Лекция 18. Диэлектрики в электрическом поле

Лекция № 18
ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
1.
2.
3.
4.
План
Свободные и связанные заряды в веществе. Типы диэлектриков.
Ионная, электронная и ориентационная поляризации.
Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость вещества и ее
зависимость от температуры.
Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Напряженность электрического поля в диэлектрике.
Граничные условия для электрического поля на границе раздела
«диэлектрик-диэлектрик».
1. Свободные и связанные заряды в веществе.
Диэлектрик (от греч. dia – через, сквозь и англ. electric – электрический) – вещества, практически не проводящие электрический ток и в которые проникает электрическое поле (пластмассы, керамика, не ионизованные газы, непроводящие жидкости и т.п.)
Свободные заряды имеются в любом проводнике, они могут достаточно свободно перемещаться в пределах проводника.
В диэлектриках нет «свободных» зарядов, которые могли бы перемещаться по всему образцу. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика,
прочно связанны между собой и способны перемещаться только в пределах своей молекулы на расстояние порядка 10 7  10 8 см.
Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют поляризационными или связанными.
Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения
таких зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул.
Типы диэлектриков.
Каждая молекула или атом диэлектрика содержит положительно заряженные ядра и электроны, движущиеся вокруг ядер. Если заменить все
положительные заряды ядер молекулы одним суммарным зарядом  q ,
находящемся в «центре тяжести» положительных зарядов, а все отрицательные заряды  q , расположенном в «центре тяжести» отрицательных
18
зарядов, то можно приближенно рассматривать молекулу диэлектрика как
диполь, состоящий из зарядов  q и  q . Такой диполь имеет электрический момент и создает электрическое поле.
1. Неполяризованные диэлектрики. Дипольный момент многих диэлектриков в отсутствии внешнего поля равен нулю. Такие диэлектрики
называются неполяризованными, например метан CH 4 , симметричная молекула, у которой «центры тяжести» положительного и отрицательного зарядов совпадают.
2. Вторую группу диэлектриков составляют такие вещества, как вода,
нитробензол и другие, молекулы которых имеют ассиметричное строение.
При этом «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов
не совпадают друг с другом, молекула представляет «жесткий» диполь,
даже в отсутствие внешнего поля и ее называют полярной. Соответственно
такие диэлектрики называются полярными.
3. К третьей группе относятся кристаллические диэлектрики, имеющие ионное строение (хлористый натрий, хлористый калий и другие). При
внесении их в электрическое поле происходит небольшое смещение положительных ионов кристаллической решетки по полю, а отрицательных –
против поля.
Ионная, электронная и ориентационная поляризации.
Ионная поляризация
Решетку ионных кристаллов можно рассмотреть как две вставленные
друг в друга решетки, одна из которых образованна положительными, а
другая отрицательными ионами. При действии на ионы кристалла внешнего поля обе решетки сдвигаются друг относительно друга, что приводит к
поляризации диэлектрика.
Электронная поляризация
Атом имеет ядро с положительным зарядом,
окруженное отрицательными электронами (рис
18.1). В электрическом поле положительные заряды притягиваются в одну сторону, а электроны в другую. «Центр тяжести» отрицательных
зарядов сместится, и больше не будет совпадать
Рис. 18.1
с положительным зарядом ядра.
Аналогичная ситуация имеет место и с молекулами. Поскольку в электрическом поле происходит фактически смещение электронов, как легких
19
частиц, а ядро почти не смещается, такая поляризация и называется электронной.
Ориентационная поляризация
Если диэлектрик состоит из
полярных молекул, то при отсутствии внешнего поля их дипольные
моменты ориентированны произвольным образом (из-за тепловых
движений). Под действием же
внешнего поля дипольные моменты
ориентируются преимущественно в
направлении внешнего поля (см.
лек.17).
Рис. 18.2
Независимо от типа поляризации на противоположных концах диэлектрика появляются нескомпенсированные поверхностные связанные
заряды (рис. 18.2).
2. Поляризованность. Величина, характеризующая степень поляриза
ции диэлектрика называется поляризованностью P . Ее физический смысл
– дипольный момент единицы объема:

P

 pi
V
где V - бесконечно малый объем, заключающий точку, в которой опре
деляется поляризованность;  pi - векторная сумма дипольных моментов
молекул в этом объеме. (Объем V мал по сравнению с объемом диэлектрика, но много больше объема, занимаемого молекулой).
Диэлектрическая восприимчивость вещества.
Как показывает опыт, для большого класса изотропных диэлектриков

при не слишком больших напряженностях E электрического поля, поля
ризованность связана с E в той же точке соотношением:

P

æ 0 E
20
где æ - безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчи
востью вещества. Эта величина не зависит от E , она является характеристикой самого вещества, всегда æ  0 (Существуют однако исключения.


Например, для сегнетоэлектриков связь между P и E нелинейная).
В случае диэлектриков, построенных из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля противится тепловое движение молекул, стремящихся разбросать их дипольные моменты по всем направлениям. Для таких диэлектриков диэлектрическая восприимчивость обратно
пропорциональна температуре æ ~
1
.
T
3. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Электрическое смещение.
Пусть имеются две бесконечно длинные разноименно заряженные плоскости плоского конденсатора с

полем E0 . В пространстве между ними внесем пластину
из диэлектрика (рис. 18.3). В результате образования
связанных поляризованных зарядов на поверхности диэлектрика, находящегося в электрическом поле, возникает дополнительное электрическое поле поляризацион
ных зарядов диэлектрика E . По принципу суперпозиции электрическое
поле в диэлектрике равно
 

E  E0  E  . Выделим гауссову поверхность S , охватывающую положительно заряженную пластину конденсаРис. 18.3
тора и проходящую через диэлектрик (рис. 18.3).
Запишем теорему Гаусса. При суммировании зарядов учтем свободные заряды конденсатора и связанные не скомпенсированные заряды диполей диэлектрической среды (на поверхности диэлектрика).
 
(*)
 0  EdS  Qсвоб  Qсвяз
S
Обозначим поверхностную плотность связанных зарядов   . Их результирующий заряд Qсвяз     dS («минус» учитывает знак связанных зарядов).
S
21
Свяжем вектор поляризованности с
плотностью связанных зарядов. Выделим
из диэлектрика прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными

внешнему полю E0 , длиной l и основанием S (рис. 18.4). Поверхностный заряд на основании параллелепипеда  S .
Дипольный момент параллелепипеда
обозначим d (чтобы не перепутать с p элементарным дипольным моментом):
Рис. 18.4
d   S  l
С другой стороны из определения поляризованности дипольный момент параллелепипеда можно выразить как d  PV  PS  l . Приравнивая
правые части  S  l  PS  l , получим    P . Как показывает соответствующий расчет, в общем случае произвольного расположения параллелепипеда в пространстве между пластинами конденсатора, плотность поляризационного заряда в произвольной точке поверхности равна нормальной составляющей (перпендикулярной к поверхности S ) поляризованности в этой точке поверхности    Pn , тогда   dS   Pn dS . Поскольку норS
S

мальная составляющая Pn равна скалярному произведению P на единич 

 
 
ный вектор нормали n т. е. Pn  P  n , то Pn dS  P  n  dS  PdS , тогда
 
Qсвяз    PdS .
S
Подставляя
последнее
или
выражение
в
(*),
 
 
 0  EdS   PdS  Qсвоб .
 
 
 0  EdS  Qсвоб   PdS ,
S
S
S
  
(

E
 P )dS  Qсвоб .
0

получим
Тогда
S
S
Обозначим



0E  P  D
(**)

Вектор D называется вектором электрического смещения (или элек-
трическим смещением). В результате получим:
 
D
 dS  Qсвоб
S
22
Теорема Гаусса для поля в диэлектрике: поток вектора электрического
смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.
Диэлектрическая проницаемость среды. Напряженность электрического поля в диэлектрике.


Так как P  æ 0 E , подставляя это выражение в формулу (**), получим


D  0 E 


æ 0 E   0 ( 1  æ )E . Обозначим:
1  æ 
Коэффициент  называется диэлектрической проницаемостью среды
или относительной диэлектрической проницаемостью. Приведем значение
 для некоторых веществ:
Диэлектрик
Воздух
Трансформаторное
масло
Вода

1,00055
2
81,1
Итак, с учетом введенного понятия  , связь электрического смещения
с напряженностью электрического поля запишется следующим образом:


D  0 E
Для того чтобы понять физический смысл  , рассмотрим две бесконечные параллельные разноименно заряженные плоскости (т.е. бесконечный плоский конденсатор).
23
Рис. 18.5
Внесем в поле пластину из однородного изотропного диэлектрика (рис. 18.5). Под действием поля
конденсатора диэлектрик поляризуется, и на его поверхности появляются связанные заряды с плотностью   . Эти заряды создают внутри пластины поле,

напряженность которого E   . Вне диэлектрика
0

.
E   0 . Напряженность поля конденсатора E0 
0
Оба поля направлены на встречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика поле по принципу су
перпозиции: E  E0  E   E0  .
0
Производя последовательно замену    P  æ 0 E , получим:
 E
E  E0  æ 0  E  æ E , то есть E  E0  æ E .
0
Таким образом, в результате:
E
E0

Поле в диэлектрике ослабевает в  раз. То есть, ε показывает во
сколько раз ослабевает поле в диэлектрике по сравнению с вакуумом.
Примеры:
1. Закон Кулона для поля в диэлектрике: F 
q1q2
40 r 2
2. Напряженность поля заряженной сферы, погруженной в безграничный однородный и изотропный диэлектрик: E 
1
q
40 r 2
.
Таким образом, зная диэлектрическую проницаемость среды нетрудно
определить напряженность поля в диэлектрике, заменив в известных законах  0 на 0 .
4. Граничные условия для электрического поля на границе раздела
диэлектрик – диэлектрик.
24
Выделим небольшой участок раздела двух диэлектриков, который в
пределе может считаться плоским. В электрическом поле в каждом из диэлектриков в близи поверхности раздела появятся поляризационные заряды.
Обозначим напряженность поля в диэлектри

ках
через
и
E
E
1
2 , затем разложим их на соE1
E1n

ставляющие: нормальную и тангенциальную
E1
(рис. 18.6). Выберем небольшой прямоугольdl
ный контур длиной a и шириной b , который
1
b
проходит через оба диэлектрика. Граничные
условия для тангенциальных составляющих
2
a

определяются из требования равенства нулю
E2

E2n
циркуляции E по выбранному контуру
E2
 
E
 dl  0 . Интегрируя по контуру и устремляю
к
b
Рис. 18.6
нулю
 
E
 dl  E1  a  E2  a  0
( b  0 ),
получим
E1  E2
Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля является одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).
С помощью соотношения D  0 E получим:
D1
 0 1

D2
 0 2
,
D1  1

D2  2
Тангенциальная составляющая вектора электрического смещения на
границе раздела диэлектриков испытывает скачок и изменяется прямо
пропорционально диэлектрической проницаемости среды.
25
Теперь возьмем на границе диэлектриков
воображаемую цилиндрическую поверхность
высотой h с основанием S (рис.18.7). Применим теорему Гаусса (для диэлектриков).
 
D
 dS  Qсвоб
S

Поток вектора D через поверхность цилиндра с
учетом направления внешних нормалей равен,
при устремлении высоты к нулю ( h  0 ).
D2n  D1n S  0 (т.к. свободных зарядов на
границе раздела диэлектрика нет).
Рис. 18.7
D1n  D2 n
Нормальные составляющие вектора электрического смещения является одинаковыми по разные стороны границы раздела, не испытывая скачок.
Используя связь между D и E
 1 0 E1n   2 0 E2 n ,
получим
E1n  2

E2 n  1
Нормальные составляющие вектора напряженности поля на границе
раздела двух диэлектриков испытывают скачок и изменяются обратно
пропорционально диэлектрической проницаемости среды.
Вопросы для самоконтроля.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
26
В чем состоит различие в поляризации полярных и неполярных диэлектриков?
Как определяется поляризованность вещества? Каков ее физический
смысл?
Как влияет поляризация на поле в диэлектрике? Почему?
Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля в диэлектрике.
Каков физический смысл диэлектрической проницаемости вещества?

Как связаны между собой векторы электрического смещения D и

напряженности электрического поля E ?
7.


Сформулируйте граничные условия для векторов E и D .
27