ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ТЕМА: 1. Табулирование функции; 2. Интерполирование функции через решение СЛАУ 3. Интерполирование функции с помощью многочленов Лагранжа; 4. Интерполирование функции с помощью многочленов Ньютона с разделенными разностями. 1. На отрезке [a,b] получить таблицу значений функции y=f(x) в равноотстоящих точках xi=a+i*h; i = 0,1,2, …,10; h=(b-a)/10. Варианты функции y=f(x) и отрезка [a,b] см. в таблице 1. 2. С помощью интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и путем решение СЛАУ, построить интерполяционный многочлен степени n по табличным значениям в точках xk, xk+1, …, xk+n . 3. С помощью формулы остаточного члена оценить погрешность интерполяционной формулы на интервале (xj, xj+1). Варианты значений n, k, j см. в таблице 1. 4. На интервале (a, b) построить графики интерполяционного многочлена и исходной функции. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ТЕМА: Приближение табличной функции методом наименьших квадратов. 1. Методом наименьших квадратов для табличной функции (xi , yi), i = 0,1,2, …,10 из лаб. работы №1 построить: а) приближение многочленом степени m. Варианты значений m взять из таблицы 1. б) гиперболическое приближение вида y = с/x + d. 2. Для обоих приближений подсчитать среднеквадратичное отклонение. 3. На интервале (a, b) построить графики табличной функции и построенных приближений. Таблица 1. № Вид функции y=f(x) [a,b] n k j m 1 2 3 4 y=x2 + ln(x) y=x2 - lg(x+2) y=x2 + ln(x) - 4 y=(x-1)2 –0.5ex [0.4,0.9] [0.5,1.0] [1.5,2.0] [0.1,0.6] 2 3 4 5 0 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y=(x-1)2 –e -x y=x3 - sin(x) y=4x - cos(x) y=x2 - sin(x) y=x - cos(x) y=x2 - cos(πx) y=x2 - sin(πx) [1.0,1.5] [0.6,1.1] [0.1,0.6] [0.5,1.0] [0.5,1.0] [0.1,0.6] [0.4,0.9] 2 3 4 5 2 3 4 4 5 0 1 2 3 4 5 6 3 2 4 4 7 5 6 7 8 1 2 3 12 13 14 y=x2- cos(0.5πx) y=x-2cos(0.5πx) y=x - sin(πx) [0.4,0.9] [0.4,0.9] [0.6,1.1] 5 2 3 5 0 1 8 0 2 4 5 6 15 16 17 y=2x - cos(x) y=x2 + ln(x+5) y=0.5x2+cos(2x) [0.1,0.6] [0.5,1.0] [0.6,1.1] 4 5 2 2 3 4 3 4 5 7 8 1 18 19 20 y=x2 –0.5e -x y=x2 + lg(x) y=x - lg(x+2) [0.1,0.6] [0.4,0.9] [0.5,1.0] 3 4 5 5 0 1 7 1 3 2 3 4 21 22 23 y=x2 - lg(0.5x) y=x3 - cos(2x) y=x2 + cos(πx/2) [0.5,1.0] [0.1,0.6] [0.1,0.6] 2 3 4 2 3 4 2 4 6 5 6 7 24 y=x/2 - cos(x/2) [0.4,0.9] 5 5 7 8 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ТЕМА: 1. Построение формулы численного дифференцирования с помощью многочлена Лагранжа; 2. Построение формулы численного дифференцирования, используя разложение функции в ряд Тейлора. 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени n по табличным значениям функции у=f(x) в точках xj, xj+1, …, xj+n . 2. Дифференцируя заданное число раз интерполяционную формулу Лагранжа, построить формулу численного дифференцирования приближенного вычисления производной таблично заданной функции Ln(k)(хm) ≈ f(k)(xm). Значения j, n, k, m см. в таблице 2. 3. С помощью дифференцирования формулы остаточного члена интерполяционного многочлена получить и оценить минимальное и максимальное значения отклонений полученной формулы численного дифференцирования на интервале (xj, xj+n). 4. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки xm построить формулу численного дифференцирования для f(k)(xm) и оценить ее погрешность. 5. Сравнить полученные формулы численного дифференцирования и оценки их погрешностей. Приближенные значения f(k) (xm) сравнить со значением, получаемым при непосредственном вычислении производной. 6. Проанализировать поведение погрешности в зависимости от расстояния между узлами h. Сопоставить с полученной оценкой погрешности. Таблица 2. № j n k m № j n k m 1 0 2 1,2 0 13 4 2 1,2 6 2 1 3 1,2 1 14 5 3 1,2 7 3 2 4 1 2 15 6 4 1 10 4 3 2 1,2 3 16 7 2 1,2 7 5 4 3 1,2 4 17 0 3 1,2 3 6 5 4 1 6 18 1 4 1 1 7 6 2 1,2 6 19 2 2 1,2 3 8 7 3 1,2 7 20 3 3 1,2 3 9 0 4 1 2 21 4 4 1 5 10 1 2 1,2 2 22 5 2 1,2 7 11 2 3 1,2 3 23 6 3 1,2 9 12 3 4 1 6 24 7 3 1,2 10 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 ТЕМА: Численное интегрирование с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона. 1. Для заданной функции у = f(x) получить приближенное значение определенного интеграла In на отрезке (a, b) c помощью квадратурных формул: а) правых прямоугольников; b) левых прямоугольников; c) центральных прямоугольников; d) трапеций; e) Симпсона. Варианты функций и отрезков интегрирования см. в табл. 3. 2. Для достижения заданной точности ε сначала вычислить In на отрезке [a,b], затем n удвоить и вычислить I2n. Если выполнено неравенство │ In - I2n │/ │I2n│ ≤ ε, то точность считается достигнутой, и I2n принимается за приближенное значение интеграла с точностью ε, в противном случае n снова удваивается, т.е. вычисляют I4n и сравнивают между собой уже I2n и I4n и т.д. Начальное значение n=10 . Требуемая точность ε = 10 -6. 3. При каждом значении n вычислить относительное отклонение от точного значения определенного интеграла. Сравнить с известными оценками остаточных членов квадратурных формул. Построить графики зависимости относительных отклонений квадратурных формул от значения n. Таблица 3. № y=f(x) [a,b] № y=f(x) [a,b] 1 y=x2 + sin(x) [0,2] 13 y=x+ 2cos(0.5πx) [0,2] 2 y=x2 + cos(x) [0,1] 14 y=x - sin(πx) [0,1] 3 y=x3 + [0,2] 15 y=2x - cos(πx) [0,2] 4 y=(x-1)2 + 0.5ex [0,2] 16 y=0.5x2 + e -x [0,2] 5 y=(x+1)2 + e -x [0,2] 17 y=0.5x2+cos(2x) [0,2] 6 y=x3 - sin(x) [0,2] 18 y=x2 –0.5e -x [0,2] 7 y=2x + cos(x) [0,1] 19 y=x2 + 0.5ex [0,1] 2 -x 8 y=x + 2x - sin(x) [0,1] 20 y=2x + e [0,1] 9 y=x - cos(x) [0,3] 21 y=x2 - e -x [0,2] 10 y=x2 + cos(πx) [0,1] 22 y=x3 - cos(2x) [0,1] 11 y=x2 + 1 - sin(πx) [0,2] 23 y=x2 + cos(πx/2) [0,3] 12 y=x + 1 - cos(0.5πx) [0,2] 24 y= e x - cos(x/2) [0,2] ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ТЕМА: Численное решение уравнений методом хорд, касательных и половинного деления. Найти действительные корни уравнения f(x)=0 (1) с заданной точностью ε, т.е. указать такое х, что | x*- x | < ε, где х* - корень уравнения f(x)=0 . Решение этой задачи состоит из двух этапов. 1. Отделение корней. На этом этапе необходимо выделить отрезки [αi,βi], принадлежащие области определения функции f(x) , на каждом из которых расположен один и только один корень уравнения (1), такие корни называются изолированными. Границы каждого отрезка можно рассматривать как первое приближение искомого корня, αi – с недостатком, βi – с избытком. Тогда погрешность такого приближения не превзойдет длины li отрезка [αi,βi]. Для отделения корней уравнения (1) можно воспользоваться первой теоремой Больцано – Коши. Если функция f(x) на отрезке [αi,βi] удовлетворяет условиям этой теоремы, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения (1). Корень будет заведомо единственным, если производная f´(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри отрезка [αi,βi]. Таким образом, участки, отделяющие корни уравнения (1) следует искать на интервалах знакопостоянства производной функции f(x). Другой простой способ выделения корней состоит в преобразовании уравнения (1) к виду q(х)=h(х) , где функции q(х) и h(х) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций y=q(х) и y=h(х), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. 2. Нахождение отделенного корня с любой наперед заданной точностью ε. Считаем, что искомый корень уравнения (1) отделен и лежит на отрезке [αi,βi], на котором функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем производные f´(x) и f´´ (x) сохраняют каждая свой знак. В этом случае возможны четыре комбинации знаков первой и второй производных, которые определяют четыре типа расположения кривой y=f(x). а) f´(x) > 0, f´´ (x) > 0 - функция вогнутая и возрастает; б) f´(x )> 0, f´´ (x) < 0 - функция выпуклая и возрастает; в) f´(x )< 0, f´´ (x) > 0 - функция вогнутая и убывает; г) f´(x )< 0, f´´ (x) < 0 - функция выпуклая и убывает. Рассмотрение четырех случаев необходимо для определения того, с какого конца отрезка [αi,βi] возможно применение метода касательных, а именно, с конца, в котором значение функции и ее второй производной имеет одинаковый знак. Тогда противоположный конец отрезка используется для применения метода хорд. Расчетные формулы методов касательных (МК) и хорд (МХ) имеют вид: МК : x n x n -1 f ( x n-1 ) , f ( x n-1 ) МХ : xn xn1 f ( xn1 )( x n1 xn1 ) , f ( x n1 ) f ( xn1 ) Таблица 4. Вид уравнения f(x)=0 № искомый корень 1 0=1.2x2 - sin(10 x) все положительные корни 2 0=2x0.5 - cos(πx/2) все корни 3 0=2x –2x2 - 1 положительные корни 4 0=2lnx-1/x все корни 5 0=2lgx-x/2+1 положительные корни 6 0=lgx – 7/(2x+6) все корни 7 0=xlgx – 1/2 все корни 8 0=lg(3x-1)+exp(2x-1) все корни 9 0=exp(-x) -2(x-1)2 все корни 10 0=2 - xexp(x) все корни 11 0=1/x -π cos(πx) все положительные корни 12 0=sec(x)- x2 -1 все положительные корни 13 0=ctg(1.05x)- x2 все положительные корни 14 0=2x - lg(x)-7 все положительные корни 15 0=exp(-x)+ x2 -2 отрицательные корни 16 0=0.5x2 - cos(2x) все корни 17 0=ln(0.5x) –0.5 cos(x) все корни 18 0=ln(2x) –e 2x все корни 19 0=exp(-x) +x3- 3 все положительные корни 20 2 0=2x - cos(2x) все корни