Занятие по подготовке к ГИА по математике по

Занятие по подготовке к ГИА по математике по решению задач с
помощью кругов Эйлера. Теория графов. ( учитель Артемова Л.И.)
Спортивный класс
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в
футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо,
баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не
увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.
Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
Решение.
Воспользуемся кругами Эйлера.
Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,
а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов,
хоккеистов и футболистов.
Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят,
увлекающихся тремя видами спорта.
Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта баскетболом занимаются
16 - (4 + z + 3) = 9 - z;
одним лишь хоккеем
17 - (4 + z + 5) = 8 - z;
одним лишь футболом
18 - (3 + z + 5) = 10 - z.
Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные
группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке
рамочкам:
3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,
z = 2.
Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят,
увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
Ответ.
Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.
Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение
множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно
изобразить отношения между подмножествами, для наглядного
представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также
упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи,
нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических
действий решить задачу легче.
"Обитаемый остров" и "Стиляги"
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15
ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги»,
из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек
смотрели только фильм «Стиляги»?
Решение
Чертим два множества таким образом:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги»,
помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».
Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым
мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма:
«Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и
теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали
21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро –
«Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма.
Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро
выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм
«Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они
пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и
теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб
Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 =
17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
«Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили
новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни
одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Решение
Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри
двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей
купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей
купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили
диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и
Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
Гарри Поттер, Рон и Гермиона
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и
Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни
Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри
Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
Решение
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2
книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри.
Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон.
Ответ. 8 книг прочитал Рон.
Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют
в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и
драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не
занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение
Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом,
не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься
на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На
скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на
роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько
ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Решение
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей
части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься
10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься
только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично
получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5
ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти
данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют
кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют
30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами,
следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично
получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на
роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят.
20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном
снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном
спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Задача: В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют
«тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека.
Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4
человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек
имеют «тройки» и по математике и по физике, из них пятеро имеют тройки и
по русскому языку. Сколько человек учатся без «троек». Сколько человек
имеют «тройки» по двум из трёх предметов. Рассмотрим решение с помощью
следующего слайда
Теория графов
Теория графов – наука сравнительно молодая. Первая работа по теории
графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в
публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения
задачи о кенигсбергских мостах. Графы придали условиям наглядность,
упростили решение и выявили сходство задач. Сейчас почти в любой отрасли
науки и техники встречаешься с графами: в электротехнике при построении
электрических схем, в химии – при изучении молекул и их цепочек, в
экономике – при решении задач выбора оптимального пути для потоков
грузового транспорта. Граф – это фигура, состоящая из точек и линий.
Решим следующую задачу:
В школьном драматическом кружке решили ставить гоголевского
«Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Всё началось с Ляпкина-Тяпкина.
– Ляпкиным-Тяпкиным буду я! Решительно заявил Дима. С раннего детства я
мечтал воплотить этот образ на сцене.
– Ну хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть
Хлестакова, проявил великодушие Гена.
– … А мне – Осипа, – не уступил ему в великодушии Дима.
– Хочу быть Земляникой или Городничим, – сказал Вова.
– Нет, Городничим буду я, – хором закричали Алик и Боря. – или
Хлестаковым, добавили они одновременно.
Удастся ли распределить роли так. Чтобы исполнители были довольны?
Изобразим каждого участника драматического кружка точкой, а все их
пожелания будем изображать линиями. Видно, что Осипа будет играть Дима,
Вова – Землянику, Гена – Ляпкина – Тяпкина, Алик и Боря – Хлестакова и
Городничего.
Решите с помощью графов следующую задачу: В первенстве класса по
настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий
и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников
играет с каждым из остальных один раз.
13 Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским
и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов
не владеют ни одним языком?
Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех кто знает
английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третим кругом тех, кто знают немецкий. Тогда, например, те, кто владеет и английским и
немецким, "попадут" в общую часть первого и третьего круга.
Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов
вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10
человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только
английским и французским владеют 10-3=7 человек.
Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5
человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в
соответствующие части.
Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных
языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими
языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично
получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов
знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из
данных языков.
Ответ: только английским владеет 13 человек, только французским - 30,
только немецким - 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.
Задачи на круги Эйлера
Задача 1. Про учеников школы, которые участвовали в физикоматематическом конкурсе, известно, что 7 из них справились с задачами и по
математике и по физике, 11 из них справились с задачами по математике, 9
из них справились с задачами по физике. Сколько учеников принимали
участие в конкурсе?
Задача 2. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 морковь, 5 - горох, 4 - капусту и морковь, 3 - капусту и горох, 2 - морковь и
горох, один - и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?
Задача 3. На полу комнаты площадью 24 м2 лежат три ковра. Площадь
одного из них - 10 м2, другого - 8 м2, третьего - 6 м2. Каждые два ковра
перекрываются по площади 3 м2, а площадь участка пола, покрытого всеми
тремя коврами, составляет 1 м2. Найдите площадь участка пола: а)
покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром; б)
покрытого только одним первым ковром; в) не покрытого коврами.
Задача 4. На спортивные соревнования в Летней математической школе
ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в
чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете
приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу - 26, пионерболу
- 32, футболу - 31, шахматам - 28 и теннису - 36 человек. 53 школьника
приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника
участвовали 3 или более раз, 9 школьников - не менее 4 раз и 3 школьника даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во
всех шести соревнованиях). Сколько школьников были зрителями?
Разнобой
Задача 5. Дано 6 гирь: две зеленых, две красных, две синих. В каждой паре
одна гиря тяжелая, а другая легкая, причём все тяжелые гири весят
одинаково и все легкие тоже. Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах
найти все тяжелые гири?
Задача 6. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных в кольцо.
Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?