Методические указания и контрольное задание для 10 классов

Горбанева Л.В.
Первый закон термодинамики в задачах
Каждое тело имеет вполне определенную структуру, оно состоит из
частиц, которые хаотически движутся и взаимодействуют друг с другом,
поэтому любое тело обладает внутренней энергией. Внутренняя энергия –
это величина, характеризующая собственное состояние тела, т.е. энергия
хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов,
ионов) и энергия взаимодействия этих частиц.
При любых процессах в изолированной термодинамической системе ее
внутренняя энергия остается постоянной:
.
Для идеального (одноатомного) газа внутренняя энергия определяется:
U  NE ср   N А
3
3 m
kT 
RT или
2
2M
U
3
pV .
2
Изменение внутренней энергии определяется следующей формулой:
ΔU 
3
3m
ΔpV  
RT .
2
2M
Внутренняя энергия тела может изменяться только в результате его
взаимодействия с другими телами. Существует два способа изменения
внутренней энергии: теплопередача и совершение механической работы
(например, нагревание при трении или при сжатии, охлаждение при
расширении): Q  U  A .
Теплопередача – это изменение внутренней энергии без совершения
работы: энергия передается от более нагретых тел к менее нагретым.
Теплопередача бывает трех видов: теплопроводность (непосредственный
обмен
энергией
между
хаотически
движущимися
частицами
взаимодействующих тел или частей одного и того же тела); конвекция
(перенос энергии потоками жидкости или газа) и излучение (перенос энергии
электромагнитными волнами). Мерой переданной энергии при теплопередаче
является количество теплоты (Q).
Работа совершается только при изменении объема.
Если газ, расширяясь, сместил поршень на малое
расстояние Δl (р=const), то он совершил работу
А = FΔlcos а = pSΔl = pΔV.
Графически работа А определяется как
площадь фигуры под графиком в координатах pV.
Эти способы изменения внутренней энергии количественно
объединены в закон сохранения энергии, который для тепловых процессов
читается так: изменение внутренней энергии замкнутой системы равно
сумме количества теплоты, переданной системе, и работы внешних сил,
совершенной над системой
, где
– изменение внутренней
энергии, Q – количество теплоты, переданное системе, A – работа внешних
сил. Если система сама совершает работу, то ее условно обозначают . Тогда
закон сохранения энергии для тепловых процессов, который называется
первым законом термодинамики, можно записать так:
, т. е.
количество теплоты, переданное системе, идет на совершение системой
работы и изменение ее внутренней энергии.
Рассмотрим применение первого закона термодинамики к
изопроцессам, происходящим с идеальным газом.
В изотермическом процессе (Т const, m = const, M = const) внутренняя
энергия не меняется (ΔU=0). Тогда уравнение первого закона термодинамики
примет вид: Q=А (сообщаемое газу количество теплоты Q равно работе А,
совершаемой газом) или
, т. е. количество теплоты, переданное
системе, идет на совершение работы при изотермическом расширении,
именно поэтому температура не изменяется.
В изобарном процессе (р = const, m = const, M = const) газ расширяется
и количество теплоты, переданное газу, идет на увеличение его внутренней
энергии и на совершение им работы:
. Газ совершает работу над
внешними силами
, где V1 и V2 – начальный и
конечный объемы газа. С другой стороны, pV 
m
m
RT , тогда A  RT .
M
M
При изохорном процессе (V = const, m = const, M = const) газ не меняет
своего объема, следовательно, работа им не совершается. Или ΔV = 0 =>
А = 0, т,е. переданное количество теплоты идет на увеличение внутренней
энергии газа
.
Адиабатный процесс (нет теплопередачи) – Q = 0,
m = const, М =const.
Тогда ΔU = – А или А = – ΔU = U1 – U2, А > 0,
если U1 > U2. Газ может совершить положительную
работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.
Или газ при расширении совершает работу за счет уменьшения его
внутренней энергии, следовательно, газ охлаждается График адиабатного
процесса в координатах р,V имеет вид схожий с изотермой. Кривая,
изображающая адиабатный процесс, называется адиабатой.
Очевидно, что адиабатический процесс на опыте при отсутствии
идеальной теплоизоляции должен быть осуществлен достаточно быстро,
чтобы за это время не успел произойти теплообмен с окружающей средой.
При адиабатном расширении газа уменьшение давления происходит
быстрее, чем при изотермическом процессе: р=nkT.
При изотремическом расширении уменьшение давления происходит
только за счет уменьшения концентрации (T=const), при адибатическом
уменьшается концентрация и понижается температура.
Если процесс не является изобарным, величина работы
может быть определена площадью фигуры ABCD,
заключенной между линией, выражающей зависимость p(V),
и начальным и конечным объемами газа.
Задача 1. Газ расширился от объема V1 до объема V2 один раз
изотермически, второй изобарически и третий адиабатически. При каком
процессе газ совершает большую работу и газу передается большее
количество теплоты?
Решение. Изобразим на графике с осями P и V все три процесса. Работа
численно равна площади криволинейной трапеции. Из
рисунка очевидно, что работа при изобарном процессе
будет максимальной, при адиабатном минимальной,
т.е. А2>А1>А3.
Температура газа в состоянии 2` больше, чем в
состоянии 2, а температура в состоянии 2 больше, чем
в состоянии 2`` (Т2`>T2>T2``). В этом легко убедиться, начертив изотермы,
проходящие через точки 2` и 2``. При процессе 1-2` ΔU>0, при 1-2 ΔU=0.
Очевидно, что поскольку Q=ΔU+A, то Q2>Q1>Q3.
Задача 2. Кислород занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением
р1=200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема
V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p2=500 кПа.
Построить график процесса и найти: 1) изменение ΔU внутренней
энергии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q,
переданное газу.
Решение: Построим график процесса. На графике
точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые
параметрами (p1, V1, T1), (p1, V2, T2), (p2, V2, T3).
Для определения изменения внутренней энергии газа
при переходе его из состояния 1 в состояние 3
воспользуемся формулой:
, где m – масса газа, М – молярная
масса газа, ΔТ=(Т3 – Т1) – разность температур, соответствующих конечному
3 и начальному 1 состояниям. Значение коэффициента
вместо привычных
в этой формуле
отражает тот факт, что у двухатомных молекул 5
степеней свободы (два вращения + три поступательных движения) в отличие
от одноатомных молекул, у которых есть только три поступательных
движения. Учитывая, что кислород это двухатомный газ перед формулой
стоит коэффициент .
Температуры T1 и T2 выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
.
С учетом этого уравнение для определения внутренней энергии примет
вид:
. Подставив в эту формулу значения величин и
произведя вычисления, получаем ΔU=3,25МДж.
Полная работа, совершаемая газом, равна А=А1+А2, где А1 – работа на
участке 1-2, А2 – работа на участке 2-3.
На участке 1-2 давление постоянно (p=const). Работа в этом случае
выражается формулой A1=p1ΔV=p1(V2 – V1).
На участке 2-3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа
на этом участке равна нулю (А2=0). Таким образом, А=А1=р1(V2 – V1).
Подставив в эту формулу значения физических величин и произведя
вычисления, получаем: А=0,4 МДж.
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q,
переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и изменению
внутренней энергии ΔU: Q=A+ΔU или Q=3,65 МДж.
Задача 3. Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении,
а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой,
равной начальной температуре T0 = 300 К. Оказалось, что в итоге газу
передано количество теплоты Q = 5000 Дж. Во сколько раз изменился объем,
занимаемый газом?
Решение. По условию задачи конечная температура газа равна
начальной T0. Это означает, что внутренняя энергия газа не изменилась, а все
подведенное количество теплоты Q пошло на совершение газом работы A по
расширению во время нагревания при постоянном давлении po (при
изохорном охлаждении работа газа равна нулю):
.
Отсюда отношение объемов равно
величин находим
. Подставив значения
− объем газа увеличился приблизительно в 3 раза.
Задача 4. С разреженным азотом, который находится в сосуде под
поршнем, провели два опыта. В первом опыте газу сообщили, закрепив
поршень, количество теплоты Q1=742Дж, в результате чего его температура
изменилась на некоторую величину
. Во втором опыте, предоставив азоту
возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты
Q2=1039Дж, в результате чего его температура изменилась также на ΔT.
Каким было изменение температуры в опытах? Масса азота m=1кг.
Решение 1. Согласно первому началу термодинамики
Q1=ΔU
Q2=ΔU+A, где ΔU – приращение внутренней энергии газа (одинаковое
в двух опытах), A – работа газа во втором опыте. Если из второго уравнения
вычесть первое, тогда получим Q2 – Q1=A.
Работа совершалась газом в ходе изобарного расширения, так что
работу можно определить как А=рΔV, где ΔV – изменение объема газа).
С помощью уравнения Клапейрона-Менделеева эту работу можно
выразить через приращение температуры газа:
Q2 – Q1=A=
Тогда получаем
.
.
Подставив значение величин, получаем ΔТ≈1К.
или
Эту же задачу можно решить другим способом.
Решение 2. Согласно первому началу термодинамики, все переданное
газу тепло идет на изменение его внутренней энергии, поскольку поршень
фиксирован, и газ не может совершать работу:
.
Коэффициент перед формулой также , так как азот двухатомный газ.
Из этого уравнения и находим изменение температуры азота:
.
Задачи для самостоятельного решения
10.2.1. Идеальный газ из состояния с давлением 2.105Па и объемом 4 л
переводят в состояние с давлением 105Па и объемом 1л двумя различными
способами. В первом случае переход сначала осуществляется по изобаре, а
затем по изохоре, а во втором случае сначала по изохоре, а затем по изобаре.
В каком случае выделяется большее количество теплоты? Определить
разницу в тепловыделении.
10.2.2. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу,
состоящему из двух адиабат и двух изохор. Рассчитать КПД двигателя при
следующих значениях температур: T1=300 К, T2 = 530 К, Т3 = 790 К,
Т4 = 460К.
10.2.3. Идеальный одноатомный газ сжимается сначала
адиабатно, а затем изобарно. Конечная температура газа
равна начальной (рис). При адиабатном сжатии газа
внешние силы совершили работу, равную 6кДж. Чему
равна работа внешних сил за весь процесс 1-2-3?
10.2.4. Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1в
состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает
прямо пропорционально его объёму. В результате плотность газа
уменьшается в α=2 раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты
Q=20кДж. Какова температура газа в состоянии 1?
10.2.5. Идеальный одноатомный газ, находящийся при температуре Т,
нагрели до температуры 2Т, сообщив ему количество теплоты 10Дж. В
результате газ совершил работу 5Дж. Какое количество теплоты отдаст газ,
если его после этого изохорически охладить до температуры
10.2.6. Воздух, занимающий при давлении 200кПа объем 200л, изобарически
нагрели до температуры 500К. Масса воздуха 0,58кг, молярная масса
0,029кг/моль. Определить работу воздуха.
10.2.7. Один моль газа совершает цикл, состоящий из двух
изохор и двух изобар (см. рис.). Температуры,
соответствующие состояниям 1 и 3, – Т1 и Т3 соответственно.
Определить работу, совершенную газом за цикл, если
известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
10.2.8. Над одним молем идеального одноатомного газа провели процесс 1-23, график которого приведен на рисунке в координатах
и
, где V1=1м3 и Р1=2∙105Па – объём и давление газа в
состоянии 1. Найдите количество теплоты, сообщенное газу в
данном процессе 1-2-3.
10.2.9. Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1в
состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает
прямо пропорционально его объёму. В результате плотность газа
уменьшается в α=2 раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты
Q= 20 кДж. Какова температура газа в состоянии 1?
10.2.10.
Теплоизолированный
цилиндр
разделён
подвижным
теплопроводным поршнем на две части. В одной части цилиндра находится
гелий, а в другой – аргон. В начальный момент температура гелия равна
300 К, а аргона – 900 К; объёмы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень
находится в равновесии. Поршень медленно перемещается без трения.
Теплоёмкость поршня и цилиндра пренебрежимо мала. Чему равно
отношение внутренней энергии гелия после установления теплового
равновесия к его энергии в начальный момент?