Лекция 9 Закон сохранения момента импульса

Лекция 9
Закон сохранения момента импульса
Моменты импульса и силы. Уравнение моментов для системы тел. Закон
сохранения момента импульса. Закон площадей. Собственный момент импульса. Уравнение моментов относительно движущего начала.
Еще одной важной векторной величиной, характеризующей механическое состояние системы,
является момент импульса.
Момент импульса частицы с импульсом p относительно точки О определяется как:
L  [rp]  m[rv] ,
(9.1)
где r – радиус-вектор, характеризующий положение частицы относительно точки О (рис. 9.1).
Определенный вектор L перпендикулярен векторам r , v и составляет с ними правую тройку.
Его величина равна
Рис. 9.1
Рис. 9.2
L  pr sin   p ,
(9.2)
где ℓ – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса, и называется
плечом импульса (рис. 9.1). Продифференцируем момент импульса по времени:
dL  dr

dt  dt
  dp 
p   r  .
  dt 
Первое слагаемое в правой части тождественно равно нулю как векторное произведение параллельных векторов: [vp]  m[vv]  0 . Если точка O неподвижна в инерциальной системе отсчета, то временная производная импульса частицы относительно нее равна равнодействующей силе,
действующей на частицу. Так что,
dL dt  [rF ] ,
(9.3)
где вектор
[rF ]  M
(9.4)
называется моментом силы, относительно точки О. Его величина равна произведению силы на
плечо силы относительно точки О (рис. 9.2):
M  Fr sin   Fd .
Вектор
M
составляет с векторами
r
и
F
правую тройку.
(9.5)
Значит, в ИСО момент импульса частицы относительно неподвижной точки О связан с моментом действующей на нее силы соотношением
dL
M
dt
,
(9.6)
которое называется уравнением моментов.
Заметим, что определения (9.1), (9.4) и уравнение моментов (9.6) верны как в ньютоновской, так и в релятивистской механике.
Моменты силы и импульса не изменятся, если векторы импульса или силы переместятся вдоль
линий их действия (соответствующие им плечи ℓ и d не меняются).
Рис. 9.3
Уравнение моментов (9.6) можно обобщить на случай системы материальных точек (рис. 9.3).
Пусть в системе, состоящей из n частиц, частицы в ИСО имеют импульсы
гаются воздействию сил
p1 , p2 ,..., pn
и подвер-
F1 , F2 ,..., Fn . Для любой i-той частицы верно уравнение (9.3)
dLi
 [ri Fi ]  [ri Fi внут ]  [ri Fi внеш ],
dt
(9.7)
где силу, действующую на i-тую частицу, представили в виде суммы внутренних и внешних сил
Fi  Fi внут  Fi внеш . Здесь
n
Fi внут   Fik Fi1  Fi 2  Fi 3  ...  Fin
k 1
k  i .
(9.8)
Учитывая (9.8), для отдельных частиц уравнение (9.7) дает:
dL1 dt   r1 F12    r1 F13   ...  r1 F1внеш  ;
dL2 dt   r2 F21    r2 F23   ...   r2 F2внеш  ;
(9.9)
......................................................................
dLn dt   rn Fn1    rn Fn 3   ...   rn Fnвнеш  .
Полный момент импульса относительно точки О для всей системы определяется как векторная сумма моментов импульса относительно точки О составляющих эту систему частиц:
n
L   Li .
(9.10)
i 1
Нашей целью является получение уравнения, описывающего изменение полного момента импульса системы по времени. Для этого продифференцируем по времени вектор полного момента
импульса (9.10) и учтем уравнения (9.9):
dL
dL
dL dL
dL d
  Li  1  2  ...  n   i 
dt dt i
dt
dt
dt
dt
i
внеш
   ri Fik     ri Fi  
ik
i
  r1 F12    r2 F21   ...   r1 F1n    rn Fn1  
(9.11)
  r2 F23    r3 F32   ...   r2 F2 n    rn Fn 2  
  r1 F1внеш    r2 F2внеш   ...   rn Fnвнеш  .
В третьей и четвертой строках полученного выражения выделены моменты сил попарного взаимодействия частиц. С учетом третьего закона Ньютона
Fik   Fki ,
(9.12)
и в предположении, что частицы взаимодействуют с центральными силами
Fik  f  rik  rˆik ,
где
rik  ri  rk –
(9.13)
радиус-вектор взаимного положения i-той и k-той частиц, выражения в скоб-
ках в третьей и четвертой строках (9.11), которые представляют суммарный момент внутренних
сил (главный вектор момента внутренних сил), будут тождественно равны нулю. Действительно, каждая скобка представляет собой выражение
rik Fik    rk Fki    ri  rk   Fik  f  rik  rik rˆik   0 ,
где мы воспользовались (11.12) и (11.13). Значит, внутренние силы не могут менять полный момент импульса. Так что, временная производная полного момента импульса системы относительно точки O равна суммарному моменту внешних сил относительно той же точки
dL
   ri Fi внеш   M внеш .
dt
i
(9.14)
Это уравнение моментов для механической системы, согласно которому полный момент
импульса может меняться только и только под воздействием суммарного момента внешних сил.
Причем, приращение момента импульса системы за время t равно
L  0 M внеш dt .
t
(9.15)
Уравнение моментов (9.14) дает условия сохранения полного момента импульса системы:
если суммарный момент внешних сил относительно точки О равен нулю, то полный момент импульса относительно той же точки будет сохраняться
L   ri pi   const ,
i
если
M   ri Fi внеш   0.
(9.16)
i
Условие сохранения момента импульса (9.16) может осуществляться в следующих важных случаях:
- когда система замкнута
Fi внеш  0, i  1,2,..., n .
В этом случае полный момент импульса со-
храняется относительно произвольной точки,
- когда механическая система находится во внешнем центральном силовом поле. В этом случае
относительно силового центра поля О момент внешней силы, действующей на любую из частиц,
ri Fi внеш   0 (рис.9.4), так как по определению центрально-симметричного
 f  ri  rˆi . Таково положение планетной системы в поле тяготения Солнца.
равен нулю
Fi внеш
Рис. 9.4
поля
Рис. 9.5
Заметим, что в центрально-симметричном силовом поле полный момент импульса системы сохраняется лишь относительно силового центра O. Относительно другой точки он не
будет сохраняться. Хотя относительно точки O момент внешней силы, действующей на любую частицу, равен нулю, тем не менее, моменты импульса отдельных частиц не сохраняются, так как
момент внутренних сил, действующих на любую из них, не равен нулю. В частном случае, когда
взаимодействия между частицами отсутствуют, момент импульса каждой частицы также будет сохраняться относительно центра силового поля О. Например, при изучении движения планет в
Солнечной системе в грубом приближении можно не учитывать действующие на нее силы и моменты сил со стороны других планет и считать ее момент импульса относительно Солнца неизменным. В этом случае для движения любой планеты верен закон площадей.
Закон площадей.
Пусть положение планеты в момент времени t определяется радиус-вектором r (рис.9.5). За
элементарный промежуток времени dt планета совершит элементарное перемещение dr , в результате чего радиус-вектор начертит элементарный сектор - треугольник. Площадь треугольника
можно представить с помощью следующего вектора:
d 
1
 rv dt ,
2
который направлен перпендикулярно поверхности треугольника, а по величине равен его площади. Площадь, заметенная радиус-вектором планеты за единицу времени, называется секторальной скоростью планеты

1
L
 rv  .
2
2m
(9.17)
Здесь мы учли, что момент импульса планеты относительно Солнца дается формулой
L  m rv  , где m – масса планеты. Значит, момент импульса планеты пропорционален ее секторной скорости
L  2m   const .
(9.18)
Если момент импульса частицы в силовом поле сохраняется, то эта частица будет двигаться с
постоянной секторальной скоростью.
Отсюда можно сделать два вывода. Во-первых, так как направление секторальной скорости в
пространстве остается неизменным, то в центральном силовом поле частица (планета) движется по плоской кривой (траектория лежит в одной плоскости). И второе, радиус-вектор
планеты заметает равные площади за равные промежутки времени. Эти выводы и называются законом площадей, который является выражением закона сохранения момента импульса
в центральных силовых полях. Верно также обратное утверждение: если имеет место (9.18), то
частица движется в центральном силовом поле.
При получении закона сохранения момента импульса мы воспользовались законами Ньютона и
предположили, что в системе действуют центральные силы. Верны ли законы сохранения момента
импульса в тех системах, которые не подчиняются законам Ньютона, каковыми являются, например, системы релятивистских частиц, системы с полями излучения, атомы и т.п.?
Опыт показывает, что закон сохранения момента импульса справедлив и для этих систем,
только нужно учитывать также собственные моменты импульсов микрочастиц (так называемые
спины), также как моменты импульсов силовых полей. Сформулированный таким образом закон
сохранения момента импульса нужно рассматривать как фундаментальный закон природы, который является обобщением экспериментальных фактов.
Собственный момент импульса системы.
Момент импульса системы, как и момент силы зависят от положения точки, относительно которой они рассчитываются. Относительно выбранной точки O имеем:
L    rpi  .
(9.19)
Рис. 9.6
Относительно точки O´, удаленной от точки О на
r0  const
(рис.9.6), момент импульса той
же системы будет
L    ri pi  .


(9.20)
Так как радиус-векторы частиц системы относительно точек О и О´ связаны соотношением
ri  r0  ri ,
то, для связи между векторами
L
и
L
(9.21)
получим
L    ri pi     r i pi    r0  pi  .


Здесь первое слагаемое – это вектор
L , а во втором
слагаемом множитель при
r0
– есть пол-
ный импульс системы. Так что
L  L  r0  P .
(9.22)
Из полученной формулы следует, что полный момент импульса не будет зависеть от выбора
начальной точки, если в выбранной ИСО полный импульс системы равен нулю:
L  L , если P   pi  0 .
(9.22')
Этим свойством обладает СO, связанная с центром инерции системы.
Значит, в системе отсчета C полный момент импульса системы независим от выбора
той точки, относительно которой он рассчитывается. Эта величина и характеризует момент
импульса механической системы и называется собственным моментом импульса.
Получим связь между моментами импульса совокупности частиц в лабораторной системе отсчета и системе отсчета С. По определению
L   mi  rv
, Lc   mi ri vi  .
i i
Так как
ri  rc  r i ,
vi  vc  v i ,
(9.23)
То



L   mi  vc  r i vc  v i  


  mi  r i vi    mi r i  v c   mi  rc vi    mi  rc vc .
Второе и третье слагаемые в последней строке, благодаря свойствам С системы отсчета, тождественно равны нулю. Следовательно, момент импульса системы в лабораторной системе отсчета
связан с собственным моментом импульса, следующим соотношением
L  Lc   rc P  ,
где P
 mvc
(9.24)
– полный импульс системы в лабораторной системе отсчета.
Полный момент импульса в лабораторной системе отсчета равен собственному моменту импульса системы, плюс момент импульса движения системы как целого
rc  P .
Моменты сил относительно точек O и O´ связаны аналогичным (9.22) соотношением (рис. 9.6):


M    ri Fi    r i  r0  Fi    r i Fi   r0   Fi ,


т.е.
M  M   r0   Fi .
Из полученной формулы непосредственно следует, что если действующие на систему силы
уравновешены, то их полный момент не зависит от выбора начальной точки:
M  M  , если  Fi  0.
(9.25)
Рис. 9.7
В частности, это имеет место в случае, когда на систему действует пара сил (рис. 9.7). Легко
убедиться, что момент пары сил относительно точек O, О1 и О2 на рисунке имеет направление,
показывающее на нас, и величину M=Fd , где d – расстояние между линиями действия сил (плечо
пары).
Если равнодействующая внешних сил равна нулю, то центр инерции системы движется равномерно и прямолинейно. В этом случае система отсчета С будет инерциальной и уравнение моментов примет в ней следующий вид:
dLс
 Mc ,
dt
где
Lc
– собственный момент импульса системы, а
Mc
(9.26)
– суммарный момент внешних сил относи-
тельно центра инерции. Сейчас мы увидим, что уравнение моментов (9.26) применимо и в том
случае, когда действие внешних сил не уравновешено, то есть когда система отсчета C неинерциальная.
Уравнение моментов относительно движущегося начала.
Часто приходится рассматривать момент импульса системы относительно движущейся точки O,
или относительно оси, проходящей через эту точку. Пусть в выбранной ИСО точка O имеет скорость
v0 , а частицы системы – скорости vi
(рис. 9.8). Полный момент импульса системы в данный
момент времени относительно точки O будет
L   mi [rv
]
i i .
(9.27)
L   mi [r vi ]   mi [rv
].
i i
(9.28)
Определим его производную по времени:
i
Но здесь
ri
не скорость
vi
i-той частицы, а благодаря движению точки О, равна
r  vi  v0 .
Рис. 9.8
(9.29)
Учитывая также второй закон Ньютона ( mi vi
 Fi )
и пользуясь формулой скорости центра
инерции получим
L  M  m[vc v0 ],
(9.30)
которое и есть уравнение моментов относительно движущегося начала. Если точка O
совпадает с центром инерции, то (9.30) совпадает с (9.26).
Заметим, что в обычном виде уравнение моментов (9.26) применимо также в том случае, когда
точка O движется со скоростью v0 , параллельной скорости центра инерции vc.
Контрольные вопросы:
● Как определяются моменты импульса и силы?
● Выведите уравнение моментов.
● Каковы условия сохранения момента импульса системы?
● Выведите закон площадей.
● Как определяется собственный момент импульса?
● Как преобразуется момент импульса системы при переходе в С-систему?
● Какую форму принимает уравнение моментов относительно движущегося
начала?
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр. (на армянском яз.).
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.