ВОПРОСЫ К ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЕ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» на медико–биологическом факультете в 2006-2007уч. г. В работу включены следующие разделы: системы линейных уравнений и их решение: матричная запись и матричное решение системы; решение методом Крамера и методом Гаусса; теория пределов: техника вычисления пределов функций; дифференцирование функции одной переменной: техника дифференцирования и применение производной к решению задач; интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций; применение интегрального исчисления к решению задач; дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных производных и применение частных производных к решению задач; кратные интегралы: двойные интегралы: вычисление и решение задач с использованием двойных интегралов; тройные интегралы: вычисление и решение задач; криволинейные интегралы: вычисление и решение задач 1 Внимание! ИЗ КАЖДОГО РАЗДЕЛА ВЫ ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНИТЬ ПО ОДНОМУ ЗАДАНИЮ, каждое задание оценивается в баллах Решение каждого задания необходимо сопровождать подробными пояснениями. Только в этом случае за выполнение задания ставится максимальное количество баллов! ОЦЕНКА 1)«отлично» ставится, если Вы наберете от 91% до 100% максимального количества баллов; 2) «хорошо»– от 81 до 90%; 3) «удовлетворительно» – от 60 до 80%; 4) «неудовлетворительно» – меньше 60%. Замечание: ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЙ-ЛИБО РАЗДЕЛ, ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА ОТНИМАЕТСЯ 3 БАЛЛА! Желаем Вам успеха! 2 НАБРАННЫХ БАЛЛОВ РАЗДЕЛ 1 «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)» Теоретическая часть. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения: метод Крамера, метод Гаусса и решение методом обратной матрицы. Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Найти решение системы линейных уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) и матричным методом: x1 2 x 2 x3 1 2 x1 x 2 x3 1 x 3x x 2 2 3 1 РАЗДЕЛ 2 «Элементы теории пределов» Теоретическая часть 1. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций 2. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. 3. Таблица простейших пределов и таблица эквивалентных бесконечно малых. 4. Вычисление пределов функций. Неопределенности, возникающие при вычислениях пределов и элементарные приемы раскрытия неопределенностей. Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления: 1) lim x 8x 2 5x 4x 2 x 1 x 1 4) lim x x ln( x 4) lim x 6 ctg ( x 6) 2) 2 5 x 5) lim x 0 3) lim x 0 ln( 1 sin 2 x) ex 1 2 1 3x 2 1 x 2 x3 РАЗДЕЛ 3 «Дифференцирование функции одной переменной» Теоретическая часть 1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрическая и физическая интерпретация производной. 2. Правила дифференцирования функции одной переменной. Таблица производных основных функций. 3. Производные высших порядков. Физическая интерпретация второй производной. 3 Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Определите вид функции, найдите рациональный метод дифференцирования, укажите правила и формулы, используемые при дифференцировании заданных функций, и найдите производные заданных функций: 2 5 x2 2) y ( x ln x) x 3) y ln arcsin 4) x 2 2 xy y 2 2 x 3 x x 15 x ( x 2) 2 3 x 1 e t e t e t e t 5) y x ? x 6) xy ? y arctg 6 x 1 7) y ,y 2 2 ( x 5) 3 1 1) y ln 4 2. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y 4 x2 в точке с 2 абсциссой x0 2 . Задача 3. Доказать, что (uv) u v 3u v 3u v uv и y (x) для найти 1 2 ln x x 4. Установить, при каком процентном содержании y кислорода в газовой смеси скорость фунций:1) f ( x) xe x 2) y окисления максимальной, азота будет если уравнение кинетики имеет вид v k (100 x 2 x 3 ) , где k - постоянная, x - концентрация окиси азота, x y 100(%) . 5. Точка движется прямолинейно, причем s 2 t sin s 0 (см/с). Найти ускорение в конце 9 2 первой секунды. 3 6. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя: lim x 0 1 6x 1 2x . x2 РАЗДЕЛ 4 «Интегрирование функции одной переменной» Теоретическая часть 1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. 2. Таблица интегралов основных функций. Основные приемы интегрирования: – прямое интегрирование с использованием инвариантности дифференциала и «полезных» формул; – замена переменной; – интегрирование по частям – интегрирование рациональных дробей 3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. 4. Определение и свойства определенного интеграла. 5. Несобственные интегралы. 4 Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Найти интегралы и проверить результат дифференцированием: a) x 23 x 2 1 ex dx ; b) 2 e x dx ; c) 4 x (x 2 2 x 3) cos xdx . 2. Вычислить интегралы: 2 e ln 2 x dx ; b) x 2 cos xdx ; a) x 1 0 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат, кривой y = 2x и касательной к этой кривой, абсцисса точки касания равна 2. Сделать рисунок. 4. Тело движется по закону s t 2 . Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Вычислить работу силы сопротивления на участке от S = 0 до S = a. ( dA F ( s)ds ). 5. Определить среднее значение функции y ln x на [1; e]. Указать среднее значение функции на чертеже. 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: dx 1) ; 2) x ln x e 4 dx sin 0 2 x 7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L x 2 y 0, x 1, y 0 8. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox 9. дуги кривой y sin x, x 0, РАЗДЕЛ 5 «Дифференцирование функции многих переменных» Теоретическая часть 1. Понятие и примеры функции многих переменных; полные и частные приращения функции двух переменных. 2. Частные производные и дифференциалы; частные производные высших порядков. 3. Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов. 4. Экстремум функции двух переменных. 5. Уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 5 1. Найти частные производные первого и второго порядков и полный дифференциал второго порядка функции u cos x 2 . y 2. Найти приближенное значение выражения 1,02 3 1,97 3 3. Исследовать на экстремум функцию z x 2 ( y 1) 2 . 4. Дана функция z x ln y z z . Показать, что x y z. x x y 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 2 y 2 4 xy 4 в квадрате 0 x 4,0 y 4 . РАЗДЕЛ 6 «Кратные интегралы: двойной и тройной интегралы» Теоретическая часть 1. Понятие двойного интеграла и его геометрический смысл. 2. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых координатах. 3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 4. Определение тройного интеграла. Вычисление тройных интегралов. 5. Приложения Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 3 8 x 2 0 8 3 x 1. Построить на плоскости Oxy область интегрирования интеграла dx dx . Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования. 2. Вычислить двойной интеграл y z dydz , если область D, ограничена параболами: D z y 2 , y z 2 , двумя способами, изменив порядок интегрирования. 3. Вычислить двойной интеграл 1 ( x 2 y 2 ) dxdy , если область D, ограничена D окружностью x 2 y 2 1 4. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной к линиями y 1 1 2, y x 2 , x . x 1 2 5. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной линиями 6 y 2 4 x 4, y 2 2 x 4 . 6. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями y 2 x , x y 3, y 0 , относительно оси Ox . 7. Вычислить тройной интеграл ( x y z)dxdydz по области V , ограниченной V плоскостями x 0, x 1, y 0, y 1, z 0, z 1 . 8. Вычислить тройной интеграл ( x 2 z 2 )dxdydz , если область V ограничена V поверхностями x 0, y 2, z 0, x y z 2 9. Вычислить момент инерции однородного шара ( 1) радиуса r 1 относительно его центра. РАЗДЕЛ 7 «Криволинейные интегралы» Теоретическая часть 1. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) и его основные свойства. 2. Вычисление криволинейных интегралов II рода и условие независимости от линии интегрирования. Практическая часть. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Вычислить y 2 AB 2. Вычислить dl , где AB - часть окружности x a cos t , y a sin t , t 0; . 2 x dl , где 2 AB - кривая, заданная уравнением y ln x, x 1; e. AB 3. Вычислить (2 x y)dl , где L контур треугольника ABO с вершинами L A(1;0), B(0;2), O(0;0) . 4. Вычислить с помощью формулы Грина ( x y)dx ( x y)dy , где L окружность L x2 y2 R2 . 7