Алгоритм решения квадратных неравенств Примеры Графический метод Решение неравенства графическим способом можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. 1)Преобразуем неравенство второй степени с одной переменной (если необходимо приведём квадратный трёхчлен в правильный вид 𝒂𝒙𝟐 +bx+c>0 или 𝒂𝒙𝟐 +bx+c<0). Для его решения исследуем график функции y=𝒂𝒙𝟐 +bx+c. 2)Графиком функции является парабола. 3)Определим, в какую сторону направлены ветви параболы y=𝒂𝒙𝟐 +bx+c. Напомним, что ветви зависят от а: если а<0, то ветви параболы направлены вниз, если а>0, то ветви направлены вверх (а не может равняться нулю). 4) Теперь находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс) при y=0. У нас получается квадратное уравнение, которое нужно решить и найти корни: 𝒂𝒙𝟐 +bx+c=0. 5) Сначала находим дискриминант, по всем известной формуле D=𝒃𝟐 -4ac. Корни уравнения и будут являться нулями функциями. Если D>0 , то уравнение имеет 2 корня (если трёхчлен имеет корни, то их наносят на оси х) Если D<0, то уравнение не имеет корней (если трёхчлен не имеет корней, то парабола расположена либо в верхней при а>0 а>0, либо в нижней полуплоскости при а<0) Если D=0, то уравнение имеет 1 корень (в точке с координатой х парабола касается оси х) 6) После нахождения нулей функции, мы переходим к графику и анализируем его. Рисуем схематический рисунок, отмечая нули функции и направляя ветви так, как указали в пункте 3. Заметим, что для изображения схематического графика мы не определяем координаты вершины параболы. Первый пример. Решите неравенство 𝒙𝟐+7x+12<0 Определим промежутки, в которых квадратичная функция принимает положительные значения. 1-3) Графиком функции 𝒚 = 𝒙𝟐 +7x+12 является парабола, ветви которой направлены вверх ( так как a>0) 4-5) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс): 𝒙𝟐 +7x+12=0 D=49-48 D=1 →уравнение имеет 2 корня −𝟕−𝟏 𝒙𝟏 = 𝟐 =-4 −𝟕+𝟏 𝒙𝟐 = 𝟐 =-3 (мы нашли нули функции) 6) Теперь рисуем схематический рисунок Y y=𝒙𝟐 +7x+12 X -4 -3 0 7) По графику видим, если y<0, то x𝝐(−𝟒; −𝟑) Ответ: x𝝐(−𝟒; −𝟑) 7) По графику определяем, в каком промежутке на оси абсцисс соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения, и записываем решение неравенства. Второй пример. Решите неравенство -𝒙𝟐 +10x-16>0 Третий пример Решите неравенство 𝒙𝟐 +4x-5≤0 1-3)Графиком у=-𝒙𝟐 +10x-16 является парабола, ветви которой направлены вниз (так как а<0) 4-5)Находим нули функции: -𝒙𝟐 +10x-16=0 D=100-64 D=36>0 (2 корня) −𝟏𝟎−𝟔 𝒙𝟏 = −𝟐 =8 1-3)Графиком у=𝒙𝟐 +4x-5 является парабола, ветви которой направлены вверх. 4-5)Находим нули функции: 𝒙𝟐 +4x-5=0 D=16+20 D=36 −𝟒−𝟔 𝒙𝟏 = 𝟐 =-5 −𝟏𝟎+𝟔 𝒙𝟐 = −𝟐 =2 (мы нашли нули функции) 𝒙𝟐 = −𝟒+𝟔 𝟐 =1 (мы нашли нули функции) 6) Схематический рисунок y 6) Рисуем схем. рисунок 𝒚 = 𝒙𝟐 +4x-5 y 𝟐 y=-𝒙 +10x-16 x 2 0 8 -5 0 1 x 7) По графику видим, если y>0, то x𝝐(𝟐; 𝟖) Ответ: x𝝐(𝟐; 𝟖) 7) По график, если y≤0, то x𝝐[-5;1] Ответ: x𝝐[-5;1] Примеры Метод интервалов Рассмотрим те же самые, чтобы было 1)Записываем квадратное уравнение, для понятнее, что можно применять любой этого ту часть, в которой находится способ для решения. квадратный трёхчлен, приравниваем нулю. Пример первый 2)Находим нули функции, используя формулу 𝟐 𝒙 +7x+12<0 дискриминанта D=𝒃𝟐 -4ac 1) 𝒙𝟐 +7x+12=0 −𝒃±√𝑫 и корней х = 𝟐𝒂 2) По теореме Виета или теорему Виета (𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =-p ; 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =q) , 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =-7 получив предварительно приведённое х𝟏 ∙ х𝟐 = 𝟏𝟐 квадратное уравнение вида 𝒙𝟐 +px+q=0 → 𝒙𝟏 = −𝟑 ; 𝒙𝟐 = −𝟒 𝟐 3) Напомним, что квадратный трёхчлен можно 3) 𝒙 +7x+12 =(x+3)(x+4) разложить на множители следующим 4) Нанесём нули функции f(x) =(x+3)(x+4) образом: 𝒂𝒙𝟐 +bx+c =a(x-𝒙𝟏 )(x-𝒙𝟐 ). разобьём область определения на Разложим квадратный трёхчлен на промежутки. множители. Определим знак функции в одном из них 4) Теперь нанесём на координатную прямую (например, при х=0) и, используя нули функции f(x) = a(x-𝒙𝟏 )(x-𝒙𝟐 ) и найдём чередование знаков функции, выберем промежутки, в которых соответствующая ответ, соответствующий знаку неравенства. квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль изменяется. Пример второй -𝒙𝟐 +10x-16>0 1-2) 𝒙𝟐 -10x+16<0 По теореме Виета: 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =10; 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =16 → 𝒙𝟏 =8; 𝒙𝟐 =2 3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-8)(x-2) и разобьём область определения на промежутки. Определим знак функции в одном из них (например, при х=0) и, используя чередование знаков функции, выберем ответ, соответствующий знаку неравенства. + Ответ: x𝜖(2;8) 0 2 - 8 + x + -4- -3 0 + X Ответ: x𝝐(−𝟒; −𝟑) Пример третий 𝒙𝟐 +4x-5≤0 1-2) D=36 → 𝐱 𝟏 =1; 𝐱 𝟐 =-5 3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-1)(x+5) на координатную прямую и разобьём область определения на промежутки. Определим знак функции в одном из них (например, при х=0) и, используя чередование знаков функции, выберем ответ, соответствующий знаку неравенства. + -5 Ответ: x𝜖[-5;1] -0 1 + x