Тема 2. Высокодобротные колебательные системы СВЧ

Тема 2. Высокодобротные колебательные системы СВЧ диапазона.
2.1. Объемный резонатор.
Одним из основных элементов генераторов и усилителей электромагнитного
излучения является колебательная система. В электронно-вакуумных приборах СВЧ
диапазона применяются резонансные и нерезонансные колебательные системы. В
широкополосных приборах с длительным взаимодействием ЭП с полем, таких как ЛБВ и
ЛОВ, твистроны, в качестве нерезонансных колебательных систем используются отрезки
нерегулярных и регулярных линий передач, связанные и отдельно взятые резонаторы. В
узкополосных приборах с кратковременным взаимодействием ЭП с СВЧ полем,
например, таких как клистроны, применяются высокодобротные КС в виде
высокодобротных закрытых (объемных) и открытых резонаторов.
Объемный резонатор представляет собой часть пространства, ограниченную
металлической оболочкой. Он может быть полностью или частично заполнен и содержать
устройства возбуждения и вывода электромагнитных колебаний. В них, также как и в
колебательных контурах, наблюдаются явления резонанса – максимум амплитуды
вынужденных колебаний поля в резонаторе на определенных (резонансных) частотах.
На практике используются объемные резонаторы разной геометрической формы.
Наиболее часто - цилиндрической, прямоугольной, П и Н-образной, коаксиальной,
тороидальной формы. При их исследовании, также как и при исследовании колебательных
контуров, решаются три различных по сложности и физическому содержанию задачи:
задача о свободных незатухающих колебаниях, о свободных затухающих колебаниях и о
вынужденных колебаниях. Задача о свободных незатухающих колебаниях – это
идеализированная задача, поскольку предполагается, что потери в резонаторе
отсутствуют. Тем не менее, результаты ее решения широко используются при
исследовании реальных резонаторов, поскольку структура поля и резонансные свойства
высокодобротных резонаторов близки к структуре поля и резонансным свойствам
идеального резонатора.
Для того, чтобы рассчитать свободные колебания любой формы резонатора,
необходимо найти решения уравнений Максвелла




E
H
rotH  
, rotE   
,
t
t
удовлетворяющие идеальным граничным условиям
nE 
S
 0,

в которых n - нормаль к поверхности S резонатора. Граничные условия требуют
равенства нулю тангенциальной составляющей вектора

напряженности электрического поля E на поверхности
резонатора.
Применим ко второму уравнению операцию rot и
преобразуем его к виду



rotrotE    rotH .
t
Исключим из него магнитный вектор с помощью первого уравнения.
1


2E
rotrotE   2  0.
t
В дальнейшем будем рассматривать гармонические колебания
 
 
E (r , t )  E (r ) exp( it ).
С учетом экспоненциальной зависимости от времени уравнения для амплитуды
 
E (r ) запишется в виде


rot rotE   2 E  0.
Воспользуемся формулой векторного анализа



rot rotE  grad divE   2 E
и преобразуем еще раз уравнение с учетом того, что div E=0


2 E  h2 E  0 .
Добавим сюда граничное условие и сформулируем краевую задачу в окончательном
виде


 2 E  h 2 E  0,
nE 
S
 0,

divE  0.
Поставленная задача является классической задачей математической физики и
хорошо изучена. Разработаны специальные методы ее решения. Для цилиндрического,
прямоугольного и плоского резонаторов она решается в аналитическом виде методом
разделения переменных. В более общем случае, т. е. для других форм резонаторов,
используют различные численные методы, например, метод конечных разностей, метод
конечных элементов и другие методы. Не решая задачу, можно доказать некоторые общие
свойства колебаний. Доказано, что при любой форме резонатора решения задачи
существуют только для некоторых значений параметра h 2 . Эти значения называются
собственными значениями задачи. Они образуют дискретную возрастающую
последовательность вещественных чисел. Это означает, что объемный резонатор, в
отличие от контура, имеет множество собственных частот
1 , 2 , 3 ...n
 .
Каждой частоте соответствует решение задачи, т. е. определенная структура
электромагнитного поля. Каждая отдельно взятая частота и соответствующая структура
поля, т. е.
   
n , En (r ), H n (r )
называется собственным колебанием или модой резонатора. Если частота имеет
одно решение, то мода невырождена, если несколько, то вырождена. В частности,
двукратно вырожденной моде соответствуют два независимых решения
   
En(1) (r ), H n(1) (r )
n   ( 2)   ( 2)  .
En (r ), H n (r )
2
Колебание с самой низкой частотой называется основным колебанием резонатора, а
остальные - высшими колебаниями. Магнитное и электрическое поля объемного
резонатора, в отличие от контура, в общем случае не разделены пространственно. Во всех
точках пространства, за исключением счетного количества точек, происходят колебания и
магнитного, и электрического полей. Поскольку тороидальный резонатор используется во
многих генераторах, то остановимся на этом вопросе более детально.
2.2. Тороидальный резонатор.
Рассмотрим тороидальный резонатор прямоугольной формы. Для расчета его
собственной частоты основного колебания
введем систему координат с началом в центре
между пластинами его конденсаторной части, ось
z направлена вверх, и радиальная ось
перпендикулярна поверхности тора. Введем
обозначения:
радиус
внутренней
r0
поверхности тора, R - радиус внешней
поверхности тора. Плоскости, в которых
расположены
l
z
- верхняя и нижняя границы
2
резонатора;
d
z   - верхняя и нижняя пластины конденсаторной части.
2
В таком резонаторе поле основного колебания осесимметрично, т.е. не зависит от
полярного угла. Причем электрическое поле сосредоточено в основном в его
конденсаторной части. Силовые линии электрического поля направлены перпендикулярно
пластинам конденсаторной части. Магнитное поле сосредоточено в основном в его
тороидальной части. Его силовые линии имеют форму окружностей, параллельных
поверхности тора. Такому резонатору можно сопоставить колебательный контур с
эквивалентной индуктивностью LЭ и эквивалентной емкостью С Э на основном типе
колебания. Объемные резонаторы такого типа называются резонаторами с
квазисосредоточенными параметрами. Частота его основного колебания приближенно
равна
0  1 LЭ CЭ .
Величина эквивалентной емкости равна емкости конденсаторной части
CЭ 
0S
d

r02
d
.
Для нахождения эквивалентной индуктивности необходимо установить взаимосвязь
между потоком магнитного поля, распространяющимся в тороидальной его части, и
током, создающим это магнитное поле.
Эквивалентная индуктивность равна отношению потока магнитного поля к току

.

Магнитный поток по определению равен
LЭ 
3
 
 
   BdS   0  HdS .
Интегрирование ведется по
перпендикулярны сечению тора, то
сечению
тора.
Поскольку
силовые
линии
 
 0  HdS   0  HdS .
Значение магнитного поля, входящего в эту формулу, найдем из первого уравнения
Максвелла в интегральной форме
 
 Hdl  J  2rH .
L
Интегрирование ведется вдоль силовой линии магнитного поля, которая
представляет собой окружность радиуса r. Подставим полученные для H значения
   0  HdS   0 
J
dS .
2r
Разделим это выражение на величину тока, получим эквивалентную индуктивность
L
  0 dS

.
I 2  r
После этого нетрудно записать частоту основного колебания
0 
1

LЭ C Э
1
r  0 dS
d 2  r
2
0

1
2d
 0 0 r
 dS r0
.
S0
Если сечение тора имеет прямоугольную форму, то
l
2
dS
 r  l
S0

R
drdz
R
 l ln ,
r
r0
r0

2
и частота равна
0 
1
r0  0  0
2d
.
R
l ln
r0
Тороидальные резонаторы широко применяются в качестве колебательной системы
клистронов. Характерной особенностью таких резонаторов является отсутствие сплошных
пластин. Это объясняется тем, что в электронном приборе через зазор d
между пластинами параллельно электрическим силовым линиям должен
проходить электронный поток, взаимодействующий с полем резонатора.
4
Для того, чтобы его пропустить, пластины заменяются сетками или имеют одно отверстие
для ЭП.
На схемах в дальнейшем тороидальный резонатор будем обозначать показанным на
рисунке способом.
2.3. Свободные колебания в резонаторе с учетом потерь.
При наличии потерь СТК резонатора будут затухающими. Для их расчета
необходимо решать внешнюю краевую задачу, т.е. необходимо найти решения уравнений
Максвелла внутри резонатора и в металлической оболочке с одинаковыми
тангенциальными составляющими на поверхности резонатора и удовлетворяющими
условию излучения на бесконечности. Объемные резонаторы обычно изготавливаются из
хорошо проводящего металла, и это позволяет несколько упростить задачу. В этом случае
можно воспользоваться граничными условиями Леонтовича, связывающими касательные
составляющие векторов поля внутри резонатора на поверхности хорошо проводящего
металла. Это дает возможность, не определяя поле металлической оболочки, учесть
влияние ее на поле внутри резонатора путем решения внутренней краевой задачи.


rotH  iE ,


nE S   z S n nH
 
   .


rotE  iH ,
S
Поверхностный импеданс z S металла выражается соотношением
zS 
 '
2G
(1  i),
где G – удельная проводимость металла на постоянном токе,  ' - магнитная
проницаемость оболочки. Точность таких приближенных граничных условий тем выше,
чем больше проводимость металла. В пределе, для идеального проводящего металла
( G  , z S  0 ) получается краевая задача для расчета незатухающих СТК.
Сформулированная задача имеет решения также при дискретных значениях
величины  n , n=1, 2,…. Можно показать, что эти значения будут комплексными.
 n   n 'i n ' ' ,
а колебания будут затухающими
 
 
En (r , t )  En (r )ei n 't  n ''t .
Мода резонатора характеризуется величинами:
   
 n ' , n ' ' , En (r ), H n (r )
На практике чаще используют другие параметры
 
 
 n ' , Qn , En (r ), H n (r ) .
5
Вместо  n ' ' , которая характеризует затухание, вводят величину, которая называется
добротностью. Она равна отношению запасенной энергии к энергии, теряемой за период,
умноженному на 2 .
Qn 
2Wn
.
WnT
Найдем взаимосвязь между добротностью и комплексным собственным значением
задачи.
Энергия, запасенная в резонаторе на заданном типе колебания, вычисляется по
известным из электродинамики формулам
Wn (t ) 
2
2
2


1
E
dV

H
dV


E
(
r
)
dVe 2 '' t  Wn (0)e 2 '' t .
n
n
n



2V
2V
2 V
n
n
За период запас энергии в резонаторе изменится и будет равен
Wn (t  T )  Wn (0)e 2n ''(t T )  Wn (t )e 2n ''T
Qn 
2Wn (t )
2Wn (t )
2


 2n ''T
Wn (t )  Wn (t  T ) Wn (t ) 1  e
1  e 2n ''T


e 2n ''T  1  2n ' 'T  2n ' 'T   ...
2
2 n ' 'T  1 , e 2n ''T  1  2 n ' 'T
Qn 
 '
2
 n .
2 n ' 'T 2 n ' '
Введем понятие резонансной кривой СТК и выясним взаимосвязь между
добротностью и параметрами кривой. Для этого представим затухающее колебание в виде
суперпозиции временных гармоник

En ( r , t ) 
1
En ( )e it d .

2 0
Амплитуда гармоник есть преобразование Фурье СТК

 
En ( )   En (r , t )e it dt 
0
 
 iEn (r )
.
(  n ' )  in ' '
Интенсивность спектральной плотности равна
E n ( ) 
2
  2
En (r )
(   n ' ) 2  ( n ' ' ) 2
.
6
График этой зависимости имеет вид
и называется резонансной кривой СТК. Частота, при которой интенсивность
максимальна, называется резонансной   n ' .
Полушириной резонансной кривой называют расстояние на шкале частот между
точками резонансной кривой, в которых интенсивность уменьшается в два раза. Эти точки
находят из уравнения
2
En
En2

.
2( n ' ' ) 2 (   n ' ) 2  ( n ' ' ) 2
Отсюда
1, 2   n ' n ' ' ;
П  1  2  2т ' ' ;
 '  '
Qn  n  n ;
2 n ' ' 
WnT  PnTn ;
2Wn  n 'Wn
Qn 

, Pn  Pnм  Pnд  Pnи ;
PnTn
Pn
 'W
 'W
 'W
Qnм  n n , Qnд  n n , Qnи  n n ;
Pnм
Pnд
Pnи
1
1
1
1



;
Qn Qnи Qnд Qnм
Pnи  0, Qn - добротность нагруженного резонатора.
Pnи  0, Qn - собственная добротность резонатора.
 'W
Qnм  n n ;
Pnм
1
1
2
2
Wn    En dV    H n dV Pnм  I 2 RS 2 ;
2 V
2 V
  2
2
I 2   H n dS   n  H n dS ,
RS  Re Z S .

S

S
7
2.4. Вынужденные колебания объемного резонатора.
На практике обычно имеют дело с вынужденными электромагнитными колебаниями
в объемном резонаторе. Для исследования их свойств необходимо решать задачу
возбуждения резонатора сторонними токами






rot H  i E  J e , rot E  i H  J m ,


div  H   m ,
div  E   e ,
  
 n E   0 .
S
ρe, ρm - объемные плотности зарядов;
Jm, Je – объемные плотности сторонних электрических и магнитных токов.
Плотности токов имеют гармоническую зависимость от времени.




J e (r , t )  J e (r ) e it ,




J m (r , t )  J m (r ) e it .
Будем искать решение в виде






E   An E n  E p , H   Bn H n  H p .
n
n
An и Bn – это коэффициенты возбуждения СТК резонатора, поля которых
удовлетворяют однородной задаче




rot H n  i n  En , rot E n  i n  H n ,

div  E n  0 ,

div H n  0 ,
  
 n E   0
S
и вытекающим из неё условиям ортогональности
   
   
   H n H m dV     E n E m dV   n ,m ,


V
V
 2
 2
N n    En dV    H n dV - норма СТК.
V
v
После подстановки данного ряда в исходные уравнения и последовательных
преобразований с учетом свойств ортогональности мод для коэффициентов возбуждения
мод получаем выражения
An 


    
    
 

J
E
dV


J H dV  ,

e n 
n
N n ( 2  n2 )  V 
 V  m n  

i
i



    
    

Bn 
J E dV 
 J m H n dV  n
N n ( 2  n2 )  V 
 V  e n  

и формулы для определения потенциальных полей



div E p   e , div H p   m .
Эти поля не зависят от частоты и не учитываются при исследовании спектральных
характеристик резонатора.
Согласно приведенному решению наблюдаются два типа резонанса: частотный и
пространственный.
Условия частотного резонанса определяются по зависимости амплитуды
возбуждаемого поля от частоты. Она обычно имеет вид
8

E
ω
ωpn
Наблюдается множество резонансов. Каждый резонанс связан с возбуждением
определенного типа колебаний и положение его на шкале частот определяется по
максимуму функции
1
1
,
 2
2
2
2
  n
  ( n )  ( n ) 2  2i n  n
из которого следует
 2  ( n ) 2  ( n ) 2  0 ,
2
   
1
  ( n ) 2  ( n ) 2   n 1   n    n 1 
,
4Qn2
  n 
Qn 
 n
,
2 n
   n .
При высокой добротности Qn  1 для наблюдения частотного резонанса
необходимо, чтобы частота вынужденных колебаний совпадала с частотой СТК. Вблизи
резонанса частотная характеристика резонатора близка к резонансной кривой отдельного
СТК, и амплитуда возбуждаемого поля к полю моды резонатора


E  An E n ,


H  Bn H n .
Величина коэффициента возбуждения зависит от значения интегралов по объему.
Они максимальны, если возбуждающиеся токи направлены параллельно векторам поля


J e || E n ,


J m || H n .
В этом суть условия пространственного резонанса.
Устройства возбуждения резонатора.
1.
Возбуждение коротким штырем (электрический зонд).
9
2.
Возбуждение петлей связи.
3.
Электронным пучком.
4.
Через отверстие в оболочке.
Антенна
Волновод
Селекция типов колебаний
Устойчивому наблюдению резонансов в объемном резонаторе способствует ряд мер.
1.
Повышение добротности резонатора.
2.
Увеличение частотного разделения типов колебаний.
3.
Селекция типов колебаний.
Селекция колебаний заключается в обеспечении максимального значения
амплитуды вынужденных колебаний на одной из резонансных частот при минимальном ее
значении на других частотах, по крайней мере, на соседних резонансных частотах.
Существуют следующие способы селекции колебаний.
1.
Выбор места расположения, ориентации и конструкции устройств
возбуждения, при которых возбуждается рабочий тип колебания, а паразитные
колебания не возбуждаются или слабо возбуждаются.
10
2.
Внесением в резонатор поглощающих поле вставок в максимум поля
того типа колебания, которое необходимо подавить.
3.
Увеличением потерь на излучение отдельных групп колебаний.
Последний способ селекции типов колебаний используется в открытых резонаторах.
2.5. Открытые резонаторы.
В коротковолновой части СВЧ диапазона и оптическом диапазоне частот в качестве
колебательных систем применяются открытые резонаторы. Выясним, почему не могут
быть использованы в этих диапазонах частот полые металлические резонаторы.
Обозначим на оси частот точками резонансные частоты объемного резонатора.
ω0
ω1
ω2
ω3
ω4 ω5
ω
В качестве рабочего в принципе может быть выбран любой тип колебания. Но чаще
всего в качестве рабочего используют основное колебание. Оно имеет наибольшее
частотное разделение. Но, с другой стороны, длина волны этого колебания сравнима с
размерами резонатора
0  l .
В этом случае для перехода в миллиметровый диапазон необходимо уменьшить
размеры резонатора до миллиметра. Изготовить таких размеров резонатор высокого
качества достаточно сложно. Кроме того, добротность основного колебания понижается с
уменьшением длины волны:
Q0 ~  0 .
Вследствие уменьшения размеров и понижения добротности объемный резонатор на
основном типе колебаний неприменим в миллиметровом и оптическом диапазонах.
Второй путь повышения частоты заключается в применении в качестве рабочего
высшего типа колебания. В этом случае нет необходимости уменьшать размеры
резонатора. При любом его объеме можно подобрать колебание какой угодно высокой
частоты. Число таких частот в спектральном интервале определяется формулой Рэлея –
Джинса
v  2
N 
  ,
2
из которой следует, что число частот в заданном спектральном интервале
увеличивается с ростом частоты.
Вследствие этого, расстояние между соседними резонансными частотами
уменьшается, то есть уменьшается частотное разделение колебаний. Поэтому даже при
высокой добротности резонансные кривые их перекрываются и неразличимы, то есть
резонанс не наблюдается. Таким образом, объемный резонатор неприменим в качестве
колебательной системы СВЧ приборов в миллиметровом диапазоне. Вместо него
используют открытый резонатор.
Формально от объемного к открытому резонатору можно перейти удалением
поверхности объемного резонатора. Например, если удалить боковые грани
прямоугольного объемного резонатора, то получим открытый резонатор Фабри – Перо в
виде двух параллельных зеркал
11
x
Выясним, к каким последствиям приводит удаление боковых стенок. Локализация
поля связана с переотражением волн в резонаторе. В соответствии с этой концепцией
каждому типу колебаний можно сопоставить замкнутый ход луча. Один типа колебания
будет отличаться при этом от другого числом отражений на гранях
(1,1)
(2,1)
(0,1)
В качестве примера рассмотрим три типа колебаний.
При удалении боковых стенок увеличиваются потери на излучение колебаний с
отражением лучей на боковых стенках. Их добротность падает, и они практически не
возбуждаются. Высокодобротными будут только колебания без отражения на боковых
стенках. Спектр их резонансных частот намного реже спектра резонансных частот
объемного резонатора. Частоты расположены эквидистантно по шкале частот
ω0
ω1
ω2
ω
ω3
Это позволяет наблюдать резонансы.
К открытым резонаторам относятся зеркальные резонаторы, диэлектрические
резонаторы и любые другие типы резонаторов с сильной связью отдельных групп
колебаний с внешним пространством.
Добротность резонатора Фабри – Перо вычисляется по формуле
Q
2l
1
.
 1 R
R
0
l = 10 см, λ = 1 мм, R = 0,98, тогда Q 
l
z
2  100 1
 3,14  10 4 .
1
0,02
12