Треугольник, точка и отрезки, параллельные сторонам

1
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Гимназия №1567
Проектная работа по геометрии.
Треугольник, точка и отрезки, параллельные сторонам
треугольника.
Автор работы: Печникова Анастасия Алексеевна
9 биолого - математичесеий класс
Научный руководитель: Такуш Елена Валентиновна, заместитель
директора по учебной работе,
преподаватель математики
Москва 2012
2
Оглавление
Тезисы………………………………………………………………..3
Глава 1. ………………………………………………………………5
Глава 2……………………………………………………………….19
Вывод..................................................................................................23
3
Тезисы
Актуальностью проекта является возможность личностного развития
навыков доказательства нового вида теорем и нахождения закономерностей
между геометрическими фигурами.
Цель проекта состоит в том, чтобы найти метрические соотношения между
площадями
треугольников,
возникающих
при
рассмотрении
прямых,
проведенных параллельно сторонам треугольника, через точку на стороне
треугольника и точку внутри треугольника и площадью данного треугольника.
Объектом исследования является раздел математики – геометрия.
Предметом исследования
являются площадь и отрезки в произвольном
треугольнике.
Гипотеза исследования: соотношения между площадями треугольников,
возникающих при рассмотрении прямых, проведенных параллельно сторонам
треугольника, через точку на стороне треугольника и точку внутри треугольника
зависят от площади данного треугольника и не зависят от положения точки.
Задачи исследования:
 Изучить литературу (список указан в конце работы)
 Рассмотреть точку на стороне произвольного треугольника, и проходящие
через неё прямые, параллельные другим двум сторонам треугольника.
Рассмотреть площади получившиеся треугольники и
их и связь с
площадью данного треугольника.
 Рассмотреть точку внутри произвольного треугольника, и проходящие
через неё прямые, параллельные сторонам треугольника. Рассмотреть
площади получившиеся треугольники и их и связь с площадью данного
треугольника.
 С помощью доказанных фактов
рассматриваемой ситуации.
найти другие закономерности в
4
Методологическую основу исследования составляют:
 Знаковое моделирование
 Анализ и синтез
 Сравнение
 Обобщение
 Определение
Практическая значимость работы состоит в возможности решения нового вида
задач. Результаты работы сформулированы в виде задач, которые могут
применяться в качестве учебных задач на уроках геометрии
5
Задача 1.
На стороне ВС треугольника АВС взята произвольная точка Х. Через точку
проведены прямые, параллельные сторонам АВ и АС и пересекающие их в точках
Е и D, соответственно. Площади треугольников ХВЕ и ХDС равны,
соответственно, S1 и S2. Найдите площадь треугольника АВС.
S1
S2
Решение.
Рассмотрю треугольники
углам.
Тогда
ХВЕ и ХDС. Эти треугольники подобны по двум
6
Рассмотрю отношение площадей треугольников АВС и ХВЕ:
Преобразую выражение:
Получаю равенство:
7
Задача 2
Поместим точку Х внутрь ΔАВС и рассмотрим задачу, аналогичную задаче 1.
Через точку Х, которая лежит внутри ΔАВС, проведены прямые, параллельные
сторонам. Эти прямые образуют со сторонами три треугольника, площади
которых S1 , S2 и S3. Найдите площадь Δ АВС.
Решение.
АС)
Рассмотрю отношения площади треугольника ABC к площадам треугольников
DFX, HXG и XIE:
Выражу X, Y и Z:
Найду AC:
8
Выражу S:
Получу равенство:
9
Задача 3
Найдите связь между площадями треугольников в задаче 2 и параллелограммов,
образовавшихся внутри данного треугольника.
Обозначу площади параллелограммов за F1; F2; F3
Выражу площадь F1 параллелограмма
10
Получу равенство
Выражу площадь F2 параллелограмма
Выражу площадь F3 параллелограмма
Получу равенство между площадами параллелограммов и треугольников:
11
Задача 4
Рассмотрите высоты «внутренних» треугольников и одну из высот данного
треугольника, такие, что все указанные высоты параллельны между собой.
Найдите метрические соотношения между ними.
1) Рассмотрю ∆FKX~∆ABC (по двум углам)
Следовательно:
12
2) Рассмотрю ∆XLG~∆ABC (по двум углам)
Следовательно:
3) Рассмотрю ∆WXZ~∆ABC (по двум углам)
Следовательно:
3) Рассмотрю сумму
Так как по доказанному в задаче 2 мы знаем, что
, то
13
Задача 5
Рассмотрим отрезки а1, b1, с1, проходящие через точку Х и параллельные
соответственно сторонам а, b, с. Постарайтесь найти метрические соотношения
между этими отрезками.
F3
F1
F2
Решение.
Найду метрические соотношения между отрезками:
(по двум углам)
14
(по двум углам)
Найду отношение между отрезками и площадьми треугольников:
15
Задача 6
Обозначим аi, bi , ci отрезки, получившиеся на сторонах а, b, с при пересечении
их прямыми, параллельными сторонам и проходящим через точку Х.
Можно ли утверждать, что а1b1c1 = а2b2c2 = а3b3c3?
Так как треугольники ABC; FXZ; QXH; XNK- подобны, докажу при помощи
подобия
16
4)
Перемножу коэффициенты и получу:
Аналогично для коэффициентов подобия этих же треугольников с
отрезками:
Преобразую получившиеся выражения :
Сравню:
Следовательно
Аналогично
Значит, условие а1b1c1 = а2b2c2 = а3b3c3 выполняется тогда, когда
равносторонний
-
17
Задача 7
Рассмотрите случай, когда точка Х является центроидом треугольника АВС.
Что можно сказать/доказать для сторон треугольника? Для отрезков прямых,
лежащих внутри треугольника? Для образовавшихся треугольников?
Решение.
1)Проведу прямую MN, через центроид X , параллельную ВС.
Так как AX- отрезок медианы, а MN параллельна BC то MX=MN ( по свойству
медианы треугольника.)
Из этого следует, что отрезки прямых, лежащие внутри треу-ка, точкой Х
делятся пополам.
2) т.к. центроид делит медиану в отношении 2:1 и из п.1 следует, что
по теореме Фаллеса
18
каждая сторона треугольника разбивается параллельными сторонам прямыми на
3 равные части.
3)т.к. AQXK; NXZC; XMBS- параллелограммы, то AQ=XK=XS=QM=MB;
QX=XZ=AK=KN=NC; MX=XN=BS=SZ=ZC.
Следовательно ∆QMX=∆SXZ=∆KXN по трем сторонам.
19
Этап 2
Задача 8
Для выполнения этого задания, необходимо познакомиться с неравенством
Коши.
В обозначениях задачи 2 оцените суммы: S1 + S2 + S3
Так как :
,
То:
20
Задача 9
Где F- площадь параллелограммов, S- площадь треугольников
Решение.
Неравенство Коши гласит:
Следовательно:
В задаче 3 я доказала, что:
Значит:
21
Заключение.
В своей работе я нашла доказательства теорем школьного курса
геометрии, отличные от доказательств, предложенных в учебнике. Были
рассмотрены:подобные треугольники, теорема об отношении площадей
подобных треугольников, неравенство Коши, теорема Фаллеса. Полученные
результаты могут быть использованы на уроках геометрии. Приемы,
рассматриваемые при доказательстве теорем, можно применять при решении
задач. В процессе выполнения работы я научилась находить различные подходы
к решению задачи, что поможет мне при подготовке к экзаменам.
Главный вывод, который можно сделать из результатов моей работы,
состоит в том, что существует множество отношений между точками и
отрезками в треугольнике . При нестандартном подходе при рассмотрении
условия, можно найти несколько способов решения задачи, применяя новые
формулы.
Продуктом моей работы являются новые доказательства теорем школьного
курса геометрии, файл в формате Word, презентация.
Результатами моей работы стали не только доказанные теоремы, но так же
я расширила свои знания о таких программах, как Microsoft Word, Math Type,
Power Point.
Полученные знания помогут мне находить интересные методы при решении
геометрических задач.
 1)Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс: Учебное пособие
для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/Л. С.
22
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадошцев, И. И. Юдина.-М.:Просвещение,
1997.
 2)Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс: Учебное пособие
для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/Л. С.
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадошцев, И. И. Юдина, С. А. Шестаков.М.:Просвещение, 1998.
 3)Факультативный курс по математике:Учебное пособи для 7-9 классов
средней школы/Сост. И. Л.Нидольская.-М.:Просвещение,1991.
 5)Геометрия 7-9 класс.:Учебник для общеобразовательных учреждений - 7е издание/Шарыгин И. Ф.-М.:Дрофа, 2004.
 6)Учебник для 7-9 класса средней школы/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.
Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. - 4-е издание.-М.: Просвещение, 1994.
Эта работа дала мне возможность лучше понимать многие теоремы и
отношения. Полученные формулы помогут нам находить интересные методы
при решении геометрических задач.