Сопротивление цилиндрической оболочки локальным

Сопротивление цилиндрической оболочки локальным динамическим нагрузкам
Ш.Мамаев
Московский физико-технический институт (Москва), Россия
Определяющая система уравнений. Будем использовать следующее безразмерные
величины:
xi 
 ij
xi
t  c1
,  ij 
, t
,
l
l
  c12
Vi 
Vi
,
c1
c1 
  2

,
(1)
x1  r , x 2   ,
x3  z -цилиндрические координаты, t -время, l -характерная длина,  -плотность
где с чертой обозначены соответствующие размерные величины,
среды,
c1-скорость распространения продольной волны. V1  V r , V 2  V , V3  V  ,
 11   rr ,  22    ,  33    ,  12   r ,  23    ,  31   r -
компоненты
вектора скорости частиц и тензора напряжений. Исходная система уравнений
описывающий процесс распространения динамических возмущений в упругой
изотропной среде в цилиндрических координатах имеет вид:
1
1
V1   11,1    12, 2   13,3   11   22 ,
r
r
1
2
V2   21,1   22, 2   23, 3   21,
r
r
1
1
V3   31,1   32, 2   33,3   31,
r
r
1
1 2
2
2
2
11  c11V1,1  c12  V2, 2  c13V3,3  c12
V1 ,
r
r
1
1 2
2
2
2
 22  c21
V1,1  c22
V2, 2   c23
V3,3  c22
V1 ,
r
r
1
1 2
2
2
2
 33  c31
V1,1  c32
 V2, 2  c33
V3,3  c32
V1 ,
r
r
1 2

2 1
12  S12
 V1, 2  V2,1    S12V2 ,
r
r

1


2
 23  S 23
V2, 3  V3, 2   0,
r


2
(2)
V1,3  V3,1   0.
 31  S31
Здесь
  2.......при....i  j,
cij  
................при...i  j,
S ij   .  ,  -постоянные Ламе, запятая
означает дифференцирование по соответствующей переменной.
Для решения системы уравнений (2) применяется метод бихарактеристик,
основанной на сочетании идей метода характеристик и расщепления [1, 2].
Постановка задачи. Рассматривается цилиндрическая оболочка толщиной H,
 Ш. Мамаев, 2013
внутренним радиусом R0, длиной L. Цилиндрическая оболочка в начальный момент
времени находится в состоянии покоя
vi = 0; ij = 0 (i, j =1,2,3) при t=0.
(3)
В
любой
другой
момент
времени
t
на
малый
участок


  x 20  x 2  x12 , x30  x3  x31 внутренней поверхности оболочки (граница х1=R0)
действует нестационарная нормальная к поверхности оболочки нагрузка f(x2,x3;t)
изменяющаяся во времени и по координатам
 f x 2 , x3 ; t  при t  T ,
 12  0,  13  0
при t  T ,
0
 11  
где T – время действия нагрузки.
Предполагается, что грань x3=L жестко закреплена
v1=0; v2 =0; v3 =0
а грань x3=0 свободна от нагрузок, т.е.
33 = 0, 13 = 0 и 23 = 0.
Вся наружная поверхность оболочки свободна от действия каких–либо нагрузок, т.е.
11 = 12 = 13 = 0 при х1 = R0+H
(4)
(5)
(6)
(7)
Задача сводится к интегрированию системы уравнений (2) при нулевых начальных
(3) и граничных (4-7) условиях.
Анализ результатов численных расчетов. В расчетах рассматривалась
цилиндрическая оболочка конечных размеров: H= 2h1, R0 =100h1, L = 100h3. Отношение
радиуса к толщине составляет 50 и рассматриваемая оболочка относится к семейству
тонкостенных оболочек. Несмотря на особенности размеров оболочки, она исследуется в
трехмерной постановке. При численной реализации задачи выбиралась следующая
форма динамического нагружения
f(х2,х3;t) = A[1– cos(t/T)](х30 –x3)( x31–х3) cos (х2)
(16)
в которой А=0.5 – постоянный коэффициент, Т =80, х20=-4h2, х21 = 4h2, х30 = 30h3, х31 =
50h3, =15. Задача решалась на сетке 3*121*101. Шаги сетки по времени =0.005 и
пространственным координатам h1 = h3 = h =2; h2 =/120=0.02618 выбиралась согласно
условию
устойчивости.
Минимальное
значение
внешней
нагрузки
f (0,40h3 ; 40 )  1.
Принятая форма нагружении (16) является симметричной относительно плоскости х2=0 и
решение определяются для углов 0x2, а при x2=0,  ставится условие симметрии
V2  0, 12  0, 23  0,V1, 2   11, 2   22, 2  0 .
Материал
цилиндра
имеет
следующие характеристики: Е=202 ГПа, =0.3, =7,951*10-10кгс2/мм4. Общий анализ
результатов вычислений показывает, что в рамках решенной задачи (выбранных
размеров оболочки, места расположения и размера площадки динамического
воздействия, его интенсивности и скорости приложения) наибольшие напряжения
реализуются в области, непосредственно прилегающей к области, где действует внешняя
нагрузка, в течение времени, которое практически совпадает с продолжительностью её
воздействия. На рис.1 приведены осциллограммы нормальных окружных 22 (рис.1,а) и
осевых 33 (рис.1,б) напряжений в девяти точках 1(0,0,40h), 2(0,2h2,40h), 3(0,4h2,40h),
 Ш. Мамаев, 2013
4(h,0,40h), 5(h,2h2,40h), 6(h,4h2,40h), 7(2h,0,40h), 8(2h,2h2,40h), 9(2h,2h2,40h) в сечении
х3=40h, соответствующем наименьшему значению внешней нагрузки. С течением
времени t после окончания времени воздействия внешней нагрузки уровень напряжений
сильно уменьшается. Поэтому с точки зрения возможности разрушения оболочки может
представить интерес уровень напряжений в моменты времени t, близкие к времени
действия внешней нагрузки. Так, например, в период времени нагружения 0  t  600 на
внутренней поверхности x1=R0 реализуется напряжения сжатия, за исключением точек
3(0,4h2,40h) в которой в начальный период времени происходит растяжения. Наибольшая
величина напряжения превосходит в 2.1 раза минимума внешней нагрузки
по
абсолютной величине и может способствовать развитию разрушения с внутренней
стороны. А на наружной поверхности х1= R0+H оболочки реализуются напряжения
растяжения. При этом, окружная 22 и осевая 33 компонента напряжений достаточно
большие (кривая 7), которые превосходят максимум внешней нагрузки в 5.6-5.4 раз в
моменты времени 104-110  . В более отдаленные моменты времени t распределение
напряжений по толщине оболочки становится однородным.
На рис. 2 представлены изменения во времени t и в осевом направлении
х3 (40h3  x3  60h3 ) окружных напряжений 22(х3,t) в трех поверхностях х1  0
х1  h (срединная, b) и х1  2h (наружная, с) по толщине оболочки на
двух ее меридиональных сечениях х2  0 (слева) и х2  4h2 (справа) (сечения
х2  4h2 соответствуют границе приложенной нагрузки). Можно видеть, что на
внутренней поверхности оболочки по оси ( х2  0) действия нагрузки вслед за
окончанием ее
воздействия (в момент времени 120  t  160 ) реализуются
(внутренняя, а)
сжимающие окружные напряжения большой величины превыщающее минимальные
значения внешней нагрузки. Несколько ранее (в моменты времени 80  t  100 ) на
границе действия нагрузки (х2=4h2) реализуются напряжения растяжения, медленно
уменьшающиеся от широты х3  40h центрального сечения поверхности нагружения к
сечению
х3  60h. Несмотря на то, что уровни растягивающих напряжений несколько
меньше (в два раза в рассматриваемом случае) абсолютной величины рассмотренных
выше сжимающих окружных напряжений, можно заключить, что именно растягивающие
нормальные напряжения 22 могут быть причиной разрыва нагруженной области от
остальной части оболочки. В точках срединной поверхности х1  h (см. рис 2,b) уровни
окружных напряжений 22 заметно ниже, чем на внутренней поверхности.
Примечательно, что окружные напряжения всюду на срединной поверхности является
растягивающими. Поэтому небольшой фон напряжений может только способствовать
развитию области разрывов. На наружной поверхности х1  2h оболочки (см. рис 2,с) в
х2  0 и х2  4h2 нормальное окружное напряжение 22
является напряжениями растяжения. При этом по оси ( х2  0) действия нагрузки
исследуемых сечениях
максимальные величины окружных напряжений 22 реализуются практически сразу
(моменты времени 101  t  116 ) после окончания действия внешней нагрузки.
Величины нормальных окружных напряжений 22 большие и, безусловно, они являются
 Ш. Мамаев, 2013
причиной местных разрывов в центре действия внешней нагрузки. По мере удаления от
оси действия нагрузки окружные напряжения 22 быстро
уменьшаются и в
меридиональном
сечении ( х2  4h2 ) максимальные их значения составляют уже
8.0
х2  0 . При этом они достигаются в
несколько поздние
моменты времени (в момент времени 240  t  270 ). Тем не
7
менее
8.0 и в этом сечении ( х2  4h2 ) величины окружной напряжений 22 достаточны для
меньше половины того, что было на оси
4.0
того, чтобы 8поддержать начатое с внутренней поверхности разрушения в этом сечении.
S22
3
4.0
0.0
7
а
8
22
9
S22
3
2
0.0
-4.0
11
9
2
11
-4.0
-8.0
0
400
800
1200
1600
t
-8.0
0
400
800
t
1200
t
1600
б
33
t
Рис. 1,2. Осцилограммы S22 (1), S33 (2) для точек 1(1,1,41), 2(1,3,41).3(1,5.41), 4(2,1,41), 5(2,3,41), 6(2,5,41),
7(3,1,41). 8(3,3,41), 9(3,5,41).
 Ш. Мамаев, 2013
Рис. 1,2. Осцилограммы S22 (1), S33 (2) для точек 1(1,1,41), 2(1,3,41).3(1,5.41), 4(2,1,41), 5(2,3,41), 6(2,5,41),
7(3,1,41). 8(3,3,41), 9(3,5,41).
Рис. 1
20
a
X3
15
10
5
50
100
150
200
250
300
200
250
300
200
250
300
t
20
20
b
15
X3
X3
15
10
10
5
5
50
100
150
200
250
300
50
100
t
150
t
20
20
15
15
X3
X3
c
10
10
5
5
50
100
150
t
200
250
300
50
150
t
Рис. 2
ZIL55': S22(X3,t) X2=5, ,X1=1(a), X1=2(b), X1=3(c), 41<=X3<=61
Рис.5.ZIL55': S22(X3,t) X2=1, ,X1=1(a), X1=2(b), X1=3(c), 41<=X3<=61
a
100
b
Рис. 3
Рис.11.ZIL71:
S23(X2, X3)
при T=100t, X1=0(a),
X1=2h(b), X1=h(c).
 23 ( x2 , x3 ) при
На рис. 3 приведены
изолинии
сдвиговых
напряжений
х1  0
(слева), х1  2h (справа) в момент времени t  100 . Из которых видно экстремальные
значения достигаются на внутренних и внешних поверхностях оболочки в окрестности
угловых точек прямоугольника ограничивающего область действия нагрузки. Таким
c
образом касательные напряжения  23 инициируются дифрагированными от угловых
точек волнами сдвига.
Таким образом, в рамках решенной задачи можно заключить, что разрушения
оболочки в первую очередь могут иметь место на наружной поверхности оболочки в
точке экстремума действующей
нагрузки и в последующем эти разрушения
локализуются по границе области приложения внешней нагрузки. Так как внешняя
 Ш. Мамаев, 2013
нагрузка была сглажена по координатам и времени, то указанные разрушения в
основном обусловлены нормальными напряжениями. Касательная напряжения  23
могут способствовать развитию разрушения.
Литература
1. Тарабин Г. Т. Численное решение нестационарных задач динамики анизотропной упругой среды //Изв.
АН СССР. МТТ. 1982. № С.83-95.
2. Каримбаев Т.Д., Мамаев Ш. Применение метода бихарактеристик к исследованию локального
импульсного нагружения цилиндрической оболочки // Механика и моделирование процессов технологии.
Тараз. 2005. №1. С.150-161.
 Ш. Мамаев, 2013