провести логические связи
между основными понятиями через всю тему, что, конечно, помогает учащимся
при подготовки к контрольной работе, сдаче ЕГЭ.
Учебное пособие «Математический анализ в схемах» может быть использован как при изложении нового материала, то есть на уроках ознакомления с новым материалом, так и на практических, при решении задач, а также при актуализации опорных знаний учащихся в начале урока.
Список схем
Тема: « Дифференциальное исчисление»
Схема №1. Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций.
Схема №2.Предел функции. Замечательные пределы.
Схема №3. Производная функции. Правила и формулы дифференцирования.
Схема №4. Геометрический, физический и экономический смысл производной.
Схема №5.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Таблица дифференциалов.
Схема №6. Монотонность функции. Экстремумы функции.
Схема №7. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.
Схема №8. Схема исследования функции.
Тема: « Интегральное исчисление»
Схема №9. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Схема №10. Таблица интегралов.
Схема №11. Методы интегрирования.
Схема №12. Понятие определенного интеграла.
Схема №13. Геометрический смысл определенного интеграла.
Схема №14. Применение определенного интеграла.
Задания к домашней контрольной работе учащихся
(вариант определяется согласно порядковому номеру ученика в журнале)
Схема №1
Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций.
Если задано правило, по которому каждому значению x  R ставится в соответствие единственное значение y , то говорят, что задана функция, и записывают: y  f (x)
x  независимая переменная аргумент ;
y  зависимая перменная функция 
Область определения – множество значений переменной x ,
при которых функция имеет
смысл
аналитический
табличный
Классификация функций
Алгебраические
1. Целая рациональная
функция.
2.
Дробнорациональная
функция.
3.
Иррациональная функция.
Трансцендентные
1.Показательная
функция
2.Логарифмическая функция.
3.Тригонометрические функции.
4.Обратные тригонометрические
функции.
Область значений функции –
множество значений, которые
принимает функция
Свойства функции
графический
Способы задания
функции
словесный
Функция y  f (x) Называется
четной (нечетной), если для любых значений x из области определения выполняется равенство:
f ( x)  f ( x)
( f ( x)   f ( x) )
Функция y  f (x) называется
возрастающей (убывающей) на
промежутке X , если большему
значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными.
Функция y  f (x) называется
периодической с периодом T  0
, если для любого x из области
определения f ( x  T )  f ( x) .
Схема №2
Предел функции. Замечательные пределы.
Предел функции
Число А называется пределом
функции y  f (x) при х, стремящемся к x0 , если для любого сколь
угодно малого положительного числа
  0 , найдется такая окрестность
точки x0 , что для любых х из этой
окрестности выполняется равенство
f ( x)  A   .
Число А называется пределом
функции y  f (x) при х, стремящемся к бесконечности, если для
любого сколь угодно малого положительного числа   0 , найдется
такая окрестность, что для всех х из
этой окрестности выполняется равенство: f ( x)  A   .
lim f ( x)  A
lim f ( x)  A
x 
x  x0
Теоремы о пределах
Теорема 1. Если функция y  f (x) имеет предел, то он единственный.
Теорема 2. Пусть lim f ( x)  A, lim g ( x)  B . Тогда:
x  x0 (  )
x  x0 (  )
1. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x  
x  x  
x  x  
0
0
0
2. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x  
x  x  
x  x  
0
3. x lim
x  
0
0
0
f ( x)
f ( x) x lim
x 0  

, если lim g ( x)  0.
x  x0
g ( x)
lim g ( x)
x  x 0  
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim k  f ( x)  k  lim f ( x) , где k – const.
x  x 0  
x  x 0  
Теорема 4. Предел постоянной величины, равен самой величине.
lim c  c
x  x 0  
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
sin x
x
lim
 1 lim
1
x 0
x  0 sin x
x
Второй замечательный предел
lim (1 
x 
1
x
x  e
lim 1  x  x  e
1
x 
Схема №3
Производная функции. Правила и формулы дифференцирования
Производной функции y  f (x) у точке x0 называется предел отношения приращения функции f  к приращению аргумента x  , где приращение аргумента
стремится к нулю, а предел функции существует.
f x0  x   f ( x0 )
f
lim
 lim
 f x0 
x  0
x  0 x
x
Обозначение: f ( x), y,
dy df ( x)
,
.
dx
dx
Формулы дифференцирования
c  0 , где
с- const.
1
 
cf ( x)   c f ( x)  ,
где с const.
u  v   u  v

u  v 
 uv  vu

 u  uv  vu
  
v2
v
Правила дифференцирования
x 
yx  yu  ux
 
 
 
 
log a x  
Называется производная от
производной первого порядка.
 f ( x)  f x 
Обозначения:
d 2 y d 2 f ( x)
,
dx 2
dx 2
1
x  ln a
ln x   1

x
sin x   cos x
cos x    sin x
tgx 
Производной второго
порядка
f ( x), y,
Элементарных
функций

x n  n  x n 1

1
1
1 
 2
   x
x
 x

1
x 
2 x

ex  ex

a x  a x  ln a
1
cos 2 x
ctgx   12
sin x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
arctgx   1 2
1 x
arcctgx    1 2
1 x
Сложных функций
u n   n  u n 1  u

1
1
1 
   u    2  u
u
u

1
u 
 u
2 u
eu   eu  u
au   au  ln a  u
 
log a u  
1
 u
u  ln a
ln u   1  u

u
sin u   cos u  u
cos u    sin u  u
tgu  
1
 u
cos 2 u
ctgu    12  u
sin u
arcsin u   1 2  u
1 u
arccos u    1 2  u
1 u
arctgu   1 2  u
1 u
arcctgu    1 2  u
1 u
Схема №4
Геометрический, физический и экономический смысл производной
Геометрический смысл
Производная f ( x0 ) является угловым
коэффициентом
касательной (тангенс кута наклона),
проведенной к графику функции y  f (x)
в точке с абсциссой x0 .
f (x)
y
l
f ( x0 )
f ( x0 )  k  tg , где   величина угла между
касательной и положительным направлением оси Ох.

0
x0
x
l : y  y0  f ( x0 )x  x0   уравнение касательной.
Где x0 ; f x0  - координаты точки касания;
f  x0  - производная функции в точке x0 .
Физический смысл первой производной
Физический смысл второй производной
Производная пути по времени st0 
является скоростью точки в момент
времени t0.
Вторая производная пути по времени st0  является ускорением точки
в момент времени t0.
s
 st0   vt0  ,
t  0 t

st0   st0   vt0   at0  ,
lim
где v – скорость материальной точки
где а – ускорение материальной
точки
Экономический смысл производной
Пусть затраты производства однородной продукции заданы функцией
K  K (x) . Заметим, что количеству продукции x  x соответствуют затраты
производства продукции K x  x . Итак, дифференциальное отношение, которое характеризует средний прирост затрат производства, имеет вид:
K ( x) K  x  x   K  x 

. Оно характеризует прирост затрат производства на
x
x
единицу приращения количества продукции.
Предел lim
x 0
K  x 
 K  x  - называется предельными затратами производства.
x
Схема №5
Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Таблица дифференциалов.
Правила нахождения дифференциалов
Дифференциалом функции
dc  0, c  const
y  f (x) в точке x0 называетd (cf ( x ))  c  d ( f ( x ))
ся главная, линейная относительно x часть приращеd (u  v )  du  dv
ния функции.
d (u  v )  du  dv
d (u  v )  vdu  udv
Обозначения: dy  f x x
0
vdu  udv
u
d  
v2
v
Формулы нахождения дифференциалов
Геометрический смысл
дифференциала
Дифференциал функции равен приращению ординаты
касательной от точки x0 к
точке x0  x .
y
f (x)
l
dy
f ( x0 )

0
x0
x0  x x
 
d x n  n  x n 1  dx
 
1
1
d    d x 1   2  dx
x
 x
1
d x 
 dx
2 x
d e x  e x  dx
 
 
d a   a
 ln a  dx
1
d log a x  
 dx
x  ln a
1
d ln x    dx
x
d sin x   cos x  dx
d cos x    sin x  dx
1
d tgx 
 dx
cos 2 x
1
d ctgx   2  dx
sin x
1
d arcsin x  
 dx
1  x2
1
d arccos x   
 dx
1  x2
1
d arctgx  
 dx
1  x2
1
d arcctgx   
 dx
1  x2
x
x
Схема №6
Монотонность функции. Экстремумы функции
Возрастающая функция
Если выполняется
неравенство:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Промежутки монотонности – это интервалы возрастания и убывания функции.
Убывающая функция
Если выполняется
неравенство:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Достаточное условие монотонности
Если производная дифференцированной функции положительна (отрицательна)
в середине некоторого промежутка Х, то вона возрастает (убывает) на этом промежутке:
1. f ( x)  0  f ( x)  возрастает на Х ;
2. f ( x)  0  f ( x)  убывает на Х .
Точка локального максимума
Критические точки Точки, в которых производная
равна 0 или не существует.
y
Точка локального минимума
y
y  f (x)
y0
y1
0
x0 x1
x
y  f (x)
Точка x0 называется точкой строгого
локального максимума
функции
f (x) , если для всех
x  x0 из некоторой  - окрестности точки x0 выполняется неравенство:
y0  y1 .
Экстремумы функции
Это точки максимума и минимума функции
Достаточное условие строгого
экстремума
Пусть функция y  f (x) дифференцированная, и x0 ее критическая точка. Тогда
если при переходе аргумента через точку
x0 производная f x изменяет знак с
плюса на минус, то точка x0 является
точкой локального максимума функции
y  f (x) , если с минуса на плюс – точкой локального минимума, если при переходе через точку x0 знак производной
не изменяется, то в точке x0 локального экстремума нет.
y1
y0
0
x0 x1
x
Точка x0 называется точкой строгого локального
минимума функции f (x) , если
для всех x  x0
из некоторой  окрестности точки x0 выполняется неравенство:
y0  y1 .
Схема №7
Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба
График функции y  f (x)
называется выпуклым в
точке х0, если существует такая окрестность этой точки,
что для всех х, которые принадлежат этой окрестности,
график функции f (x) размещается ниже от касательной к
графику функции в точке х0.
График функции y  f (x)
называется вогнутым в
точке х0, если существует такая окрестность этой точки,
что для всех х, которые принадлежат этой окрестности,
график функции f (x) размещается выше от касательной к
графику функции в точке х0.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости)
Пусть функция в точке х0 имеет непрерывную вторую
производную. Тогда:
 Если f x  0  то график функции является вогнутым в точке х0;
 Если f x  0  то график функции является выпуклым в точке х0;
Точкой перегиба непрерывной функции называется точка, которая делит интервалы, в которых
функция имеет выпуклость и вогнутость.
y
l
f x 
f x0 
0
x0
х
Достаточное условие точки перегиба
Если при переходе через критическую точку x0 вторая
производная изменяет свой знак, то график функции имеет точку перегиба с координатами x0 ; f x0 .
Схема №8
Схема исследования функции
1. Найти область определения функции D y  .
Множество значений переменной х, при которых функция существует.
2. Проверить функцию на четность (нечетность).
 Условие четности функции: f ( x)  f ( x);
 Условие нечетности функции: f ( x)   f ( x).

3. Проверить функцию на периодичность.
Условие периодичности функции: f ( x)  f ( x  T )  f ( x  T ).
4. Найти асимптоты функции.
Прямая l называется асимптотою к кривой y  f (x) , если расстояние от точки М, которая движется по прямой y  f (x) , к прямой l стремится к нулю, когда x  a . Число
а может быть как конечным, так и бесконечным.
Виды асимптот:
 вертикальная асимптота - пряма x  a , если lim f ( x)  ;
xa 0

наклонная асимптота - прямая y  kx  b , если
f ( x)
lim  f ( x)  kx  b   0, k  lim
, b  lim  f ( x)  kx.
x  
x  
x  
x
5. Найти нули функции.
Нули функции – это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс и ось
ординат. То есть нужно решить уравнения: y  0, x  0.
6. Найти интервалы монотонности
функции, точки экстремума.
1. Найти y .
2. Приравнять производную к нулю и
найти критические точки: y  0.
3. Нанести критические точки на числовую прямую и разделить ее на
промежутки. Исследовать знак производной на каждом промежутке.
4. Сделать вывод относительно монотонности функции согласно достаточному условию монотонности.
5. Сделать вывод относительно экстремумов функции согласно достаточному условию экстремума функции. Вычислить значения функции в
экстремальных точках.
7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции, точки перегиба.
1. Найти y .
2. Приравнять вторую производную к нулю и найти критические точки: y  0.
3.Нанести критические точки на числовую прямую и разделить ее на интервалы.
Исследовать знак второй производной на
каждом интервале.
4. Сделать вывод относительно выпуклости (вогнутости) функции согласно достаточному условию выпуклости (вогнутости).
5. Сделать вывод относительно точек перегиба функции согласно достаточного
условию точки перегиба. Вычислить значения функции в точках перегиба..
8. Построить график функции, используя полученные результаты в пунктах 1-7.
9. Найти область значений функции по графику функции E  y  - множество значений y.
Схема №9
Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке
Х, если для каждого х є Х выполняется равенство: F ( x)  f ( x) .
Пример:
Дана первообразная F(x) = х2. Найти ее функцию.
F(x) = х2 является первообразной для функции f(x) = 2х на промежутке
(-  ;  ),
т. о. х є R. F ( x)  f ( x) ; (х2)´ = 2х.
Совокупность всех первообразных F(x) +С функции f(x) на рассмотренном
промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом:
 f ( x)dx  F ( x)  C .
При этом:
функция f(x) называется подынтегральной функцией,
f (x)dx – подынтегральное выражение,
переменная х – переменной интегрирования.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1.
 f ( x)dx  f ( x) ;
2. d  f ( x)dx  f ( x)dx ;
3.
 dF ( x)  F ( x)  C ;
4.
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx ;
5.
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
Схема №10
Таблица интегралов
1.
 0  dx  С.
2.
1 dx  x  C.
x n 1
 C (n  1).
3.  x dx 
n 1
n
dx
 ln x  C ( x  0).
x
4.

5.
x
 a dx 
6.
 e dx  e
7.
 sin xdx   cos x  C.
8.
 cos xdx  sin x  C.
9.
dx
 cos2 x  tgx  C.
10.
 sin
11.

12.
dx
 1  x 2  arctgx  C.
13.

14.
dx
1
xa

ln
 x 2  a 2 2a x  a  C (a  0).
15.
x
16.

ax
 C (0  a  1).
ln a
x
dx
2
x
dx
1  x2
 arcsin x  C.
x k
2
 C.
 ctgx  C.
dx
2
x
 ln x  x 2  k  C.
dx
1
x
 arctg  C.
2
a
a
a
dx
x

arcsin
 C.
2
2
a
a x
Схема №11
Методы интегрирования
Методы интегрирования:
Метод подстановки состоит в
том, что заменяют х на  (t ) , где
 (t ) - непрерывная дифференцированная функция, тогда dx   (t )dt и
получается:
 f ( x)dx x  (t )   f  (t ) (t )dt.
При этом получают искомую
функцию, которая выражена через
переменную t. Для того, чтобы вернуться к переменной х необходимо
заменить t значением t   (t ) , которое находится из соотношения
х =  (t ) .
Эту формулу используют тоже
и в обратном направлении:
 f  (t ) (t )dt t  (t )   f ( x)dx.
Метод интегрирования по
частям.
Интегрируя обе части уравнения d (uv)  udv  vdu , имеем
или
 d (uv)   udv   vdu
uv   udv   vdu ,
откуда имеем:
 udv  uv   vdu .
Благодаря этой формуле нахождение интеграла  udv приводится к
нахождению интеграла  vdu , который может оказаться или более простым, или табличным.
где t   (t ) - функция, обратная к
функции х =  (t ) .
Найти интеграл методом подстановки:


t  1  x 2 ;



xdx
2
 1  x 2 = dt  (1  x )dx  2 xdx; =


1
dx   dt

2х


1
3
x
dt
1
2
1
1
t
 2 x   t 2 dt  
C 
 t
2
2 3
2
1
1
  t t  C   1  x 2 1  x 2  C.
3
3


Применяя метод интегрирования
по частям, найти неопределенный
интеграл:
u  x dv  cos xdx
x
cos
xdx



du  dx v   cos xdx  sin

 x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C.


x

Схема №12
Понятие определенного интеграла
Определенный интеграл:
Понятие определенного интеграла.
y  f (x)
у
x 0  a  1 x1
xi 1  i xi
b  xn
х
Пусть функция f (x) определена на отрезке
a, b,
a  b . Разобьем этот отре-
зок
на
произвольных
частей
точками
n
a  x0  x1  x2  ...  xi 1  xi  ...  xn  b . В каждом из полученных частичных
отрезков xi 1 , xi  выберем произвольную точку  i
( xi 1   i  xi ) и составим
сумму:
n
  f (1 )x1  f ( 2 )x2  ...  f ( n )xn   f ( i )xi ,
(1)
i 1
где xi  xi  xi 1 . Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функ-
ции f (x) на a, b .
Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка разбиения:
  maxxi   0 .
1 i  n
Определение. Если существует конечный предел І интегральной суммы
(1) при   0 , тогда этот предел называется определенным интегралом от
функции f (x) на отрезке a, b и обозначается следующим образом:
b
I   f ( x)dx или
a
b

n
f ( x)dx  lim  f (i )xi .
 0
a
i 1
В этом случае функция f (x) называется интегрированной на a, b .
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и функция F (x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, тогда имеет место формула Ньютона
b
– Лейбница:
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
Свойства определенного интеграла.
a
1.
 f ( x)dx  0.
2.
a
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx.
3. Каковы бы не были б числа, a , b, c всегда имеет место равенство:
b

a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
b
b
a
a
4.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx.
b
b
b
a
a
a
5.  ( f ( x)  g ( x)) dx   f (x)dx   g ( x)dx.
Схема №13
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Определение. Криволинейной трапецией называется
Фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции, х a, b, a  b , прямыми х = а, х = b и отрезком оси ох.
у
1.
2.
3.
4.
х
b
a
План вычисления площади криволинейной трапеции:
Схематический чертеж.
Представление искомой площади как суммы или разности
площадей.
Записать каждую функцию в виде y = f(x).
Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции или
площади искомой фигуры.
Площади фигур.
у
у
S
b
a
b
a
х
х
S
b
b
S   f ( x)dx
S
 f ( x)dx
a
a
Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как
сумму или разность криволинейных трапеций.
m
n
S1
S2
a
b
S = S amb – S anb
S = S1 + S2
Формулы
объемов
тел
b
оси Ох
V    y 2 dy ;
a
вращения
b
оси Оу
V    x 2 dx
a
около:
Схема №14
Применение определенного интеграла
Применение определенного интеграла к решению физических задач
Нахождение пути, который прошло тело при прямолинейном
движении.
Скорость прямолинейного движения тела:
v
ds
, то есть ds  vdt;
dt
 ds   vdt;
s   vdt.
Пример. Скорость тела задана уравнением v  6t 2  1 . Найти уравнение движения, если за время t  3 с. Тело прошло путь s  60 м.
Решение:
s   (6t 2  1)dt  2t 3  t  C ; 60  2  33  3  C; C  3;
Ответ: s  2t 3  t  3.
Вычисление работы силы, при прямолинейном движении тела.
Работа переменной силы вычисляется по формуле:
b
a, b - отрезок пути.
A   f ( x)dx.
a
Пример. Какую работу осуществляет сила в 10 Н при растяжении пружины на 2 см?
Решение.
По закону Гука сила F, которая растягивает пружину, пропорциональна растягиванию пружины, т. е. F  kx . Имеем: k 
Н м. Т. е. F  500x.
0, 02
A

0
500 xdx 
10
 500
0,02
500 x 2 0,02
 0,1 (Дж).
0
2
Определение силы давления вещества на вертикально размещенную пластинку.
Из физики известно, что сила Р давления вещества на горизонтально размещенную площадку S, глубина погружения которой
равна h, определяется по формуле P  9,81hS , где  - плотность веb
щества.
P  9,81  xydx.
a
а – верхний предел, b - нижний предел;
х – глубина погружения пластины; у – ширина пластины.
Пример. Вычислить силу давления воды на стенку коробка,
длина которого 20 м, а высота 5м (считая, что коробка доверху заполнена водой).
Решение: у=20, а=0, b=5 (м),   1000 кг м3 .
5
P  9810 20 xdx  9810  20
0
x2 5
 2,45  106 (Н).
2 0
Домашняя контрольная работа
для учащихся 11-х классов
по разделу «Математический анализ»
Г. Каменск-Шахтинский
2012г.
1. Найти производную функции:
1) y  x  2x  3
4) y 

2) y  x  x  5
4
x3  3x 2
3x  1
5) y 
2

sin x
x
6) y  x 2 
1 3
x  2x2  x
8) y  3
x4  1
7) 1) y  x3  2 x  sin x
x 3

3 x
11) y 
13) y 
cos x
1  sin x
14) y 
16) y 
6  3x
x
17) y  tgx  ctgx  5 sin x
19) y  x  2 x  x  1
22) y 
2
1  x2
3x
3x 2  4 x  1
2x  1
8
y  8x  9 x 2  15x 4  3
25) y 
9) y 
3x 2  4 x  1
2x  1
10) y 
3
x2  3
3) y 
x 1
23) y 

x  x2  2x  5
18) y  x  x 4  5 x 
3
2 x  x3
2x
26) y  x  2 x 4  3 cos x 
28) y  12 x 4  47 x 5  4 x  3
2. Исследовать функцию и построить ее график
x4
 2x2
1. y 
4
2. y  x3  2 x 2  3
3. y  4 x 2  x 4  3
1
1
4. y   4 x  2.5 x 2  x 3
3
3
3
5. y  3  3x  x
6. y  x3  4 x 2  3x  6
7. y  x 4  8 x 2  9
1
8. y  x 2  2
2
9. y  x 2  6 x  5
2 x
3x  5
15) y 
20) y  u  u  1 2u  1
2

x  x 1
x2  2
x2  2
12) y 
x3 6

6 x3

21) y 
x2
arctgx
24) y 
27)
x2  x  2
x2

1
10. y   x 2  4 x  3.5
2
4
11. y  x
1
12. y  x 3  3 x  2
4
1 3
13. y  x  4
3
1
14. y   x 3  2 x 2  1
3
1 4
15. y  x  8 x
4
16. y  x3  4 x 2  3x  6
x4
 2x2
4
1
18. y   x 3  2 x 2  1
3
1
19. y  x 3  3 x  2
4
20. y  x 4  8 x 2  9
21. y  2 x 2  6 x
22. y  x3  2 x 2  3
1
23. y  x 2  2
2
1
24. y  x 4  8 x
4
25. y  4 x 2  x 4  3
26. y  x 2  6 x  5
1
1
27. y   4 x  2.5 x 2  x 3
3
3
1 2
28. y   x  4 x  3.5
2
17. y 
3. Найти неопределенные интегралы: непосредственным интегрированием
и методом подстановки
1
а) 
3tg 2 x  4
dx ;
sin 2 x
2
б)  3 3  7 x dx ;
4
а) 
x
б) 
sin x
dx ;
1  3 cos x
3
2
а)  2 x e x dx ;
б) 

 3 x  2 dx
5
dx
;
2  3x
x3  8
dx ;
x 2  2x  4
cos x
dx ;
б) 
3  sin x
а) 
3
6
1
 1
 5  dx ;
а)  
 x x 
dx
б) 
;
5x  2
а)  3 x e x dx ;
б)  sin 2 x cos x dx ;
7
x 4  2x 2  1
dx ;
а) 
x2
8
б)  e  x x 2 dx ;
3
10 а) 
x9 1
dx ;
x3
11
16
14
5x 8  1
dx ;
а) 
x4
x2 1
а)  2 dx ;
x
17
cos x
dx ;
3
x
 sin
а)
 8 sin x  9 cos x dx ;
б)

dx
x
sin
3
2
;

 5 sin x  2 cos x dx
б)
20
б)
15 а)
б)
23
б)
18
dx
 x1  ln x  ;
 5

а)   2  8 x 4 dx ;
x


2
3  2 x  sin 2 x
dx ;
а) 
sin 2 x
e arctg x
б) 
dx ;
1 x2
12 а)
2
2 sin x
dx ;
б) 
cos 2 x
22
а)
б)  e x  xdx ;
1 
1 1
а)    2  3 dx ;
x 
x x
9
б)  t  sin t 2  1 dt ;
б)  e sin x  cos x  dx ;
б)
19
2 x  3x 3
 5x 3 dx ;
1 

а)   x 4   1dx ;
x 


ex
dx ;
б)  x
e 1
[13 а)
32 x  2 x
dx ;
а) 
4x
e x
dx ;
б) 
x
21
3  2ctg 2 x
 cos 2 x dx ;

5  4 cos 2 x
 cos 2 x dx ;
x
x4
5
7
dx ;

e x 

dx ;
а)  e 1 
2 
cos
x


cos x
dx ;
б) 
x
x
а)
1  sin 3 x
 sin 2 x dx ;
1
x
x
2 sin x  1  cos xdx ;
3 x dx
б)  2 ;
x
dx ;
а)
1


  sin x  2 cos x dx ;
б)  sin( 3x  5)dx ;
24
а)
 2
5
  1  x 2  1  x 2

б)

2 x  5 dx ;

dx ;


25
1


а)   x 3  3  3 x 2 dx
x


;
e x dx
б) 
;
4  ex
 3

1
28 а)   x 2  2 x  3 x 2 dx
2


sin x
б) 
dx
1  cos x 3
26
2 x
dx
a) 
x
б) 
x
xdx
2

1
2
27
3x 2  2
dx
а) 
x
б)  e x 1  e x dx