Продольная устойчивость в ускорителе- рекуператоре с двумя ускоряющими структурами

Научный вестник НГТУ. - 2007. - № 1
УДК 62-83: 531.3
Продольная устойчивость в ускорителерекуператоре с двумя ускоряющими
структурами*
Я.В. ГЕТМАНОВ, Н.А.ВИНОКУРОВ, О.А. ШЕВЧЕНКО
Современные проекты ускорителей-рекуператоров используют сверхпроводящие ускоряющие
высокочастотные (ВЧ) структуры. Их добротность очень высока. Поэтому напряжение, наводимое на
ускоряющей структуре электронным пучком, также высоко. В ускорителях-рекуператорах ВЧ
напряжение, наводимое ускоряемым пучком, практически полностью компенсируется напряжением,
наведённым замедляемым пучком. Небольшие отклонения ВЧ напряжения могут вызвать отклонение
фаз проходящих пучков. Эти отклонения, затем, могут вызвать дальнейшее изменение напряжения.
Таким образом, система может стать неустойчивой. Условия устойчивости для ускорителярекуператора с одной ускоряющей структурой хорошо известны. Схема ускорителя-рекуператора с
разделенной ВЧ структурой представляется очень перспективной. Условия стабильности для таких
ускорителей-рекуператоров обсуждаются в этой статье.
Ключевые слова: ускорители-рекуператоры, продольная устойчивость, пороговый ток
неустойчивости, источники излучения.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы активно обсуждаются проекты источников рентгеновского
излучения четвертого поколения. Концепция такого источника на основе
многооборотного ускорителя-рекуператора была предложена в 1997 году Г.Н.
Кулипановым, А.Н. Скринским и Н.А. Винокуровым и получила название MARS
(Multiturn Accelerator-recuperator Radiation Source) [1]. В настоящее время, в мире
существует только один работающий многооборотный ускоритель-рекуператор.
Это - ускоритель-рекуператор Новосибирского лазера на свободных электронах в
Институте ядерной физики им Г. И. Будкера СО РАН [2]. На основе опыта
эксплуатации этой установки было предложено применить в проекте MARS схему
ускорителя-рекуператора с двумя разделёнными ускоряющими структурами [3].
Предполагается, что это позволит облегчить управление ускорителем благодаря
разделению ускоряемых и замедляемых пучков в магнитно-оптических системах
поворотов (Рис.1).
*
Статья получена 27 мая1996 г.
Я.В. ГЕТМАНОВ, Н.А. ВИНОКУРОВ, О.А. ШЕВЧЕНКО
2
линак-2
ондуляторы
~1км
ондуляторы
инжектор
линак-1
ондуляторы
Рис.1. Схема многооборотного ускорителя-рекуператора MARS.
Для получения требуемых длин волн излучения, достаточно использовать
электронные пучки с энергией около 5.6 ГэВ [1]. Это означает, что ВЧ структура
ускорителя, в отличие от Новосибирского ЛСЭ, должна быть сверхпроводящей.
Из-за ее высокой добротности, в системе возникают различные неустойчивости,
связанные с взаимодействием электронных сгустков и резонаторов. Условия
продольной устойчивости для системы с одной ускоряющей структурой хорошо
известны [4,5,6]. Для предлагаемой схемы с двумя ускоряющими ВЧ структурами
они обсуждаются в этой статье.
2. УРАВНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
1
2
Рис.2. Схема ускорителя-рекуператора с двумя ускоряющими секциями.
Схема укорителя-рекуператора с двумя ускоряющими секциями показана на
Рис. 2. Электроны инжектируются в ускоряющую структуру (линак) 1. После двух
проходов через линак 1 и линак 2, они используются, к примеру, в ондуляторах.
После этого, электроны замедляются. Через каждый линак одновременно
пролетают четыре пучка электронов с различными энергиями. Каждый пучок
наводит на линак большое напряжение, но их сумма невелика (Рис. 3). Если фазы
пучков меняются, сумма напряжений тоже меняется, и начальное отклонение по
фазе может увеличиться вследствие зависимости времени пролёта через арки
(ставосьмидесятиградусные повороты) от энергии частицы.
Продольная устойчивость в ускорителе-рекуператоре с двумя ускоряющими структурами
3
Im
Ub
Ug
U
Ib5
Ib2
Ib0
Re
Ib7
Ub
Ib
Рис.3. Фазоры токов пучка и напряжений в первой ускоряющей структуре. Ib0 и Ib2 токи ускоряемых пучков, Ib5 и Ib7 - токи замедляемых пучков, Ib – их сумма, Ub –
наведённое напряжение, Ug – напряжение, возбуждаемое генератором, U –
суммарное напряжение на ускоряющей структуре. Нумерация токов описана в п. 3.
В качестве приближения, представим каждый линак в качестве одного ВЧ
резонатора.
U
Ib
Ig C
R
L
Рис.4. Эквивалентная схема ускоряющего резонатора.
Его эквивалентная схема показана на Рис.4. Выражение для напряжения на зазоре
U  L d Ib  I g  C dU dt  U R dt ,


где Ib и Ig – токи электронного пучка и ВЧ генератора, приводит к стандартному
уравнению
d 2U


1 dU
1
1 d

U
Ib  I g .
(1)
RC dt LC
C dt
Представляя эффективное напряжение на линаке с номером α в форме
dt 2

Re(U  e  it ) (ω – частота ВЧ генератора), получаем [7]:
2 dU
 dt
где   1

i  1
U   ( I b  I g )
Q
,
L C  1   2Q  - резонансная частота, Q  R
L C  1 -
  R Q  L C
и
Rα
характеристическое и шунтовое сорпротивления фундаментальной моды (Е010), а
нагруженная
добротность
резонатора,
Я.В. ГЕТМАНОВ, Н.А. ВИНОКУРОВ, О.А. ШЕВЧЕНКО
4
Ibα и Igα комплексные амплитуды токов пучка и генератора (приведенного к
ускоряющему зазору) соответственно. Мы интересуемся случаем постоянных Igα.
Ток пучков Ibα зависит от всех Uα из-за фазового движения. Линеаризация
уравнения (1) около стационарного решения
R
U 0 
I b (U 0 )  I g
1  i
приводит к
 I b

I b
2 dU i  1

U    
Re U  
Im U   (2)


 dt
Q
 ImU 
.
   Re U 
Вообще говоря, Ib зависит от значений U в предыдущие моменты времени,
поэтому уравнение (2) применимо только для случая, когда время затухания Qα/ω
много больше, чем время пролёта через ускоритель.


2.Условия устойчивости
Предполагая экспоненциальное решение exp t 2 для системы линейных
дифференциальных уравнений (2) можно найти условия устойчивости.
Действительно, система (2) соответствует системе линейных однородных


δU  MU с условием разрешимости M  E  0 . Тогда
неравенство Re(  )  0 для всех корней этого уравнения λ (т.е. собственных
уравнений
значений матрицы M) и будет условием устойчивости.
Критерии устойчивости для ускорителя-рекуператора с одним линаком были
выведены в статье [4]. В этом случае
 Re I b

 Re I b 
 1
 
  

Q
 Re U
Q
 Im U 
M
 Im I b
1
 Im I b 
 
 
 Q    Re U
Q
 Im U 

и характеристическое уравнение –
2  TrM  M  0 .
Соответственно, необходимое условие устойчивости имеет вид
  Re Ib  Im Ib  2
Tr M    

  0.
  Re U  Im U  Q
Можно сказать, что «активная проводимость» пучка
 Re Ib  Re U   Im Ib  ImU  2 не должна превосходить активную
проводимость линака Q 1 .
Для ускорителя-рекуператора с двумя ускоряющими структурами
1
  Re I b1
 1

 Re U1 Q1

  Im I b1 1

 1
 Re U1 Q1
M

Re
I

b2
  2  Re U
1

   Im I b 2
2

 Re U1

 Re I b1 1

 Im U1 Q1
 Im I b1
1
1

 Im U1 Q1
 Re I b 2
2
 Im U1
 Im I b 2
2
 Im U1
1
 Re I b1
 Re U 2
 Im I b1
1
 Re U 2
 Re I b 2
1
2

 Re U 2 Q2
 Im I b 2  2
2

 Re U 2 Q2
1
 Re I b1
 Im U 2
 Im I b1
1
 Im U 2
 Re I b 2  2
2

 Im U 2 Q2
 Im I b 2
1
2

 Im U 2 Q2
1












и характеристическое уравнение принимает вид [8]
4  S13  S 22  S3  S 4  0 ,
(3)
Продольная устойчивость в ускорителе-рекуператоре с двумя ускоряющими структурами
S1 
где
k
A    M kk  Tr M  ,
k
1 k  4   1 k  4

S2 
k
A
k
1 k  l  4 

5
l
,
l 
 k l m
1 2 3 4 
 и S 4  A
A
  M - суммы главных
k l m
1 2 3 4 
1 k  l  m  4 
миноров матрицы M.
Необходимое условие устойчивости (Re(λ) < 0 для всех четырех корней уравнения
(3)) – положительность всех коэффициентов полинома (3). В частности,
единственное независимое от расстроек ξ1 и ξ2 условие S1 < 0 дает
  Re I b1  Im I b1 
  Re I b2  Im I b2  2
2 .
(4)
  

 



S3 

1
  Re U1
 Im U1 
2
 Im U 2 
  Re U 2
Q1
Q2
Необходимые и достаточные условия даются критерием Льенара-Шипара [8]. Он
состоит в положительности коэффициентов полинома (3) и третьего минора
Гурвица:
(5)
S1  0, S 2  0, S 4  0, 3  S1S 2 S3  S1S 4   S32  0 .
Эти коэффициенты зависят от расстроек следующим образом:
S 2 (1,  2 ) 
 k l  12  2 2 1   Im I b1  Re I b1 


A


 

k l  Q12 Q2 2 Q1 1  Re U1  Im U1 
1 k  l  4 

  Im I b 2  Re I b 2 

  S 2 (0,0)
 2  2 

Q2
  Re U 2  Im U 2 
и
S 4 (1 ,  2 )  M (1 ,  2 )  M (0,0) 
S2 (1, 2 )  0
Соответственно, условия
и
12  2 2
 ....
2
2
Q1 Q2
S4 (1,  2 )  0 выполняются при
достаточно больших расстройках ξ1 и ξ2.
В наиболее же простом случае ускорителя-рекуператора с изохронными
поворотами матрица проводимости нулевая. Поэтому, легко показать, что все
условия устойчивости выполняются (так же, как и в случае резонаторов с низкой
добротностью).
Так как добротности сверхпроводящих резонаторов очень высоки, то интересно
рассмотреть противоположный предельный случай - с пренебрежимо малыми
членами 1/Q1,2 в матрице M. В этом случае, условия устойчивости не зависят от
тока пучка. Они зависят только от отношения ρ1/ρ2 и матрицы проводимости пучка,
которая полностью определяется параметрами магнитной системы ускорителярекуператора.
3. Матрица проводимости
Для дальнейшего продвижения, нам необходимо определить элементы матрицы
проводимости в условиях устойчивости. Комплексная амплитуда тока пучка Ibα в
резонаторе с номером α (α=1,2), равна сумме комплексных амплитуд всех
проходящих через него токов
I b  2 I
N 1

n0
ei
 I b (U 0 )  2iI
2 n   1  i 2 n   1
N 1

n0
ei
2 n   1

 e i 4 N  2n    i 4 N  2n   
2n   1  e
i 4 N  2 n  
 4 N  2n 

,
(6)
где I – средний ток пучка, 2n+α-1 - фаза n-го прохода через резонатор,
соответствующая стационарному решению, 2n+α-1 – малое отклонение от этой
Я.В. ГЕТМАНОВ, Н.А. ВИНОКУРОВ, О.А. ШЕВЧЕНКО
6
фазы, а 2N –число проходов пучка через каждую ускоряющую секцию. Отклонение
набора энергии при прохождении через ускоряющий резонатор зависит от момента
(фазы) пролета и отклонения комплексной амплитуды напряжения:
E  e Im U 0 n e  i n  n  e Re U 0 n e  i n ,




где  2n  1,  2n  1  2 для 0  n  N  1 , и  2n  2,  2n  1  1 для
N  n  2N  1 .
Малые отклонения энергии и фазы n и n удовлетворяют системе линейных
уравнений:
 i n

 n  e Re U n e  i n ,
n 1   n  e Im U 0 n e

(7)

 dt 
 n 1;

 n 1   n   

 dE  n 1

dt / dE n -



продольная дисперсия n-го ставосьмидесятиградусного поворота.
Начальные условия системы (7) - 0=0 и 0=0, если для стабильности пучка или
других целей у нас нет специальных устройств их контроля. Решение системы (7)
может быть переписано с использованием продольной синусоподобной траектории
Snk и ее «производной» S′nk (элементы 56 и 66 транспортной матрицы). Эти
функции являются решениями однородной системы


S n 1, k  S n , k  e Im U 0 n e  i n S n , k


 dt 
 S n 1, k
S n 1, k  S n , k   
 dE  n 1

с начальными условиями Skk = 0, S′kk = 1. Тогда решение системы (7) записывается
в виде

n 1
 n  e S nk Re U  k e  i
k

(8)
k 0
и

n 1

 Re U k e  i k .
 n  e  S nk
k 0
Подстановка этих решений в формулу (6) дает
 I b  2ieI
e
i 4 N  2 n  
2n    2
N 1
 {ei 2n  1 
n0
4 N  2n  1

k 0
k 0


S 2n  1, k Re U k e  i k 

S 4 N  2n  , k Re U k e
 i k
}
(9)
В случае ускорителя-рекуператора, необходимо удовлетворить (хотя бы
приближенно) условиям рекуперации
N 1


Re U 01  e  i 2n  e  i 4 N  2n 1   0


n0


(10)
N 1


 i 2n 1
 i 4 N  2n  2
Re U 02  e
e
0

n0

Для продольной устойчивости также необходима продольная фокусировка для
большинства проходов через ускоряющие структуры (см. систему (7)):




e Im U 0 n ei n  0
(11)
Продольная устойчивость в ускорителе-рекуператоре с двумя ускоряющими структурами
если все (dt / dE ) n
7
 0.
Условия (10) и (11) могут быть удовлетворены одновременно, если
arg(eU 0 n e i n )  arg(eU 0 4 N  n 1e i 4 N  n1 )   ,
из чего получается


4N  n1    n  2 arg eU0 n ,
как это показано на Рис. 3.
Для того, чтобы сделать условие устойчивости (4) более явным,
рассмотрим простой пример. Предположим, что равновесные фазы равны во время
ускорения. В этом простом случае
2n - argeU01   1 ,2n1 - argeU02    2 для 0  n  N  1 . Тогда подстановка
(9) в (4) определяет необходимое условие устойчивости
N 1 N 1
e1I sin21  
N 1 N 1
1
 S4 N  2n 1,2k e2 I sin2 2    S4 N  2n  2,2k 1  Q
n0 k 0
1
n0 k 0

1
Q2
4. Численное моделирование
Для начала, рассмотрим наиболее простой и симметричный случай с ненулевой
продольной дисперсией только на дорожке с наибольшей энергией. Подобный
случай для ускорителя-рекуператора с одной ускоряющей структурой был
рассмотрен в [6].
Рассмотрим практически интересный случай N = 2. Тогда, из-за того, что
 dt 

  0, n  4
 dE  n
все элементы матрицы Snk (размерами 8x8) равны нулю, кроме элементов нижней
левой клетки 4≤n≤7, 0≤k≤3, которые равны  dt dE 4 :

0
S     dt 
n, k
 dE
4
 
0

0  .

Задача упрощается, если считать, что набор фаз на поворотах для ускоряемых
частиц равен 0. Тогда можно выбрать (φk = 0, k = 0…3). С учетом этого можно
найти матрицу проводимости


I b
 dt  i8 
 4ieI
 ei 6  ,
 e
 Re U 
 dE  4
I b
 0.
 Im U 
Считая для упрощения ρ1 = ρ2, Q1 = Q2, ξ1 = ξ2 и обозначив
argeU 01   argeU 02    можно записать матрицу системы
 sin(2 )

 dt    cos(2 )
M  8eI  
  sin(2 )
 dE 

  cos(2 )
0 sin(2 )
0  cos(2)
0 sin(2 )
0  cos(2)
0
 1


0  1  


0 Q 0


0
 0

0
1 0
0 1
0 
0

0


1
В пределе очень высоких добротностей
 dt 
 sin( 2) .
 dE 
Тогда, устойчивость соответствует положительным значениям sin(2Φ), что в свою
очередь противоречит условиям рекуперации (10) и фокусировки (11).
  16eI 
Я.В. ГЕТМАНОВ, Н.А. ВИНОКУРОВ, О.А. ШЕВЧЕНКО
8
В обшем случае характеристическое уравнение записывается в виде:
4
3
2
1

1
 


 2  1
0       2  sin( 2)       2  cos( 2)  2 2     
Q
Q  Q
Q

Q
 

2
3
4
,



1


 2 2  sin( 2)     2 3  cos( 2)  4 
Q
Q
Q
Q

 1   sin( 2) Q 
2

2 
  sin( 2)  2 23
  cos( 2)  2   ...
Q
Q
Q 
Q


где   8eI dt dE  . Соответственно, используя критерий устойчивости (5),
получим необходимое условие
4  3 2
1

 dt   .
(12)
sin( 2)   4eI 
Q 
 dE  

Численное моделирование показывает, что устойчивость достигается при низком
среднем токе, а величина достаточно устойчивой области фаз ВЧ начинается как
раз с величины порогового тока, соответствующего оценке (12), то есть около
0.1мА.
Несколько другая ситуация возникает в случае поворотов с ненулевой
продольной дисперсией. Для определения областей устойчивости необходимы
численные расчеты. В качестве исходных параметров были взяты характеристики
предполагаемой схемы ускорителя-рекуператора МАРС (Рис.1): Q1=Q2=106,
ρ1=40МОм, ρ2=90МОм, ω=2π·1.3·109Гц, I=10мА, U1=0.9 ГВ, U2=1.9 ГВ. Расчеты
показывают, что существует режим ускоряющих резонаторов со стабильным
наведённым напряжением и высоким пороговым током. Условия устойчивости для
фазового сдвига 1  2 между ВЧ напряжением и током ускоряемого пучка
показаны на Рис. 5 (приблизительно между -12 и -8 градусами) в случае равных
набегов фазы на поворотах.
Рис.5. Зависимость между максимальным инкрементом (верт.) и фазой ускорения
(гор.), вычисленная при различных расстройках ξ=-1;-0.1;1;1000.
4. Заключение
В этой статье рассматрены критерии продольной устойчивости для ускорителярекуператора с двумя ускоряющими структурами. Численные расчеты определили
область устойчивости с высоким пороговым током для установки с двумя
ускоряющими структурами.
Работа выполнена при использовании оборудования ЦКП СЦСТИ и
финансовой поддержке Минобрнауки России.
Продольная устойчивость в ускорителе-рекуператоре с двумя ускоряющими структурами
9
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] G.N. Kulipanov, A.N. Skrinsky, N.A. Vinokurov, Synchorton light sources and recent development
of accelerator technology. J. of Synchrotron Radiation –1998 V.5 pt.3 P.176); MARS - recirculator-based
diffraction limited X-ray source, Budker INP preprint No 97-103 (1997).
[2] N.A. Vinokurov, E.N. Dementyev, B.A. Dovzhenko et al., Novosibirsk Free Electron Laser
Facility: Two-orbit ERL with Two FELs, Proceeding. IPAC’10, P. 2427-2430
[3] D. Douglas, A Generic Energy-Recovering Bisected Asymmetric Linac (GERBAL), ICFA BD-Nl 26
(2001), P. 40-45.
[4] N.A. Vinokurov, A.A. Zholents, W.M. Fawley, K.-J. Kim, Critical Issues for High-Power FEL
Based on Microtron Recuperator/Electron Out-Coupling Scheme, Proceedings SPIE 2988 (1997) 221, 11 P.
[5] L. Merminga, D. Douglas, G. Krafft, High-Current Energy-Recovery Electron Linacs, Annu. Rev.
Nucl. Part. Sci. 53(2003) 387-429.
[6] L. Merminga, J. J. Bisognano, Energy Stability in a High Average Power FEL, IEEE, 1996, 3 C.
[7] P.Wilson, High Energy Electron Linacs: Applications to Storage Ring RF System and Linar
Colliders, SLAC-PUB-2884, 1991, 101 С.
[8] Ф.Р. Грантмахер, Теория матриц, Наука, (1966), 577 C.
[9] G.N Kulipanov, A.N Skrinsky, N.A Vinokurov, MARS—a project of the diffraction-limited fourth
generation X-ray source based on supermicrotron, Nucl. Instr. and Meth. A467/468 (2001), P. 16-20.
Винокуров Николай Александрович, доктор физико–математических наук, профессор, член корреспондент РАН, заведующий лабораторией института ядерной физики им. Г. И. Будкера СО
РАН. Основное направление научных исследований - физика ускорителей заряженных частиц,
лазеры на свободных электронах.
Шевченко Олег Александрович, кандидат физико–математических наук, старший научный
сотрудник института ядерной физики им. Г. И. Будкера СО РАН. Основное направление
научных исследований - физика ускорителей заряженных частиц, лазеры на свободных
электронах.
Гетманов Ярослав Владимирович, аспирант института ядерной физики им. Г. И. Будкера
СО РАН.
Longitudinal stability of Energy Recovery Linac with two accelerating radio-frequency
structures. Ya.V. Getmanov, N.A. Vinokurov, O.A. Shevchenko
Modern Energy Recovery Linac (ERL) projects use superconductive accelerating radio-frequency
structures (RF). Their RF quality is typically very high. Therefore, the RF voltage induced by electron
beam is also high. In ERL the RF voltage induced by the accelerating beam is almost cancelled by the
RF voltage induced by the decelerating beam. But, a small variation of the RF voltage may cause the
deviations of the accelerating phases. These deviations then may cause further voltage variation.
Thus, the system may be unstable. The stability conditions for ERL with one accelerating structure
are well known. The ERL with split RF structure was discussed recently. The stability conditions for
such ERLs are discussed in this paper.
Key words: Energy-recovery linacs, beam-cavity interaction, beam loading instability, threshold
current