«Наибольшее и наименьшее значения функции». Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. МБОУ СОШ №3 Учитель математики Солдатова Л.В. 2012-2013 учебный год. 1 Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции». Слайд 2. Цель урока: проверить усвоение учащимися исследования функций и построения графиков; ввести правило нахождения наибольшее и наименьшее значения функции; сформировать у учащихся умение применять алгоритм нахождения наибольшее и наименьшее значения функции; рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений функции на примерах; развивать логическое мышление; воспитывать культуру речи учащихся, умение наблюдать, обобщать и делать выводы. Слайд 3. Задачи урока: закрепить вычислительные навыки; продолжить работу над математической речью; развивать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний; продолжить работу над развитием самостоятельности мышления, мыслительных операций: сравнения, анализ, синтез, обобщение, аналогия; развивать творческие способности учащихся. Тип урока: комбинированный. Оборудование: учебник Колмогорова А.Н. алгебра и начала анализа для 10-11 классов; справочник для 10 класса; ПК учителя, мультимедийный проектор; Презентация по теме: наибольшее и наименьшее значения функции. 2 План урока: I. организационный момент; II. постановка цели; III. проверка ранее изученного материала (самостоятельная работа); IV. объяснение нового материала; V. закрепление изученного материала; VI. итог урока; VII. домашнее задание. Ход урока: I. II. Организационный момент: приветствие; собрать домашнюю работу на проверку. Постановка цели. o Проверить умение исследовать функцию с помощью производной и построения графика. o Познакомиться с правилом нахождения наибольшее и наименьшее значения функции научиться применять его при решении заданий. Слайд 4. III. Самостоятельная работа. Собрать на проверку. Вариант 1. Вариант 2. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: 8 16 У(х)=2х4 + х3 У(х)=4х4 − х3 3 3 Слайд 5. IV. Объяснение нового материала. 1. Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 2. Теорема Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [а; в ] 3 Функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка [а; в ], в которых f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [а; в], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f. Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; в], критических точек. Тогда она возрастает (рис.112) или убывает (рис.113) на этом отрезке, и, значит наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; в ] - это значения в концах а и в. Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; в ] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; в] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и в. Слайд 6. Здесь возможны варианты – некоторые из них представлены на рис. 1-3. (Слайды). Смотрите на рис. 1 и наибольшее и наименьшее значения достигаются внутри отрезка. На рис 2 наименьшее значение достигается внутри отрезка, а наибольшее – в конечной точке. На рис.3 и наибольшее и наименьшее значения достигаются в концевых точках. Рис.1 Рис. 2 Рис.3 у у у У наиб. У наиб. У наиб. У наим а Унаими в х а в х а в х У наим. м. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке. В этом случае ничего 4 удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно является экстремумом, а экстремум достигается только в критической точке. Таким образом, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Слайд 7. 3.Применяя при решении прикладных задач по следующей схеме: задача переводится на язык функции. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x); средствами анализа ищется наибольшее и наименьшее значения этой функции на некотором промежутке; выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи), имеет полученный (на языке функций) результат. Слайд 8. 4.Подводя итог сказанному, запишем в тетрадях: На отрезке [а; в]. Текстовые задачи (открытый промежуток). 1) f‘(x₀); 2) f‘(x₀) = 0 критические точки; 3) Выбираем х₀ принадлежащие [а; в]; 4) Определяем f(a), f(b), f(x₀); 5) выбираем наибольшее и наименьшее значения. 6) Ответ: max f(x)=f(x₀)=? min f(x)=f(x₀)=? 1) Задаем переменную х по условию задачи; 2) Задаем функцию по условию задачи; 3) Определяем интервал для х; 4) f‘(x₀); 5) f‘(x₀) = 0 критические точки; 6) Выбираем х₀ принадлежащие (а; в); 7) определяем знаки производной в отрытом промежутке. 8) Ответ: max f(x)=f(x₀) = ? min f(x)=f(x₀) = ? [а; в] [а; в] [а; в] [а; в] 5 Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а; в ]. 1) найти производную 𝑓 / (x); 2) Найти критические точки функции, т.е. в которых 𝑓 / (x)=0 или 𝑓 / (x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а; в ]. 3) Вычислить значения функции у = f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и в; выбрать среди этих значений наименьшее это будет у наим. и наибольшее у наиб , которые обозначают и так: max y(x) и min y(x). [а; в ]. [а; в ]. Слайд 9. 5.Проиллюстрируем данный алгоритм на примере решение на доске. Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =𝑥 3 − 3𝑥 2 − 45х +1на отрезке [−4; 6 ]. D(y) =R. 1) у/ = 3𝑥 2 − 6х − 45; 2) Производная существует при всех значениях х, критические точки найдем из условия у/ = 0; 3𝑥 2 − 6х − 45 = 0; 𝑥 2 − 2х − 15 = 0; х1 = −3 ∈ [−4; 6 ]. х2 = 5 ∈ [−4; 6 ]. Х -4 у 69 -3 82 5 -174 6 -161 Таким образом, унаим.=-174 (достигается в точке х=5); Унаиб.=82 (достигается в точке х = -3). Ответ: max y(x) = у(-3)=82 и min y(x) = у(5)=-174. [−4; 6 ]. [−4; 6 ]. Слайд 10. Пример 2. №313 учебника. 6 Кусок проволоки длиной 48м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Пусть хм ширина прямоугольника, тогда (24-х) м длина прямоугольника. х∈ (0; 24). Найти S наиб. S (х)= х(24-х) = 24х-𝑥 2 . S / (х)=24-2х; S / (х)=0 при х=12∈ (0; 24). / S (х) S (х) S (х) (0; 12) + ↗ возрастает 12 144 мах (12;24) ↘ убывает Ответ: наибольшее значение площади прямоугольника 144 м2 . V. Закрепление изученного материала. 1. №:305(а; б) на доске. Слайд 11-12. 2. Самостоятельная работа в парах. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =1/2𝑥 4 − 2х +3/2 на отрезке [−1; 2 ]. № 312 (задача). VI. Итог урока. Выборочно оценить самостоятельную работу. Еще раз повторяем по таблице два различных случая отыскания наибольшего и наименьшего значения функции. VII. Домашнее задание: п.25 №305(в, г), 306(а), 311. 7