6 класс 1 раунд.

6 класс
1 раунд.
1. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с
фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество
фруктов могло быть выложено?
2. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика
хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило только на 41 чашку чая, а Инне только на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
3. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей,
а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
4. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось
ровно три точки?
2 раунд.
1. Квадрат 4 x 4 разделен на 16 клеток. Можно ли раскрасить эти клетки в черный и белый цвета
так, чтобы у каждой черной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно
один черный сосед? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
2. Атос, Портос и Арамис играли в снежки. Первый снежок бросил Портос. Затем в ответ на
каждый попавший в него снежок Атос бросал 6 снежков, Арамис - 5, а Портос - 4. Через некоторое
время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13
снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)
3. Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая
достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество
конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все
едят доставшиеся им конфеты. Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы
съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
4. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног,
всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий
сказал: «Вместе у нас 28 ног», зелёный: «Вместе у нас 27 ног», жёлтый: «Вместе у нас 26 ног»,
красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?
3 раунд.
1. В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в
сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в
следующий раз они одновременно покажут правильное время?
2. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль – со скоростью 80 км/ч.
На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как
легковой автомобиль догонит грузовик?
3. На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок,
причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные 7 крыс
следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем
накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?
4. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит
правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и
каждый про своего соседа по паре сказал: «Он – рыцарь!», либо «Он – лжец!». Могло ли в итоге
оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
4 раунд.
1. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и
правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте
100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?
2. Дима живет в девятиэтажном доме. Он спускается на лифте со своего этажа на первый за 1
минуту. Из-за маленького роста Дима не достает до кнопки своего этажа. Поэтому, поднимаясь
наверх, он нажимает ту кнопку, до которой может дотянуться, а дальше идет пешком. Весь путь
наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт движется вверх и вниз с одинаковой скоростью, а Дима
поднимается вдвое медленнее лифта. На каком этаже живет Дима?
3. На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству репок. Если в огород
заходит Внучка, то она выдёргивает ровно 1/3 репок, имеющихся к этому моменту. Если заходит
Жучка, то она выдёргивает 1/7 репок, а если заходит Мышка, то она выдёргивает только 1/12
репок. К концу недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором –– 4. Заходила ли Жучка
во второй огород?
4. В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в
каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в
ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых
фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
5 раунд.
1. В поезде Москва – Тьмутаракань ввели сплошную нумерацию мест в вагонах. Во всех вагонах
одинаковое количество мест. Известно, что места 385 и 416 находятся в одном вагоне, а места 544
и 577 находятся в разных вагонах, причем эти вагоны – не соседние. Сколько мест в одном вагоне?
2. Докажите, что
1 1 1 1
1
1
1
1
    ... 


 .
2 3 4 5
98 99 100
5
3. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма
чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на
грани, противоположной той, где написана цифра 3?
4. В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом
архипелаге островов, если мостов – 84?
Решения.
1 раунд.
1. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с
фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество
фруктов могло быть выложено?
Ответ: 8. Рассмотрим какой-то фрукт в ряду, например апельсин. У него не более двух соседей.
Следовательно, чтобы апельсины встречались в паре с тремя другими видами фруктов,
необходимо не менее двух апельсинов. Аналогичные рассуждения показывают, что выложено не
менее двух мандаринов, не менее двух яблок и не менее двух груш. Значит, всего фруктов должно
быть не менее восьми. Этого количества фруктов достаточно для выполнения условия задачи,
например: апельсин, мандарин, яблоко, груша, апельсин, яблоко, мандарин, груша.
2. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика
хватает на две или три чашки чая. Наташе коробки хватило только на 41 чашку чая, а Инне только на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
Заметим, что в коробке не могло быть меньше 20 пакетиков: если их хотя бы 19, то Инна не
cможет выпить больше 19*3=57 чашек, а она выпила 58. С другой стороны, в коробке не могло
быть больше 20 пакетиков: если их хотя бы 21, то Наташа не могла выпить меньше 21*2=42
чашек, а она выпила 41. Тем самым, в коробке было 20 пакетиков: Инна заварила 18 пакетиков по
три раза и 2 пакетика по два раза, а Наташа заварила 1 пакетик три раза и 19 пакетиков по два раза
(Обязательно надо предъявить способ выпить 41 и 58 чашек чая, иначе решение не будет полным).
3. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей,
а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
160 граммов.
Пусть в килограмме говядины x кг костей, тогда "чистой" говядины в нём (1-x) кг. Таким образом,
15x+90(1-x)=78, откуда x=0,16 .
4. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось
ровно три точки?
Можно. Нарисуем равносторонний треугольник со стороной 1 и с двинем его «вверх»(или в
любую другую сторону, только не под углом 60° к стороне) на 1. Вершины этих двух
треугольников мы и отмечаем: они удовлетворяют условию задачи.
2 раунд.
1. Квадрат 4 x 4 разделен на 16 клеток. Можно ли раскрасить эти клетки в черный и белый цвета
так, чтобы у каждой черной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно
один черный сосед? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
Можно. Заметим для начала, что белых клеток должно быть втрое больше чем черных, так что
белых будет 12, а черных - 4. После этого легко нарисовать требуемую картинку.
2. Атос, Портос и Арамис играли в снежки. Первый снежок бросил Портос. Затем в ответ на
каждый попавший в него снежок Атос бросал 6 снежков, Арамис - 5, а Портос - 4. Через некоторое
время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13
снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)
Если в Атоса, Портоса и Арамиса попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено
13+x+y+z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Атос бросил 6x,
Арамис - 5y, а Портос - (4z+1) снежков (вместе с первым снежком). Получаем уравнение:
6x+5y+4z+1=13+x+y+z, откуда 5x+4y+3z=12. Так как x, y, z - целые неотрицательные числа, то
перебором находим единственное решение (1; 1; 1).
Ответ: В каждого попали по одному разу.
3. Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая
достанется - определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество
конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все
едят доставшиеся им конфеты. Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы
съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
Лиса раскладывает конфеты так: 10, 10 и 80. Если ей достанется кучка из 80 конфет, то
медвежатам достанется поровну конфет, и они не будут жаловаться. Если ей достанется кучка из
10 конфет, то, для того чтобы уравнять доли медвежат, ей придётся съесть ещё 70 конфет.
4. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног,
всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий
сказал: «Вместе у нас 28 ног», зелёный: «Вместе у нас 27 ног», жёлтый: «Вместе у нас 26 ног»,
красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?
Так как осьминоги противоречат друг другу, то возможны два случая: либо все осьминоги лгут,
либо ровно один из них говорит правду. Если все осьминоги лгут, то у каждого из них по 7 ног.
Значит, вместе у них 28 ног. Но тогда синий осьминог сказал правду – противоречие. Если же три
осьминога солгали, а четвёртый сказал правду, то у солгавших осьминогов должно быть по 7 ног,
а у сказавшего правду –– либо 6, либо 8. Поэтому вместе у них либо 27, либо 29 ног, то есть
правду сказал зелёный осьминог. Таким образом, у зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7
ног.
3 раунд.
1. В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в
сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в
следующий раз они одновременно покажут правильное время?
Через 144 суток. Первые часы отстают на 15 минут в сутки. Следовательно, через четверо суток
они будут отставать на час, а через 48 суток отстанут на 12 часов, то есть впервые покажут
правильное время. Вторые часы будут спешить на час через 6 суток, а правильное время впервые
покажут, когда будут спешить на 12 часов, то есть по прошествии 72 суток. Так как НОК(48; 72) =
144, то и те, и другие часы впервые покажут правильное время через 144 суток.
2. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль – со скоростью 80 км/ч.
На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как
легковой автомобиль догонит грузовик?
500 метров. Скорость сближения автомобилей равна 80 – 65 = 15 (км/ч) = 250 (м/мин). Через две
минуты после того, как автомобили поравняются, они будут находиться друг от друга на
расстоянии 2502 = 500 (м).
3. На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок,
причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные 7 крыс
следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем
накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?
11 головок сыра. Пусть всего было k крыс (k>7), тогда каждая съела в первую ночь по 10/k
головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть 5/k головок. Все 7 крыс
съели тем самым 35/k головок. Это целое число. Единственный делитель числа 35, превышающий
7, –– само число 35. Поэтому 35/k=1, и всего на складе до нашествия крыс было 10+1=11 головок
сыра.
4. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит
правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и
каждый про своего соседа по паре сказал: «Он – рыцарь!», либо «Он – лжец!». Могло ли в итоге
оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Нет, не могло. Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда, каждая из фраз
произнесена по 1234 : 2 = 617 раз. При любом разбиении жителей на пары существует только три
возможных вида пар: 1) два рыцаря; 2) два лжеца; 3) рыцарь и лжец. В парах первого и второго
вида каждый произнес: «Он – рыцарь!», а в парах третьего вида каждый произнес: «Он – лжец!».
Таким образом, каждая из фраз произнесена четное количество раз, что противоречит тому, что их
должно быть по 617.
4 раунд.
1. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и
правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте
100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?
18 м/мин. Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет
18 м/мин.
2. Дима живет в девятиэтажном доме. Он спускается на лифте со своего этажа на первый за 1
минуту. Из-за маленького роста Дима не достает до кнопки своего этажа. Поэтому, поднимаясь
наверх, он нажимает ту кнопку, до которой может дотянуться, а дальше идет пешком. Весь путь
наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт движется вверх и вниз с одинаковой скоростью, а Дима
поднимается вдвое медленнее лифта. На каком этаже живет Дима?
Рассмотрим ту часть пути, которую Дима вниз едет на лифте, а вверх идет пешком. С одной
стороны путь пешком занимает вдвое больше времени, а с другой — больше на 10 секунд. Значит,
эту часть пути он проехал за 10 секунд, а прошел пешком за 20 секунд. Поскольку весь путь на
лифте занимает 60 секунд, то пешком он шел 1/6 пути.
Заметим, что пешком он шел целое число промежутков между этажами. Поскольку дом
девятиэтажный, пешком он шел 1 промежуток, а ехал 5. Значит, Дима живет на 7-м этаже.
3. На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству репок. Если в огород
заходит Внучка, то она выдёргивает ровно 1/3 репок, имеющихся к этому моменту. Если заходит
Жучка, то она выдёргивает 1/7 репок, а если заходит Мышка, то она выдёргивает только 1/12
репок. К концу недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором –– 4. Заходила ли Жучка
во второй огород?
Да, заходила. Каждый раз после того, как в огород заходит Внучка, на нем остаётся 2/3 имевшихся
до того репок, после визита Жучки –– 6/7, а после визита Мышки –– 11/12. Поэтому количество
репок на огороде не может стать кратным 7 после визита ни одного из этих персонажей, а
перестать делиться на 7 может только после визита Жучки. Так как в конце недели количество
репок на первом огороде делится на 7, исходное количество репок на этом огороде тоже делилось
на 7. Вначале на втором огороде было столько же репок, сколько на первом, а в конце осталось 4.
Поэтому в какой-то момент число репок там перестало делиться на 7. Значит, Жучка заходила во
второй огород.
4. В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в
каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в
ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых
фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Рассмотрим сумму всех чисел: 1 + 2 + ... + 63 + 64 = (1 + 64)32 = 6532. Для того, чтобы
выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы эта сумма была кратна трем, но это невозможно,
так как ни 65, ни 32 не делится на 3. Ответ: не может.
5 раунд.
1. В поезде Москва – Тьмутаракань ввели сплошную нумерацию мест в вагонах. Во всех вагонах
одинаковое количество мест. Известно, что места 385 и 416 находятся в одном вагоне, а места 544
и 577 находятся в разных вагонах, причем эти вагоны – не соседние. Сколько мест в одном вагоне?
Ответ обоснуйте.
32 места. Поскольку места 385 и 416 находятся в одном вагоне, то количество мест в вагоне не
меньше, чем 416 – 385 + 1 = 32. С другой стороны, между местами 544 и 577 находится 577 – 544 –
1 = 32 места. Это означает, что в одном вагоне не больше, чем 32 места. Таким образом, в вагоне
ровно 32 места.
1 1 1 1
1
1
1
1
    ... 


 .
2 3 4 5
98 99 100
5
1 1
1 1 1
1 1
1
13
12
1
  ;
 



 , сумма остальных дробей в левой
Вычислим:
;
2 3
6 4 5
20 6
20
60
60
5
2. Докажите, что
1
части неравенства – положительна, значит, значение левой части больше, чем 5 .
3. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма
чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на
грани, противоположной той, где написана цифра 3?
Ответ. 6. Поскольку 1+2+3+4+5+6=21 и 21-12=9, а 21-15=6, то в первый раз сумма чисел нижней и
верхней граней кубика равнялась 9, а во второй — 6. Бросим кубик третий раз так, чтобы он упал
на одну из тех двух граней, которые оба раза были боковыми. Поскольку 21-9-6=6, то сумма
чисел, которые при третьем броске оказались на верхней и нижней гранях, равна 6. Очевидно,
цифра 3 не могла ни во второй, ни в третий раз оказаться на верхней или нижней грани: иначе
напротив нее стояла бы цифра 6-3=3, а тройка только одна. Значит, тройка была на верхней или
нижней грани при первом броске. Поэтому напротив тройки стоит цифра 9-3=6.
Удовлетворяющий условию задачи кубик существует: 1+5=2+4=6 и 3+6=9.
4. В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом
архипелаге островов, если мостов – 84?
24 острова. Пусть в архипелаге x островов. Построим около каждого моста по две таможни – у
выхода на каждый из двух островов, которые соединяет этот мост. Тогда всего будет построено
842 = 168 таможен. С другой стороны, так как каждый остров соединён с семью другими, то на
168
 24 .
каждом острове – по семь таможен, то есть всего их – 7x. Следовательно, x 
7