Примеры решения задач по МАТРИЧНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ A

Примеры решения задач
по МАТРИЧНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ
1. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов
сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы A :
вид
сырья

1234
2 3 4 5 1 

 2  вид
A4 , 4    1 2 5 6 
7 2 3 2 3  изделия
4 5 6 8


 4 
Требуется найти затраты сырья каждого вида, необходимые для
выполнения заданного плана выпуска изделий, соответственно:
60 , 50 , 35 , 40 .
РЕШЕНИЕ. Составим вектор-план выпуска продукции
q1, 4   60,50,35,40 .
Тогда решение задачи задается вектором затрат, координаты которого и
являются величинами затрат сырья по каждому его виду. Этот вектор затрат
вычисляется как произведение вектора q 4 на матрицу A4 , 4  :
2 3 4 5


q1, 4   A4 , 4   60 , 50 , 35 , 40   1 2 5 6  
7 232
4 5 6 8


Т
 120  50  245  160 


  180  100  70  200   575,550,835,990
240  250  105  240
 300  300  70  320 


2. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции
характеризуются той же матрицей
вид
сырья

1234
2 3 4 5


A4 ,4    1 2 5 6 
7 232
4 5 6 8


.
1
2
3
4

 вид
 изделия


2




И задан такой же план выпуска изделий по их видам X 1, 4 
соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.
Известны:
- себестоимости единицы каждого вида сырья C 4 ,1 соответственно
4, 6, 5, 8 ден. ед.;
- себестоимости доставки единицы каждого вида сырья P4 ,1
соответственно 2, 1, 3, 2 ден. ед.
Требуется найти:
а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции при заданном
плане их выпуска;
б) общие затраты на перевозку сырья для каждого вида продукции при
заданном плане их выпуска;
в) общие затраты на сырье и его транспортировку при заданном плане
выпуска.
РЕШЕНИЕ.
а)
A4 , 4   C 4 ,1  60 , A4 , 4   C 4 ,1  50 , A4 , 4   C 4 ,1  35 , A4 , 4   C 4 ,1  40 


 5160 ,4450 , 2485 ,5600 



б)
A4 , 4   P4 ,1  60 , A4 , 4   P4 ,1  50 , A4 , 4   P4 ,1  35 , A4 , 4   P4 ,1  40 
 1740 ,1550 ,1015 ,1880 

в)
X 1, 4   A4 , 4   C 4 ,1  X 1, 4   A4 , 4   P4 ,1  23880 
3. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве,
характеризующемся вектор-планом X 3  10 , 7 , 4  . Для его изготовления
используются 5 видов сырья. Известна матрица

 

виды сырья
,
 5 10 3 9 2  
вид


A3 , 5   a i k  4 8 5 6 8 
 6 12 4 3 10   продукции

 
где a i k характеризует расход k  ого вида сырья на 1 ед. i  ого вида
продукции. Наконец, вектор C 5  7 , 4 , 5 , 10 , 2  задает стоимость 1 ед.
каждого вида сырья.
Определить: 1)необходимое количество единиц сырья каждого вида для
обеспечения плана, 2)стоимость сырья для единицы каждого вида продукции
и 3)общую стоимость всего сырья для всей продукции.
РЕШЕНИЕ.
1) X 1, 3   A3,5   102,204,81,144,116
3
 184 
2) A3 , 5   C 5 , 1    161 
 160 


3) X 1, 3   A3,5   C5 ,1  3607
4. По данным отчетного периода получен следующий баланс
трехотраслевой экономической системы:
Потребители
Конечная
Валовая
№ отраслей
продукция
продукция
1
2
3
20
40
30
110
200
1...
30
16
60
54
160
 2...
 3...
10
24
16
150
200
Y3
Определить следующие экономические показатели:
коэффициенты прямых затрат;
коэффициенты полных затрат;
валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт
 130 , 60 , 160  .
РЕШЕНИЕ.
Расчет коэффициентов прямых затрат: a i j 
a1 2
a1 3
a2 3
x2 1

30
 0 ,15;
X 1 200
x
16
 22 
 0 ,1;
X 2 160
x
60
 23 
 0 , 3;
X 3 200
a2 1 
a2 2
x1 1
20
 0 ,1;
X 1 200
x
40
 12 
 0 , 25;
X 2 160
x
30
 13 
 0 ,15;
X 3 200
a1 1 

xi j
Xj
,
4
a3 2
a3 3
x3 1
10
 0 ,05;
X 1 200
x
24
 32 
 0 ,15;
X 2 160
x
16
 33 
 0 ,08.
X 3 200
a3 1 

 0 ,1 0 , 25 0 ,15 
A3 , 3    0 ,15 0 ,1 0 , 3 


0
,
05
0
,
15
0
,
08


Расчет
коэффициентов
1
B3 , 3   E3 , 3   A3 , 3   
  1 0 0   0 ,1 0 , 25

   0 1 0    0 ,15 0 ,1
  0 0 1   0 ,05 0 ,15
 

1
 0 ,9  0 ,25  0 ,15 
   0 ,15 0 ,9
 0 ,3 



0
,
05

0
,
15
0
,
92


 1,19 0 , 38 0 , 32 
  0 , 23 1, 25 0 ,45 


0
,
1
0
,
22
1
,
18


полных
1
0 ,15  

0 ,3   

0 ,08  

1
Определение валового выпуска отраслей:
X 3 , 1  E3 , 3   A3 , 3   Y3 , 1 
 1,19 0 ,38 0 ,32   130 
  0 ,23 1,25 0 ,45    60  

 

 0 ,1 0 ,22 1,18   160 
 229,37 
  176,62 


 215,18 
1
1
Обратная матрица рассчитана на ПК с помощью Excel
затрат:
5
Примеры решения задач
по СЕТЕВОМУ ПЛАНИРОВАНИЮ И УПРАВЛЕНИЮ
Определить минимальную стоимость комплекса производственных
работ при заданной продолжительности его выполнения и других указанных
условиях.
События
(предки)
События
(потомки)
начало работ
готовность
деталей
готовность
деталей
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования
составление
инструкций (11/6)
изготовление
деталей (4/3)
подготовка
документации
(5/2)
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования
готовность
блоков
готовность
изделия
готовность
блоков
закупка
дополнительного
оборудования
(10/5)
сборка
блоков (6/4)
установка
дополнительного
оборудования
(12/6)
компоновка
изделия (9/6)
6
Работы
изготовлен
ие деталей
закупка
дополнител
ьного
оборудован
ия
сборка
блоков
подготовка
документац
ии
установка
дополнител
ьного
оборудован
ия
составлени
е
инструкций
компоновка
изделия
Нормальный вариант
Ускоренный вариант
Прирост
затрат на
одни сутки
ускорения
Время
(сутки)
Затраты
(у.е.)
Время
(сутки)
Затраты
(у.е.)
4
100
3
120
20
10
150
5
225
15
6
50
4
100
25
5
70
2
100
10
12
250
6
430
30
11
260
6
435
35
9
180
6
300
40
Требуется оптимизировать по критерию минимизации затрат
сетевой график при заданной продолжительности выполнения всего
комплекса работ за 25 суток.
Решение.
Построим сетевой график. Для этого пронумеруем события и тем самым
работы.
7
События
(предки)
События
(потомки)
начало работ
(1)
готовность
деталей
готовность
деталей
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования
составление
инструкций (11/6)
изготовление
деталей (4/3)
подготовка
документации
(5/2)
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования
закупка
дополнительного
оборудования
(10/5)
готовность
блоков
сборка
блоков (6/4)
установка
дополнительного
оборудования
(12/6)
готовность
изделия (6)
События
(предки)
События
(потомки)
начало работ
(1)
готовность
деталей
готовность
деталей
готовность
блоков
готовность
изделия (6)
компоновка
изделия (9/6)
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования
(2)
составление
инструкций (11/6)
изготовление
деталей (4/3)
готовность
блоков
подготовка
документации
(5/2)
готовность
документации
поступление
дополнительного
оборудования (2)
готовность
блоков
закупка
дополнительного
оборудования
(10/5)
сборка
блоков (6/4)
установка
дополнительного
оборудования
(12/6)
компоновка
изделия (9/6)
8
События
(предки)
События
(потомки)
начало работ
(1)
готовность
деталей
(4)
готовность
деталей (4)
готовность
документации
(3)
поступление
дополнительного
оборудования
(2)
составление
инструкций (11/6)
изготовление
деталей (4/3)
подготовка
документации
(5/2)
готовность
документации (3)
поступление
дополнительного
оборудования (2)
закупка
дополнительного
оборудования
(10/5)
готовность
блоков
сборка
блоков (6/4)
установка
дополнительного
оборудования
(12/6)
готовность
изделия
События
(предки)
События
(потомки)
начало работ
(1)
готовность
деталей
(4)
готовность
деталей (4)
готовность
блоков (5)
готовность
изделия (6)
компоновка
изделия (9/6)
готовность
документации
(3)
поступление
дополнительного
оборудования
(2)
составление
инструкций (11/6)
изготовление
деталей (4/3)
готовность
блоков
(5)
подготовка
документации
(5/2)
готовность
документации (3)
поступление
дополнительного
оборудования (2)
готовность
блоков
закупка
дополнительного
оборудования
(10/5)
сборка
блоков (6/4)
установка
дополнительного
оборудования
(12/6)
компоновка
изделия (9/6)
9
Проведем анализ сетевого графика:
Продолжительность (сутки)
Полные пути
Нормальный режим
Ускоренный режим
1–2–3–6
27
13
1–2–4–5-6
29
18
1–2-3-4-5-6
41
23
10
Представим алгоритм решения поставленной оптимизационной задачи
первым способом в таблицах:
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
-
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
29
41
-
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
29
-
41
38
30
11
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
29
24
41
38
33
30
75
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
-
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
-
29
24
-
41
38
33
-
30
75
-
12
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
2
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
-
29
24
22
41
38
33
31
30
75
50
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
2
-
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
-
29
24
22
-
41
38
33
31
-
30
75
50
-
13
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
2
5
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
-
29
24
22
-
41
38
33
31
26
30
75
50
175
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
10
15
20
25
30
35
40
2-3
1-2
2-4
4-5
3-6
3-4
5-6
Количество
сокращаемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(1)
(2)
(6)
(5)
(3)
3
5
2
5
1
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общий
прирост
затрат
27
24
19
-
29
24
22
21
41
38
33
31
26
25
30
75
50
175
40
370
Итак, при снижении продолжительности выполнения всего комплекса работ
с 41 суток до 25 суток оптимальные затраты составляют 1060+370=1430
(у.е.).
14
Представим алгоритм решения поставленной оптимизационной задачи
вторым способом в таблицах:
Суточный
№
прирост
шага
затрат
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
Работа
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
-
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
18
23
-
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
-
18
20
23
25
-80
15
Суточный
№
прирост
шага
затрат
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
Работа
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
-
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
-
18
20
-
23
25
-
-80
-
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
6
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
19
18
20
-
23
25
-
-80
-180
16
Суточный
№
прирост
шага
затрат
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
Работа
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
6
-
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
19
-
18
20
-
23
25
-
-80
-180
-
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
6
1
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
19
-
18
20
21
23
25
-
-80
-180
-20
17
Суточный
№
прирост
шага
затрат
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
Работа
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
6
1
-
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
19
-
18
20
21
-
23
25
-
-80
-180
-20
-
В С Е Г О
№
шага
Суточный
прирост
затрат
Работа
0
1
2
3
4
5
6
7
40
35
30
25
20
15
10
5-6
3-4
3-6
4-5
2-4
1-2
2-3
Количество
наращиваемых
суток
(максимально
возможное)
(3)
(5)
(6)
(2)
(1)
(5)
(3)
2
6
1
В С Е Г О
Продолжительность
полного пути
1-2-3-6
1-2-4-5-6
1-2-3-4-5-6
Общее
снижение
затрат
13
19
-
18
20
21
-
23
25
-
-80
-180
-20
-280
18
Итак, при повышении продолжительности выполнения всего комплекса
ускоренного режима работ до 25 суток оптимальные затраты составляют
1710-280=1430 (у.е.).
ПРОВЕРКА: 1430=1430
Примеры решения задач
по РЕГРЕССИОННОМУ АНАЛИЗУ
1. Построить уравнение регрессии и оценить надежность его
коэффициентов с помощью коэффициента частной корреляции по
следующим данным:
№ наблюдения
x 1 i 
x 2 i 
y i 
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24,69
8,00
29,41
19,14
39,84
18,77
26,14
22,28
26,01
22,35
21,96
34,91
41,05
1,27
44,39
18,02
45,29
30,09
47,39
37,19
1,59
2,41
2,71
1,48
0,03
3,80
0,67
4,59
3,51
0,24
2,54
0,31
2,54
4,02
4,87
2,92
4,28
0,26
2,52
2,06
Решение.2
2
Вычисления производились на ПК с помощью Excel
4,85
7,94
1,12
7,60
6,21
2,33
4,97
5,33
4,10
5,43
0,39
3,57
4,04
9,59
5,41
7,67
2,91
4,52
4,09
3,23
19
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для составления
системы уравнений, с помощью которой определяются коэффициенты
уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
20
20
20
i 1
i 1
 x 1 i   x 2 i 
 y i 
i 1
558,19
47,35
95,30
20
20
20
20
20
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 y i   x 1 i   x 12 i   x 1 i   x 2 i   y i   x 2 i   x 22 i 
1297,99
156,59
223,90
2400,81
554,32
20
20
20

a

20

a

x

a

x

 y i 
1  1 i 
2  2 i 
 0
i 1
i 1
i 1

20
20
20
20

2
a 0   x 1  i   a 1   x 1  i   a 2   x 1  i   x 2  i    y  i   x 1  i 
i 1
i 1
i 1
i 1


20
20
20
20
a 0   x 2 i   a 1   x 1 i   x 2 i   a 2   x 22 i    y i   x 2 i 

i 1
i 1
i 1
i 1
 20  a 0  47 , 35  a 1  95, 3  a 2  558,19

47 , 35  a 0  156,59  a 1  223,9  a 2  1297,99

95, 3  a 0  223,9  a 1  554, 32  a 2  2400,81
Решается составленная система линейных уравнений с помощью
обратной матрицы.
47 ,35
95,3   a 0   558,19 
 20

   


   

 47 ,35 156,59 223,9    a 1    1297,99 

   

 95,3 223,9 554,32   a   2400,81 


  2 
20
47 , 35
95, 3 
 a 0   20
  

  

 a 1    47 , 35 156,59 223,9 
  

 a   95, 3 223,9 554, 32 

 2 
1
 558,19 




  1297,99  


2400
,
81


 0 ,41  0 ,06  0 ,05   558,19   41,76 

 
 


 
 

   0 ,06 0 ,02
0    1297,99     0 ,63 

 
 

  0 ,05
  2400,81    2,59 
0
0
,
01
 


 
Искомое уравнение регрессии
y  41,76  0 ,63  x 1  2,59  x 2
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для оценивания
надежности коэффициентов полученного уравнения регрессии с помощью
коэффициента частной корреляции.
№
наблюдения
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y 2 расчi  
 41,76  0 ,63  x1 i   2,59  x 2 i 
28,18
19,64
37,15
21,11
25,63
33,33
28,45
25,05
28,92
27,52
39,15
32,30
29,68
14,35
24,66
20,02
31,52
29,87
29,57
32,09
y 1 расчi  
 41,76  0 ,63  x 1 i 
40,76
40,25
40,06
40,83
41,74
39,37
41,34
38,88
39,56
41,61
40,17
41,57
40,17
39,23
38,70
39,93
39,07
41,60
40,18
40,47
21
20


2
 2202,94


2
 5935, 37
S 22   y i   y 2 расчi 
i 1
20
S   y i   y 1 расчi 
2
1
i 1
Рассчитывается коэффициент частной корреляции
S 12  S 22
ry 1 2 
 0 ,79
S 12
2. С помощью коэффициента корреляции оценить качество уравнения
регрессии y  2,1  1, 33  x 1  0 , 29  x 2 , построенного по следующим
данным:
№ наблюдения
x 1 i 
x 2 i 
y i 
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,60
0,86
0,43
0,12
0,66
0,15
0,67
0,20
1,00
0,20
0,63
0,28
0,08
0,48
0,88
0,13
0,63
0,02
0,07
0,41
1,14
1,04
1,23
1,68
1,11
1,60
1,10
1,50
1,00
1,50
1,12
1,37
1,86
1,20
1,03
1,67
1,12
2,72
1,93
1,25
0,17
0,12
0,23
0,80
0,15
0,65
0,15
0,50
0,10
0,51
0,16
0,35
1,20
0,21
0,11
0,77
0,16
5,44
1,37
0,24
22
Решение.3
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для определения
коэффициента корреляции.
y фак 
1 20
  y i   0 ,43
20 i  1
№
наблюдения
y i   y фак
y i   y расчi 
i 
y расчi  
 2,1  1,33  x 1 i   0 ,29  x 2 i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,63
0,75
0,53
0,10
0,67
0,16
0,68
0,25
0,80
0,25
0,66
0,38
-0,03
0,56
0,76
0,10
0,66
0,06
-0,07
0,51
0,18
0,44
0,00
-0,31
0,24
-0,28
0,25
-0,23
0,58
-0,23
0,21
-0,15
-0,35
0,05
0,46
-0,30
0,21
-0,41
-0,36
-0,02
0,03
-0,11
0,10
-0,02
0,01
0,01
0,01
0,05
-0,20
0,05
0,03
0,10
-0,11
0,08
-0,12
-0,03
0,03
0,04
-0,14
0,10
3
Вычисления производились на ПК с помощью Excel
23
2
S фак

2
S расч


1 20
  y i   y фак
20 i  1


2
1 20
  y i   y расчi 
20 i  1
 0 ,09

2
 0 ,01
Рассчитывается коэффициент корреляции
2
2
S фак
 S расч
r
 0 ,96
2
S фак
Примеры решения задач
по ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и
привести основные зависимости ее показателей эффективности.
Решение.
а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Основные параметры:
- каналов n ,
- интенсивность потока  ,
- интенсивность обслуживания μ .
Возможные состояния системы:
S 0 - все каналы свободны (ноль заявок в системе);
S 1 - один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
S 2 - два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
S n - все n каналов заняты ( n заявок в системе).
Граф состояний:
λ
λ
λ
λ
S0
Sn
S1
S2
μ
nμ
2μ
3μ
24
Показатели эффективности системы:
- относительная пропускная способность q  1  Pn ,
- абсолютная пропускная способность A  λ  q ,
- вероятность отказа Pотк  Pn ,
A
- среднее число занятых каналов z  .
μ
б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью
Возможные состояния системы:
S 0 - все каналы свободны (ноль заявок в системе);
S 1 - один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
S 2 - два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
S n - все n каналов заняты ( n заявок в системе), ноль заявок в очереди;
S n  1 - все каналы заняты, одна заявка в очереди;
S n  2 - все каналы заняты, две заявки в очереди;
....................................................................................
S n  m - все каналы заняты, m заявок в очереди.
Граф состояний:
λ
λ
S0
λ
S1
λ
S2
2μ
μ
λ
λ
Sn
nμ
3μ
S n 2
S n 1
nμ
λ
nμ
в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
S 0 - все каналы свободны (ноль заявок в системе);
S 1 - канал занят, ноль заявок в очереди;
S 2 - канал занят, одна заявка в очереди;
...................................................................................
S n - канал занят, n  1 заявка в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
λ
λ
λ
λ
λ
Sn0 μ
λ
nμ
S n m
25
S0
S1
μ
S2
Sn
μ
μ
μ
μ
Показатели эффективности системы:
- среднее число заявок в системе Lсист  Lочер  1 ,
μ
 λ  L
,
 λ  L
,
-
среднее время пребывания заявки в системе Wсист  1
-
λ 
 μ
 ,
среднее число заявок в очереди Lочер  
1 λ
μ
-
среднее время пребывания заявки в очереди Wочер  1
-
абсолютная пропускная способность A  λ ,
относительная пропускная способность q  1 .
сист
2
очер
г) n-канальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
S 0 - все каналы свободны (ноль заявок в системе);
S 1 - один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
S 2 - два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
S n - все n каналов заняты ( n заявок в системе), ноль заявок в очереди;
S n  1 - все каналы заняты, одна заявка в очереди;
....................................................................................
S n  m - все каналы заняты, m заявок в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
λ
S0
λ
S1
μ
λ
λ
S2
2μ
λ
Sn
3μ
nμ
λ
S n m
nμ
Показатели эффективности системы:
- среднее число занятых каналов z  
-
λ
nμ
,
среднее число заявок в системе Lсист  Lочер  1 ,
μ
nμ
26
2
-
λ 
 μ
 ,
среднее число заявок в очереди Lочер  
1 λ
μ
-
среднее время пребывания заявки в очереди Wочер  1
 λ  L
очер
.
2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на
решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной
задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на
решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.
РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с
ограниченной очередью:
- число каналов n  3 ;
- интенсивность потока заявок λ  4 (задача / час);
- время обслуживания одной заявки t об  0.5 (час / задача),
1
интенсивность обслуживания μ 
 2 (задача / час);
t об
- длина очереди m  3 .
Перечень возможных состояний:
S 0 - заявок нет, все каналы свободны;
S 1 - один канал занят, два свободны;
S 2 - два канала заняты, один свободен;
S 3 - три канала заняты;
S 4 - три канала заняты, одна заявка в очереди;
S 5 - три канала заняты, две заявки в очереди;
S 6 - три канала заняты, три заявки в очереди.
Граф состояний:
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S4
S1
S5
S3
S6
S0
S2
μ
2μ
3μ
3μ
3μ
3μ
Рассчитаем вероятность состояния S 0 :
P0   1  λ  λ  λ
 λ λ λ
 λ λ λ λ

μ
2μ  μ
3μ  2μ  μ
3μ  3μ  2μ  μ

λ λ λ λ
 λ λ λ λ λ

3μ  3μ  2μ  μ
3μ  3μ  3μ  2μ  μ
  0.122 .
3 μ  3 μ  3 μ  3 μ  2 μ  μ 
Показатели эффективности:
λ λ λ λ λ λ
27
- вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)
mn
λ 
 μ
Pm  n   m 
 P0  0.048 ;
n  n!
- относительная пропускная способность
q  1  Pm  n  0.952 ;
- абсолютная пропускная способность
A  λ  q  3.808 ;
- среднее число занятых ЭВМ
A
z   1.904 .
μ
3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три
контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты
обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной.
Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24,
среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной
детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК
необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо
*
поставить, чтобы Pобс
 0 ,95 (* - заданное значение Pобс ).
РЕШЕНИЕ.
По
условию
задачи
  24 дет./ч  0 ,4 дет/мин, t обс  5 мин , тогда   0 ,2 , p   /   2 .
1) Вероятность простоя каналов обслуживания:
1
2
3


 
   


p
p
   1  p 
P0   1  


1 2
1  2  3 
   2    2   3 


1
1

 0 ,1587
2
3
2 / 0!2 / 1!2 / 2!2 / 3! 1  2  2  1,3
где 0!=1.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк  2 3  0 ,1587 / 3!  0 ,21 .
3) Вероятность обслуживания:
Pобс  1  0 ,21  0 ,79 .
4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:
nз  2  0 ,79  1 ,58 .
5) Доля каналов, занятых обслуживанием:
k з  1 ,58 / 3  0 ,526 .
6) Абсолютная пропускная способность:
A  0 ,4  0 ,79  0 ,316 .

0
1
1

,
28
*
При n  3 Pобс  0 ,79  Pобс
 0 ,95 . Произведя аналогичные расчеты для
n  4 , получим
P0  0 ,14 , Pотк  0 ,093 , Pобс  0 ,907 .
*
Так как Pобс  0 ,907  Pобс
 0 ,95 , то произведя расчеты для n  5 ,
получим
*
P0  0 ,137 , Pотк  0 ,035, Pобс  0 ,965  Pобс
 0 ,95 .
ОТВЕТ. Вероятность того, что при n  3 деталь пройдет ОТК
необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием
на 53%.
Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не
менее пяти контролеров.
4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.)
Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров ( n  3 ) для обслуживания
вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью
  30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролеромкассиром одного вкладчика t обс  3 мин.
Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
РЕШЕНИЕ.
Интенсивность
потока
обслуживания
  1 / t обс  1 / 3  0 ,333 ,
интенсивность
нагрузки
30 чел. / мин

30чел. / час
p 
 60
 1,5 .
 0 ,333чел. / мин 0 , 333чел. / мин
1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня
(см. предыдущую задачу №3):
1
P0 
 0 ,210 .
0
1
2
1 ,5
1 ,5
1 ,5
1 ,5 3
1 ,5 4




0!
1!
2!
3!
3! 3  1 ,5 
2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
1 ,5 3
Pn 
0 ,21  0 ,118 .
3!
3) Вероятность очереди:
1 ,5 4
Pоч 
0 ,21  0 ,118 .
3! 3  1 ,5 
4) Среднее число заявок в очереди:
1 ,5 4
Lоч 
0 ,21  0 ,236 .
3  1! 3  1,5 2
5) Среднее время ожидания заявки в очереди:
0 ,236
t оч 
 0 ,472 мин.
0 ,5
29
6) Среднее время пребывания заявки в СМО:
t смо  0 ,472  3  3 ,472 мин.
7) Среднее число свободных каналов:
n св  3  1 ,5  1 ,5 .
8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:
1 ,5
kз 
 0 ,5 .
3
9) Среднее число посетителей в сберкассе:
z  0 ,236  1 ,5  1 ,736 чел.
ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего
времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%,
среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания
посетителями обслуживания 0,472 мин.
5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной
очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц.
Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью   6
машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки
овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный
двумя автомашинами ( m  2 ). В магазине работают три фасовщика ( n  3 ),
каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в
течение t обс  4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе
составляет 12 ч.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы
*
 0 ,97 .
вероятность полной обработки товаров была Pобс
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
p   /   6 / 3  2 ,   1 / t обс  1  12 / 4  3 авт./дн.
1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин
(заявок):
2
 2 0 2 1 2 2 2 3
2 31   2   
P0  1 :  



1       0 ,128 ,
 0! 1! 2! 3! 3! ( 3  2 )   3   
причем 0!=1,0.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
2 3 2
Pотк  Pnm  0 ,128
 0 ,075 .
3!3 2
3) Вероятность обслуживания:
Pобс  1  0 ,075  0 ,925 .
*
 0 ,97 , произведем аналогичные вычисления
Так как Pобс  0 ,925  Pобс
для m  3 , получим
P0  0 ,122 , Pотк  0 ,048 , Pобс  0 ,952 .
30
*
Так как Pобс  0 ,952  Pобс
 0 ,97 , примем m  4 .
Для этого случая
P0  0 ,12 , Pотк  0 ,028 , Pобс  0 ,972 ,
0 ,972  0 ,97 , емкость подсобных помещений необходимо увеличить до
m  4.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно
увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО
Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при
P0  0 ,12 , Pотк  0 ,028 , Pобс  0 ,972 ,
для n  4 , 5 и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных
помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.
4) Абсолютная пропускная способность:
А  0 ,972  6  5 ,832 авт./дн.
5) Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):
n зан  5 ,832 / 3  1 ,944 .
6) Среднее число заявок в очереди:
4
2 4 1  2 / 3  4  1  4  2 / 3 
L оч 

 0 ,12  0 ,548 .
3  3!
1  2 / 3 2
7) Среднее время ожидания обслуживания:
0 ,548
t оч 
 0 ,09 дн.
6
8) Среднее число машин в магазине:
z  0 ,548  1 ,944  2 ,492 авт.
9) Среднее время пребывания машины в магазине:
2 ,492
t смо 
 0 ,415 дн.
6
ОТВЕТ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать
товар, привезенный 4 автомашинами ( m  4 ), при этом вероятность полной
обработки товара будет Pобс  0 ,972 .
31
Примеры решения задач
по ТЕОРИИ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1. В платежной матрице указаны величины прибыли предприятия при
реализации им разных видов изделий (столбцы) в зависимости от
установившегося спроса (строки). Необходимо определить оптимальную
стратегию предприятия по выпуску изделий разных видов и
соответствующий максимальный (в среднем) доход от их реализации.
2,00
-5,00
0,00
-1,00
3,00
-1,00
0,00
3,00
7,00
2,00
3,00
1,00
0,00
5,00
-5,00
-2,00
6,00
4,00
1,00
2,00
0,00
3,00
-1,00
2,00
3,00
Решение.4
4
Вычисления производились на ПК с помощью Excel
32
Обозначим заданную матрицу через A5 ,5  и введем переменные X 5 , 1 .
Будем также использовать матрицу (вектор) 1  15 ,1 . Тогда A  X  1 и
A1  A  X  A1  1 , т.е. X  A1  1 .
Рассчитывается обратная матрица A1 :
0,26
-0,15
0,20
-0,03
-0,08
0,05
0,13
0,01
0,05
-0,05
0,11
0,02
0,10
0,01
-0,05
0,14
0,09
0,19
-0,07
0,03
0,09
0,10
-0,19
0,06
0,13
Находятся значения:
 1   0 ,53 
 1  0 ,13


1
1  
X  A  1  A  1   0 ,19  .
 1  0 ,07

 1  
   0 ,22 
Рассчитываются вероятности:
 0 ,46 
 0 ,11 
xi


pi  m , P5 , 1    0 ,17  .
 xi
 0 ,06 
i 1
 0 ,19 
Определяется средний доход от реализации:
1
 m
 0 ,87 .
 xi
i 1
2. Фирма «Фармацевт» - производитель медикаментов и
биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые
лекарственные препараты приходится на летний период (препараты
сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие – на осенний и
весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по
первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по
второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) – 15 р.
По данным наблюдений за несколько последних лет службой
маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение
рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед.
продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в
условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690
усл. ед. второй группы.
33
В связи с возможными изменениями погоды ставится задача –
определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую
максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед.
продукции первой группы и 30 р. – второй группы.
РЕШЕНИЕ. Фирма располагает двумя стратегиями:
A1 - в этом году будет теплая погода;
A2 - погода будет холодная.
Если фирма примет стратегию A1 и в действительности будет теплая
погода (стратегия природы B1 ), то выпущенная продукция (3050 усл. ед.
препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью
реализована и доход составит
3050(40-20)+1100(30-15)=77500 р.
В условиях прохладной погоды (стратегия природы B 2 ) препараты
второй группы будут проданы полностью, а первой группы только а
количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной.
Доход составит
1525(40-20)+1100(30-15)-20(3050-1525)=16500 р.
Аналогично, если форма примет стратегию A2 и в действительности
будет холодная погода, то доход составит
1525(40-20)+3690(30-15)=85850 р.
При теплой погоде доход составит
1525(40-20)+1100(30-15)-(3690-1100) 15=8150 р.
Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим
платежную матрицу
B1
B2
A1 77500 16500 ,
A2  8150 85850
  max16500,8150  16500 р.,
  min77500 ,85850   77500 р.
Цена игры лежит в диапазоне 16500 p .    77500 p .
Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы
будет не меньше 16500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной
стратегией, то доход фирмы может составить 77500 р.
Найдем решение игры.
Обозначим вероятность применения фирмой стратегии A1 через x 1 ,
стратегии A2 - через x 2 , причем x 1  1  x 2 . Решая игру графически
методом, получим x 2 опт  0 ,56 ; 0 ,44  , при этом цена игры   46986 р.
Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит
0 ,56  3050;1100  0 ,44  1525;3690  2379;2239,6  .
34
Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и
октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов
второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46986 р.
В условиях неопределенности, если не представляется возможным
фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими
организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем
следующие критерии:
- Критерий Вальде:
max min ai j   max16500,8150  16500 р.,
i  1 , 2  j 1 , 2

фирме целесообразно использовать стратегию A1 .
- Критерий Гурвица: для определенности примем   0 ,4 , тогда для
стратегии фирмы A1
  min ai j  1   max ai j  0 ,4  16500  1  0 ,4   77500  53100 р.;
j 1 , 2
j 1 , 2
для стратегии A2
  min ai j  1   max ai j  0 ,4  8150  1  0 ,4   85850  54770 р.,
j 1 , 2
j 1 , 2
max53100,54770  54770 р.,
фирме целесообразно использовать стратегию A2 .
- Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце – 77500,
во втором столбце – 85850.
Элементы матрицы рисков находятся из выражения
ri j  max ai j  ai j ,
i 1 , 2
откуда r1 1  77500  77500  0 , r1 2  85850  16500  69350 ,
r2 1  77500  8150  69350 , r2 2  85850  858500  0 .
Матрица рисков имеет вид
69350
 0
,
 69350
0 

min 
max  max a i j  a i j 

  min69350,69350  69350 р.,
i 1 , 2

 j 1 , 2  i 1 , 2
целесообразно использовать стратегию A1 или A2 .
Следовательно, фирме целесообразно применять стратегию A1 или A2 .
Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть
признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений,
однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить
последствия принятия тех или иных управленческих решений.
При известном распределении вероятностей различных состояний
природы критерием принятия решения является максимум математического
ожидания выигрыша.
35
Пусть известно для рассматриваемой задачи, что вероятности теплой и
холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия
фирмы определяется так:
max 0 ,5  77500  0 ,5  16500 ; 0 ,5  8150  0 ,5  85850  
 47000;47000  47000 р.
Фирме целесообразно использовать стратегию A1 или A2 .