Министерство здравоохранения Украины Национальный медицинский университет Имени А. А. Богомольца РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Министерство здравоохранения Украины
Национальный медицинский университет
Имени А. А. Богомольца
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Для самостоятельной работы студентов
Учебная дисциплина: "Медицинская и биологическая физика"
Направление: медицина
Специальность: "Лечебное дело", "Педиатрия", "Медикопрофилактическое дело", "Медицинская психология","Стоматология"
Кафедра Медицинской и биологической физики
Авторы: А.В.Чалый, Н.В.Стучинська, И.Ф.Марголыч
Утверждено на заседании кафедры от 31.08.2015 г.,протокол № __1__
Рассмотрено и утверждено: ЦМК из физ.- хим. дисциплин
от " 1.09 " 2015 года, протокол № 1
Тема 4. «Теория вероятностей»
Вступление. Ведущей доктриной современной медицины является
доказательная медицина, основанная на математических методах сбора,
анализа, обобщения и трактовки медицинской информации. Термин
"доказательная медицина" был предложен и введен в научный оборот в 1990
году. Учеными из университета Мак-Мастера г. Торонто (Канада). Такой
подход в медицине обусловлен необходимостью обработки количественных
показателей, основанных на объективных данных и совокупности
достоверных исследований. На сегодня каждый новый метод диагностики и
лечения, прежде чем быть рекомендованный к практическому применению,
должен пройти достаточно широкие рандомизированные плацебоконтролируемые исследования. Это требует широкого использования
методов
математической
статистики
и
теории
вероятностей.
Целью рабочей тетради является помощь в усвоении студентами основных
понятий, законов и теорем теории вероятностей. Студенты должны овладеть
теоретико-множественным подходом к рассмотрению элементарных
событий, усвоить основные понятия теории вероятностей; научиться
находить вероятности случайных событий по классическому и
статистическим определением вероятности, уметь вычислять вероятности
пересечения и объединения событий дифференциальных уравнений, с
помощью которых моделируют многие процессы в живых организмах,
медицине, биологии, фармации.
В рабочей тетради студентам предлагаются различные по сложности задачи
для самостоятельной работы. Критериями оценки самостоятельной работы
студента являются: оформлен рабочая тетрадь, умение решать задачи по
рабочей тетради и умение решать подобные по сложности задачи,
предлагаемых преподавателем на практическом занятии. Для объективной
оценки самостоятельной работы студентам рекомендуется подробно
описывать в рабочей тетради все этапы выполнения заданий.
Цель: овладеть теоретико-множественным подходом к рассмотрению
элементарных событий, усвоить основные понятия теории вероятностей;
научиться находить вероятности случайных событий по классическому и
статистическим определением вероятности, уметь вычислять вероятности
пересечения и объединения событий;
Знать:
- Определение пространства элементарных событий, случайного события,
классическое и статистическое определение вероятности, приятно и
объединения
случайных
событий,
полной
группы
событий,
противоположного
события,
случайной
величины;
- Теоремы умножения и сложения вероятностей, формулу Бернулли.
Уметь:
- Классифицировать случайные события (зависимые, независимые,
совместимые,
несовместимые,
достоверные,
невозможные)
- Находить вероятности элементарных событий по классическому и
статистическим определением;
- Находить вероятности объединения и пересечения элементарных событий
за теоремами умножения (для зависимых и независимых событий) и
добавления
(для
совместимых
и
несовместимых
событий)
Решать
задачи
с
использованием
теоремы
Бернулли;
- Решать вероятностные задачи, которые моделируют медикобиологические процессы.
Основные понятия темы: пространство элементарных событий, случайное
событие, классическое и статистическое определение вероятности,
пересечение и объединение случайных событий, полная группа событий,
противоположное событие, случайная величина; теоремы умножения и
сложения
вероятностей,
формула
Бернулли.
Рекомендуемая литература
1.Чалий О.В., Стучинська Н.В., Меленевська А.В. Вища математика.
Навчальний посібник для студентів вищих медичних і фармацевтичних
закладів. . – К.: Техніка, 2001. – С.104-142.
2.Медична і біологічна фізика.Т.1./ За ред. О.В.Чалого. – К.: Віпол, 1999.
3.Ремизов А.Н. Математическая и биологическая физика.М.:”Высшая
школа»,1987. с. 26-43.
4. Ремизов А.Н. Исакова Н.Х., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской
и биологической физике.  М.: «Высшая школа», 1987.
5. Баварин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. с.217 - 233
6. Свердан П.Л. Вища математика: Аналіз інформації у математиці та
медицині. – Львів: Світ, 1998.
7. Лобоцкая Н.Л., Мороз Ю.В., Дунаев А.А. Высшая математика: Учебник
для вузов. – М.:Высш.шк.,1978.
Вопросы для теоретического обработки:
1. Что такое случайное событие?
2. Что такое пространство элементарных событий.
3. Сформулируйте классическое определение вероятности.
4. Сформулируйте статистическое определение вероятности.
5. Какие события называют несовместимыми?
6. Какие события называют независимыми?
7. Дайте определение полной группы событий.
8. Дайте определение противоположного события.
9. Сформулируйте теорему умножения вероятностей. Есть ли отличия в
формулировке этой теоремы для зависимых и независимых событий,
совместимых и несовместимых?
10. Сформулируйте теорему сложения вероятностей. Есть ли отличия в
формулировке этой теоремы для зависимых и независимых событий,
совместимых и несовместимых?
11. Запишите формулу Бернулли. Какие условия должны выполняться для
правомерного применения этой формулы?
12. Дайте определение случайной величины. Случайные величины называют
дискретными? Непрерывными?
Задача 1. Определение вероятности
1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность, что хотя бы на одном
из
них
выпала
четное
количество
очков?
(3/4)
2. Дважды подбрасывают монету. Описать пространство элементарных
событий. Описать события: А - по крайней мере один раз выпадет герб, В герб не представится ни разу, С - при втором подбрасывании выпадет герб.
Найти
вероятности
событий
А,
В
и
С
3. Описать пространство событий (множество генотипов), которые могут
образовываться при скрещивании особей типа: 1) АаАа – гетерозиготы; 2)
ААаа – гомозиготы. Найти вероятность появления каждого из генотипов.
2. Проведено флюорографическое обследование 10000 мужчин, 4000 из
которых курят. Установлено, что легочные заболевания наблюдаются в 3 200
мужчин, из которых курят 2 000. Сравните вероятности легочных
заболеваний
в
курящих
и
тех,
которые
не
курят.
3. В ящике лежат 8 красных, 2 синих и 20 зеленых карандашей. Вы наугад
выбираете 1 карандаш. Какова вероятность того, что он: а) красный; б)
желтый; в) не зеленый. Какое наименьшее количество карандашей нужно
вынуть, чтобы с вероятностью 1 среди них был красный карандаш?
4. В ящике лежат 8 красных, 2 синих и 20 зеленых карандашей. Вы наугад
выбираете 1 карандаш. Какова вероятность того, что он: а) красный; б)
желтый; в) не зеленый. Какое наименьшее количество карандашей нужно
вынуть, чтобы с вероятностью 1 среди них был красный карандаш?
5. На карточках записаны числа от 1 до 15. Наугад выбирают две из них.
Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на этих карточках
равна
10?
6. Какова вероятность вытащить из колоды в 52 карты валет, дама или
короля
произвольной
масти
или
карту
бубновой
масти?
7. Многолетние наблюдения, проводились в некотором районе, показали, что
из 100000 десятилетних до 40 лет доживают в среднем 82000 человек, а до 70
лет - 38000. Найти вероятность для десятилетнего и сорокалетнего дожить до
70
лет.
8. Из 900 больных, поступивших в хирургическое отделение больницы за
месяц, 300 имели травмы. Какая относительная частота поступления
больных с травмами?
Задача 2. Теорема умножения и сложения вероятностей
1. Какова вероятность того, что в семье с двумя детьми будут дети разного
пола? Вероятность рождения мальчика 0,52, пол следующего ребенка не
зависит от пола предыдущей.
2. В первом ящике 5 белых шариков, 11 черных и 8 зеленых, во втором -10
белых, 8 черных и 6 зеленых. Наугад берут по одному шарику из каждого
ящика.
Какова
вероятность
того,
что
они
одного
цвета?
3. В ящике 12 красных, 5 белых и 3 черных шарики. Наугад берут шесть из
них. Какова вероятность того, что взято С красные, 2 белые и 1 черная
шарики?
4. Из букв разрезной азбуки составлено слово. Затем буквы слова
перемешиваются и наугад берутся одна за другой. Найти вероятность того,
что будет составлено первоначальное слово, если это слово: а) «книга»; б)
«ананас»?
5. Есть карточки с цифрами 1,2,3,4,5. Наугад выбираем три из них. Какова
вероятность того, что они составят арифметическую прогрессию?
6. Замок содержит 4 диска, на каждом из которых 10 цифр. Замок
открывается, если верно набранный код из четырех цифр. Какова
вероятность того, что замок откроется с первой попытки? (1/10000)
7. В магазине было 60 арбузов, из которых 50 - спелые. Покупатель решил
купить два арбуза. Какова вероятность того, что они оба спелые?
8. В студенческой группе 10 юношей и 5 девушек. Какова вероятность того,
что среди 5 студентов, выбранных наугад, будет С ребята и 2 девушки?
9. Номер телефона состоит из пяти цифр. Какова вероятность того, что они
все
разные?
10. Из пяти карточек с буквами М, Р, В, А, Е наугад выбирают четыре
карточки. Найдите вероятность того, что положив их в ряд в том порядке, в
котором
их
выбирали,
мы
получим
слово
«море».
11. На отрезке длиной Ɩ наугад выбирают две точки. Найти вероятность того,
что расстояние между ними не меньше, чем треть первоначального отрезке.
12. Три стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны 0,8;
0,75 и 0,7, делают по одному выстрелу по одной мишени. Найдите
вероятность того, что в мишень попадут: а) все три стрелка; б) только два
стрелка.
13. В коробке лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наугад берут
одна за другой 3 шара, причем взятую шар к коробке не возвращают.
Найдите вероятность того, что все три шара будут разного цвета.
14. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попасть
для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,75, третьей - 0,9. Найдите
вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы два раза.
15. В первом ящике 5 белых шариков, 10 черных и 3 зеленые, во втором -10
белых, 3 черных и 5 зеленых. Наугад берут по одному шарику из каждого
ящика.
Какова
вероятность
того,
что
они
разного
цвета?
16. Заболевание удается вылечить у 96% больных, причем у 85% не
наблюдается рецидивов. Какова вероятность того, что у больного, взятого
наугад
с
данным
диагнозом,
а
не
будет
рецидивов?
17. Студент выучил 70% экзаменационных вопросов. Какова вероятность
получить положительную оценку? В билете три вопроса, оценка
положительная, если процент правильных ответов превышает 60%.
18. Больному требуется переливание крови. Вероятность, что кровь взятого
наугад донора окажется подходящей, р = 0,2. Какова вероятность, что с
10 доноров хотя бы у одного группа крови будет пригодной?
19. В одном ящике находятся 3 белых и 6 черных шаров, а во втором - 6
белых и 9 черных. Найти вероятность того, что при первом извлечении
наугад шариков с каждого ящика обе будут черными, белыми, цвета, разного
цвета,
хотя
бы
одна
белая.
20. Три стрелка ро блять по одному выстрелу в зайца, пробегает рядом с
ними. Вероятность попадания каждого из них в зайца равна 0,3. Зайца будет
убит, если хоть одна пуля попадет в него. Найти вероятность того, что зайца
будет
убит.
21. Прибор выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из трех его
элементов, которые портятся с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3 в течение суток.
Найдите вероятность того, что: а) прибор будет работать в течение суток; б)
прибор
испортится
в
течение
суток.
22. Стрелец делает один выстрел в мишень. Вероятность выбить 10 очков
равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков - 0,6. Какова вероятность выбить не
менее 9 очков?
Задача 3. Схема Бернулли
1. 10 раз подбрасываем кубик. Какова вероятность того, что «С» выпадет: а)
1 раз; б) 2 раза; в) 3 раза?
2. Прибор состоит из 12 блоков. Вероятность того, что в течение суток
прибор блок выйдет из строя равна 1/3. Какова вероятность того, что в
течение суток из строя выйдут 4 блока?
3. На старт марафона вышло 8 спортсменов. Найти вероятность того, что 3 из
них не закончат дистанцию, если вероятность схода с дистанции для каждого
спортсмена равна 0,3.
4. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность
перегрева за день работы равен 0,8. Какова вероятность того, что за день: а)
перегреются ровно 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) ни один мотор не
перегреется?
5. Вероятность изготовления дефектного изделия составляет 0,3. Какова
вероятность того, что среди 5 изделий будет не менее двух дефектных?
6. Прибор состоит из 6 блоков. Вероятность поломки каждого из них 0,4 и не
зависит от других. Прибор сломается, если сломается не менее двух блоков.
Какова вероятность того, что прибор сломается?
7. 31% продукции, производимой завод - высшего сорта. Сколько деталей
высшего сорта наиболее вероятно найти в партии из 99 деталей?
8. По оценкам 20% взрослого населения города имеют полноту (избыточную
массу). С этой популяции в случайном порядке отбирают 10 человек. Найти
вероятности того, что среди выборки в 10 человек: 1) полных есть 2; 2)
полных есть от 1 до 4; 3) полных менее 5.
9. Найти вероятность, что в семье, которая имеет 5 детей, 4 мальчика.
Вероятность рождения мальчика равна 0,515.
Задача 4. Вероятность реализации хотя бы одного из независимых событий
1. Какова вероятность, что в семье с тремя детьми, хотя бы одна девочка?
2. В семье 5 детей. Какова вероятность, что с них хотя бы одна девочка?
3. Вероятность, что кровь в взятого наугад донора окажется пригодной 0,2.
Сколько доноров нужно взять чтобы с вероятностью 0,9 получить
пригодную?
4. Для того, чтобы разрушить состав достаточно попадания одной бомбы.
Найти вероятность разрушения склада, если на него сбрасывают три бомбы с
вероятностями
попадания,
соответственно,
0,3;
0,4;
0,7.
5. Два спортсмена стреляют по одной цели по два раза, независимо друг от
друга. Вероятности попадания соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность
того,
что
хотя
бы
один
выстрел
попадет
в
цель?
6. Четыре спортсмена с закрытыми глазами стреляют по одной цели, зная его
приблизительное местонахождение, независимо друг от друга. Вероятности
попасть в соответствии 0,012; 0,01; 0,006 и 0,002. Какова вероятность того,
что
хотя
бы
один
спортсмен
попадет
в
цель?
7. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы с вероятностью не
менее 0,99 появилась хотя бы одна «6»?
Формула полной вероятности
1. В отделении 30% больных кроме основных лекарств назначили
физиотерапевтические процедуры. Вероятность выздоровления в 10дневный срок больных этой группы 0,95, другие больные выздоравливают
в этот срок с вероятностью р = 0,70. Некоторое пациент выздоровел в 10дневный срок. Какова вероятность, что он проходил курс
физиотерапевтических
процедур?
2. В диагностический центр в равных количествах попадают пациенты с
трех консультативных пунктов. Вероятность, что диагноз будет
подтвержден для пациентов с направлением первого пункта 0,8, с другой 0,5; третьей - 0,4. У одного пациента диагноз подтвердился. Какова
вероятность,
что
он
был
направлен
первым
пунктом?
3. В аптеке есть два лекарственных препарата, которые могут быть
использованы при данном заболевании. Вероятность положительного
результата при использовании первого препарата 0,8; второго - 0,9. Какова
вероятность того, что взятый наугад препарат даст положительный
результат?
Готовимся к итоговой контрольной работы
1. Одна операционная используется несколькими отделениями. 1.
Вероятность того, что она понадобится в смену ровно одном из отделений,
равна 0,1; ровно двум - 0,07; больше, чем двум - 0,03. Найти вероятность
того, что в течение изменения операционная не понадобится одном из
отделений.
2. Мой друг с вероятностью 0,1 мо жет пойти в театр, с вероятностью 0,15 - в
кино и с вероятностью 0,1 может играть в футбол. Он может пойти только в
одно из этих мест. Какова вероятность того, что я застану его дома?
3. Болельщик с вероятностью 0,3 может посетить футбол, с вероятностью 0,4
- баскетбол, и с вероятностью 0,2 - волейбол. Денег ему хватит на посещение
только одного соревнования. Найдите вероятности следующих событий: А болельщик посетил соревнования; В - болельщик посетил соревнования где
нет
вратаря.
4. Среди 20 студентов-болельщиков случайным образом распределяются 12
билетов на футбол и 8 на баскетбол. Какова вероятность, что два друга
посетят одни и те же соревнования?
5. Студент наугад называет одно из трехзначных чисел (от 100 до 999).
Какова вероятность того, что в том числе хотя бы две цифры совпадают?
6. В ящике находятся 20 белых и 10 черных шаров. Наугад берут два шарика.
Найти вероятность, что оба будут черными. белыми, цвета, разного цвета.
Хотя бы один шарик белая?
7. В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, а
50% -мутацию крылышек, причем 40% мух с мутацией глаз имеют также
мутацию крылышек. Какова вероятность, что у мухи, выбранной
произвольным образом, будет хотя бы одна из мутаций? Какова вероятность,
что у мухи, выбранной произвольным образом, будет мутация глаз, но не
будет мутации крылышек?
8. Вероятность получения качественной донорской крови в первом
отделении заготовки равен 0,95, а на втором - 0,9.У первом отделении взяли
кровь в 3 доноров, а во втором - 2. Можно ли с вероятностью 0,7 утверждать,
что все они качественные?
9. Какова вероятность, что в семье с тремя детьми будут дети только одного
пола?
10. Какова вероятность, что в семье с тремя детьми будут дети разного пола?
11. Какова вероятность, что в семье с тремя детьми старше ребенок - девочка,
а наименьший мальчик?
12. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна
7/8.
Найдите
вероятность
попадания
при
одном
выстреле.
13. При лечении некоторого заболевания используются 3 лекарственные
препараты, каждый из которых дает аллергические реакции в 0,1% случаев.
Какова вероятность, что у больного, выбранного произвольным образом, не
будет
аллергии
при
приеме
трех
препаратов
одновременно?
14. В одном ящике находятся 20 белых и 10 черных шаров, а в другом 10
белых и 20 черных. Наугад берут по одному шарику из разных ящиков.
Найти вероятность, что оба будут черными? белыми? одного цвета? разного
цвета? хотя бы один шарик белая?
Задача для СРС
Тема
практическог
о занятия
Аудиторная
самостоятельна
я работа
студента
Элементы
теории
вероятностей
Случайные
события,
пространство
случайных
событий,
классическое и
статистическое
определение
вероятности,
теоремы
сложения и
умножения
вероятностей,
формулы
Бернулли
Формы внеаудиторной
Время
самостоятельной работы
подготовк Обязательные По выбору
и
и одинаковые
студента
студента к для всех
занятию
студентов
(ч)
3,4
Решение задач, Решение
примеров,
задач,
предложенных примеров,
в тетради.
которые не
Оформление
представленн
рабочей
ые в данном
тетради.
тетради из
Теоретические литературны
вопросы, также х источников
задания 1 и
по выбору
примеры 1-10
студента
задачи 2
должны быть
проработаны
студентом
накануне
практического
занятия.