Теория функций действительной переменной_БПО

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ДИСЦИПЛИНЕ
Б3.В.24 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная образовательная программа подготовки бакалавра
по направлению
подготовки бакалавриата 050100 «Педагогическое образование»
профиль «Математика, Информатика»
1. Программа учебной дисциплины
Общая теория множеств. Эквивалентность множеств. Понятие мощности. Счётные
множества и их свойства. Действия над мощностями. Арифметика счётной мощности.
Мощность множества рациональных и алгебраических чисел. Существование несчётных
множеств. Арифметика мощности континуума. Сравнение мощностей. Теорема Кантора –
Бернштейна. Мощность множества всех подмножеств. Мощность множества
иррациональных и трансцендентных чисел.
Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Окрестность точки.
Предельная и внутренняя точки. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о
пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств. Строение открытых,
замкнутых и совершенных множеств. Множество Кантора.
Функции. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Монотонные
функции. Функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые.
Мера Лебега. Мера открытого множества. Мера замкнутого множества. Внутренняя
и внешняя мера произвольного множества. Мера Лебега и её свойства. Операции над
измеримыми множествами. Понятие измеримой функции. Последовательность
измеримых функций.
Интеграл Лебега. Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств.
Полные метрические пространства. Банахово пространство. Гильбертово пространство.
Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
2. Автор программы: Мартынов О.М., к.ф.-м.н., доцент
3. Рецензенты: Верещагин Б.М., к.ф.-м.н., доцент, Богомолов Р.А., к.ф.-м.н., доцент
4. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «теория функций действительной переменной»
являются формирование систематизированных знаний в области этой теории, о ее месте и
роли в системе математических наук с учетом содержательной специфики предмета
«Алгебра и начала анализа» в общеобразовательной школе.
Цель курса − вооружить
будущего учителя строгими обоснованиями изученного им курса математического
анализа и познакомить его с такими важными для преподавания и изучения математики
понятиями, какими являются множество, функция, кривая, мера множества, интегралы
Римана и Лебега, метрические пространства, линейные нормированные пространства,
гильбертовы пространства.
5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «теория функций действительной переменной» относится к вариативной
части профессионального цикла (Б.3.В.24).
Для освоения дисциплины «теория функций действительной переменной» студенты
используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения
предмета «Математика» на предыдущем уровне образования, а также знания, умения и
виды деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплины «Математический
анализ» на первом, втором курсах.
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего
изучения дисциплин «Теория функций комплексного переменного», «Дифференциальные
уравнения», «Уравнения математической физики», дисциплин по выбору студентов.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины*
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- Владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способностью логически верно выстраивать устную и письменную речь (ОК-6);
- владением основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать:
- основные понятия теории множеств,
- свойства счётных множеств и множеств мощности континуума,
- строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой,
- меру Лебега линейного множества,
- свойства измеримых функций,
- определение и свойства интеграла Лебега,
- определения метрического, банахова, гильбертового пространства, свойства
полных пространств,
- ряды Фурье в гильбертовом пространстве;
2) Уметь:
- доказывать равенство множеств,
- устанавливать взаимно-однозначное соответствие между эквивалентными
множествами,
- различать счётные множества и множества мощности континуума,
- находить полное изменение функции,
- уметь представлять функцию с ограниченным изменением в виде разности двух
монотонных функций;
3) Владеть
- современными знаниями о теории функций действительной переменной и ее
приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на
которых обеспечивается данная дисциплина).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
108 часов.
108/3
54
8
20
ПР/
СМ
ЛБ
Вид итогового контроля (форма
отчетности)
5
ЛК
Часы на СРС
(для дисц. с экзаменом
включая часы на экзамен)
3
Часов в интеракт. форме (из
ауд.)
050100 «Педагогическое
образование», профиль
«Математика,
Информатика», очная
Всего аудит.
1
Трудоемкость в часах/ЗЕТ
п
/
п
Семестр
№
Курс
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
Виды учебной работы в часах
34
–
18
Экзамен
8. Содержание дисциплины
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
времени:
учебного
Количество часов
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование
раздела, темы
Общая теория множеств
Строение открытых и замкнутых множеств на прямой
Функции
Мера Лебега
Интеграл Лебега
Метрические пространства
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
28/1
28/1
24/1
28/1
20/2
22/2
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Часов на
СРС
4
2
2
4
4
4
6
6
6
4
6
6
–
–
–
–
–
–
3
3
3
3
3
3
9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с
обязательным указанием номера раздела (темы).
1. Общая теория множеств. Эквивалентность множеств. Понятие мощности.
Счётные множества и их свойства. Действия над мощностями. Арифметика счётной
мощности. Мощность множества рациональных и алгебраических чисел. Существование
несчётных множеств. Арифметика мощности континуума. Сравнение мощностей. Теорема
Кантора – Бернштейна. Мощность множества всех подмножеств. Мощность множества
иррациональных и трансцендентных чисел.
2. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Окрестность точки.
Предельная и внутренняя точки. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о
пересечении и объединении открытых и замкнутых множеств. Строение открытых,
замкнутых и совершенных множеств. Множество Кантора.
3. Функции. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Монотонные
функции. Функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые.
4. Мера Лебега. Мера открытого множества. Мера замкнутого множества.
Внутренняя и внешняя мера произвольного множества. Мера Лебега и её свойства.
Операции
над
измеримыми
множествами.
Понятие
измеримой
функции.
Последовательность измеримых функций.
5. Интеграл Лебега. Определение интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
6. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств.
Полные метрические пространства. Банахово пространство. Гильбертово пространство.
Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
10. Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
Форма контроля
выполнения
самостоятельной работы
Наименование раздела
дисциплины
Форма самостоятельной
работы
Кол-во
часов
1
Общая
теория
множеств.
Мощность
множества иррациональных
и трансцендентных чисел.
вопросы
для
самостоятельного
изучения,
- вопросы к коллоквиуму
3
- проверка контрольной
работы,
- коллоквиум
доп.
вопросы
на
экзамене
2
Строение открытых
и замкнутых множеств на
прямой.
Множество
Кантора.
вопросы
для
самостоятельного
изучения,
- вопросы к коллоквиуму
3
- коллоквиум
доп.
вопросы
экзамене
Функции.
вопросы
для
самостоятельного
изучения,
- домашние работы
- контрольная работа
- вопросы к коллоквиуму
3
3
Спрямляемые кривые.
4
вопросы
Мера
Лебега. самостоятельного
Последовательность
изучения,
измеримых функций.
на
- проверка домашних
работ,
- проверка контрольной
работы,
- коллоквиум
доп.
вопросы
на
экзамене
- проверка контрольной
работы,
- вопросы на экзамене
для
3
для
3
- проверка контрольной
работы,
- вопросы на экзамене
для
3
- проверка контрольной
работы,
- вопросы на экзамене
- контрольная работа
- вопросы к экзамену
5.
Интеграл Лебега.
6.
Метрические
пространства.
Ряды
Фурье
произвольном
гильбертовом
пространстве.
вопросы
самостоятельного
изучения,
- контрольная работа
- вопросы к экзамену
вопросы
самостоятельного
в изучения,
- контрольная работа
- вопросы к экзамену
11. Образовательные технологии
На занятиях предполагается использование элементов следующих образовательных
технологий:
Личностно-ориентированная технология обучения
Технология уровневой дифференциации
Проблемное обучение
Исследовательские методы в обучении
Тестовые технологии
Зачетная система
Групповая технология
Технология модульного обучения
Информационно-коммуникационные технологии
Здоровьесберегающие технологии
Интерактивные формы занятий:
№
раздела
(темы)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Формы
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Планы проведения практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Операции над множествами
Вопросы для обсуждения:
1. Действия над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение,
симметричная
разность, произведение).
2. Формулы двойственности.
Литература: [2], стр. 13 – 16, [3], стр. 5 – 11, [4], стр. 5 – 13.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2413, № 2415, № 2417, № 2419, № 2421, № 2423, № 2425, № 2427, № 2429, №
2431,
№ 2433, № 2435, № 2437, № 2439, № 2441, № 2443, № 2445. [5], № 10.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 11 – 24, [4], стр. 14 – 28.
Практическая часть: [8], № 2414, № 2416, № 2418, № 2420, № 2422, № 2424, № 2426, №
2428, № 2430, № 2432, № 2434, № 2436, № 2438, № 2440, № 2442, № 2444.
Практическое занятие № 2
Тема: Отображения множеств
Вопросы для обсуждения:
1. Взаимно однозначное соответствие.
2. Эквивалентность множеств.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2447, № 2449, № 2451, № 2453, № 2457, № 2459, № 2461, № 2463, № 2465, [5], №
27,
№ 29, № 31, № 33, № 35, № 37, № 39, № 41, № 43, № 45, № 47, № 49, № 51, № 58, № 59, №
60.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 16 – 30, [3], стр. 18 – 24, 51 – 55, [4], стр. 22 – 28, 49 56.
Практическая часть: [8], № 2446, № 2448, № 2450, № 2452, № 2454, № 2456, № 2458, №
2460, № 2462, № 2464, № 2466, [5], № 28, № 30, № 32, № 34, № 36, № 38, № 40, № 42, №
44, № 46,
№ 48, № 50, № 52.
Практическое занятие № 3
Тема: Мощность множества
Вопросы для обсуждения:
1. Счётные множества.
2. Множества мощности континуума.
3. Сравнение мощностей.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2467, № 2469, № 2471, № 2475, № 2477, № 2479, № 2481, № 2483, № 2485, №
2487, № 2489, № 2491 [5], № 61, № 63, № 65, № 67, № 73, № 75, № 79, № 81, № 83, № 85.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.
Практическая часть: [8], № 2468, № 2470, № 2472, № 2474, № 2476, № 2478, № 2480, №
2482,
№ 2484, № 2486, № 2488, № 2490 [5], № 62, № 64, № 68, № 75.
Практическое занятие № 4
Тема: открытые и замкнутые множества
Вопросы для обсуждения:
1. Основные понятия теории точечных множеств.
2. Теоремы Больцано – Вейерштрасса.
3. Открытые и замкнутые множества.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2493, № 2495, № 2497, № 2499, № 2501, № 2503, № 2505, № 2507, [5], № 150,
№ 153, № 155, № 163.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 51 – 54, [3], стр. 62 – 68, [4], стр. 60 – 78.
Практическая часть: [8], № 2492, № 2494, № 2496, № 2498, № 2500, № 2502, № 2504, №
2506,
[5], № 152, № 154, № 162.
Практическое занятие № 5
Тема: Точечные множества
Вопросы для обсуждения:
1. Плотные и нигде не плотные множества.
2. Совершенные множества.
3. Множество Кантора.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2519, [5], № 213, № 225, № 226, № 227, № 235, № 236, № 237, № 241, № 244, №
282,
№ 283.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 87 – 127, [4], стр. 88 – 119.
Практическая часть: [8], № 2518, № 2520, [5], № 220, № 224, № 228, № 239, № 240, № 242,
№ 246, № 284.
Практическое занятие № 6
Тема: Контрольная работа
Практическое занятие № 7
Тема: Функции
Вопросы для обсуждения:
1. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание функции на множестве и в точке.
2. Точки разрыва.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Спрямляемые кривые.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], стр. 114 – 116, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 13, № 15, № 17, № 19, № 21,
№ 23, № 27, № 29, № 31.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [3], стр. 138 – 152, [4], стр. 122 – 138.
Практическая часть: [3], стр. 114 – 116, № 2, № 4, № 6, № 8, № 10, № 12, № 14, № 16, №
18,
№ 20, № 22, № 26, № 28, № 30.
Практическое занятие № 8
Тема: Мера Лебега
Вопросы для обсуждения:
1. Мера открытого множества.
2. Мера замкнутого множества.
3. Внутренняя и внешняя мера произвольного множества.
4. Понятие измеримой функции.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[7], № 2525, № 2527, № 2529, № 2531, № 2533, № 2535, № 2537, № 2539, № 2541, № 2547,
№ 2551, № 2553, № 2555, №2561.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [3], стр. 150 – 170, [4], стр. 139 – 162.
Практическая часть: [7], № 2526, № 2528, № 2530, № 2532, № 2534, № 2536, № 2538, №
2550,
№ 2552, № 2554, № 2556, № 2558, № 2560.
Практическое занятие № 9
Тема: Интеграл Лебега
Вопросы для обсуждения:
1. Определение интеграла Лебега.
2. Свойства интеграла Лебега.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2571, № 2573, № 2575, № 2577, № 2579, № 2581, № 2583, № 2585, № 2587, № 2589,
№ 2591.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 31 – 80.
Практическая часть: [8], № 2570, № 2572, № 2574, № 2576, № 2578, № 2580, № 2582, №
2584,
№ 2586, № 2588, № 2590, № 2592.
Практическое занятие № 10
Тема: Метрические пространства
Вопросы для обсуждения:
1. Определение метрического пространства.
2. Примеры метрических пространств.
3. Полные метрические пространства.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2613, № 2615, № 2617, № 2619, № 2621, № 2623, [5], № 119, № 123.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [2], стр. 104 – 150.
Практическая часть: [8], № 2612, № 2614, № 2616, № 2618, № 2620, № 2622, [5], № 118, №
122.
Практическое занятие № 11
Тема: Линейные нормированные пространства
Вопросы для обсуждения:
1. Определение линейного нормированного пространства.
2. Банахово пространство.
3. Гильбертово пространство.
4. Линейный функционал. Норма функционала.
5. Линейный оператор. Норма оператора.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[8], № 2625, № 2627, № 2629, № 2631, № 2633, № 2635, № 2637, № 2639, № 2641.
Домашнее задание:
Практическая часть: [8], № 2624, № 2626, № 2628, № 2630, № 2636, № 2638, №2640.
Практическое занятие № 12
Тема: Контрольная работа
13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому
анализу, М., Дрофа, 2003.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. – Москва – Ижевск. 2002.
3. Сборник задач по математическому анализу : учеб. пособие : в 3. т. / Л. Д.
Кудрявцев [и др.]. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.
4. Фихтенгольц Г.М.Основы математического анализа : учебник для вузов : в 2 ч. / Г.
М. Фихтенгольц. - Изд. 6-е., стер. - СПб. : Лань, 2005
Дополнительная литература
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М., 1957.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М., 1960.
3. Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. – М., 1958.
4. Фролов Н.А. Теория функций действительной переменной. – М., 1961.
5. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. – М.. 1968.
6. Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительной переменной. –
М.,
1981.
7. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах.
– М.,
1978.
8. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому
анализу.
– М., 1973.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 перечень используемых технических средств
Ноутбук, проектор, экран.
 программное обеспечение
программы Mathematica, Microsoft Word, Microsoft Excel.
15. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов для оценки сформированности компетенций по
дисциплине, заявленных в п. 6:
Примерные вопросы к коллоквиуму и экзамену
1. Мощность множества
1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
2. Счётные множества и их свойства.
3. Действия над мощностями.
4. Арифметика счётной мощности.
5. Мощность множества рациональных чисел.
6. Мощность множества алгебраических чисел.
7. Существование несчётных множеств.
8. Арифметика мощности континуума.
9. Сравнение мощностей.
10. Теорема Кантора-Бернштейна.
11. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
12. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного
множества.
13. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.
14. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.
2. Множества на числовой прямой.
1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные
определения.
2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.
3. Теорема о дополнении к открытому множеству.
4. Теорема об объединении открытых множеств.
5. Теорема о пересечении открытых множеств.
6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формулы двойственности.
7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формулы двойственности.
8. Строение открытых множеств на прямой.
9. Строение замкнутых множеств на прямой.
10. Строение совершенных множеств на прямой.
11. Множество Кантора и его свойства.
3. Функции.
1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.
2. Монотонные функции.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Классы функций с ограниченным изменением.
5. Свойства функций с ограниченным изменением.
6. Аддитивность полной вариации.
7. Спрямляемые кривые.
4. Мера Лебега.
1. Мера открытых множеств.
2. Мера замкнутых множеств.
3. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.
4. Мера Лебега и её свойства.
5. Отделимость замкнутых множеств.
6. Аддитивность меры.
7. Операции над измеримыми множествами.
5. Измеримые функции.
1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.
2. Свойства измеримых функций.
3. Последовательности измеримых функций.
4. Сходимость почти везде.
5. Сходимость по мере.
6. Теоремы Д.Ф. Егорова и Н.Н. Лузина.
6. Интеграл Лебега.
1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.
2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.
3. Определение интеграла Лебега.
4. Свойства интеграла Лебега.
5. Предельный переход под знаком интеграла.
6. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
7. Метрические пространства.
1. Понятие метрического пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Банаховы пространства.
4. Гильбертово пространство.
5. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.
6. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
Контрольные работы
Контрольная работа № 1 (три варианта)
\
(
B
\)(
C

A
\)(
BA
C
)
,
1. Доказать равенства: а) A
б)
(\)
A
B
\
C

(\)
A
C
\
(\)
B
C
,
A
\
B
)
(
B
\
C
)
(
C
\
A
)
(
A
B
C
)

A
B
C
.
в) (
2. Установить взаимно однозначное соответствие:
а) между множеством натуральных чисел и множеством всех целых чисел;
б) между множеством натуральных чисел и множеством всех нечётных чисел;
в) между множеством всех неотрицательных рациональных чисел и множеством всех
натуральных чисел.
3. Найти взаимно однозначное отображение:
а) интервала  a; b  на всю числовую прямую; б) числовой прямой на интервал
 a; b  ;
в) отрезка [ a; b] на отрезок [0; 1].
4. Какова мощность множества:
а) всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные
координаты?
б) всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?
в) всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра
которых – рациональные числа?
5. Найти замыкание множества всех точек вида:
p2
а) 2 , где p и q  всевозможные целые числа, причём q  0.
q
б) 2 q , где p и q  всевозможные натуральные числа,
p
q2
, p и q  всевозможные целые числа, отличные от нуля.
в)
4p2 q2
Контрольная работа № 2 (три варианта)
1. Найдите полное изменение функции f на отрезке [ a; b] . Найдите для функции f две
 и  такие, что f()
x

()
x

()
xна [a; b] .
0
п
р
и
x

0
,


(
x
)

1

x
п
р
и
0

x

1
,н
а
о
т
р
е
з
к
е
[
0
;
1
]
;

а) f

5
п
р
и
x

1

монотонные функции

x

1
п
р
и
x

1
,

()

1
0
п
р
и
x

1
,н
а
о
т
р
е
з
к
е
[
0
;2
]
;

б) fx

2
x
п
р
и
x

1
,

2


x
п
р
и
x

[
0
;1
)
,

()

0
п
р
и
x

1
,н
а
о
т
р
е
з
к
е
[
0
;2
]
.

в) fx

1
п
р
и
x

(
1
;2
]
,

Постройте графики функций f ,, .
2. Проверьте, являются ли метриками следующие функции:
а)
б)
в)

(
x
,)
y

|xy
|
,x
,
y

R
;
3
3

(
x
,
y
)

|
a
r
c
t
g
x

a
r
c
t
g
y
|
,,
x
y

R
;

(
x
,
yx
)

| 
y
|
,
x
,
y

R
,
xy

0
,
0
.
16. Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1
Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
1. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества.
2. Счётные множества и их свойства.
3. Действия над мощностями.
4. Арифметика счётной мощности.
5. Мощность множества рациональных чисел.
6. Мощность множества алгебраических чисел.
Лекция №2
Существование несчётных множеств. Арифметика мощности континуума.
1. Существование несчётных множеств.
2. Арифметика мощности континуума.
3. Сравнение мощностей.
4. Теорема Кантора-Бернштейна.
Лекция №3
Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
1. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.
2. Мощность континуума как мощность множества всех подмножеств счётного
множества.
3. Мощность множества иррациональных и трансцендентных чисел.
4. Пример множества, имеющего мощность, большую, чем мощность континуума.
Лекция №4
Теоремы о дополнении, объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств.
1. Окрестность точки. Предельная точка. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные
определения.
2. Теорема о дополнении к замкнутому множеству.
3. Теорема о дополнении к открытому множеству.
4. Теорема об объединении открытых множеств.
5. Теорема о пересечении открытых множеств.
6. Теорема об объединении замкнутых множеств. Формула двойственности.
7. Теорема о пересечении замкнутых множеств. Формула двойственности.
Лекция №5
Строение открытых, замкнутых и совершенных множеств на прямой.
1. Строение открытых множеств на прямой.
2. Строение замкнутых множеств на прямой.
3. Строение совершенных множеств на прямой.
4. Множество Кантора и его свойства.
Лекция №6
Функции с ограниченным изменением.
1. Верхняя и нижняя грани множества значений функции. Колебание функции.
2. Монотонные функции.
3. Функции с ограниченным изменением.
4. Классы функций с ограниченным изменением.
Лекция №7
Спрямляемые кривые.
1. Свойства функций с ограниченным изменением.
2. Аддитивность полной вариации.
3. Спрямляемые кривые.
Лекция №8
Мера открытых множеств. и замкнутых множеств.
1. Мера открытых множеств.
2. Мера замкнутых множеств.
Лекция №9
Мера Лебега и её свойства.
1. Внутренняя и внешняя меры произвольного множества.
2. Мера Лебега и её свойства.
3. Отделимость замкнутых множеств.
Лекция №10
Операции над измеримыми множествами.
1. Аддитивность меры.
2. Операции над измеримыми множествами.
Лекция №11
Измеримые функции.
1. Понятие измеримой функции. Характеристические функции.
2. Свойства измеримых функций.
3. Последовательности измеримых функций.
4. Сходимость почти везде.
5. Сходимость по мере.
6. Теоремы Д.Ф. Егорова и Н.Н. Лузина.
Лекция №12
Интеграл Лебега.
1. Строение верхних и нижних сумм Лебега.
2. Свойства верхних и нижних сумм Лебега.
3. Определение интеграла Лебега.
Лекция №13
Свойства интеграла Лебега.
1. Свойства интеграла Лебега.
2. Предельный переход под знаком интеграла.
3. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Лекция №14
Метрические пространства.
1. Понятие метрического пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Банаховы пространства.
4. Гильбертово пространство.
Лекция №15
Сжимающие отображения.
1. Определение сжимающего отображения
2. Теорема Банаха о сжимающих отображениях.
3. Применение теоремы Банаха.
17. Словарь терминов (глоссарий)
Отображение f : X  Y называется взаимно однозначным соответствием, если
f  обратимое отображение множества X “на” Y . Иначе такое отображение называется
биекцией, биективным (оно одновременно инъективно и сюръективно).
Два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие,
называются эквивалентными. Обозначение: X Y .
Будем говорить, что любые два эквивалентных множества (конечные или
бесконечные) обладают одинаковой мощностью или являются равномощными.
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счётным
множеством. Обозначение:  ( )  a.
, то говорят также, что элементы множества M можно занумеровать
Если M
натуральными числами, записать в виде последовательности.
1-ое свойство. Из всякого бесконечного множества можно выделить счётное
подмножество.
2-ое свойство. Из всякого бесконечного множества можно выделить счётную
часть, не изменив мощности этого бесконечного множества.
Множество называется бесконечным, если оно не является конечным (определение
в отрицательной форме). Другое определение основано на свойстве 2.
Множество называется бесконечным, если оно содержит правильную часть,
эквивалентную всему множеству.
Всякое подмножество счётного множества конечное или счётное.
Пусть множества M 1 и M 2 не имеют общих элементов (M1 M 2  ). Если
1   (M1 ), 2   (M 2 ), то мощность  множества M1 M 2 называется суммой
мощностей 1 и  2 и обозначается   1  2 . Аналогично определяется сумма любого
числа мощностей.
Пусть M1  {x} и M 2  { y}  любые множества ( 1   (M1 ), 2   ( M 2 )).
Мощность  множества M  M1  M 2 называется произведением мощностей 1 и  2 и
обозначается   1  2 .
1. a  n  a , 2. a  a  a, 3. a  a  ...  a  na  a, 4. a  a  ...  a  ...  a  a  a 2  a,
5. n1  n2  ...  nk  ...  a. Здесь ni   ( Ni ), ni  .
Другими словами эти равенства означают, что
1. Объединение счётного и конечного множеств есть множество счётное.
2. Объединение двух счётных множеств есть множество счётное.
3. Объединение конечного числа счётных множеств есть множество счётное.
4. Объединение счётного числа счётных множеств есть множество счётное.
В первых четырёх утверждениях не обязательно требовать дизъюнктность
множеств.
5. Объединение счётного числа попарно не пересекающихся конечных множеств
есть множество счётное.
Множество всех пар натуральных чисел счётно.
Множество Q всех рациональных чисел счётно.
Если множество A состоит из элементов ax1 , x2 ,..., xn , различаемых n значками
x1 , x2 ,..., xn , каждый из которых независимо от других, принимает счётное множество
значений, то данное множество A  {ax1 , x2 ,..., xn } счётно.
Множество всех многочленов Pn ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an 1 x  an (a0  0) с рациональными
коэффициентами счётно.
Алгебраическим числом называется корень всякого алгебраического уравнения с целыми
(рациональными) коэффициентами, т.е. корень уравнения Pn ( x)  0 
 a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an  0, где ak  (ak  Q), k  0, n, a0  0.
Множество алгебраических чисел будем обозначать буквой А.
Множество алгебраических чисел счётно.
Несчётным множеством называется бесконечное множество не являющееся счётным.
Множество действительных чисел отрезка [0, 1] несчётно.
Мощность множества всех действительных чисел отрезка [0, 1] называется
мощностью континуума.  ([0, 1])  c, c  второе трансфинитное число, с которым мы
встречаемся.
1. c  n  c. 2. c  a  c. 3. c  c  c. 4. c  c  ...  c  nc  c. 5. c  c  ...  c  ...  ac  c. 6.
c  c  c 2  c.
Если к любому бесконечному множеству прибавить конечное или счётное
множество новых элементов, то мощность бесконечного множества не изменится.
Между множествами X и Y возможны следующие соотношения.
1. X Y . В этом случае  ( X )   (Y ) (по определению).
2. а) X не Y , б) X  X1 Y . Будем говорить, что  ( X )   (Y ). Если выполнено
только б), то  ( X )   (Y ) (по определению).
3. а) X не Y , б) Y  Y1 X . Будем говорить, что  (Y )   ( X ). Если выполнено
только б), то  (Y )   ( X ) (по определению).
4. X  X1 Y , Y  Y1 X  X Y (теорема Кантора-Бернштейна).
5. В множестве X нет подмножества, эквивалентного Y , в множестве Y нет
подмножества, эквивалентного X (в действительности оказывается, что такое
соотношение невозможно).
Итак, для любых мощностей 1 и  2 обязательно имеет место одно и только одно
из трёх соотношений: 1  2 , 1  2 , 1  2 .
Счётная мощность есть наименьшая среди бесконечных мощностей, т.е. a   , где
  мощность бесконечного множества.
Теорема (Кантора-Бернштейна). ( B  B1 A)  ( A  A1 B)  A B.
Если каждое из двух множеств эквивалентно части другого, то эти множества
эквивалентны.
Лемма (о мощности промежуточного множества).
Пусть A  A1  A2 и  ( A)   ( A2 ), тогда  ( A)   ( A1 )   ( A2 ).
Теорема. Мощность множества всех подмножеств непустого множества M
больше, чем мощность самого множества M .
Следствие. Существуют множества сколь угодно высокой мощности, то есть не
существует множества наивысшей мощности. (множество всех подмножеств данного
множества).
Теорема. Мощность множества всех подмножеств счётного множества есть
мощность континуума (2a  c) .
Теорема. Если из несчётного множества M удалить конечное или счётное
подмножество A, то останется множество M \ A, эквивалентное данному множеству M .
  окрестностью точки a называется интервал (a   , a   ). Обозначение U (a,  ).
Проколотой
(a   , a) (a, a   ).
Обозначение U (a,  ).
Точка c 
  окрестностью
называется
точки
предельной
a
точкой
называется
множества
множество
E
,
если
 0 U (c,  ) E  
( U (c,  ) ( E \{c})   ). Словами: точка c  называется предельной точкой множества
E  , если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка множества E ,
отличная от c.
Точка d  и не являющейся предельной точкой множества E  , называется
изолированной точкой множества E. (  0 [U (d ,  ) E  {d }] ).
Множество всех предельных точек множества E называется производным множеством
множества E и обозначается E  .
Множество E называется замкнутым, если E  E  (множество, содержащее все свои
предельные точки).
Если E  E , т.е. если все точки множества E предельные, то множество E
называется плотным в себе.
Если E  E , то множество E называется совершенным (т.е. одновременно и замкнутое и
плотное в себе). Пример: отрезок [a, b]  совершенное множество.
Точка x  называется внутренней точкой множества E , если  0 [U ( x,  )  E ].
Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.
Пусть функция f определена на отрезке [a, b]. Произведём разбиение T отрезка
Составим
сумму
T  {a  x0  x1  ...  xk 1  xk  ...  xn  b}.
[a, b].
v( f , T )   k 1 | f ( xk )  f ( xk 1 ) | .
n
Функция f называется функцией с ограниченным изменением на [a, b], если
суммы v ( f , T ) ограничены в совокупности при всевозможных разбиениях T отрезка
[a, b]. M T [v( f , T )  M ].
Верхняя грань по всем разбиениям T обозначается sup v( f , T )  Vab f ( x) и
T
называется полным изменением функции f на отрезке [a, b] или полной вариацией
функции f на отрезке [a, b] .
Мерой интервала (a, b) , где a  b, называется число b  a : m(a, b)  b  a.
Очевидно, что мера интервала – число неотрицательное.
Мера объединения счётного числа попарно не пересекающихся открытых

множеств равна сумме мер данных множеств: (m n1 Gn  n1 mGn , Gn Gp   , n  p).
Внешней мерой ограниченного множества E называется нижняя грань мер
всевозможных открытых множеств, содержащих множество E .
m* E  inf mG.
E G
Внутренней мерой ограниченного множества E называется верхняя грань мер
всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E . m* E  sup mF.
F E
Ограниченное множество E называется измеримым по Лебегу, если его
внутренняя мера равна внешней мере. Общее числовое значение внешней и внутренней
меры называют мерой Лебега множества E (или просто мерой E ). Обозначение:
m* E  m* E  mE.
Теорема отделимости. Пусть даны два непустых замкнутых множества F1 и
F2 , F1 F2  . Тогда существуют два открытых множества G1 и G2 такие, что F1  G1 ,
F2  G2 и G1 G2  .
Функция f , заданная на множестве E  , называется измеримой на E , если
1) E измеримо, 2) a измеримо множество тех x, для которых f ( x)  a.
Обозначение: E ( f  a)  {x | x  E, f ( x)  a}.
Общее значение чисел I*  I *  I называют интегралом Лебега ограниченной
измеримой
функции
f.
Обозначение:
I  ( L) f ( x)dx.
E
E  [a; b],
Если
то
b
I  ( L)  f ( x)dx.
a
Знак ( L) опускают там, где говорится только об интеграле Лебега.
Метрическим пространством называется пара
X, ,
состоящая из некоторого
множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной,
неотрицательной, действительной функции   x, y  , определенной для любых x и y
из X и подчиненной следующим трем аксиомам: 1)
  x, y   0 тогда и только тогда,
2)
(аксиома
  x, y     y, x 
x y;
  x, z     x, y     y, z  (аксиома треугольника).
когда
Само метрическое пространство, т.е. пару
буквой: R   X ,
 .
X, ,
симметрии);
3)
принято обозначать одной
Открытым шаром B  x0 , r  в метрическом пространстве R называется
совокупность точек x  R , удовлетворяющих условию
  x, x0   r . Точка x0
r – его радиусом. Замкнутым шаром B  x0 , r 
называется совокупность точек x  R , удовлетворяющих условию   x, x0   r .
Открытый шар радиуса  с центром x0 называется также  -окрестностью точки x0 и
обозначается символом O  x  .
Точка x  R называется точкой прикосновения множества M  R , если любая ее
окрестность содержит хотя бы одну точку из M . Совокупность всех точек прикосновения
множества M обозначается  M  и называется замыканием этого множества.
Точка x  R называется предельной точкой множества M  R , если любая ее
окрестность содержит бесконечно много точек из M .
Пусть x1, x2 , ... – последовательность точек в метрическом пространстве R .
Говорят, что эта последовательность сходится к точке x , если каждая окрестность
O  x  точки x содержит все точки xn , начиная с некоторой, т.е. если для всякого   0
найдется такое число N  , что O  x  содержит все точки xn с n  N . Точка x
называется пределом последовательности  xn  .
Это определение можно сформулировать и так: последовательность  xn  сходится к
x , если lim   x, xn   0 .
называется центром этого шара, а число
n
Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве R . Множество A
называется плотным в B , если  A  B . В частности, множество A называется всюду
плотным (в пространстве R ), если его замыкание  A совпадает со всем пространством
R.
Множество M , лежащее в метрическом пространстве R , называется замкнутым,
если оно совпадает со своим замыканием:  M   M . Иначе говоря, множество
называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.