Изучение зависимости показателя 4.4

4.4 Изучение зависимости показателя
преломления призмы от длины волны
Цель работы: изучение дисперсии света и определение
зависимости показателя преломления призмы от длины
световой волны.
Дисперсия света
В вакууме скорость распространения всех электромагнитных
волн постоянна. Во всех остальных средах скорость
электромагнитных волн зависит от частоты. Это проявляется в
наблюдаемой на опыте зависимости показателя преломления
вещества от частоты или от длины волны - дисперсии света.
Для всех прозрачных веществ с уменьшением длины волны
показатель преломления увеличивается, так что производная
dn
 0 (0 – длина волны в вакууме). Такая дисперсия
d 0
называется нормальной.
Вблизи области сильного поглощения имеется аномалия:
показатель преломления возрастает с увеличением длины
волны. Такая зависимость n от  0 называется аномальной
дисперсией. Лучше всего аномальная дисперсия наблюдается в
газах вблизи линий поглощения. Если вещество прозрачно для
видимого света, то область поглощения, а, следовательно, и
область аномальной дисперсии лежит не в видимой, а в
ультрафиолетовой или инфракрасной области.
Уравнения Максвелла не содержат никаких атомномолекулярных констант, поэтому только на их основе нельзя
дать объяснение дисперсии света. Для этого необходимо
привлекать дополнительно представления о строении вещества.
Дисперсия света возникает в результате вынужденных
колебаний входящих в состав атомов заряженных частиц –
электронов и ядер (колебаниями последних обычно
пренебрегают ввиду их большой массы) – под действием
переменного поля электромагнитной волны. Колеблющиеся
262
заряды, во-первых, передают энергию среде (поглощение волн),
а во-вторых, двигаясь с ускорением, излучают новые волны.
Объяснить само существование атомов на основе чисто
классических представлений невозможно, это было сделано
только в рамках квантовой физики. Поэтому строгая теория
дисперсии в конечном счете должна основываться на квантовых
законах.
Однако в отношении дисперсии и поглощения света атомы и
молекулы часто ведут себя так, как если бы среда представляла
собой набор колеблющихся частиц с различными собственными
частотами и коэффициентами затухания, подчиняющихся
классическим уравнениям движения Ньютона. Но собственные
частоты и коэффициенты затухания не могут быть вычислены
на основе классической модели, вычисление этих постоянных и
раскрытие их физического смысла возможно только в квантовой
теории.
Теоретическому рассмотрению лучше всего поддается
дисперсия в газах, т.к. в этом случае приближенно можно не
учитывать сложных взаимодействий атомов и молекул среды
друг с другом.
Классическая теория дисперсии света в газах
Все электроны, входящие в атом, можно разделить на
валентные (в оптике они называются оптическими), и электроны
внутренних оболочек. На излучение и поглощение света
оказывают влияние только оптические электроны. Внутренние
электроны сильно связаны с ядром, поэтому их колебания
сравнительно слабым полем световой волны практически не
возбуждаются. Колебаниями положительно заряженных ядер
также можно пренебречь, так как их масса много больше массы
электронов, и поэтому они имеют гораздо меньшие ускорения и
гораздо слабее излучают.
Для простоты предположим, что в атоме имеется всего один
оптический электрон. Этот электрон можно представить как
размазанное в пространстве отрицательно заряженное облако,
центр которого в состоянии равновесия совпадает с
положительным ядром.
263
Под воздействием электрического поля волны этот электрон
(это облако) будет совершать колебания, которые описываются
2-м законом Ньютона:




mr  kr  gr  eE ,
(1)

kr – сила, действующая на
где m – масса, e – заряд электрона,
электрон со стороны ядра и стремящаяся вернуть электрон в
положение
равновесия,
которую
можно
считать
пропорциональной смещению электрона из этого положения
(квазиупругая сила).
Второе слагаемое представляет собой силу трения, g –
коэффициент сопротивления среды. Конечно, на электрон
никаких сил трения, подобных механическим, не действует.
Однако электрон при колебаниях движется с ускорением и,
следовательно, излучает и поэтому уменьшает свою энергию.
Формально это можно учесть, введя так называемую силу
радиационного
торможения, которую можно считать
пропорциональной скорости электрона, как и силу вязкого
трения при механических колебаниях.

Поле E , действующее на электрон,
вообще говоря,
отличается от среднего макроскопического поля, входящего в
уравнение Максвелла, но в случае разреженных газов этим
можно пренебречь.
В простейшем случае пренебрежем радиационным
затуханием. Тогда, разделив на m, мы приведем уравнение (1) к
виду:

r   2 r  e E ,
0
m
где 02 
k
, 0 – частота собственных колебаний электронаm
осциллятора.
Предположим, что электрическое поле представляется
плоской волной, распространяющейся вдоль оси х:
E  E0 cos  t  k x  .
264
Пусть электрон находится в точке с координатой х = 0, тогда
уравнение движения перепишется в виде:

r  2 r  e E cos t
0
0
m
(2)
Частное решение уравнения (2), описывающее установившие
вынужденные колебания электрона, имеет вид:
 
r  r0 cos t 
em 
E,
02   2
что можно проверить непосредственной подстановкой.
Атом в электрическом поле приобретает дипольный момент



e2 m 
p  er  2
E



E
0
,
0   2
где  0 – электрическая постоянная, появляющаяся в системе СИ.
Таким
образом,
наведенный
дипольный
момент
пропорционален
напряженности
поля.
Коэффициент
пропорциональности  называется поляризуемостью атома, в
нашем приближении она определяется формулой

e2 0 m
.
02  2
Если N – число атомов в единице объема, то вектор
поляризации среды равен:



P  Np  N0 E ,
а электрическая индукция

 

D   0 E  P  0 E .
Отсюда
N e2 m
  n  1  N  1 
.
 0 02  2
2
265
(3)
Таким образом, диэлектрическая проницаемость вещества
зависит от частоты света . Показатель преломления вещества
n .
График
зависимости n2 от
, построенный по
формуле
(3),
изображен
пунктирной кривой
на рис. 1. При
переходе
через
1
0
собственную
0
частоту 0 функция

 = n2
()
претерпевает
бесконечный
скачок.
Это
Рис. 1
связано с тем, что
мы не учли поглощения света осциллятором. При учете его
вместо бесконечного разрыва вблизи собственной частоты на
графике будет плавный, хотя и аномальный ход кривой.
n2
Ход лучей в призме
Рассмотрим прохождение лучей через прозрачную призму
(рис. 2). Луч GB преломляется на левой грани призмы и входит
в призму под меньшим углом, чем угол падения. В точке С луч
вторично преломляется и выходит из призмы. Угол отклонения
луча от первоначального направления равен .
Выразим его через преломляющий угол призмы А,
показатель преломления n и угол падения i. Из рисунка видно,
что   i  j   i  j  , где i – угол падения на левую грань, j –
соответствующий угол преломления, j  – угол падения на
правую грань изнутри призмы, i – соответствующий угол
преломления, он же угол выхода луча из призмы.
266
L
А

H
i
C
B
j
j
i
D
F
G
Рис. 2
Так как j  j   A , то угол отклонения   i  i  A .
Оказывается, что при симметричном ходе лучей через
призму, когда углы i и i равны друг другу, угол отклонения 
имеет наименьшее значение min. Тогда угол падения можно
выразить следующим образом: i 
 min  A
A
, а j  j'  .
2
2
Записав закон преломления на границе раздела двух сред –
стекла призмы и воздуха, мы получим: n 
n
sin
A   min
2
.
A
sin
2
sin i
или:
sin j
(4)
Таким образом, чтобы определить показатель преломления
призмы, необходимо измерить ее преломляющий угол и угол
наименьшего отклонения луча данной призмой.
267
Рис. 3
268
Ход работы
В данной лабораторной работе на экране компьютера моделируется разложение света в спектр
при помощи призмы. В ходе опыта исследуется зависимость показателя преломления призмы от
длины волны падающего света. Кадр из работы приведен на рис. 3.
1. Измерить преломляющий угол призмы.
Для измерения преломляющего угла призмы воспользуйтесь виртуальным транспортиром.
Переместите транспортир в нужную область экрана, удерживая нажатой левую кнопку мыши.
Измерение преломляющего угла призмы можно проводить только тогда, когда «ползунок в
нижней части экрана находится в крайней левой позиции.
2. Определить угол наименьшего отклонения спектральной линии красного цвета.
Используя «ползунок», расположенный в нижней части экрана, поворачивайте призму со
столиком до тех пор, пока луч данного спектрального цвета будет отклоняться от падающего на
призму белого луча на наименьший возможный угол – угол наименьшего отклонения. При
помощи транспортира измерьте угол наименьшего отклонения для данной длины волны.
3. Определить угол наименьшего отклонения оставшихся спектральных линий.
Выполните для оставшихся спектральных линий последовательность действий, приведенную в
п. 2.
4. Вычислить показатель преломления для каждой длины волны. Для этого воспользуйтесь
формулой (4).
5. Построить график зависимости показателя преломления от длины волны.
Для этого выберите масштаб на координатных осях так, чтобы график занимал всю площадь
листа.
6. Определить дисперсию призмы для трех разных длин волн.
Определите дисперсию призмы для трех разных длин волн по графику зависимости n().
Дисперсия графически представляет собой тангенс угла наклона касательной, проведенной к
данной точке кривой.
7. Определить среднюю дисперсию для данной призмы.
Среднюю дисперсию для данной призмы определите как отношение разности показателей
преломления, соответствующих максимальной и минимальной длинам волн, к разности длин этих
волн (считать, что к = 0,75 мкм, ф = 0,4 мкм).
Контрольные вопросы
Наблюдается ли дисперсия электромагнитных волн в вакууме?
Какая дисперсия наблюдается в видимом свете для прозрачных в оптическом диапазоне
веществ: нормальная или аномальная?
3. Может ли для прозрачных в видимом диапазоне веществ вообще наблюдаться аномальная
дисперсия?
4. Почему свет взаимодействует с веществом?
5. Действуем ли на вещество магнитное поле волны?
6. Почему внутренние электроны атомов и ядра слабо влияют на распространение света?
7. Почему происходит поглощение света?
8. Почему поглощение света наиболее сильно в области аномальной дисперсии?
9. Как измерить угол наименьшего отклонения для данной длины волны?
Как графически определить дисперсию призмы для данной длины волны?
1.
2.
269