Задачи с проводящими сферами

Проводящие сферы в электростатике
Задачи с проводящими сферами можно успешно решать имея знания в
пределах школьной программы. Проводниками называют такие материалы, в
которых имеются свободные носители зарядов. Если сообщить заряд
проводящему телу то свободные заряды перестают перемещаться вдоль
поверхности проводящего тела при достижении такого их распределения, при
котором вектор напряженности электрического поля в любой точке
перпендикулярен поверхности тела. Поэтому в электрическом поле
поверхность проводящего тела любой формы является эквипотенциальной
поверхностью. Все точки внутри проводника имеют одинаковый потенциал,
равный потенциалу на его поверхности. Если
заряд на поверхности проводящего шара равен q,
то электрическое поле вне шара такое же, как поле
точечного заряда q находящегося в центре
проводящего шара. Напряженность и потенциал
графически распределены на рисунке. Потенциал
Кq
. Энергия уеденного проводника
r
1
1
W  q для сферы W  q сф
2
2
сферы  
Задача 1. В системе, состоящей из двух концентрических проводящих сфер
радиусом R и 3R (рис.), внутренняя сфера соединена с землей через источник с
ЭДС ε. Заряд внешней сферы +2q. На расстоянии 2R от
центра системы находится точечный заряд –q. Зная величины
q, ε, R, определите заряд внутренней сферы. Потенциал земли
принять равным нулю.
Потенциал внутренней сферы равен – ε. Сдругой стороны
Kq0 K 2q Kq Kq0 Kq




R
3R 2R
R
6R
R
q

 q0 
K
6
R q
Отсюда q 0    
 K 6

 
Kq0 Kq
или

R
6R
Задача 2. Три концентрические проводящие сферы имеют расдиусы R, 2R и 3R.
Внутренняя и внешняя не заряжены, заряд средней сферы равен q0. В
некоторый момент внутреннюю и внешнюю сферы
соединяют проволокой (рис). Какой заряд пройдет по
этой проволоке, и какое при этом выделится
количество теплоты?
При соединении внутренней и внешней сферы
электроны перетекают до тех пор пока потенциалы
сфер сравняются. В результате заряд внешней сферы
обозначим q а внутренней -q. Определим потенциалы сфер. Внутренней
K (q) Kq0


R
2R
K q
q

1   0   q 
R 2 3

q0 q0 2q


3
2
3
1 
Kq
3R
K (q) Kq0 Kq Kq0
. Т.к. φ1 = φ3 получим



3R
3R 3R
3R
q
q 0
4
Внешней  3 
q 0 2q

6
3
Так как до соединения на внутренней и внешней сферах зарядов не было
следовательно заряд прошедший по проволоке q 
энергии W1 = W2 + Q
q0
. По закону сохранения
4
Q = W1 – W2. Энергия сферы это энергия
1
2
электрического поля в пространстве вокруг сферы W  q сферы
q0 Kq0 Kq02
1
1
1
W2  (q) ( R)  q 0 (2 R)  q (3R)

2
2
2
2  2R
4R
1  Kq Kq0 Kq  1 K  q0 q 
W2  q0  


  q0    заменив q получим
2  2 R 2 R 3R  2 R  2 6 
Kq 2 Kq 2 11 Kq 2
q K
q  Kq02 11
. Следовательно Q  0  0  0
W2  0  q0  0  
4R 
12 
48R
4R
48R
48R
W1 
Задача 3. Внутри проводящей сферы радиусом R, имеющей заряд q,
концентрично с ней расположена сфера радиусом r (рис.). внутренняя сфера
тонким длинным изолированным проводом, проходящим через маленькое
отверстие во внешней сфере, с помощью ключа К заземлена. Найдите
максимальное количество теплоты, которое может выделиться, если ключ К
перевести из положения 1 в положение 2, соединив тем самым внутреннюю
сферу с землей через источник с ЭДС ε.
Потенциал любой точки соединенной с Землей равен нулю,
следовательно в положении ключа 1 потенциал внутренней
сферы равен 0. 1  0 
Kq Kq1
 qr
отсюда q1 
. В положении

R
R
r
ключа 2 потенциал этой сферы ε

Kq Kq2
r qr
отсюда q 2  

K R
R
r
Работа источника
A  (q 2  q1 ) 
 2r
K
Начальная энергия W1  q1 (r )  q ( R)  q
1
2
W1 
1
2
1 Kq Kqr 
 2 
2  R
R 
Конечная
Kq 2
(R  r)
2
1
1
1  r qr 
1  Kq K  r qr  
2R
W2  q 2 (r )  q ( R)      q
    
2
2
2 K R 
2  R
R  К R 
1   2 r Kq 2 ( R  r ) 
 . По закону сохранения энергии Q = A + W1 – W2
W2  

2 K
R2

подставив выражения получим
Q
 2r
K

Kq 2 ( R  r ) 1   2 r Kq 2 ( R  r )   2 r
 
 

 20 r 2
2
2
2 K
2R
R
 2K
Задача 4. Проводящий шар заряжают некоторым зарядом Q и при помощи
длинной очень тонкой проволоки соединяют с незаряженным проводящим
шаром втрое меньшего радиуса, расположенным очень далеко. Максимальное
значение силы тока оказывается при этом равным I. Каким будет это значение в
другом опыте – когда вначале каждый из зарядов первого и второго шара равен
Q? Сопротивление проволоки мало.
Проволоку соединяющую шары можно представить как индуктивность L. Ток в
ней максимален когда
ε1 = 0. Значит в этот момент потенциалы сфер равны
KQ1 KQ2
или Q1 = 3Q2.

R
R
3
По закону сохранения заряда Q = Q1 + Q2 и Q = 4Q2 Q2 
Из закона сохранения энергии
Отсюда I 
Q1 
3
Q.
4
KQ 2 K (3 4 Q) 2 K (Q 4) 2 LI 2



2R
2R
2R 3
2
Q K
2 LR
Во втором случае
Q3 = 3Q4
Q
4
KQ3 KQ4

R
R
3
Q4 
2Q = Q3 + Q4
2
Q
2
Q3 
3
Q Из закона сохранения энергии
2
2
3 
Q
K Q
K 
2
2
LI 2
KQ
KQ
2 
2

 
    0
2R
2R 3
2R
2R 3
2
Отсюда I 0  Q
K
 2I
LR
Упражнения
1. Проводящие концентрические сферы имеют радиусы R и 3R, на
расстоянии 2R от их общего центра находится точечный заряд Q. Сферы
соединяют между собой тонким проводом, и получившийся проводник
заземляют тонким проводником, имеющим большое сопротивление.
Какой заряд протечет по этому проводнику? Какое количество теплоты
выделится в системе за большое время?
(Ответ q 
Q Q Q2
; K
)
4 48 R
2. Две тонкостенные металлические сферы, радиусы
которых R1 = 20см и R2 = 40см, образуют сферический
конденсатор (рис). На внешней сферы находится заряд Q = 10-8
Кл. Внутренняя сфера не заряжена. Какой заряд протечет через
гальванометр Г, если замкнуть ключ К.
(Ответ q  Q
R1
 5  10 9 Кл )
R2
3. Сферический конденсатор радиус внутренней обкладки которого , а
внешней R, подключен к батарее ЭДС которой ε, а
внутреннее сопротивление r. Первоначально внешняя
обкладка конденсатора была заземлена с помощью ключа К
как показано на рис. Найдите количество теплоты которое
может выделится на внутреннем сопротивлении батареи
после переключения ключа в положение 2. Считать, что
конденсатор находится достаточно далеко от других
предметов, а соединительные провода очень тонкие.
4.
4. На трех металлических сферах радиусами r1 < r2 < r3 размещены
заряды соответственно q1, q2, q3 (рис). В некоторой точке А,
расположенной между первой и второй сферами на
расстоянии r от центра, измеряется потенциал. Чему
равен этот потенциал в следующих случаях 1) Ключи К1
и К2 разомкнуты 2) после замыкания ключа К1 3) после
замыкания ключа К2 при замкнутом ключе К1?