Динамика движения материальной точки по окружности с
реклама
Динамика движения материальной точки по окружности с постоянной по модулю скоростью. Петров К.А., Развина Т.И., Чертина М.И. В освоении школьного курса физики существенную роль играет умение решать задачи. И в настоящее время, когда альтернативы централизованному тестированию не предвидится, уже не важно, решаются ли эти задачи для тренинга, иллюстрации правил, формул и законов или преследуют такую важную цель обучения, как развитие творческих способностей учащихся. Умение систематизировать. Выделять общие закономерности и решать достаточно сложные задачи изящно и рационально приобретает большое значение. Авторы настоящей статьи предприняли попытку показать все вышесказанное на примере темы «Динамика вращательного движения тела». При движении материальной точки по окружности радиусом R с линейной скоростью результирующая всех сил, действующих на точку, направлена к центру окружности и сообщает точке центростремительное ускорение aö , равное àö 2 R . Один из примеров вывода этого соотношения следующий. За малое время t радиус-вектор, соединяющий центр окружности с точкой на ней, поворачивается на угол , а точка перемещается по дуге, длина которой R 1 , где – t t время t вектор скорости l R . Скорость этого перемещения lim R t 0 угловая скорость точки. За это же поворачивается на такой же угол , поскольку линейная скорость точки R . Изменение скорости . Быстрота изменения вектора скорости определяется аналогично (1) и является искомым центростремительным 2 2 2 2 aö lim R R 2 R , где T и – t 0 t t R T 2 ускорением: период и частота вращения точки. При решении задач по данной теме необходимо установить силы, действующие на тело и вызывающие это движение, и, воспользовавшись вторым законом Ньютона, связать эти силы с кинематической характеристикой движения – центростремительным ускорением: N F ma i 1 i ö . При рассмотрении сил, действующих на точку (тело), следует четко помнить их направления: сила тяжести mg направлена вертикально вниз; сила реакции опоры N – перпендикулярна опоре; сила натяжения нити Fí – вдоль оси подвеса, сила упругости Fóï ð – противоположно возникающей деформации; сила трения (сопротивления) направлению возможного движения. Fò ð Fñ – противоположно Так как центростремительное ускорение aö всегда направлено к центру окружности, по которой происходит движение точки (тела), направление одной из осей выбирают вдоль направления ускорения, а вторую ось (если есть необходимость) направляют перпендикулярно ей. Далее рассматриваются проекции действующих сил на выбранные оси. В статье представлена систематизация и алгоритм решения задач по данной теме. 1. Рассмотрим тело на выпуклой криволинейной поверхности с радиусом кривизны R . а) в верхней точке выпуклого моста Второй закон Ньютона в проекции на ось Оу: mg N maö Сила давления FÄ тела на мост в верхней его точке согласно третьему закону Ньютона: FÄ N m( g aö ) N àö mg y б) в произвольной точке выпуклого моста Второй закон Ньютона в проекции на ось Оу: mg cos N maö N FÄ N m( g cos aö ) aö mg y в) скатывание и отрыв тела от гладкой полусферы N 0 Rh aö h mg R y Определим высоту h , с которой тело при скатывании отрывается от полусферы. В момент отрыва сила реакции становится равной нулю. Тогда проекции сил на ось Оу: h m 2 mg cos 1 , cos 2 . Из R R закона сохранения энергии m 2 , определим m 2 2mg R h 3 . Тогда (1) с учетом (2) и (3) 2 h 2mg ( R h) 2 h R. примет вид: mg R R 3 mg ( R h) 2. Рассмотрим тело на вогнутой криволинейной поверхности с радиусом кривизны R . а) в нижней точке вогнутого моста y aö Второй закон Ньютона в проекции на ось Оу: N mg maö FÄ N m( g aö ) N mg б) в произвольной точке моста Второй закон Ньютона в проекции на ось у Оу: N mg cos maö ; FÄ N m( g cos aö ) N aö mg в) yA yB l l Fí àö А 0 Fí В mg х mg рассмотрим движение математического маятника При максимальном смещении нити маятника от положения равновесия (угол от вертикали) проекция сил на оси Ох и Оу: ОхА: mg sin ma ( a – тангенциальное ускорение, aö 0 , т.к. 0 OyA: Fí mg cos 0 ( Fí –сила натяжения нити в этом положении) В произвольном положении маятника (угол отклонения меньше угла ) ОхВ: mg sin ma ОуВ: Fí mg cos maö Fí m( aö g cos ) Ускорение точки в этом положении a a2 aö2 y l 0 Fí àö mg a Примечание: определим силу натяжения нити в нижнем положении тела при условии, что ускорения в крайнем и нижнем положениях тела равны: a aö (a g sin ) Запишем проекцию сил на ось Оу: Fí mg mg sin Fí mg 1 sin . mg 3. Движение тела по окружности в вертикальной плоскости а) рассмотрим самолет, совершающий «мертвую петлю» (петля Нестерова) B Для тела в положении А, проекция сил на ось Оу: N A mg maö (1) aö NB y mg O N B mg maö (2) y NA aö mg Для тела в положении В, проекция сил на ось Оу: A Разность сил, действующих на летчика со стороны сидения, находим из (1) и (2): N N A N B 2mg . Силы отличаются: N A aö g . N B aö g б) рассмотрим вращение шарика на нити с постоянной по модулю скоростью в вертикальной плоскости Ситуация идентична предыдущей. Силы натяжения FA и FB , действующие на тело в положении А и В со стороны нити, равны: B aö FB FA m(aö g ) , FB m(aö g ) .Сила FA больше mg y силы FB на величину 2mg . Их отношение y FA aö g . FB aö g O FA aö A mg в) свободное вращение шарика на нити в вертикальной плоскости B Проекции сил на ось Оу для B m A2 (1) , положения А: FA mg R FB mg Rl y h 2l Проекции сил на ось Оу для положения В: FB mg O y FA Разность сил натяжения в положениях А и В F FA FB 2mg A A mg m B2 (2) R m A2 m B2 (3) R R Из закона сохранения механической энергии m A2 m B2 mg 2l m A2 mB2 4mgl (4) 2 2 С учетом (4) выражение (3) примет вид: F 2mg 4mg 6mg . При определении минимальной скорости A min , сообщаемой телу в положении А, чтобы оно совершило полный оборот, следует считать, что в положении В сила натяжения FB будет отсутствовать. Тогда равенство (2) m B2 mB2 mgl (2) . Перепишем выражение (4) в виде: l m A2 min mgl 4mgl Amin 5gl . будет иметь вид: mg 4. Движение тела по окружности в горизонтальной плоскости а) тело, закрепленное на невесомой пружине жесткостью k , вращается на гладкой горизонтальной поверхности. Сила упругости Fóï ð k l (1) , Fóï ð maö m 2l 2 . Длина растянутой àö пружины l равна l l0 l , где l0 – длина Î Rl Fóï ð пружины в недеформированном состоянии; l – удлинение пружины, – угловая скорость вращения тела. Объединив (1) и (2), получим: k l m 2 (l0 l ) . Из этого выражения определяются различные параметры, в частности, удлинение пружины l m 2l0 ; угловая скорость вращения тела k m 2 k l . m(l0 l ) б) тело на вращающемся диске (коэффициент трения тела о диск , угловая скорость вращения диска постоянна и равна ) у N х Fò ð О r mg Запишем проекции сил на выбранные оси. Ох: Fò ð maö (1) Оу: N mg 0(2) Fò ð N (3) С учетом (3) и (2) запишем выражение (1) в виде mg maö g aö . При заданной угловой скорости вращения диска легко определить положение тела относительно оси вращения диска: g 2 r r g . 2 в) тела на вертикальной стене (коэффициент трения тела о стену ) у Fò ð х N Запишем проекции сил на выбранные оси. Ох: N maö Оу: Fò ð mg 0 С учетом того, что Fò ð N можно записать: maö mg или 2 R g . Отсюда mg R g ; 2R g . R г) конический маятник Запишем проекции сил на выбранные оси. Ох: Fí sin maö (1) Оу: Fí cos mg 0 Fí cos mg (2) Поделив (1) на (2), получим у l Fí maö tg х aö g 2R g 2l sin g . g , l cos 2 l cos 2 период вращения T . При g Угловая скорость R mg заданном радиусе R , описываемой телом окружности, сила натяжения равна Fí mg maö 2 2 m g 2 2 R . 2 д) тело в гладкой полусферической чаше. у По аналогии с коническим маятником рассматриваем проекции сил на выбранные оси. Ох: N sin maö Оу: N cos mg 0 N cos mg R N maö h х tg r aö g 2r g 2 R sin g g . R cos Высота h , на которую поднимается тело во вращающейся mg чаше, равна h R 1 cos R 1 g 2 R 5. Повороты а) автомобиль на повороте у Запишем проекции сил на выбранные оси. Ox : Fò ð maö Oy : N mg 0 g aö . Fò ð N N Fò ð àö mg х g 2 R gR . При превышении скорости автомобиль не впишется в траекторию поворота и его «занесет». Особый случай представляет задача на движение поезда (трамвая) по закругленным участкам. Для устранения бокового давления со стороны колес на рельсы, наружный рельс укладывают выше внутреннего. Высота возвышения h рельса, радиус кривизны R участка, скорость поезда и ширина колеи d связаны соотношением, которое определим следующим образом. у Из треугольника АВС sin N maö O В mg h d А х h . d Из проекций сил на оси N sin maö aö 2 . tg g Rg N cos mg Учитывая малость угла : sin tg . Тогда С h 2 2d . h d Rg Rg б) мотоциклист (велосипедист) на вираже у N N O O Fò ð aö mg R Сила тяжести mg приложена к центру тяжести тела, сила реакции опоры N – перпендикулярна опоре. Результирующая сил N и Fò ð должна проходить через центр тяжести, в противном случае возникнет вращающий момент силы N , который повернет тело либо к горизонту, либо выбросит тело за пределы виража. Для определения угла отклонения тела от вертикали, воспользуемся тригонометрическим соотношением tg Fò ð N . Определим силу взаимодействия движущегося тела с горизонтальной плоскостью. Эта сила F N Fò ð . Её величина F N 2 F 2ò ð N 1 2 . 6. Велосипедист на наклонном треке а) определение минимальной скорости min при движении велосипедиста (угол наклона плоскости к горизонту , коэффициент трения о трек , радиус трека R ). у N х R aö Fò ð Сила трения должна препятствовать скольжению тела вниз. Запишем II закон Ньютона в проекциях на оси. Ох: N sin Fò ð cos maö (1) Оу: N cos Fò ð sin mg 0 N cos Fò ð sin mg (2) С учетом Fò ð N , делим (1) на mg (2): 2 sin cos aö min cos sin g Rg min Rg б) определение велосипедиста у N х R aö Fò ð mg максимальной tg . 1 tg скорости max при движении В данной ситуации сила трения Fò ð должна быть максимальной ( Fò ð max N ) и препятствовать движению велосипедиста к верхнему краю велотрека. Тогда аналогично случаю (а), проекции сил на оси: Ох: N sin Fò ð cos maö Оу: N cos Fò ð sin mg 0 N cos Fò ð sin mg . 2 sin cos max tg max Rg . cos sin Rg 1 tg Примечание. Аналогично случаям (а) и (б) рассматриваются следующие задачи. По внутренней поверхности конуса с углом при вершине с постоянной угловой скоростью 2 вращается шарик массой m , описывая окружность в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения шарика о поверхность Fò ð конуса . Для того чтобы шарик не спустился N вниз конуса, сила трения должна быть направлена вверх подобно случаю 6а. 2 mg Для того чтобы шарик не вылетел из конуса, сила трения должна быть направлена вниз, подобно случаю 6б. N Fò ð 2 mg 7.Кольцо (резиновое, металлическое), замкнутая цепочка из металлических звеньев длиной l раскручиваются и вращаются в горизонтальной плоскости с угловой скоростью (или линейной скоростью ). m Fí 2 2 Fí Сила натяжения в кольце определяется следующим образом. Выделим малый элемент кольца массой m таким образом, что 0 . Результирующая сил натяжения, возникающих в кольце в проекции на ось Оу: 2 Fí sin R 2 maö (1) . Центростремительное aö 2 R , у sin 2 2 элемент , l 2 R . ускорение массы Из m (1) m , 2 сила m 2 R m 2 m 2 натяжения Fí или Fí . 2 2 R l 8. Движение спутников вокруг планет. На движущийся по орбите вокруг планеты ( M ) спутник ( m ) действует только сила m всемирного тяготения F , сообщающая спутнику ò M у r Fò aö центростремительное ускорение: G Mm maö или r2 G Mm m 2 (1) ( r – расстояние между центрами планеты и спутника). r2 r Если учесть, что вблизи планеты ускорение свободного падения M g ï ë G 2 , то из (1) скорость спутника Rï ë g ï ë Rï2ë , где Rï ë – радиус планеты. r Если точка (тело) находится на экваторе планеты, то расстояние r Rï ë и линейная скорость точки на планете gRï ë , угловая скорость Rï ë R g , период обращения T 2 ï ë . g Rï ë 9. Вращение тела на стержне. а) Стержень ОА жестко крепится под углом к оси ОО', вращающейся с угловой скоростью . По стержню скользит без трения муфта массой m , соединенная с точкой О невесомой пружиной жесткостью k , длина которой в недеформированном состоянии l0 . Определить длину пружины при вращении. О' у N х r aö А Fóï ð О mg R Ситуация похожа на задачу, которая была рассмотрена в п.6б, только вместо силы трения, в нашем случае возникает сила упругости Fóï ð k l k l l0 . Запишем проекции сил на выбранные оси. Ох: N cos k l sin m 2r (1) , где r l sin – радиус окружности по которой вращается муфта, l l l0 – удлинение пружины. Оу: N sin k l cos mg 0 N sin k l cos mg (2) Помножим (1) на sin , (2) на cos и вычтем почленно: k l sin k l cos m 2l sin 2 mg cos 2 2 kl0 mg cos (3) . k m 2 sin 2 Как видно из (3), k должно быть больше m 2 sin 2 ( k > m 2 sin 2 ) или 1 k . Если k m 2 sin 2 , то l , пока пружина не разорвется. < sin m l Удлинение пружины должно быть больше 0( l l0 >0), тогда > 1 sin g cos . l Если это условие не выполняется, то пружина практически не будет растягиваться, так как сила упругости полностью будет компенсироваться составляющей силы тяжести вдоль стержня mg cos . б) На две штанги, расположенные симметрично оси О'О'', надеты муфты массой m каждая, соединенные невесомой пружиной жесткостью k и расположенные на одной высоте. Длина пружины в недеформированном состоянии l0 . Система вращается вокруг оси с угловой скоростью . O N Запишем проекции сил на выбранные оси для одной из муфт. у Fóï ð х l mg O Ох: k (l l0 ) N cos m 2 m l0 l (1) 2 Оу: mg N sin 0(2) Умножив (1) на sin , (2) на cos , вычтем из одного второе и, исключив N , получаем k (l l0 ) sin mg cos m 2 l0 l . 2 Из данного соотношения можно получить любой параметр. Литература. 1.Черноуцан А. И. Физика. Задачи с ответами и решениями.–М : КДУ, 2005. – 35 2с. 2. Физика:3800 задач для школьников и поступающих в вузы. – М. : «Дрофа», 2000.–672 с.