10-2_ГЗx

Горбанева Л.В.
Графические задачи на газовые законы
Графическими задачами называют такие задачи, в которых ответ на
поставленный вопрос не может быть получен без графика или условие задачи
задано графически.
Прежде чем рассмотреть решение графических задач на газовые законы
вспомним газовые законы.
Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и
температурой газов, было получено французским физиком Бенуа Клапейроном
(1799-1864). В форме рV 
m
RT его впервые применил великий русский ученый
M
Дмитрий Иванович Менделеев (1834-1907), поэтому уравнение состояния газа
называется уравнением Менделеева-Клапейрона.
Уравнение рV 
m
RT показывает, что возможно одновременное изменение
M
пяти параметров, характеризующих состояние идеального газа. Если масса и
молекулярная масса постоянна, тогда
pV m

R =const
T
M
– изменяются три
параметра. Однако многие процессы в газах, происходящие в природе и
осуществляемые в технике, можно рассматривать приближенно как процессы, в
которых изменяются лишь два параметра из пяти. Особую роль в физике и
технике играют три процесса – изотермический, изохорный и изобарный.
Изотермический процесс. Изотермическим процессом называется процесс,
протекающий при постоянной температуре Т. Из уравнения состояния идеального
газа рV 
m
RT
M
следует, что при постоянной температуре Т и неизменных
значениях массы газа m и его молярной массы М произведение давления р газа на
его объем V должно оставаться постоянным: pV=const.
Изотермический процесс можно осуществить, например,
путем изменения объема газа при постоянной температуре.
График
изотермического
процесса
называется
изотермой. Изотерма, изображенная в прямоугольной системе
координат, по оси ординат которой отсчитывается давление
газа, а по оси абсцисс – его объем, является гиперболой (рис. 1).
Уравнение pV=const устанавливающее связь между давлением и объемом
газа при постоянной температуре, было получено из эксперимента до создания
молекулярно-кинетической теории газов в 1662г. английским физиком Робертом
Бойлем (1627-1691) и в 1676 г. французским физиком Эдмом Мариоттом (16201684). Поэтому это уравнение называют законом Бойля-Мариотта.
Изохорный процесс. Изохорным процессом называется процесс,
протекающий при неизменном объёме V и условии m = const и М = const.
При этих условиях из уравнения состояния идеального газа для двух
значений температуры То и Т следует
р 0V 
p
T
m
m

,
RT0 и рV 
RT , или
p 0 T0
M
M
Если То выбрать равным 273К (0°С), то
Обозначив
р  p0
T
T0
1
1

К.
T0 273
1
1

  , получим уравнение p=pоαT, где
T0 273
р – давление газа при абсолютной температуре Т; р0 – давление газа при
температуре 0°С; α – температурный коэффициент давления газа, равный
1
К-1.
273
График уравнения изохорного процесса называется изохорой. Изохора,
изображенная в прямоугольной системе координат, по оси ординат которой
отсчитывается давление газа, а по оси абсцисс – его абсолютная температура,
является прямой, проходящей через начало координат (Рис. 2).
Экспериментальным путем зависимость давления газа от температуры
исследовал французский физик Жак Шарль (1746-1823) в 1787 г. Поэтому
уравнение p=pоαT называется законом Шарля.
Изохорный процесс можно осуществить, например, нагреванием воздуха
при постоянном объеме.
Изобарный процесс. Изобарным, процессом называется процесс,
протекающий при неизменном давлении и условии m = const и М = const.
V
T

V0 T0
Таким же способом, как это было сделано для изохорного процесса, можно
получить для изобарного процесса уравнение: V=VoαT, где V – объем газа при
абсолютной температуре Т, V0 – объем газа при температуре 0 °С; коэффициент α,
равный
1
К-1,
273
называется
температурным
коэффициентом
объемного
расширения газов.
График уравнения изобарного процесса называется
изобарой. Изобара, изображенная в прямоугольной системе
координат, по оси ординат которой отсчитывается объем газа, а
по оси абсцисс – его абсолютная температура, является прямой,
проходящей через начало координат (Рис. 3).
Экспериментальное исследование зависимости объема газа от температуры
провел в 1802 г. французский физик Жозеф Гей-Люссак (1778-1850). Поэтому
уравнение V=VoαT называется законом Гей-Люссака.
Изобарный процесс происходит, например, при нагревании или охлаждении
воздуха в стеклянной колбе, соединенной со стеклянной трубкой, отверстие в
которой закрыто небольшим столбом жидкости.
Если изобразить изопроцессы в различных координатах, то
Часто в задачах на газовые законы требуется назвать процесы,
изображенные на графике, и перевести их в другие координаты. Рассмотрим на
примере алгоритм действий.
Пример 1. Дан график кругового процесса в
координатых осях pV (рис.5). Изобразите это график в
координатных осях рТ и VT.
Решение. Чтобы изобразить график изопроцессов в
других координатных осях, надо составить вспомогательную
таблицу.
процесс
p
V
T
название
Вид
процесса
зависимости
1-2
const
↑
↑
изобарное
V~T
расширение
2-3
↓
const
↓
изохорное
р~T
сжатие
1
3-1
↑
↓
const изотермическое
𝑝~
сжатие
𝑉
Стрелка ↑ – означает, что данный параметр газа увеличивается, а стрелка ↓ –
уменьшается.
Следующий этап – построение графиков в других осях координат.
То есть при решении предлагается следовать следующему алгоритму:
1. Установить характер процесса на данном этапе.
2. Указать закон, по которому протекает процесс.
3. Отметить суть этого закона (как связаны между собой
величины).
4. По графику выяснить, как меняется каждая величина.
Для построения графика в осях рТ надо по строчкам
воспользоваться столбцами р и Т в таблице. Участки графиков
1-2, 2-3 и 3-1 строятся в соответствии со стрелками
увеличения или уменьшения величины и с постоянством на соответствующих
строчках (Рис. 6).
Для построения графика в осях координат VТ надо по
строчкам воспользоваться столбцами V и Т в таблице. Участки
графиков 1-2, 2-3 и 3-1 строятся в соответствии со стрелками
увеличения или уменьшения величины и с постоянством на
соответствующих строчках (Рис. 7).
Еще одним из типов графических задач можно отнести задания, где на
рисунке представлена зависимость одного параметра газа от другого. Необходимо
определить в каких соотношениях находится между собой третий параметр.
Пример 2. По рисунку 8 определить, у какого изохорного
процесса объем больше, у какого меньше?
Решение. На рисунке изображены изохорные процессы с
объемами V1 и V2.
Запишем закономерность изохорного процесса для случая
1 и 2: p1=α1T1, где 𝛼1 =
Так как α2<α1, то
𝑚𝑅
и p2=α2T2, где 𝛼2 =
𝑀𝑉1
𝑚𝑅
𝑚𝑅
𝑀𝑉2
𝑀𝑉1
<
𝑚𝑅
𝑀𝑉2
. Значит V2 >V1.
Значит, угол наклона изохоры больше у той, у
которой меньше объем, а угол наклона изохоры меньше у
той, у которой больше объем.
Пример 3. Нагревается или охлаждается газ при
переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 9)? m=const.
Решение. Изобразим в координатах pV графики
зависимости p от V при изотермическом расширении
газа (рис. 10). Изотерма, проходящая через точку 2,
определяющую состояние 2, выше изотермы,
проходящей через точку 1 и 3, определяющую
состояние 1, следовательно, Т2>Т1. Газ нагревается.
Пример 4. Начертите график зависимости плотности газа от
температуры при изобарном процессе и зависимости плотности газа от
давления при изотермическом процессе, m=const.
Решение. Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева
𝑚
𝑝𝑉 = 𝑅𝑇.
𝑀
𝑚
𝑝𝑀
𝑉
𝑅𝑇
Плотность газа 𝜌 = , откуда 𝜌 =
.
При изобарном процессе p=const, тогда 𝜌 =
С1
𝑇
, где С1 =
𝑝𝑀
𝑅
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Следовательно,
зависимость
плотности
от
температуры имеет вид гиперболы (рис. 11).
При изотермическом процессе T=const, тогда 𝜌 = С2 𝑝, где
С2 =
𝑀
𝑅𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Следовательно
плотность
изменяется
по
линейному закону (рис. 12).
Задания для самостоятельного решения.
Ф.10.2.1. На диаграмме р, T изображен цикл идеального газа
постоянной массы. Изобразите его на диаграмме р, V.
Ф.10.2.2. При нагревании идеального газа постоянной массы
получена зависимость р от T при переходе из состояния 1 в
состояние 2. Как при этом переходе менялась плотность газа?
Ф.10.2.3. По рис. определите, у какого изотермического процесса
температура выше, у какого – ниже?
Ф.10.2.4. Газ перешел из состояния 1 в состояние 2 (см. рис.) Масса
газа остается постоянной. Как изменился объем газа?
Ф.10.2.5. Идеальный газ сначала нагревался при постоянном объеме, потом его
объем уменьшался при постоянном давлении, затем при постоянной температуре
давление газа уменьшилось
до
первоначального
значения. Какой из графиков
на рисунке соответствует
этим изменениям состояния газа? Ответ обоснуйте.
Ф.10.2.6. На рисунке представлен замкнутый цикл. Участок CD
соответствует изотерме. Изобразить эту диаграмму в координатах
р, Т и V, Т.
Ф.10.2.7. На рисунке показан график изменения давления
идеального газа при его расширении. Какое количество
газообразного вещества, выраженное в молях, содержится в
этом сосуде, если температура газа равна 300К?
Ф.10.2.8. Построить графики изопроцессов в координатах p, V; p, T и V, T.
Ф.10.2.9. В цикле, состоящем из двух изохор и двух изобар,
температура идеального газа равна 300К в точке 1 и 675К в
точке 3. Диагональ цикла лежит на прямой, проходящей через
начало координат. Найдите температуру газа в точке 2.
Ф.10.2.10. Поршень в цилиндре с воздухом прилегает к стенкам
цилиндра неплотно, поэтому медленно пропускает воздух. Снятая во
время нагревания при постоянном давлении зависимость объема от
температуры изображена на рисунке. Увеличивалась или
уменьшалась масса воздуха в цилиндре?
Ф.10.2.11. На p–T-диаграмме изображен замкнутый процесс,
который совершает некоторая масса кислорода. Известно, что
максимальный объем, который занимал газ в этом процессе,
Vмакс = 16,6 дм3. Определите массу газа и его объем в точке 1.
Значения T1, T2, p1 и p2 указаны на рисунке.
Ф.10.2.12. Объясните как меняются параметры газа в процессе
изображенным на рисунке Масса газа не меняется.