На правах рукописи ЛУЦЕНКО Илья Вячеславович Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление

На правах рукописи
ЛУЦЕНКО Илья Вячеславович
СИНТЕЗ АСТАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
НА ОСНОВЕ ТЕОРИЙ Н2 - и Н∞ -ОПТИМИЗАЦИИ
Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление
и обработка информации (в технической отрасли)
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Саратов – 2009
Работа выполнена в ГОУ
технический университет».
ВПО
«Саратовский
государственный
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Садомцев Юрий Васильевич
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор
Резчиков Александр Федорович
кандидат технических наук
Тетерин Дмитрий Павлович
Ведущая организация – Институт проблем управления РАН, г. Москва
Защита состоится «30» июня 2009 г. в 14 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.242.04 при ГОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов,
ул. Политехническая, 77, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научнотехнической библиотеки ГОУ ВПО «Саратовский государственный
технический университет».
Автореферат разослан « 28 »
мая
Ученый секретарь
диссертационного совета
2009 г.
В.В. Алешкин
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Проблема синтеза многомерных систем управления с учетом действующих на них внешних возмущений является одной из
основных в современной аналитической теории управления. В рамках ее
решения часто применяются астатические законы управления, которые обеспечивают нулевую статическую ошибку регулирования при постоянных
возмущениях. Учет требования астатизма обычно осуществляется путем
расширения модели объекта за счет введения интеграторов, которые после
решения задачи синтеза относятся к регулятору. Очевидно, что методика
приводит к увеличению порядка закона управления. Тем не менее этот
недостаток может быть устранен, а эффективность методики повышена, если
построение астатических законов управления осуществлять в классах регуляторов пониженной размерности.
Среди существующих подходов к решению задачи синтеза с учетом
внешних возмущений наиболее значимыми результатами являются: динамическая компенсация возмущений с предположительно известной моделью
(Ш. Бхаттачария, В. Волович, Е. Девисон, М. Уонем); линейно-квадратическая
гауссовская (LQG) оптимизация при случайных возмущениях с заданными
характеристиками (Р. Бьюси, Р. Калман, Х. Квакернаак, В.Б. Ларин, М. Уонем,
Ю.П. Петров); L1-оптимизация при наихудших возмущениях (А.Е. Барабанов,
Е.Д. Якубович, Дж. Пирсон); H2 - и H -оптимизация для возмущений с ограниченной L2-нормой (энергией) (Дж. Зеймс, Б. Френсиc, Дж. Дойл, К. Гловер).
Анализ перечисленных подходов показывает, что методы динамической
компенсации и L1-оптимизации неоправданно усложняют структуру регулятора, а решение проблемы понижения порядка регуляторов получено только
для вырожденных задач LQG- (Д. Ром, П. Бланвиллайн) и H -оптимизации
(Ю.В. Садомцев), когда отсутствуют помехи измерений либо управления в
квадратичном функционале или регулируемом выходе. При этом следует
заметить, что если внешнее возмущение принимается белым шумом единичной
интенсивности, то критерии в задачах LQG- и H2 -оптимизации совпадают,
т. е. эти задачи оказываются эквивалентными. Таким образом, для решения
проблемы понижения порядка H2 -оптимальных регуляторов возможно
использовать аналогичные LQG-теории подходы. Однако в их рамках
использовалось упрощающее предположение о характере влияния внешнего
возмущения на объект управления. В частности, это возмущение предполагалось полным, т. е. возбуждающим каждую компоненту вектора состояний,
что не позволяет выявить некоторые особенности решения, связанные с определенным местом приложения внешнего возмущения.
Заметим, что реальные системы управления должны сохранять свойство
устойчивости при изменении их параметров или при наличии немоделируемой
динамики (требование робастной устойчивости), а в цифровых системах, как
правило, присутствует запаздывание, вносимое бортовым вычислителем.
Таким образом, разработка методов синтеза астатических регуляторов пониженной размерности на основе H2 - и H -критериев, учитывающих указанные
особенности практических задач, является актуальной проблемой.
3
Цель работы состоит в решении задачи понижения порядка
H2 -оптимальных непрерывных и дискретных регуляторов и разработке на их
основе астатических законов управления, в том числе, с использованием
теории H -оптимизации (в классе регуляторов пониженной размерности) с
учетом запаздывания по управлению и требования робастной устойчивости.
Достижение этой цели осуществляется решением следующих задач.
1. Построить методику синтеза непрерывного и дискретного динамических регуляторов по выходу пониженной размерности, которые при действии
внешних неопределенных возмущений ограниченной энергии обеспечивают
оптимальность замкнутой многомерной системы в смысле Н2 -критерия.
2. Разработать методику синтеза непрерывных астатических законов
управления в классах Н2 - и Н∞ -оптимальных регуляторов пониженной
размерности.
3. Разработать методику синтеза дискретных астатических законов
управления в классе Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности с
учетом вносимого бортовым вычислителем запаздывания по управлению на
один период дискретности.
4. Построить методику синтеза непрерывных астатических регуляторов в
классе Н2 -оптимальных законов управления пониженной размерности,
которые гарантируют замкнутой системе приемлемые свойства робастной
устойчивости (грубости).
Методы исследования. Поставленные задачи решаются на основе
теории матриц и матричных норм, теории дифференциальных и разностных
уравнений, аппарата преобразования Лапласа и Z-преобразования, а также с
применением методов Н2 - и Н∞ -оптимизации, теории наблюдающих
устройств и оптимальных фильтров минимальной размерности.
Новые научные результаты, выносимые на защиту:
1. Для вырожденных задач Н2 -оптимизации: сингулярной задачи фильтрации (при отсутствии помех измерений) и сингулярной задачи управления
(отсутствует управление в регулируемом выходе) предложено новое решение
в классе непрерывных и дискретных регуляторов по выходу пониженной
размерности, отличающиеся от известных отсутствием ограничений на
характер приложения внешних возмущений.
2. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических законов
управления в классах Н2 - и Н∞ -оптимальных регуляторов пониженной
размерности.
3. В рамках вырожденных задач Н2 -оптимального управления разработаны методики синтеза цифровых астатических регуляторов пониженной
размерности с учетом наличия запаздывания по управлению, вносимого
вычислителем.
4. Для минимально-фазовых объектов с одинаковым числом управлений
и измеряемых выходов разработана методика синтеза законов управления с
учетом требования робастной устойчивости, являющаяся обобщением
известного решения Ю.В. Садомцева на класс астатических Н2 -оптимальных
регуляторов пониженной размерности.
4
Практическая ценность полученных результатов заключается в их
конструктивности, практической направленности и тех методиках, которые
позволяют решать задачи синтеза регуляторов для многомерных систем, подверженных действию внешних неопределенных возмущений с ограниченной
энергией, по критериям Н2 - и Н∞ -оптимизации, наиболее подходящих
по физическому содержанию, с учетом таких важных требований как:
наличие астатизма, учет запаздывания, способность сохранения устойчивости
при наличии неструктурированных неопределенностей (немоделируемой
динамики) на входе или выходе объекта. Разработанные методики реализованы
в виде программ синтеза с использованием средств программного комплекса
MATLAB. На основе полученных результатов решён ряд задач синтеза
законов управления для реальных объектов (продольное движение самолёта и
вертолета, двухкомпонентный измеритель угловой скорости, вспомогательная силовая установка самолета).
Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнялась в
соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ,
проводимых на кафедре «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ
в рамках основного научного направления «Аналитическая теория автоматического управления». Полученные результаты использовались в
ОАО «КБ Электроприбор» при разработке закона управления для вспомогательной силовой установки самолета, что подтверждается соответствующим
актом, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсам «Современная теория автоматического управления» и «Теория дискретных систем».
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на XVIII Международной научной
конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-18»
(Казань, 2005), 2-й Международной научной конференции «Аналитическая
теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2005),
XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-19» (Воронеж, 2006), 11-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург,
2006), Международных научных конференциях «Проблемы и перспективы
прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2006,
2007), XXI Международной научной конференции «Математические методы
в технике и технологиях – ММТТ-21» (Саратов, 2008), а также на научных
семинарах кафедры «Техническая кибернетика и информатика» СГТУ и
лаборатории № 7 Института проблем управления РАН (Москва).
Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 11 научных работ, из них 1 работа – в журнале «Вестник
СГТУ», рекомендованном перечнем ВАК РФ. Опубликованные материалы
полностью отражают содержание диссертации. Список публикаций приведен
в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, сопровождающихся выводами, заключения, приложения и
списка использованных источников, включающего 112 наименований.
Общий объем работы составляет 161 страницу, включая 20 рисунков.
5
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даются обоснование актуальности темы, формулировка
цели исследований, краткое изложение работы по главам, характеристика
полезности и основные научные результаты, выносимые на защиту.
Первая глава содержит обзор существующих методов синтеза систем
управления с учетом внешних возмущений, требований астатизма и робастной устойчивости, общую постановку задачи синтеза регуляторов по критериям Н2 - и Н∞ -оптимизации, где определены классы объектов, регуляторов и
внешних воздействий, обоснование на этой основе актуальности направлений
исследований и формулировки конкретных задач, решение которых направлено на достижение поставленной цели.
В работе рассматриваются линейные стационарные объекты автоматического управления, которые описываются следующими уравнениями:
x (t )  Ax(t )  Bu(t )  Gw(t ),
(1)
y (t )  Cx(t )  Hw(t ),  (t )  Dx(t )  Su(t ),
где x  R n , u  R m , y  R r ( m  n , r  n ) – векторы состояний, управлений и
измеряемых выходов соответственно; w  R l ,   R q ( l  r , q  m ) – векторы
переменных, представляющих возмущающий вход и регулируемый выход
системы; A, B, G, C, Н, D, S – числовые матрицы соответствующих размеров,
причем (А, В) и (А, G) образуют управляемые, а (С, А) и (D, А) – наблюдаемые
пары. Кроме того, на матрицы G, H, D и S объекта накладываются стандартные для Н-теории ограничения:
S T D  0, S T S  I m ,
(2)
(3)
GH T  0, HH T  I r ,
где T – оператор транспонирования; Im – единичная матрица размеров m.
Возмущающее воздействие w(t) предполагается неопределенным с
ограниченной энергией, т.е. ограниченным по L2-норме ( w(t ) 2   ).
В качестве обратной связи используется динамический регулятор по
измеряемому выходу, описываемый уравнениями:
x c (t )  Ac xc (t )  Bc y (t ), u(t )  Cc xc (t )  Dc y (t ),
(4)
где xc  R nc ( nc  n ) – вектор состояний регулятора; Ac , Bc , C c , Dc – числовые
матрицы соответствующих размеров, подлежащие определению.
Построение закона управления (4) осуществляется с применением
наблюдающих устройств минимального порядка, в качестве одного из которых
используется наблюдатель Люенбергера. В этом случае (4) приобретают вид:
(5)
(t )  W (t )  Ky(t )  TBu(t ) , u(t )  F xˆ (t )  F V (t )  Uy (t ) ,
где   Rmin n r – вектор состояний наблюдателя; xˆ  R n – вектор оценок
переменных состояния объекта, используемых в регуляторе по полному
состоянию с матрицей передаточных коэффициентов F. После нахождения
матриц параметров регулятора (5), называемого далее динамическим компенсатором (ДК), для закона управления общего вида (4) можно записать:
6
x c   , nc  n  r ,
(6)
Ac  W  TBFV , Bc  K  TBFU , Cc  FV , Dc  FU .
Для построения обратной связи (4) также используется дуальный
наблюдатель, а уравнения соответствующего регулятора по выходу, называемого далее дуальным динамическим компенсатором (ДДК), имеют вид:




(t )  W (t )  V (t ) , u(t )  K (t )  U (t ) ,
(7)



 (t )  L y (t )  Cxˆ (t )   L y (t )  CT (t ) ,

где   R  min  n  m – вектор состояний компенсатора; xˆ  T – вектор оценок
переменных состояния объекта, используемых для формирования векторного
сигнала   R n , пропорционального отклонениям измеряемых
переменных от

своих оценок с матрицей коэффициентов передачи L . Если параметры ДДК
(7) определены, то для регулятора общего вида (4) можно записать:
xc   , nc  n  m,
  

  

Ac  W  VLCT , Bc  VL, Cc  K  ULCT , Dc  UL.
С использованием ДК или ДДК осуществляется построение астатических законов управления вида (4), а также дискретных регуляторов, как не
изменяющих порядка астатизма системы, так и астатических, учитывающих
запаздывание на один такт при выдаче управлений.
В качестве критериев оптимальности замкнутой системы, состоящей из
объекта (1) и регулятора (4), используются Н2 - и Н∞ -нормы ее передаточной
матрицы T w (s ) от возмущения w к регулируемому выходу  :
T w
2
 1 
1 2
T
 ,


 
tr
T
(

j

)
T
(
j

)
d


w
w
2




T w  sup  T w ( j ) ,

(8)
   
где tr – след матрицы; sup – супремум;  {} – максимальное сингулярное
значение матрицы. При этом замкнутая система предполагается внутренне
устойчивой, т. е. T w (s ) принадлежит множеству устойчивых матричных
функций без особенностей на мнимой оси.
Минимизация нормы (8) на всем множестве стабилизирующих регуляторов (4), т. е. обеспечивающих внутреннюю устойчивость замкнутой системы, является целевым условием стандартной проблемы Н2 -оптимизации.
Величина Н2 -нормы передаточной матрицы T w ( s)  Ds ( I n s  As ) 1 Gs
некоторой внутренне устойчивой многомерной системы, определяемой тройкой матриц As , G s , D s , может быть найдена из выражения
T w ( s )
2
2
 tr  GsT X s Gs   tr  DsYs DsT ,
(9)
где X s  X sT  0 и Ys  YsT  0 являются решениями уравнений Ляпунова:
AsT X s  X s As  DsT Ds  0, AsYs  Ys AsT  Gs GsT  0 .
Норма (8) имеет дискретный аналог:
7
(10)
T w
T w ( z )
2
2
2
 1
1 2
T
1
1




 tr T w ( z )T w ( z ) z dz  ,
2

j
z 1


 Ds ( I n z  As ) 1 Gs
2
2
 tr  Gs GsT X s   tr  DsT DsYs ,
(11)
(12)
(13)
AsT X s As  X s  DsT Ds  0, AsYs AsT  Ys  Gs GsT  0 .
Проблема Н∞ -оптимизации состоит в выборе такого стабилизирующего
(субоптимального) регулятора (4), который для заданного значения   0
обеспечивает выполнение целевого неравенства:
T w    .
Требование робастной устойчивости формализуется с помощью известного условия, в соответствии с которым устойчивая многомерная система с
передаточной матрицей в разомкнутом (по входам управления или измеряемым выходам объекта) состоянии Траз (s) является робастной с радиусом запасов устойчивости  ( 0    1 ), если
  I m  T раз ( j)    ,   ( , ) .
(14)
Показатель  позволяет оценить допустимые параметрические возмущения или допустимую неопределенность модели разомкнутой системы, при
которых замкнутая возмущенная система остается устойчивой.
Вторая глава посвящена разработке методики синтеза непрерывных
Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности с учетом требований
астатизма и робастной устойчивости. В первом разделе главы исследуется
проблема понижения порядка Н2 -оптимальных регуляторов, которая связывается с решением вырожденных задач: фильтрации (при отсутствии в модели
объекта помех измерений) и управления (регулируемый выход объекта не
содержит составляющую по управлению).
В рамках решения сингулярной задачи фильтрации принимается, что Н = 0
и выполняются условия (2), а в качестве обратной связи используется ДК (5).
При этом полагается С = [ Ir  0 ], что не является ограничением и всегда
может быть достигнуто, если rank С = r. Известно, что в этом случае заданием
определенной структуры для Т все матрицы наблюдателя можно выразить лишь
через одну – некоторую (n–r)×r матрицу L, а также через блоки матрицы А
объекта, соответствующие разбиению вектора х на составляющие х (1) = y  R r
и х (2) R nr . Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению всего
двух матриц F и L, которые должны быть определены так, чтобы замкнутая
система была внутренне устойчивой и минимизировался показатель (8).
В работе эта вариационная задача решается путем ее сведения к проблеме безусловного экстремума введением вспомогательного функционала, объединяющего критерий (9) с соответствующим уравнением из (10). Сформулирована
и доказана теорема, определяющая необходимые и достаточные условия существования и свойства решения, связанные с тем, что в отличие от известных
задач LQG-оптимизации внешнее возмущение имеет конкретное место приложения, а не является полным.
8
Теорема. Пусть пара (А, В) объекта (1) управляема, (D, А) наблюдаема, и
выполняется одно из следующих предположений:
i) (С, А) наблюдаема, ( AG , H G ) управляема, где AG  A22  G2G1T (G1G1T ) 1 A12 ,
H G H GT  G2 ( I l  G1T (G1G1T ) 1 G1 )G2T , colon{ G1 , G2 }= G;
ii) H G  0 и AG устойчива.
Тогда минимум функционала (8) обеспечивается регулятором пониженной размерности (4), матрицы которого определяются с использованием выражений (6), дополненных соотношениями:
T
(15)
 G2G1T )(G1G1T ) 1 ,
F   B T X , L  (YA12
XA  AT X  XBB T X  D T D  0 , X  0 ,
(16)
T
T
A22Y  YA22
 (YA12
 G2G1T )(G1G1T ) 1 ( A12Y  G1G2T )  G2G2T  0 ,
где либо Y  0 , если выполнено (i), либо Y  0 , если выполнено (ii). При этом
замкнутая система является внутренне устойчивой, а минимальное значение
2
2
нормы (9) имеет вид J min  TFw ( s ) 2  TLw ( s ) 2 , где TFw (s) и TLw (s)
(  F ( xˆ  x) ) – передаточные матрицы замкнутой системы в задачах
Н2 -оптимизации при полной информации и Н2 -оптимального наблюдения,
причем, если выполняются (ii), то TLw (s)  0 .
В рамках сингулярной задачи управления (S = 0 и выполняются условия
(3)) получен аналогичный результат, являющийся дуальным к решению задачи фильтрации. Здесь в качестве обратной связи используется ДДК (7), параметры которого определяются лишь двумя матрицами:
T   T 



 
L  YC T , F  ( D1T D1 ) 1 ( A21
X  D1 D2 ) ,
  T  T 


AY  YA  YC CY  GG T  0 , Y > 0, X  0 ,
T 
T   T 


   
 
XA22  A22
X  ( XA21  D2T D1 )( D1T D1 ) 1 ( A21
X  D1 D2 )  D2T D2  0 ,
где блоки матриц соответствуют разбиению вектора х на x(1)R m и x( 2)R n m.
Во втором разделе главы исследуются особенности построения астатических Н2 -оптимальных регуляторов пониженного порядка. Следует отметить, что число переменных, по которым может быть обеспечена нулевая
статическая ошибка за счет введения астатизма, ограничено и определяется
числом степеней свободы системы: min{r, m}. В частности, если r  m , то в
рамках сингулярной задачи фильтрации (Н = 0) для учета требования астатизма объект (1) дополняется m-мерным интегратором
(17)
 (t )  Ny(t ),   R m ,
где N – согласующая m  r матрица. При этом эквивалентный расширенный
объект управления описывается следующими уравнениями:
x (t )  А x (t )  B u(t )  G w(t ),
(18)
y (t )  C x(t ),  (t )  D x (t )  S u(t ),
где x  colon {  , x} R nm , y  colon {  , y} R m r ,   colon { ,  } R qm , а
матрицы параметров имеют следующую блочную структуру:
9
0
0
0 NC 
0
0
I
I
0
A
, B   , G   , C   m
, D  m
, S   .



0 A 
B
G 
 0 C
 0 D
S
Нетрудно показать, что объект (18) по структуре и свойствам совпадает с
исходным объектом (1) в сингулярной задаче фильтрации, так что для него
можно получить решение этой задачи в классе Н2 -оптимальных регуляторов
пониженной размерности вида (5). При этом показано, что решение задачи
наблюдения не меняется, а регулятор описывается уравнениями:
 (t )  ( W  TBFxV ) (t )  TBF  (t )  ( K  TBFxU ) y (t ) ,
(19)
u(t )  FxV (t )  F  (t )  FxUy (t ),
где F , Fx – блоки матрицы F  [ F  Fx ] , которая определяется в соответствии с (15), но для расширенного объекта (18), т. е.
F  B T X , X A  A T X  X B B T X  D T D  0 , X  0 .
Для построения искомого астатического Н2 -оптимального регулятора
необходимо к уравнениям (19) добавить модель интегратора (17). Если представить вектор состояний регулятора (4) как хс  colon {  ,  } (nc = n + m – r),
то матрицы его параметров определятся выражениями:
0
N
Cc   F Fx V ,
 0



Ac  
,
B

,
c

 K  TBF U 
Dc  FxU .
x 

TBF W  TBFx V 
В рамках сингулярной задачи управления (S = 0) при r  m для учета
требования астатизма объект (1) дополняется r-мерным интегратором, который ставится на его управляющем входе, а управление u формируется как:



u(t )  u1 (t )  N (t ),  (t )  u (t )  w (t ),   R r ,

где u1 , u  – вновь образованные управления, N – согласующая m r матрица, а w – дополнительное, искусственно введенное, возмущение. Тогда
эквивалентная модель расширенного объекта будет описываться уравнениями:
~
~~
~
~
x (t )  А~
x (t )  B u~(t )  Gw
(t ),
(20)
~~
~~
~
y (t )  C x (t )  Hw(t ),  (t )  D~
x (t ),

~  colon {w , w} Rlr , u~  colon {u , u } R m r ,
x  colon { , x} R nr , w
где ~
 1

~
~  0 0  ~  I r 0  ~  I r 0  C   0 C , ~
A 
D   0 D .
, B   0 B, G   0 G  , ~ 
 BN A



 H  0 H ,
Показано, что для объекта (20) можно построить Н2 -оптимальный регулятор пониженного порядка вида (7), а окончательное решение задачи в виде

астатического закона управления (4) с вектором состояний хс  colon { , }
~
(nc = n + r – m) сводится к нахождению матрицы L регулятора по выходу в
расширенной задаче Н2 -оптимизации при полном управлении:
~ ~ ~~
~~ ~ ~ ~ ~
~
~~
~
L  Y C T , AY  Y AT  Y C TCY  GG T  0 , Y > 0,
и формировании матриц

  

0
L CT 
 L  Cc  [ N K  ULx CT ],
Ac  
 
 , Bc    ,

V
L
0
W

V
L
C
T
D

U
Lx .
x


x


c
10
    
~
где L , Lx – блоки матрицы L  colon {L , Lx } , а T , W , V , K , U являются
результатом решения нерасширяемой задачи дуального наблюдения.
Третий раздел главы посвящен разработке двух дуальных друг другу
методик синтеза астатических Н2 -оптимальных регуляторов с учетом требования робастной устойчивости. При этом рассматривается объект управления
вида (1), у которого размерности векторов управлений и измеряемых выходов
равны, а матрицы G, H, D, S удовлетворяют требованиям (2) и (3).
При решении задачи обеспечения робастной устойчивости к неопределенностям на входе объекта к его исходной модели (1) добавляются уравнения интеграторов  (t )  y(t ) ,   Rm , а также вспомогательной векторной
переменной   x (t )  D  (t )  Cx(t ) ,   x  R m , где D – некоторая неособая
числовая матрица,   1 – скалярная величина.
Модель эквивалентного расширенного объекта принимается в виде (18),
где x  colon {  , x} R nm , y    R m ,   colon {  x , } R qm ,
0 C 
0
H 
 D C 
0


A
,
B

,
G

,
C

I
0
,
D

,
S

m

B
G 
 0
 S .
D 
0 A
 
 

 
В этом случае матрицы параметров астатического Н2 -оптимального
регулятора (4) размерности nc = n + m определяются следующими выражениями:
0
0


I m 
Ac  
,
B

c

 0 ,

(
A

L
C
)
L

B
(
F

F
L
)
A

L
C

BF

x
x
 


Cc   F  Fx L
Fx  , Dc  0 , [ F  Fx ]  F ,
(21)
F  B T X , X A  A T X  X B B T X  D T D  0 , X  0 ,
(22)
L  Y C T , AY  Y AT  Y C T CY  GG T  0 , Y  0 .
1
Заметим, что если ввести обозначение GL ( s)  I m  C ( I n s  A) L , то на
основе (22) нетрудно доказать следующее частотное неравенство:
(23)
GL ( j )GLT (  j )  I m ,   (, ) .
Дальнейшее решение задачи – учет требования робастной устойчивости
– состоит в асимптотической настройке параметров найденного регулятора.
В работе показано, что если имеет место равенство GG T  BB T , а объект (1)
является минимально-фазовым, то при   k {I m  T раз ( s)}  k {GL ( s)} , где
k {} – собственные значения матрицы, k  1, m . Более того, с учетом (23)
можно показать, что в полосе частот, ограниченных сверху частотой среза
многомерной системы, выполняется условие   I m  T раз ( j )   1 , поэтому
можно утверждать, что замкнутая система обладает свойством робастности с
некоторым радиусом запасов устойчивости в полосе существенных частот.
Задача обеспечения робастной устойчивости к неопределенностям на
выходе объекта является дуальной к предыдущей, решается в рамках сингулярной задачи управления и также сводится к асимптотической настройке
параметров регулятора.
11
В третьей главе применительно к дискретным системам разрабатываются методики синтеза Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности, учитывающих требование астатизма и наличие запаздывания по управлению на один период дискретности.
Для решения проблемы понижения порядка дискретных Н2 -оптимальных
регуляторов используется аналогичный случаю непрерывных систем подход,
который связан с решением сингулярных задач, осуществляется применением
ДК или ДДК и выражений (11)-(13) и сводится к решению двух уравнений
Риккати, одно из которых имеет пониженный порядок. В частности, в сингулярной задаче фильтрации (Н = 0) параметры ДК определяются матрицами:
T
T
F   ( I m  B T XB) 1 B T XA, L   ( A22YA12
G2G1T )( A12YA12
G1G1T ) 1 ,
(24)
где Х > 0 и Y  0 – решения дискретных матричных уравнений Риккати:
X  AT XA  D T D  AT XB( I m  B T XB) 1 B T XA ,
(25)
T
T
Y  A22YAT22  G2G2T  ( A22YA12
 G2G1T )( A12YA12
 G1G1T ) 1 ( A12YAT22  G1G2T ),
а в сингулярной задаче управления (S = 0) для определения параметров ДДК
используются выражения:
 
 




 
 
L   AYC T ( I r  CYC T ) 1 , F  ( AT21 XA21D1T D1 ) 1( AT21 XA22 D1T D2 ),





Y  AYAT  GG T  AYC T ( I r  CYC T ) 1 CYAT ,
 T 
   T    T   T    T  1  T  
 
X  A22
XA22 D2T D2 ( A22
XA21D2 D1 )( A21 XA21D1 D1 ) ( A21 XA22 D1T D2 ) .
Во втором разделе главы исследуются особенности построения цифровых астатических регуляторов, учитывающих наличие в системе запаздывания
по управлению на один такт. Если рассматривать сингулярную задачу фильтрации (Н = 0), то в этом случае дискретная модель объекта (1) примет вид:
x(i  1)  Ax(i )  Bu(i  1)  Gw(i ),
y (i )  Cx(i ),  (i )  Dx(i )  Su(i ).
Предполагается, что r ≥ m, а вектор регулируемых выходов имеет структуру
  colon{Ny, u} , где N – согласующая m  r матрица. Тогда для учета запаздывания
по
управлению
вводится
вспомогательная
переменная
x (i )  u(i  1) , а для учета требования астатизма – дискретный интегратор
(i  1)  (i)  hNy(i) ,   R m , где h – период дискретности. В результате
строится эквивалентный расширенный объект управления
x (i  1)  А x (i )  B u(i )  G w(i ),
y (i )  C x(i ),  (i )  D x (i )  S u(i ),
(26)
где x  colon{x ,  , x}R n  2m , y  colon{x ,  , y}R r  2m ,   colon{ , }R q m ,
0 
0 0
Im 
0
Im 0 0 
A   0 I m hNC , B   0 , G   0 , C   0 I m 0  ,


 
 


A 
 B 0
 0 
G 
 0 0 C 
0 I m 0 
0
D 
, S   .

0 0 D 
S
12
Для объекта (26) осуществляется построение дискретного Н2 -оптимального регулятора пониженной размерности типа ДК, после чего определяются
параметры искомого астатического закона управления общего вида, учитывающего наличие запаздывания: xc  colon { x ,  ,  } , nc  n  2m  r ,
 F F Fx V 
 FxU 
Cc   F F Fx V ,


Ac  0 I m
0 , Bc   hN ,



 Dc  FxU ,
W 
TB 0
 K 
где матрицы W, K, T, V, U являются результатом решения нерасширяемой
задачи наблюдения, а F , F , Fx – блоки матрицы F  [ F  F  Fx ] , которая
должна находиться по соответствующему выражению из (24) и уравнению
Риккати (25), но для расширенного объекта (26).
С использованием свойств дуальности в работе также получено решение
аналогичной проблемы синтеза для сингулярной задачи управления.
В четвертой главе с использованием методов решения сингулярных
задач теории Н∞ -оптимизации разрабатываются процедуры синтеза непрерывных астатических регуляторов пониженной размерности. При этом
рассматриваются объекты управления вида (1), для двух частных случаев:
сингулярной задачи фильтрации (Н = 0 и выполняются условия (2)) и
сингулярной задачи управления (S = 0 и выполняются условия (3)).
Учет требования астатизма в рамках сингулярной задачи фильтрации
осуществляется путем формирования эквивалентного расширенного объекта
управления вида (18). При этом оказывается, что если соответствующий
разбиению вектора х на составляющие х (1) = y  R r и х (2) R nr блок A22
матрицы А устойчив, то для объекта (18) можно построить Н∞ -субоптимальный регулятор пониженного порядка следующего вида:
(t )  W  (t )  K y (t )  T  B u(t )  G wˆ (t ) ,
(27)
u(t )  F xˆ  F V  (t )  U y (t ) .
Здесь wˆ  Fw xˆ , wˆ  R l – оценка внешнего возмущения, а параметры регулятора будут определяться только тремя матрицами:
L  ( I n r 2  Y V T XV ) 1Y V T XC T , F   B T X , Fw   2G T X ,
где X  0 , Y  0 – решения матричных уравнений Лурье-Риккати
X A  A T X  X B B T X   2 X G G T X  D T D  0 ,
(28)
T
A22Y  Y A22
  2Y D2T D2Y  G2G2T  0 ,
причем такие, что выполняется неравенство
 max {Y V T XV }   2 .
(29)
После добавления интегратора (17) к уравнениям (27) рассматриваемая
задача сводится к итерационной процедуре поиска наименьшего значения
параметра  , для которого уравнения (28) будут иметь положительноопределенные решения, удовлетворяющие условию (29), и определению матриц параметров искомого астатического Н∞ -субоптимального регулятора с
вектором состояний хс  colon {  ,  } (nc = n + m – r):
13
0
0


Ac  
,
T
(
A

B
F

G
F
)
U
T
(
A

B
F

G
F
)
V
w

w


N


Bc  
 , Cc   F U  F V , Dc  F U x ,
T
(
A

B
F

G
F
)
U
w
x

где U  и U x – блоки матрицы U  [U  U x ] .
В рамках решения сингулярной задачи управления используется дуальная методика синтеза с расширенным объектом (20) и ДДК, дополненного
оценкой регулируемого выхода.
Пятая глава посвящена решению прикладной задачи синтеза закона
управления для вспомогательной силовой установки самолета, основными
элементами которой являются газотурбинный двигатель (ГТД) и управляемый генератор переменного тока (ГПТ). Осуществляется построение приближенных моделей ГТД и ГПТ в безразмерном виде, параметры которых определяются по экспериментально снятым зависимостям. Особенностями задачи
являются: нелинейность моделей ГТД и ГПТ; неполная информация о векторе
состояний многомерного совокупного объекта, в состав которого также
включены модели исполнительных и измерительных устройств; наличие
внешних возмущений (электрическая и воздушная нагрузки); требование
нулевой статической ошибки регулирования, что обусловливает использование астатического закона управления; реализация регулятора в бортовом
вычислителе, что определяет задачу синтеза как дискретную с наличием
запаздывания по управлению на один период дискретности.
Функциональная схема совокупного объекта управления
iЛ – управляющий ток линейного электромагнитного преобразователя (ЛЭП);
хЛ – перемещение иглы дозатора топлива; g – расход топлива;
n – скорость вращения вала ГТД (ротора ГПТ); Т и ТГ – температура газов в камере
сгорания и за турбиной ГТД; uТ – выходное напряжение датчика температуры (ДТ);
uВВ – напряжение возбуждения ГПТ; uГ – выходное напряжение ГПТ;
mНВ и mНЭ – механические моменты сил воздушной и электрической нагрузок
14
Осуществляется построение линеаризованной модели совокупного
объекта, которая оказывается соответствующей сингулярной задаче фильтрации. В рамках этой задачи разработан дискретный астатический
Н2 -оптимальный регулятор пониженной размерности, учитывающий запаздывание по управлению.
Анализ замкнутой непрерывно-дискретной системы, проведенный с
использованием нелинейных моделей ГТД и ГПТ, а также с учетом конечности разрядных сеток цифроаналоговых и аналого-цифровых преобразователей, показал выполнение заданных технических требований к качеству
переходных процессов.
В заключении сформулированы основные результаты работы и приведены документы, подтверждающие их практическое использование.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Для непрерывных и дискретных систем получены необходимые и
достаточные условия существования решения сингулярных задач
Н2 -оптимального управления, учитывающие характер приложения к объекту
внешних возмущений.
2. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических законов
управления в классах Н2 - и Н∞ -оптимальных регуляторов пониженной
размерности.
3. Разработаны методики синтеза дискретных астатических Н2 -оптимальных регуляторов пониженной размерности с учетом запаздывания по
управлению на один период дискретности.
4. Разработаны методики синтеза непрерывных астатических Н2 -оптимальных законов управления с учетом требования робастной устойчивости
для минимально-фазовых объектов с одинаковым числом управляющих воздействий и измеряемых выходов.
5. Решена практическая задача синтеза цифрового Н2 -оптимального
астатического регулятора для вспомогательной силовой установки самолета,
учитывающего запаздывание по управлению, вносимое вычислителем.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
В изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ
1. Луценко, И.В. Синтез Н2-оптимальных регуляторов пониженного порядка /
И.В. Луценко // Вестник Саратовского государственного технического
университета. – 2008. – № 3 (35). – Вып. 2. – С. 62-68.
В центральных рецензируемых периодических изданиях
2. Луценко, И.В. Синтез цифрового регулятора для контура ограничения температуры газов газотурбинного двигателя / И.В. Луценко // Доклады Академии
военных наук / Сарат. гос. техн. ун-т. – Саратов, 2005. – № 1. – C. 47-53.
3. Луценко, И.В. Синтез динамических регуляторов пониженной размерности
на основе теории Н2-оптимизации / И.В. Луценко // Доклады Академии
военных наук. / Сарат. гос. техн. ун-т. – Саратов, 2008. – № 5. – C. 74-83.
15
В других изданиях
4. Луценко, И.В. Синтез дискретного регулятора температуры газов
газотурбинного двигателя с учетом требований грубости / И.В. Луценко //
Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-18: сб. тр. XVIII
Междунар. науч. конф.: в 10 т. / Казан. гос. технол. ун-т. – Казань, 2005. –
Т. 2. – С. 139-142.
5. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора с использованием
наблюдателя Люэнбергера минимальной размерности / И.В. Луценко,
Ю.В. Садомцев // Аналитическая теория автоматического управления и ее
приложения: тр. 2-й Междунар. науч. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. –
Саратов, 2005. – С. 113-115.
6. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора с использованием
дуального наблюдателя минимальной размерности / И.В. Луценко //
Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере:
сб. науч. тр. / Сарат. науч. центр РАН. – Саратов, 2005. – С. 144-148.
7. Луценко, И.В. Синтез грубого астатического регулятора для газотурбинного
двигателя / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-19: сб. тр. XIХ Междунар. науч. конф.: в 10 т. /
Воронеж. гос. технол. акад. – Воронеж, 2006. – Т. 2. – С. 94-97.
8. Lutsenko, I.V. Robust astatic control system of rotation frequency of the gas turbine engine / I.V. Lutsenko // 11th International Student Olympiad on Automatic
Control (Baltic Olympiad): preprints. / St. Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics. – St. Petersburg, 2006 – PP. 210-213.
9. Луценко, И.В. Синтез астатического регулятора на основе Н∞-критерия /
И.В. Луценко // Проблемы и перспективы прецизионной механики и
управления в машиностроении: мат. междунар. конф. / Сарат. гос. техн.
ун-т. – Саратов, 2006. – С. 302-305.
10. Луценко, И.В. Синтез дискретных регуляторов по выходу на основе
канонических форм / И.В. Луценко, О.Ю. Торгашова, М.С. Стариков //
Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в
машиностроении: мат. междунар. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. – Саратов,
2007. – С. 65-68.
11. Луценко, И.В. Синтез дискретного Н2-оптимального регулятора пониженного порядка / И.В. Луценко, Ю.В. Садомцев // Математические методы в
технике и технологиях – ММТТ-21: сб. тр. XХI Междунар. науч. конф.:
в 10 т. / Сарат. гос. техн. ун-т. – Саратов, 2008. – Т. 2. – С. 45-47.
Подписано в печать 27.05.09
Формат 6084 1/16
Бум.тип.
Усл.-печ.л. 1,16
Уч.-изд.л. 1.0
Тираж 100 экз.
Заказ
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77
Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77
13.5 9 7 16 13.5
16