lesson10

ТОЧКА ТОРИЧЕЛЛИ.
Цикл задач А:
1. Два правильных треугольника AEC и CFB имеют общую вершину C. Доказать, что
AF=BE.
2. Доказать, что в правильном треугольнике сумма расстояний от точки внутри
треугольника до его сторон не зависит от выбора этой точки.
3. Дан треугольник ABC. Через точку A проходит окружность  , пересекающая
стороны AB и AC соответственно в точках L и K. Через точки B и L проходит
окружность, пересекающая сторону BC в точке M, а окружность  в точке N.
Доказать, что точки C, K, N, и M лежат на одной окружности.
4. Дан произвольный треугольник, на сторонах которого вне его построены
правильные треугольники, вокруг которых описаны окружности. Доказать, что эти
окружности пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Торичелли.
Будем обозначать ее буквой T.
5. Дан произвольный треугольник ABC. На стороне BC во вне его построен
правильный треугольник с вершиной A*. Доказать, что точки A, T и A* лежат на одной
прямой.
6. Дан ромб ABCD с диагональю BD, равной стороне. В него вписан правильный
треугольник DNM (точки N и M лежат соответственно на сторонах AB и BC. Доказать,
что MB+BN=BD.
7. В треугольнике ABC отрезок AM является медианой. Доказать, что 2AM<AB+AC.
8. Дан произвольный треугольник, на сторонах которого вне его построены
правильные треугольники. Доказать, что их центры являются вершинами правильного
треугольника.
Цикл задач В:
Постановка задачи. Пусть даны три точки A, B, и C. Необходимо найти точку M такую,
чтобы сумма MA+MB+MC была бы минимальна.
1. Доказать, что такая точка единственна.
2. Доказать, что эта точка не лежит вне треугольника ABC.
3. Доказать, что если все углы треугольника ABC ≤ 120 , то искомой точкой является
точка Торичелли данного треугольника.
4. Доказать, что если какой-то угол треугольника ABC > 120 , то искомой точкой
является вершина этого угла.
Дополнительные задачи:
1. Дан произвольный треугольник ABC. На его сторонах AB, BC и CA наружу
построены правильные треугольники с вершинами C*, A* и B*
соответственно.Доказать, что прямые AA*, BB* и CC* пересекаются в одной точке.
2. В окружность вписан правильный треугольник ABC. На дуге BC окружности взята
произвольная точка M. Доказать, что AM=BM+CM.
3. Паук соединил связной паутиной все восемь углов комнаты 333. Может ли общая
длина паутины быть меньше 19?
4. Найдите кратчайшую сеть путей (сеть Штейнера), соединяющих 4 точки A, B, C, D,
являющиеся вершинами : а). квадрата; б). правильной треугольной пирамиды
(тетраэдра).