L7-3

Механическая энергия системы. Закон сохранения энергии.
Рассмотрим механическую систему, которая подвергается воздействию консервативных и
неконсервативных сил. Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа всех сил,
действующих в системе, идет на приращение кинетической энергии
 A  dK .
(7.25)
Разделим силы, действующие в системе, на внутренние и внешние силы, а последние, в свою
очередь, на консервативные и неконсервативные
конс
дис
конс
неконс
 A   Aвнут
  Aвнут
  Aвнеш
  Aвнеш
.
Вспомним, что работа внутренних консервативных сил
потенциальной энергии системы, зависящей от ее конфигурации
равна
конс
 Aвнут
  dU с ,
(7.26)
убыли
собственной
(7.27)
а работа внешних консервативных сил – убыли потенциальной энергии системы во внешнем
потенциальном силовом поле
конс
 Aвнеш
 dU .
(7.28)
Учитывая формулы (7.27), (7.28) в (7.26), подставляя полученное соотношение в (7.25), и
перенеся члены с полным дифференциалом в его левую часть, получим
дисс
нек
d ( K  U  U c )   Aвнут
  Aвнеш
.
Выражение, записанное в скобках - величина, зависящая от координат и скоростей частиц,
составляющих систему (т.е. зависящая от механического состояния системы)
E  K  Uc  U ,
(7.29)
называется полной механической энергией системы. Так как одно из слагаемых энергии –
собственная потенциальная энергия, не аддитивна, то не аддитивна также полная
механическая энергия системы. Механическая энергия системы равна сумме механических
энергий ее составных частей с добавлением потенциальной энергии взаимодействия этих частей
друг с другом
E   Ei  U вз ,
(7.30)
i
где
Ei – полная механическая энергия i-той части. Итак,
дис
неконс
dE   Aвнут
  Aвнеш
.
(7.31)
В случае конечных изменений конфигурации и скоростей, когда система переходит из
состояния 1 в состояние 2, получим
дис
неконс
E2  E1  Aвнут
 Aвнеш
.
(7.32)
Изменение полной механической энергии равно работе неконсервативных сил,
действующих в системе. Отсюда следует другой важный вывод – закон сохранения
механической энергии. Для системы, свободной от неконсервативных взаимодействий,
механическая энергия сохраняется
E  K  U c  U  const .
(7.33)
Заметим, что сохраняется полная механическая энергия системы, а кинетическая и
потенциальная энергии могут меняться, причем меняться так, чтобы возрастание одной
возмещало бы убыль другой, т.е. переходить одна в другую:
K  U c  U .
Из соотношения (7.32) следует, что полная механическая энергия может сохраняться также в
том случае, когда в системе действуют неконсервативные силы. Только в этом случае
необходимо, чтобы выполнялось условие
дис
нек
Aвнут
 Aвнеш
 0.
т.е., чтобы убывание полной механической энергии системы из-за отрицательной работы
внутренних диссипативных сил непрерывно компенсировалось бы положительной работой
внешних неконсервативных сил. Такова, например, полная механическая энергия поезда, когда
он движется с равномерной по величине скоростью по горизонтальному участку пути. Потери
полной энергии, обусловленные работой действующих в нем внутренних диссипативных сил,
также как отрицательной работой сил мокрого трения, действующих со стороны воздуха,
постоянно компенсируются положительной работой двигателя.
Если механическая система замкнута, т.е. в ней отсутствуют внешние силы, то во всех
полученных формулах необходимо подставить
неконс
U  0, Aвнеш
 0 . В этом случае будем иметь
E  K  Uc ,
(7.34)
для которой
дис
E2  E1  Aвнут
 0.
(7.35)
Значит, механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если в ней
отсутствуют внутренние диссипативные силы. В противном случае, как видно из (7.35),
полная механическая энергия системы все время убывает.
Возникает вопрос: куда «уходит» убывающая часть механической энергии, из-за
отрицательной работы внутренних диссипативных сил? Тщательные экспериментальные
исследования этого вопроса в других разделах физики, а также в примыкающих естественных
науках, привели к установлению всеобщего закона сохранения энергии: энергия не
рождается и не уничтожается, а переходит из одной формы в другую в эквивалентных
количествах. По этой причине возникла необходимость расширения понятия энергии, включив
сюда энергии, свойственные другим видам движения материи (химические, тепловые,
электромагнитные, ядерные и т.д.). Причем, убыль механической энергии из-за работы
внутренних диссипативных сил переходит в эквивалентное количество тепловой (внутренней)
энергии.
Всеобщий закон сохранения энергии включает в себя все физические явления (в том числе
те, которые не подчиняются законам Ньютона) и является фундаментальным законом
природы, представляющим собой обобщением экспериментальных фактов.
Для одной частицы в формулах (7.32) и (7.33) необходимо подставить
где
r, v
дис
U c  0, Aвнут
 0:
E2  E1  Aнек ,
(7.36)
E  r, v   K  v   U  r  ,
(7.37)
– радиус-вектор и скорости частицы в выбранной ИСО. Следовательно, механическая
энергия частицы – сумма ее кинетической и потенциальной энергий, может меняться только под
воздействием неконсервативных сил.
Финитное и инфинитное движение частицы в потенциальном поле.
Рассмотрим некоторые общие закономерности движения частицы в потенциальном силовом
поле. В отсутствие неконсервативных сил механическая энергия частицы сохраняется
E  K  v   U  r   const .
(7.38)
Так как кинетическая энергия частицы не отрицательная функция, то
K  E  U  r   0, или E  U  r  .
(7.39)
Полученное соотношение определяет область пространства, в которой может находиться
частица с данной энергией E. Другим областям пространства соответствуют отрицательные
значения кинетической энергии, т.е. мнимые скорости и, поэтому, эти области недосягаемы для
частицы.
Поясним сказанное рассмотрением одномерного движения частицы в заданном внешнем
потенциальном силовом поле U(x) (рис.7.9).
рис.7.9
Если частице сообщена полная энергия E, то она может находиться только в определенных
участках оси X, которые определяются условием
U  x  E .
В приведенном на рис.7.9
потенциальном силовом поле это условие дает две разные разрешенные области:
x A  x  xB ; x  xC .
Значит, частица с заданной энергией E может находиться лишь во II и IV областях оси X.
Причем, она не может переходить из одной разрешенной области в другую. Этому мешает
разделяющий эти участки «потенциальный барьер» ВС. В области АВ движение частицы
ограничено в конечной области пространства
x
A
, xB  . Подобное движение частицы называется
финитным. В рассматриваемой области частица может совершать только колебательные
движения. В произвольной точке D разрешенной области
потенциальная и кинетическая
энергии частицы определяются длинами отрезков, лежащих под и над кривой потенциальной
функции
U  x .
Например,
кинетическую энергию
KD
в
точке
D
частица
и на нее действует сила
имеет
потенциальную
FD  dU / dx x
энергию
UD
и
, которая направлена вдоль
D
оси X. Двигаясь вправо, частица теряет потенциальную энергию, а ее кинетическая энергия –
возрастает. На дне потенциальной ямы (точка М) сила, действующая на частицу, становится
равной нулю
что
F
движение
M
 0
и меняет знак, принимая направление, обратное направлению оси X. Так
частицы
из
xM
в
xB
замедляется
(кинетическая
энергия
убывает,
а
потенциальная – возрастает) и в точке В частица останавливается. Так как в этой точке на
частицу действует сила, направленная к точке М, то частица начинает двигаться обратно. Точки
А, В, С называются точками поворота. Точки поворота – это решения уравнения
которым соответствует нулевое значение кинетической энергии.
E  U  x ,
Если частица находится в области IV и движется влево, то достигнув точки поворота С,
возвратится и уходит в «бесконечность». Подобное движение частицы называется
инфинитным.
Поведение частицы во внешнем потенциальном силовом поле зависит как от потенциальной
U  x  , так и от величины переданной ей полной механической энергии E . Например,
движение частицы с энергией E1 в рассматриваемом силовом поле инфинитно. Достигнув точки
поворота R , частица уйдет в бесконечность.
функции
Равновесие тела в потенциальном поле. Типы равновесия.
Те точки силового поля, в которых отсутствуют действующие на частицу силы или
равнодействующая этих сил равна нулю, называются положениями равновесия. Понятно, что
это точки экстремума потенциальной энергии частицы, так как в этих точках
F  U  0.
Положения равновесия бывают устойчивыми, неустойсточивыми и безразличными.
Устойчиво то положение равновесия, при бесконечно малом отклонении от которого, возникает
сила, возвращающая частицу в положение равновесия. Этому условию удовлетворяют точки
минимальной потенциальной энергии
частицы (точка М на рис.7.9). Следовательно, при
отклонении от этого положения частица будет совершать колебания.
Неустойчивым называется то положение равновесия, при отклонении от которой возникают
силы, удаляющие частицу от этой точки. Понятно, что неустойчивому положению равновесия
соответствует точка максимального значения потенциальной энергии N (рис. 7.9).
Безразличным называется то положение, при бесконечно малом отклонении от которого,
равновесие сил не нарушается. Этому условию соответствует точка К на рис.7.9.
Что произойдет, если на частицу в потенциальном поле будут действовать также
диссипативные силы? Благодаря отрицательной работе диссипативных сил, полная
механическая энергия частицы будет непрерывно уменьшаться. Причем, убывание будет
продолжаться до тех пор, пока частица находится в состоянии движения. Здесь необходимо
различать два случая, когда частица движется под воздействием сил сухого и вязкого трения.
Так как в случае вязкого трения отсутствует трение покоя, то во II области амплитуда
колебаний частицы, убывая, обратится в нуль. Частица остановится в точке минимума
потенциальной ямы М, где она будет оставаться сколь угодно долго.
В случае сухого трения ситуация немного другая. Частица может остановиться в любой близкой
к положению устойчивого равновесия точке и оставаться в этом положении благодаря силам
трения покоя. Последнее получило название явления застоя.