2 оценка точности функций измеренных величин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ
(МИИГАиК)
Заочный факультет
Методические указания
и контрольные работы №1, 2
по курсу
«Теория математической обработки
геодезических измерений»
Раздел II
«Теория ошибок измерений»
Для студентов II курса
всех специальностей
Подлежат возврату в деканат
заочного факультета
МОСКВА 2010 г.
УДК
Составитель: Русяева Е.А.
Методические указания и контрольные работы № 1, 2 по курсу «Теория
математической обработки геодезических измерений. Раздел II. Теория ошибок
измерений». — М., Изд. МИИГАиК, 2010, с. 35.
Методические указания написаны в соответствии с утверждённой
программой курса «Теория математической обработки геодезических
измерений», рекомендованы к изданию кафедрой геодезии.
В методических указаниях (раздел II) подробно рассмотрены основные
вопросы теории ошибок измерений: критерии точности измерений; средняя
квадратическая ошибка функции общего вида; математическая обработка рядов
равноточных и неравноточных измерений одной величины. Приведены
типовые примеры, которые поясняют использование теоретических положений,
необходимых для самостоятельной подготовки студентов заочного факультета
и выполнения ими контрольной работы №2.
Рецензенты: к.т.н. Н.А. Кувекина
к.т.н. Ю.В. Визиров
© Московский Государственный университет геодезии и картографии, 2010
2
Программа 1-й части курса
«Теория математической обработки геодезических измерений»
Раздел II
«Теория ошибок измерений»
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОШИБОК. Классификация ошибок измерений.
Основные постулаты теории ошибок. Кривая Гаусса и её свойства. Свойства
случайных ошибок.
КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. Средняя квадратическая ошибка и
её достоинства. Вероятная и средняя ошибки и их связь со средней
квадратической ошибкой при нормальном законе распределения. Исследование
на нормальный закон распределения ряда истинных ошибок.
ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА. Понятие о равномерном
законе распределения ошибок округления. Средняя квадратическая ошибка
округлений, её связь с предельной ошибкой округления.
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКА ОШИБКА ФУНКЦИЙ (коррелированных
и некоррелированных аргументов). Типовые примеры.
РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. Основные этапы математической
обработки ряда многократных независимых равноточных измерений одной
величины. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины.
Определение средней квадратической ошибки отдельного результата
измерений. Определение средней квадратической ошибки наиболее надёжного
значения. Построение доверительных интервалов, с заданной вероятностью
накрывающих неизвестные точные значения параметров: истинного значения и
среднего квадратического отклонения отдельного результата измерений.
Порядок обработки ряда равноточных измерений одной величины,
выполняемый по определённой схеме со всеми необходимыми контролями
вычислений.
НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. Понятие о весе. Обратный вес
функции коррелированных и некоррелированных аргументов. Основные этапы
математической обработки ряда многократных независимых неравноточных
измерений одной величины. Определение среднего весового: наиболее
надёжного значения измеряемой величины. Определение средней
квадратической ошибки измерения с весом, равным единице. Определение
средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения. Построение
доверительных интервалов для истинного значения и среднего квадратического
отклонения измерения с весом, равным единице. Порядок обработки,
необходимые контроли вычислений.
ДВОЙНЫЕ
ИЗМЕРЕНИЯ.
Математическая обработка
двойных
равноточных измерений ряда однородных величин. Критерий обнаружения
систематических ошибок. Математическая обработка двойных неравноточных
измерений ряда однородных величин. Порядок обработки, необходимый
контроль вычислений.
3
1 ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА
1.1 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОШИБОК
В теории ошибок на основе теории вероятностей с использованием
методов математической статистики решают следующие задачи:
1. Изучение причин возникновения ошибок измерений, их свойств и
законов распределения их вероятностей;
2. Определение наиболее надёжного значения искомой величины из
результатов её многократных измерений;
3. Оценка точности непосредственно выполненных результатов
измерений и предвычисление ожидаемой точности функций измеренных
величин;
4. Установление
допусков,
т.е.
критериев,
ограничивающих
использование результатов измерений в заданных пределах точности.
1.2 КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Ошибки измерений подразделяют на грубые, систематические и
случайные.
К грубым ошибкам относят ошибки, вызванные промахами и просчётами
наблюдателя, неисправностями приборов, резким ухудшением внешних
условий и др. С целью их обнаружения измерения выполняются многократно
(не менее двух раз). Результаты измерений, содержащие грубые ошибки,
необходимо выявлять и исключать из обработки.
К систематическим относят ошибки, которые входят в результаты
измерений по тому или иному закону, как функции источников возникновения
ошибок. В практике геодезических измерений применяют следующие способы
уменьшения влияния систематических ошибок:
1. Устанавливают закон появления систематических ошибок, после
чего ошибки уменьшают введением поправок в результаты измерений;
2. Применяют соответствующую методику измерений для того, чтобы
систематические ошибки действовали не односторонне, а изменяли знаки;
3. Используют определённую методику обработки результатов
измерений.
Случайные ошибки являются наиболее ярким примером случайной
величины. Их закономерности обнаруживаются только в массовом проявлении.
Случайные ошибки неизбежны при измерениях и не могут быть исключены из
единичного измерения. Влияние их можно лишь ослабить, повышая качество и
количество измерений, а также надлежащей математической обработкой
результатов измерений. Причин возникновения случайных ошибок измерений
много: влияние внешних условий, неточности изготовления и юстировки
приборов, неточности выполнения операций наблюдателем и т.д. Очевидно, что
4
случайные ошибки являются результатом суммирования большого числа
независимых элементарных ошибок. На основании центральной предельной
теоремы Ляпунова можно считать, что случайные ошибки измерений
подчиняются нормальному закону распределения.
В дальнейшем условно примем, что в любых измерениях грубые ошибки
отсутствуют, основная часть систематических ошибок исключена из
результатов, а остаточные систематические ошибки ничтожно малы, т.е. будем
рассматривать только случайные ошибки (   xi  X , где хi — результат
измерений, Х — истинное значение измеряемой величины.) Очевидно, что
M()  0 , а M( x)  X .
1.3 СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
1. Случайные ошибки по абсолютной величине с заданной вероятностью 
не должны превышать определённого предела, равного t  m (t — коэффициент,
для которого (t )   , m — средняя квадратическая ошибка));
2. Положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по
абсолютной величине, одинаково часто встречаются в ряде измерений;
3. Среднее арифметическое из значений случайных ошибок при
неограниченном увеличении числа измерений имеет пределом нуль, т.е.
   M()  0 .
(0.1)
lim
n n
Это свойство называют свойством компенсации. Отклонение M() от нуля
свидетельствует о наличии в результатах измерений систематических ошибок.
4. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются в ряде
измерений чаще, чем большие.
1.4 КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Основным критерием точности результатов измерений является средняя
квадратическая ошибка (оценка СКО), определяемая по формуле
n
m   ( x)  D* ( x) 
 ( xi  M x )2
i 1
.
(0.2)
n
Для ряда истинных ошибок i  при известном X  M( x) формула (0.2)
принимает вид (1.3) и называется формулой Гаусса:
  2 
,
n
m
где i  xi  X ;   2   12   22 
(0.3)
  2n .
)
Так при t  3  (t )  0,997 , т.е. с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что
случайные ошибки не превзойдут предела, равного "3m".
5
Средней ошибкой * называют среднее арифметическое из абсолютных
значений ошибок, т.е.

(0.4)
    .
n
Вероятной ошибкой r  называют такое значение случайной ошибки ,
больше или меньше которого, по абсолютной величине, ошибки
равновозможны, т.е.
P(   r  )  P(   r  )  0,5 .
На практике r  определяется величиной, которую находят, расположив
все ошибки i в ряд в порядке возрастания их абсолютных величин. Вероятная
ошибка r  будет расположена в середине такого ряда.
При нормальном законе распределения случайных ошибок имеют место
соотношения:
m  1,25 ; m  1,48r 
(0.5)
Величины * и r  являются оценками параметров  и r: соответственно
среднего и вероятного отклонений (см. раздел I п. 3.5).
Соотношения (0.5) называют критериями нормального закона (в
разделе I они представлены в виде   0,801 ;   0,67r ).
Предельной ошибкой  ï ðåä. называют такую ошибку, больше которой в
ряде измерений ошибок не должно быть. В качестве предельных выбирают
величины, определяемые по правилу
 ï ðåä.  2m и  ï ðåä.  3m
(с вероятностями 0,954 и 0,997 соответственно).
Перечисленные выше критерии  i , m, * , r  ,  ï ðåä. называют
абсолютными ошибками.
Относительной ошибкой называют отношение соответствующей
абсолютной ошибки к значению измеряемой величины X (если X неизвестно,
его заменяют результатом измерения x).
Относительную ошибку обычно выражают в виде дроби с числителем,
равным 1, например:
m 1

— средняя квадратическая относительная ошибка;
x N1
 ï ðåä.
1

— предельная относительная ошибка величины X
x
N2
и т.д.
Значения абсолютных ошибок получают с двумя–тремя значащими
цифрами, а знаменатель относительной ошибки округляют до двух значащих
цифр с нулями.
Например, при x  145,68 ì и mx  5,8 ñì .
mx
5,8
1
.


x 14568 2500
6
1.5 ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДА ИСТИННЫХ ОШИБОК НА НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Для решения этой первой задачи теории ошибок используем методику,
изложенную в разделе математической статистики, а также выполним
вычисления по формулам (1.1–1.5) настоящего раздела.
Задача 1.1. В таблице 1.1 даны невязки 32-х треугольников. Невязки
f     180 можно считать истинными ошибками , так как сумму углов в
треугольнике можно рассматривать как измеренную величину, истинное
значение которой равно 180 . Выполнить исследование ряда невязок i  на
нормальный закон распределения.
Таблица 1.1
невязки
невязки
невязки
невязки
№
№
№
№
i
i
i
i
1
–0,76″
9
+1,29″
17
+0,71″
25
+0,22″
2
+1,52″
10
+0,38″
18
+1,04″
26
+0,06″
3
–0,24″
11
–1,03″
19
–0,38″
27
+0,43″
4
+1,31″
12
+0,00″
20
+1,16″
28
–1,28″
5
–1,27″
13
–1,23″
21
–0,19″
29
–0,41″
6
–1,88″
14
–1,38″
22
+2,28″
30
–2,50″
7
+0,01″
15
–0,25″
23
+0,07″
31
+1,92″
8
–0,69″
16
–0,73″
24
–0,95″
32
–0,62″
Найдём ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования:
   0  12,40 ;    0  15,79 ;    3,39 ;     28,19 ;
 2   38,75 ; 3   (34,41  30,03)  4,38; 4   120,70 .
Решение:
1. Вычисление оценок параметров нормального распределения M  ,
 , кривая плотности которого определяется выражением (0.6):
   3,39  0,106 ,
M  
n
32
2 
38,75


  m 

 1,10 .)
n
32
)
Критерий обнаружения постоянной систематической ошибки имеет вид
  t 
M
 n,
где t выбирается из таблиц Приложения B (при n  30 ) по вероятности   (t ) .
Находим для   0,95 : t  1,96 и t  n  1, 96  1,10 32  0, 38 .
Как видно из результатов вычислений, критерий выполняется, так как
  0,106  0, 38 ,
M
следовательно, постоянной систематической ошибкой можно пренебречь и считать, что

M  0 .
7
Вычисление средней ошибки * и коэффициента k1ï ðàêò. :
  28,19 32  0,88 ;
k1практ.  m   1,10 0,88  1,25 ; k1òåî ð.  1,25 .
3. Определение вероятной ошибки r  и коэффициента k2практ. .
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных
величин:
+0,00; +0,01; +0,06;+0,07; –0,19; +0,22; –0,24; –0,25; +0,38; –0,38; –0,41; +0,43;
–0,62; –0,69; +0,71; –0,73; –0,76; –0,95; –1,03; +1,04; +1,16; –1,23; –1,27; –1,28;
+1,29; +1,31; –1,38; +1,52; -1,88; +1,92; +2,28; –2,50.
Находим:
r   (  16   17 ) 2  (0,73  0,76) 2  0,74 ;
2.
k2практ.  m r   1,10 0,74  1,49 ; k2òåî ð.  1,48 .
4. Построение статистического группированного ряда.
Распределим невязки (табл. 1.2) в двенадцати интервалах (длину
интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е.
0,5m ).
Таблица 1.2
высоты
длины
длины
число частоты
прямоинтервалов
№
интервалов
ошибок Q  m n угольников
в секундах
п/п
в долях
i
i
mi
hi  Qi (0,5m)
i  ti m
m
1
–3,0m –2,5m –3,30″ –2,75″
0
0,000
0,000
2
–2,5m –2,0m –2,75 –2,20
1
0,031
0,056
3
–2,0m –1,5m –2,20 –1,65
1
0,031
0,056
4
–1,5m –1,0m –1,65 –1,10
4
0,125
0,227
5
–1,0m –0,5m –1,10 –0,55
6
0,188
0,342
6
–0,5m +0
–0,55 –0
5
0,156
0,284
7
+0
+0,5m –0
+0,55
7
0,219
0,398
8
+0,5m +1,0m +0,55 +1,10
2
0,062
0,113
9
+1,0m +1,5m +1,10 +1,65
4
0,125
0,227
10
+1,5m +2,0m +1,65 +2,20
1
0,031
0,056
11
+2,0m +2,5m +2,20 +2,75
1
0,031
0,056
12
+2,5m +3,0m +2,75 +3,30
0
0,000
0,000
∑
32
1,000
―
mi — число ошибок, попавших в i-й интервал, подсчитывается
непосредственно. Если значение ошибки совпадает с границей интервала,
то эту ошибку следует поместить в тот интервал, в котором теоретически
ожидается большее число ошибок (см. рис 1.1)
8
5. Построение гистограммы и выравнивающей её кривой распределения.
По данным таблицы 1.2 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис. 1.1) —
график эмпирического распределения (на выбор масштаба изображения
наложим лишь условие наглядности).
Рис. 1.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая  ( )
Вид
гистограммы
позволяет
действительно
предположить
нормальный закон распределения ошибок i. Теоретическая кривая, наилучшим
образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется
уравнением
 2
1
(0.6)
() 
e 2 m2  hy ,
m 2
2
1

1 2t


где m    1,10 ; M ()  0 ; t  ; h 
; y
e .
m
m 2

Вычисление ординат кривой () выполняем, используя таблицу
Приложения A. Результаты вычислений поместим в таблице 1.3.
Таблица 1.3
левые
1

границы
№
h
(i )  hyi
ti  i
yi
п/п интервалов
m
m 2
i
1
0
0
0,564
0,645
0,364
2
0,5m
0,5
0,498
―"―
0,321
3
1,0m
1,0
0,342
―"―
0,220
4
1,5m
1,5
0,183
―"―
0,118
5
2,0m
2,0
0,076
―"―
0,049
6
2,5m
2,5
0,025
―"―
0,016
7
3,0m
3,0
0,006
―"―
0,004
По данным таблицы 1.3 (столбцы 2 и 6) на графике рис. 1.1 наносим ряд
точек  i ; (i )  , которые соединяем плавной кривой. Левую ветвь кривой
строим по тем же ординатам.
9
Как видно из графика, кривая () удовлетворительно сглаживает
гистограмму.
6. Применение критерия 2-Пирсона.
Для оценки степени приближения статистического распределения
(гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения)
вычисляем величину
k (m  np ) 2
i
,
2   i
(0.7)
npi
i 1
где
pi  P(ti  T  ti 1 )  0,5(ti 1 )  (ti ) .
(0.8)
Результаты вычислений поместим в таблице 1.4.
 (ti ) находят по таблице Приложения B для левых границ
интервалов ti.
Таблица 1.4
(mi  npi )2
Интервалы 0,5 (t )
№
pi
mi
npi
i
ti
npi
1 –3,0 –2,5 –0,5
0,0062
0
0,20
0,20
2 –2,5 –2,0 –0,4938
0,0166
1
0,53
0,42
3 –2,0 –1,5 –0.4772
0,0440
1
1,41
0,12
4 –1,5 –1,0 –0.4332
0,0918
4
2,94
0,38
5 –1,0 –0,5 –0,3414
0,1500
6
4,80
0,30
6 –0,5 +0
–0,1914
0,1914
5
6,12
0,20
7 +0
+0,5 +0
0,1914
7
6,12
0,13
8 +0,5 +1,0 +0,1914
0,1500
2
4,80
1,63
9 +1,0 +1,5 +0,3414
0,0918
4
2,94
0,38
10 +1,5 +2,0 +0,4332
0,0440
1
1,41
0,12
11 +2,0 +2,5 +0,4772
0,0166
1
0,53
0,42
12 +2,5 +3,0 +0,4938
0,0062
0
0,20
0,20
13 +3,0 +∞ +0,5
―
―
―
―
1,0000 32 32,00
4,50

Число степеней свободы определяется формулой r  k  s  1. Находим
r  12  1  1  10 (k — число интервалов, s  1 , так как только один
параметр () оценивался по выборке, а M() принято равным нулю).
По таблице Приложения E по числу степеней свободы r  10
2
для   4 находим вероятность P  0,947 , а для 2  5 находим P  0,815 .
Интерполируя, для 2  4,5 получим P( 2  4,5)  0,914 .
7. Вычисление оценок скошенности Sk  и эксцесса  и проверка
соотношений:
Sk   3Sk ;   5 ,
(0.9)
которые являются критериями нормального закона.
Находим:
10
1) 3   3  n  4,38 32  0,137 ;
2) Sk   3 ( )3  0,137 (1,10)3  0,103 ;
3) 4    4  n  120,7 32  3,77 ;
4)   4 ( ) 4  3  3,77 (1,10) 4  3  0,42 ;
5) Sk  6 n  0,43;   24 n  0,87 .
Как видно из вычислений, соотношения (0.9) выполняются.
В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый
ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных ошибок,
подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как:
1) выполняются свойства случайных ошибок:
а) среднее арифметическое M () практически равно нулю,
б) положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной
величине (см. гистограмму), примерно одинаково часто встречаются в данном
ряде,
в) малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем
большие,
г) случайные ошибки  с заданной вероятностью  не превосходят
определенного предела, равного t  m , ни одна из ошибок ряда не превышает
предельной ошибки, равной
 ï ðåä.  3m  3,30 ;
2) коэффициенты k1ï ðàêò. и k2ï ðàêò. совпадают
с
их
теоретическими
значениями ( k1  1,25 ; k2  1,48 );
3) вероятность P ( 2 )  0,91 велика, так как значительно больше
критического уровня значимости, равного 0,1;
4) величины скошенности и эксцесса незначительно отличаются от нуля.
2 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН
Equation Section (Next)В геодезии часто искомые величины находят в
результате вычислений, как функции измеренных величин (аргументов).
Очевидно, что ошибка функции будет зависеть как от ошибок измерения
аргументов, так и от вида функции.
2.1 СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ
Пусть дана функция
y  f ( x1 , x2 , , xn ) ,
(1.1)
где x1 , x2 , , xn независимо измеренные аргументы. Известны их средние
квадратические ошибки mx1 , mx2 , , mxn .
11
Оценка точности функции (2.1) выполняется по формуле:
2
2
2
2
n  f 
 f  2
 f  2  f  2
2
my  
mx1  
mx2   
mxn   
mx2i .
(1.2)




i 1  xi  0
 x1 0
 x2 0
 xn 0
Если аргументы x1 , x2 , , xn коррелированы, т.е. коэффициенты попарной
корреляционной связи отличны от нуля, rxi x j  0 , то средняя квадратическая
ошибка функции вычисляется по формуле:
2
n  f 
 f   f 
2
my2   
m

2
(1.3)

 rxi x j mxi mx j .
x
 i

 
i 1  xi 0
i  j  xi  0  x j 
0
 f 
где 
 — частные производные функции, вычисленные по приближённым

x
 i 0
значениям аргументов, в качестве которых принимают измеренные значения хi,
близкие к их точным значениям.
Предрасчёт ожидаемой средней квадратической ошибки функции по
формулам (1.2) и (1.3) называют решением прямой задачи теории ошибок.
Задача 2.1. В треугольнике измерены два угла, известны их средние
квадратические ошибки mx1  3,0 , mx2  4,0 . Найти среднюю квадратическую
ошибку третьего угла, вычисленного по двум измеренным.
Решение. Составляем функцию y  180  x1  x2 ; имеем:
y
y
 1 ;
 1 ;
x2
x1
180 — точное число; x1 и x2 — независимо измеренные аргументы.
Тогда по формуле (1.2) имеем:
my2  (1) 2  32  (1) 2  42  25 ; m y  5 .
Задача 2.2. Определить среднюю квадратическую ошибку превышения,
вычисленного по формуле h  S tg  , где S — горизонтальное проложение,  —
угол наклона. Известно, что S  143,5 ì ;   2 30 ; mS  0,5 ì ; m  0,5 ;
  3438  3,44 10 3 .
Решение. Находим h  S tg   6,2653 ì и по формуле (1.2) его среднюю
квадратическую ошибку mh:
2
2
 h  2  h  2 )
2
mh    mS    m ,
 S 
  
где
h
h
S
.
 tg  ;

S
 cos 2 
)
Для того чтобы оба слагаемых в этом выражении имели одинаковую размерность (в м2),
необходимо во втором слагаемом величину m2 разделить на 2 (т.е. выразить m в
радианной мере).
12
Тогда
2
 S  m2
.
m  tg   m  

 cos 2   2
tg 2   0,043662 ; cos4   0,99904 ; S 2  143,52 ì 2 ; 2  34382 .
Известно, что величина mh должна быть получена с двумя (или тремя, если
число начинается с единицы) значащими цифрами. Чтобы это требование
обеспечить, необходимо в промежуточных вычислениях по формуле (1.2)
удерживать в числах на одну значащую цифру больше, т.е. оставлять три (или
четыре) значащие цифры, а сами числа следует представлять в стандартной
форме. Например, число 0,043662 необходимо записать так: 4,372  104 ;
число 34382 следует записать так: 3,442  106 . Такие действия позволят
упростить вычисления по формуле (1.2) и, кроме того, дадут представление о
величине влияния каждого источника ошибок на общую среднюю
квадратическую ошибку функции.
С учётом сказанного выше находим:
14,352  102
0,52
mh2  4,37 2  104  0,25 


0,9994
3,442  106
 4,77  104  4,37  104  9,14  104 ì 2
По результатам вычислений видно, что влияние линейных и угловых
ошибок измерений в данной задаче примерно одинаково. Окончательно
получаем:
mh  3,0  102 ì  3,0 ñì .
Ответ: h  mh  6,27ì  0,03ì .
При решении обратной задачи теории ошибок — расчёте точности
измерений аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции —
применяют так называемый принцип равных влияний, требование которого
состоит в том, чтобы влияние каждого источника ошибок на общую ошибку
функции было одинаковым.
Так из формулы (1.2) следует:
2
h
2
S
2
2
 f  2 m y2
 x  mxi  n и
 i 0
my
mxi 
.
 f 
(1.4)
 x  n
 i 0
Все m xi находят из решения уравнений (1.4).
Задачи для контроля. Найти средние квадратические ошибки
следующих функций независимо измеренных величин:
x
x1 x2
; 4) y  tg 1 ; 5) y  sin kx1  cos x2 .
1) y  5 x1 ; 2) y  x1 x2 ; 3) y 
x2
x3
13
3 РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Equation Section (Next)Равноточными называют результаты, полученные
при измерениях одним и тем же прибором, одним и тем же методом,
одинаковым числом приёмов и в одинаковых условиях. Равноточные измерения
характеризуются одинаковой для всех результатов средней квадратической
ошибкой.
3.1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА МНОГОКРАТНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть выполнен ряд равноточных измерений одной величины, истинное
значение Х которой неизвестно. В результате измерений получены значения хi,
свободные от систематических ошибок (это означает, что M( x)  X ).
Под математической обработкой ряда равноточных измерений понимают:
1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины
(наилучшей оценки неизвестного истинного Х), которым является простая
арифметическая средина
 x   x   ,
(2.1)
x
0
n
n
где x0 — наименьшее значение из ряда  xi  , i  xi  x0 ;
3. Определение средней квадратической ошибки отдельного результата
измерений по формуле Бесселя (оценка неизвестного параметра x)
2 

(2.2)
m
,
n 1
где i  xi  x — уклонения от арифметической средины, которые обладают
свойствами:
а)    0 ,
б)  2   min.
4. Определение
средней
квадратической
ошибки
простой
арифметической средины
m
.
mx  M 
(2.3)
n
4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью
накрывающего неизвестное истинное значение X
x  t M  X  x  t M .
(2.4)
14
3.2 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Задача 3.1. Даны результаты равноточных независимых многократных
измерений одного и того же угла. Определить: x , m, M, mm , mM .
Построить доверительный интервал, с вероятностью 0,90 накрывающий
истинное значение угла. Составим таблицу.
Таблица 3.1
результаты
№
измерений i
 i2
i
i2
примечания
п.п.
xi
1
67°33′44″ +4 16 –0,7 0,49
2
40″ +0 0
–4,7 22,1
3
43″ +3 9
–1,7 2,89  î êð.  xî êð.  x  0,03
4
45″ +5 25 +0.3 0,09
5
46″ +6 36 +1,3 1,69
6
43″ +3 9
–1,7 2,89 Контроли:
7
48″ +8 64 +3,3 10,9
а)    12  0,03  0,4 ;
8
45″ +5 25 +0,3 0,09
2
9
48″ +8 64 +3,3 10,9 б)  2   334  56  72,7 .
12
10
46″ +6 36 +1,3 1,69
11
47″ +7 49 +2,3 5,29
12
41″ +1 1
–3,7 13,7
+56 334 –0,4 72,72

1. Вычисление среднего арифметического
  673340  56  67 3344,67 .
x  x0 
n
12
В качестве наиболее надёжного значения принимаем среднее
арифметическое, округлённое до десятых долей секунды
xî êð.  673344,7 .
2. Вычисление уклонений i  xi  xî êð. , а также сумм   ,  2  ,   2 
непосредственно в таблице 3.1 и по контрольным формулам:
a)    n î êð. ,
b)  2    2 


2
.
(2.5)
n
Расхождение между суммой    , которую получили непосредственно
в таблице, и её контрольным значением допускается в пределах (2–3)% от
величины  2  . Как видно из результатов вычислений (см. примечания в
таблице 3.1), контроли выполнены.
2
15
3. Вычисление средней квадратической ошибки отдельного результата
измерений по формуле Бесселя:
 2   72,7  2,6 .
m
n 1
11
4. Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного
значения измеряемого угла:
m 2,6
mx  M 

 0,75 .
n
12
5. Оценим точность полученных значений m и M по формулам:
m
2,6
mm 

 0,55 ,
2(n  1)
22
(2.6)
M
mM 
 0,15 .
2n
6. Построим доверительный интервал для истинного значения
измеряемого угла. Для вероятности   (t )  0,90 и числа степеней
свободы r  11 ( r  n  1) по таблице Стьюдента (Приложение D) находим
коэффициент t  1,8 , а затем по формуле (2.4) вычисляем границы интервала:
xî êð.  t M  X  xî êð.  t M ,
67 3344,7  1,8  0,75  X  673344,7  1,8  0,75 ,
673343,3  X  673346,1 .
Ответ:
интервал (673343,3;673346,1)
с
доверительной
вероятностью 0,90 накрывает истинное значение угла. В сокращённой форме
ответ имеет вид:
x  M  673344,7  0,8 .
4 НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Equation Section (Next)Неравноточными называют измерения, которые
имеют различные дисперсии. Это имеет место, когда измерения производят в
различных условиях, по разной методике, с помощью различных приборов.
Для совместной обработки неравноточных измерений вводят веса.
4.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЕСАХ
Весом называется величина, обратно пропорциональная дисперсии
c
pi  2 .
(3.1)
i
Значение c постоянно для всех измерений и выбирается произвольно.
При p  1 c  i2  02 и формула веса принимает вид
16
02
,
(3.2)
i2
т.е.  02 — дисперсия такого измерения, вес которого равен единице.
Дисперсии результатов измерений  i2 , как правило, неизвестны. Заменяя
неизвестные дисперсии их оценками, т.е. квадратами средних квадратических
ошибок, получаем следующие формулы веса
c
pi  2 ,
(3.3)
mi
2
pi  2 ,
(3.4)
mi
где  — средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен
единице (сокращённо  называют ошибкой единицы веса).
Одной из причин введения весов является возможность установить их, не
зная величин mi. Так, в нивелирной сети веса назначают по формуле
c
pi  ,
(3.5)
Li
где Li — длины ходов в км. Эта формула получена из формулы (3.4), пользуясь
произвольностью выбора .
Зная среднюю квадратическую ошибку единицы веса и вес i-го измерения,
можно вычислить среднюю квадратическую ошибку i-го измерения по формуле

mi 
.
(3.6)
pi
pi 
Задача 4.1. Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку
этого угла, если ошибка единицы веса равна 15″.
Решение. Находим среднюю квадратическую ошибку угла

15
mi 
, mi 
 5 .
pi
9
4.2 ОБРАТНЫЙ ВЕС ФУНКЦИИ ОБЩЕГО ВИДА
Пусть дана функция f ( x1 , x2 , , xn ) , где x1 , x2 , , xn — независимо
измеренные величины. Известны веса аргументов px1 , px2 , , pxn .
Используя формулы (1.2) и (3.3), получаем формулу для вычисления
обратного веса функции некоррелированных аргументов.
2
2
2
2
n  y 
1  y  1  y  1
1
 y  1


 
 
.
(3.7)




p y  x1 0 px1  x2 0 px2

x
p

x
p
i

1
 n 0 xn
 i 0 xi
Если аргументы x1 , x2 , , xn коррелированы, т.е. коэффициенты попарной
корреляционной связи отличны от нуля, rxi x j  0 , то обратный вес функции
вычисляется по формуле
17
n  y 
1
1
 y   y 
 
 2 


 
p y i 1  xi 0 pxi
i  j  xi  0  x j 
0
Задача 4.2. Найти веса следующих функций
1. y  2 x1  0,4 x2  0,5 x3 ;
2. y  3x12
если p x1  2 ; px2  0, 2 ; px3  0,5 ; x1  1, rxi x j  0 .
Решение:
2
rxi x j
pxi px j
.
(3.8)
1
1
1
1
1
 22
 (0,4)2
 (0,5) 2
 3,3 ; p y 
 0,30 ;
py
px1
px2
px3
3,3
1
1
1
2.
 (6 x1 ) 2
 18 ; p y   0,06 .
18
py
px1
1.
4.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА НЕЗАВИСИМЫХ
МНОГОКРАТНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть имеется ряд многократных неравноточных измерений одной и той
же величины: x1 , x2 , , xn , истинное значение Х которой неизвестно. Известны
веса результатов измерений: px1 , px2 , , pxn .
Под математической обработкой ряда неравноточных измерений
понимают:
1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины —
среднего весового, или общей арифметической средины (наилучшей оценки
неизвестного истинного значения):
 px  x   p ,
x
(3.9)
0
 p
 p
где x0 — наименьшее значение из ряда  xi  , а i  xi  x0 .
2. Определение по формуле Бесселя средней квадратической ошибки
измерения с весом, равным единице (оценки параметра 0 ):
 p2  ,

(3.10)
n 1
где i  xi  x — уклонения от среднего весового, которые обладают
свойствами:
а)  p  0 ,
б)  p2   min.
3. Определение средней квадратической ошибки наиболее надёжного
значения


mx  M 

.
(3.11)
px
 p
18
4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью
накрывающего неизвестное истинное значение X
x  t M  X  x  t M .
(3.12)
4.4 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Задача 4.3. Отметка узлового репера получена по шести ходам, известны
средние квадратические ошибки по каждому ходу mi (в мм). Найти наиболее
надёжное значение отметки репера и произвести оценку точности.
Таблица 4.1
c
pi  2
Hi
mi
i
i
pi i
pi  i2
pi i
pi i2
№
mi
(м)
(мм)
(мм)
(мм)
1 196,529 6,3
0,25 +12
+3,00 +36,0
+1 +0,25
2
,522 8,4
0,14 +5
+0,70 ++3,5 –6 –0,84
3
,517 9,1
0,12 +0
+0
++0
–11 –1,32
4
,532 4,3
0,54 +15
+8,10 121,5
+4 +2,16
5
,530 5,2
0,37 +13
+4,81 +62,5
+2 +0,74
6
,520 7,5
0,18 +3
+0,54 ++1,6 –8 –1,44
1,60
17,15 225,1
–0,45

Решение:
Веса вычисляем по формуле
pi  c mi2 ,
где c  10 ).
1. Вычисление наиболее надёжного значения отметки репера:
 p  196,517ì + 17,15ì ì  196,5277ì ,
x  x0 
1,60
 p
xî êð.  196,528ì ,  î êð.  xî êð.  x  0,3ì ì .
Вычисление уклонений от среднего весового i  xi  xî êð. ,
сумм  p2  ,  p ,  p2  непосредственно в таблице 4.1.
Контроль вычислений:
a)  p   î êð.  p  ;  p  0,3  1,60  0,48;
b)  p    p
2
 p ; p2  225,1  17,152  41,3 .


 
1,60
 p
2
2
Контроль выполнен.
)
Веса принято вычислять с двумя–тремя значащими цифрами.
19
00,2
05,0
14,5
08,6
01,5
11,5
41,3
а также
2. Вычисление средней квадратической ошибки измерения с весом,
равным единице
 p2   41,3  2,9мм .

n 1
5
3. Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного
значения:

2,9
mx  M 

 2,3ì ì .
 p  1,6
Оценим надёжность определения  и mx :

m 
 0,92ì ì ;
2(n  1)
m
0,92
mmx   
 0,73 ì ì .
1,6
p
 
Ответ: x  mx  196,528ì  2,3ì ì .
5 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Equation Section (Next)В геодезии часто приходится измерять большие
группы однородных величин, причём каждую величину для контроля измеряют
дважды.
5.1 ДВОЙНЫЕ РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Пусть однородные величины X1 , X 2 , , X n измерены равноточно дважды и
получены результаты измерений:
x1, x2 , , xn
x1, x2, , xn
Составим разности по формуле
di  xi  xi .
(4.1)
Наиболее надёжные значения определяемых величин находим по формуле:
x  x
xi  i i .
(4.2)
2
Для оценки точности используем разности (4.1).
а) При отсутствии систематических ошибок разности di можно
рассматривать как истинные ошибки самих разностей, так как истинное
значение разностей равно нулю ( M(d )  0 ).
Применяя к ряду di  формулу Гаусса (0.1), находим:
 d 2 
.
md 
n
20
(4.3)
Тогда средняя квадратическая
измерений будет определяться по формуле:
ошибка
отдельного
результата
 d 2 
md
(4.4)
.
mx 

2n
2
Оценка точности наиболее надёжных значений определяется по
формуле:
 d 2 
mxi
(4.5)
.
mx 
 0,5
n
2
б) Если в результатах измерений присутствуют систематические
ошибки, то величина
d 
(4.6)
M* (d )  d 
n
существенно отличается от нуля.
В этом случае из каждой разности необходимо исключить остаточное
влияние систематических ошибок, т. е. получить разности
di  di  dî êð. .
(4.7)
Рассматривая разности di как уклонения от среднего dî êð. , применяя
формулу Бесселя, находим
 d 2 
(4.8)
.
md 
n 1
Средние квадратические ошибки отдельного результата измерений и
наиболее надёжных значений измеряемых величин находим по формулам:
 d 2 
md
(4.9)
,
mx 

2(n  1)
2
 d 2 
mx
(4.10)
.
mx 
 0,5
n 1
2
Заметим, что в этом случае необходимо выполнить контроль
вычислений по формулам
a)  d   n  î êð. , где î êð.  dî êð.  d ;
2
(4.11)
d


b)  d 2    d 2  
.
n
Для определения значимости отклонения d от нуля применяют
неравенство
d 
(4.12)
 d   1,25t   ,
n
где t выбирают из таблиц Стьюдента по заданной вероятности   (t ) и
числу степеней свободы r  n , а при n  30 коэффициент t выбирают из таблиц
21
интеграла вероятностей по заданной вероятности   (t ) . Так, для   0,95
t  2 , и неравенство (4.12) принимает вид:
d 
 d   2,5   .
n
Иногда применяют более жёсткий критерий обнаружения
систематических ошибок
(4.13)
d   0,25  d  ,
1
который получен, исходя из требования d  ñèñò.  md .
5
Оценку точности начинают с проверки условия (4.12) или (4.13). Если,
например, неравенство (4.13) выполняется, то делают вывод о том, что
систематическими ошибками можно пренебречь и оценку точности следует
выполнять по формулам (5.4–5.5).
Если неравенство (4.13) не выполняется, делают заключение о том, что
систематическими ошибками пренебрегать нельзя, необходимо обработку вести
по формулам (5.7, 5.9, 5.10).
5.2 ДВОЙНЫЕ НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Пусть каждая из однородных величин Хi ( i  1,2, , n ) измерена дважды и
независимо, причём измерения в каждой паре равноточны, а пары между собой
неравноточны. Известны веса рi результатов измерений. Получены разности di с
весами pdi  pi 2 .
Наиболее надёжные значения измеряемых величин находит по
формуле (4.2).
Критерий обнаружения систематических ошибок имеет вид:
d p   0,25  d p  .
(4.14)




Если неравенство выполняется, то делают заключение о том, что
систематическими ошибками можно пренебречь. Затем находят:
1. Среднюю квадратическую ошибку измерения с весом, равным
единице,
 pd 2 
(4.15)
.

2n
2. Средние квадратические ошибки наиболее надёжных значений

mxi 
.
(4.16)
2 pi
Если условие (4.14) не выполняется, то необходимо найти остаточное
влияние систематических ошибок
 pd 
d
(4.17)
 p
22
и исключить его из каждой разности. Получают разности, свободные от
влияния систематических ошибок
di  di  dî êð. .
(4.18)
Оценка точности выполняется следующим образом:
1. Определяется средняя квадратическая ошибка измерения с весом,
равным единице
 pd 2 
(4.19)
.

2(n  1)
2. Вычисляются средние квадратические ошибки наиболее надёжных
значений

mxi 
.
(4.20)
2 pi
5.3 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
РЯДА ОДНОРОДНЫХ ВЕЛИЧИН
Задача 5.1. Одни и те же линии измерены дважды равноточно. Выполнить
оценку точности по разностям двойных измерений.
Таблица 5.1
xi (м) d i (мм)
di
d i2
d i2
№ xi (м)
1 120,389 120,380
+9
81 +6,3 39,7
2 136,468 136,462
+6
36 +3,3 10,9
3 133,223 132,229
–6
36 –8,7 75,7
4 124,536 124,537
–1
1
–3,7 13,7
5 140,457 140,449
+8
64 +5,3 28,1
6 143,682 143,688
–6
36 –8,7 75,7
7 139,158 139,149
+9
81 +6,3 39,7
335 +0,1 283,5

 d  0  32
 d  0  13
 d   45
 d   19
Решение:
1. Составим ряд разностей di  xi  xi .
2. Согласно критерию обнаружения систематических ошибок вычисляем
левую и правую части неравенства (4.13):
d   19 ; 0,25  d   0,25  45  11,2.
Вывод: левая часть неравенства (4.13) оказалась больше его правой
части, следовательно, систематическими ошибками пренебрегать нельзя.
23
3. Находим
остаточное
формуле (4.6):
влияние
систематических
ошибок
по
 d   19  2,71ì ì
; dî êð.  2,7ì ì ,
n
7
затем исключаем его из каждой разности, находим di и суммы  d 2  ,  d  ,
d 2  непосредственно в таблице 5.1 и выполняем контроль вычислений по
формулам (4.11):
2
1.  d   n  î êð. :
2.  d 2    d 2    d  n :
î êð.  dî êð.  d  0,01ì ì ,
d 2   335  192 7  283,4 .
 d   7  (0,01)  0,1ì ì ;
d
Контроли выполнены.
4. Находим среднюю квадратическую ошибку одного измерения
 d 2 
283,5
mx 

 4,86мм  4,9мм .
2(n  1)
12
5. Определяем среднюю квадратическую ошибку наиболее надёжных
значений измеряемых величин
 d 2 
mx  0,5
 3,43мм  3,4мм .
n 1
6. Находим относительные средние квадратические ошибки:
mx
4,9
1
,


Sñð. 134000 27000
mx
3,4
1
.


Sñð. 134000 39000
Применение менее жёсткого критерия — неравенства (4.12) — к
данной
задаче
приводит
к
следующим
результатам.
Находим
для   (t )  0,95 и r  7 (из Приложения D) t  2,4 . Получаем, что
 d 
d   19 ; 1,25t 
45
 51 ,
n
7
т.е. левая часть неравенства (4.12) меньше его правой части, следовательно, с
вероятностью 0,95 согласно этому критерию систематическими ошибками
можно пренебречь и дальнейшую оценку точности следует выполнять по
формулам (5.4–5.5):
 1,25  2,4 
 d 2 
 d 2 
335
mx 

 4,89мм  4,9мм , mx  0,5
 3,46мм  3,5мм .
2n
14
n
Как видно, величины mx и mx практически не изменились, однако
влияние систематических ошибок с использованием этого критерия выявить не
удалось.
24
6 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Equation Section (Next)Студент допускается к сдаче зачёта и в
последующем к экзамену по 1-й части курса ТМОГИ после выполнения
контрольных работ №1 и №2 и положительной оценки их рецензентом. К
рецензированию принимается только полностью выполненная работа.
Если в условии задачи нет указаний на индивидуальное задание, каждый
студент выполняет при решении контрольной работы тот вариант задачи, номер
которого совпадает с последней цифрой шифра студента. Если последней
цифрой шифра является нуль, студент выполняет вариант №10.
После получения рецензируемой работы необходимо тщательно изучить
замечания рецензента и внести в работу соответствующие исправления,
рекомендуемые рецензентом.
Студент, являясь на зачёт, представляет направление из деканата и
зачтённые контрольные работы.
6.1 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задача №1
В ящике имеется n деталей, среди которых m стандартных. Сборщик
наугад вынимает две детали. Найти вероятность того, что
1) обе извлечённые детали окажутся стандартными;
2) хотя бы одна из двух деталей окажется стандартной.
Указания:
а) n и m взять из таблицы 6.1 согласно номеру варианта;
б) вероятность выразить числом, в котором удерживаются три значащих
цифры;
в) см. п. 1.5 и задачу 1.4 раздела I методических указаний.
Таблица 6.1
число деталей
число деталей
№
№
всего стандартных
всего стандартных
варианта
варианта
n
m
n
m
1
40
32
6
23
18
2
35
28
7
25
19
3
29
22
8
16
10
4
30
21
9
18
12
5
27
20
10
24
16
Задача №2
Для контроля качества продукции случайным образом отобрано четыре
изделия. Известно, что в каждом отдельном испытании вероятность появления
25
бракованного изделия постоянна и равна p  0, i , где i — последние цифры
шифра студента (например, для шифра 21п–312 вероятность p  0,312 ).
1). Определить вероятности следующих событий:
а) в выборке окажется ровно k бракованных изделий ( k  0,1,2,3,4 )
(выполнить контроль вычислений),
б) число бракованных изделий будет не менее двух,
в) число бракованных изделий будет не более трëх,
г) появится хотя бы одно бракованное изделие;
2). Построить ряд распределения, многоугольник распределения,
вычислить и построить график функции распределения случайной величины —
числа появлений бракованных изделий;
3). Определить вероятнейшее число появлений бракованных изделий
(по формуле и графику многоугольника распределения);
4). Определить вероятность того, что число появления бракованных
изделий будет заключено в пределах от 2 до 4;
5). Найти математическое ожидание, дисперсию (по основной и
контрольной формулам), и среднее квадратическое отклонение данной
случайной величины — числа появления бракованных изделий.
Указание. Для решения задачи следует изучить пп. 1.6, 2.2, 2.4, 2.5 и
задачи 1.5, 1.6, 2.1, 2.4 раздела I методических указаний.
Задача №3
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
нормально распределённой случайной величины  (ошибки измерения)
соответственно равны 2 мм и 4 мм.
Найти вероятности того, что
1) случайная ошибка  примет значение, заключённое в
интервале (; ) ;
2) случайная ошибка  примет значение меньшее, чем .
Таблица 6.2
№
№
, мм , мм
, мм , мм
варианта
варианта
1
–1
++9
6
–3
++7
2
+0
+10
7
+3
++8
3
–2
++7
8
+1
++6
4
–4
++5
9
+2
++7
5
–5
++6
10
+4
+10
Указание:
1) см. пп. 3.1, 3.4, формулы (3.10) и (3.9) и задачу 3.1 раздела I;
2) решение следует сопровождать рисунком, на котором необходимо
заштриховать площадь под кривой распределения, примерно равную
полученной вероятности (см. рис. 3.1 и рис. 3.2 раздела I).
26
Задача №4
В таблице 6.3 приведены результаты измерения длин сторон Di, и
абсолютные значения их истинных ошибок i. Вычислить:
1. Коэффициент корреляции и оценить его надёжность с
вероятностью 0,95;
2. Коэффициент регрессии и составить уравнение регрессии.
Указание.
1) каждому
студенту
исключить
из
таблицы
те
пары
измерений ( Di ;  i ) , номера которых оканчиваются цифрой, совпадающей с
последней цифрой шифра (например, для шифра 21п–312 следует исключить
пары с номерами 2, 12, 22), все остальные 27 пар результатов измерений
принять в обработку;
2) все вычисления выполнить в соответствии со схемой решения
задачи 5.1 раздела I.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Di
(км)
8,5
4,5
6,7
4,7
7,5
3,5
8,7
4,2
6,2
3,3
i
(см)
5,0
3,5
4,0
3,0
5,5
3,0
6,5
3,5
3,0
1,5
№
п/п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Di
(км)
4,0
5,5
2,5
3,7
7,0
9,2
8,5
3,0
3,5
8,1
i
(см)
4,5
3,5
2,0
3,5
5,5
6,5
7,0
3,5
2,5
6,0
№
п/п
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Таблица 6.3
Di
i
(км)
(см)
7,2
7,0
5,7
5,5
6,2
5,0
8,5
5,0
6,5
6,5
2,8
2,0
7,4
4,5
5,5
2,5
5,3
5,0
3,5
2,5
6.2 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Задача №1
При исследовании нового прибора сделано пятьдесят измерений величин,
точные (истинные) значения которых были известны. В таблице помещены
истинные ошибки результатов измерений. Выполнить исследование на
нормальный закон распределения данного ряда истинных ошибок i.
Указания:
1) все вычисления следует выполнить в соответствии со схемой
решения задачи 1.1 раздела II и закончить решение выводами по всем пунктам
исследования;
2) каждому студенту необходимо исключить из данных таблицы
истинные ошибки, номера которых оканчиваются цифрой, совпадающей с
последней цифрой шифра (например, для шифра 21п–128 следует исключить
27
ошибки с №8, 18, 28, 38, 48). Все остальные 45 истинных ошибок следует взять
в обработку.
Таблица 6.4
№
№
№
№
№
i
i
i
i
i
п/п (мм)
п/п
п/п
пп
п/п
(мм)
(мм)
(мм)
(мм)
1
+12,1 11
–2,6 21
+4,7 31
+7,9 41
+22,9
2
–1,0 12
–22,4 22
+9,1 32
+0,5 42
–8,6
3
–7,1 13
–0,5 23
–4,8 33 +18,2 43
–6,8
4
+3,2 14
+4,9 24
–17,9 34
+0,1 44
–7,9
5
+9,1 15
–0,5 25
–18,0 35 –13,5 45
+11,9
6
–1,5 16
–8,4 26
+2,0 36
+6,4 46
+13,2
7
+0,1 17
–7,9 27
+7,7 37
+2,6 47
+17,9
8
–4,0 18
+8,7 28
–13,3 38 +15,8 48
+10,1
9
+3,8 19
–10,1 29
+6,3 39
–7,1 49
+12,4
10
+1,2 20
–4,1 30
+4,2 40
–5,7 50
–0,2
Задача №2
В таблице 6.5 даны горизонтальные проложения Si и дирекционные
углы αi. Известны средние квадратические ошибки mS  0,03ì и m  0,5 . По
одному из вариантов вычислить приращения координат по формулам:
X  S cos  , Y  S sin 
и их средние квадратические ошибки: mX и mY .
Указание: см. решение задач 2.1 и 2.2 по формуле (1.2) раздела II.
Таблица 6.5
№
варианта
1
2
3
4
5
Si
(м)
180,04
165,48
178,85
187,57
192,44
αi
32°30,0′
43°45,0′
34°10,5′
55°22,4′
37°48,6′
№
варианта
6
7
8
9
10
Si
(м)
160,39
209,74
176,89
182,72
168,09
αi
66°33,9′
41°52,6′
34°12,9′
48°38,0′
56°18,0′
Задача №3
Даны результаты многократных независимых равноточных измерений
одного и того же угла. Выполнить математическую обработку данного ряда:
1. Определить простую арифметическую средину;
2. Вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного результата
измерений (по формуле Бесселя);
3. Определить среднюю квадратическую ошибку арифметической
средины;
4. Построить доверительный интервал, накрывающий истинное
значение угла с вероятностью 0,90.
28
Указания:
1) каждый студент не принимает в обработку три результата
измерений, номера которых равны: i, i  1 , i  2 , где i — последняя цифра
шифра (если последняя цифра 0, то следует принять i  10 );
2) все вычисления необходимо выполнять в соответствии со схемой
решения задачи 3.1 раздела II (среднее значение угла округлить до десятых
долей сек.).
Таблица 6.6
результаты
результаты
результаты
№
№
№
измерений,
измерений,
измерений,
п/п
п/п
п/п
хi
хi
хi
1 60°14′20,2″ 5 60°14′20,4″ 9 60°14′20,9″
2
22,8″ 6
23,8″ 10
22,5″
3
21,9″ 7
24,2″ 11
24,1″
4
20,8″ 8
21,3″ 12
21,8″
Задача №4
Даны результаты многократных независимых неравноточных измерений
одного и того же расстояния (одним и тем же прибором, в примерно
одинаковых условиях, но разным числом приёмов).
Выполнить математическую обработку данного ряда:
1. Вычислить общую арифметическую средину;
2. Определить среднюю квадратическую ошибку измерения с весом,
равным единице;
3. Определить среднюю квадратическую ошибку наиболее надёжного
значения;
4. Построить с вероятностью 0,90 доверительный интервал для
истинного значения расстояния.
Таблица 6.7
№
п/п
результаты
измерений
xi (м)
число
приёмов
ni
№
п/п
результаты
измерений
xi (м)
1
2
3
4
число
приёмов
ni
№
п/п
результаты
измерений
xi (м)
число
приёмов
ni
204,282
3
5
204,284
5
9
204,285
2
,292
2
6
,289
4
10
,271
6
,274
6
7
,277
3
11
,288
4
,276
4
8
,278
5
12
,293
2
Указания:
1) каждому студенту необходимо исключить из таблицы 6.7 по три
результата измерений с номерами: i, i  1 , i  2 , где i — последняя цифра шифра
(если последняя цифра 0, то следует принять i  10 ), т.е. каждому студенту
следует взять в обработку по девять результатов измерений;
2) все вычисления следует выполнять в соответствии со схемой
решения задачи 4.3 раздела II;
29
3) веса отдельных результатов измерений
пропорциональными числам приёмов: pi  ni c , где c  4 .
следует
принять
Задача №5
Двенадцать линий измерены дважды независимо и равноточно. Произвести
оценку точности по разностям двойных измерений:
1) вычислить среднюю квадратическую ошибку одного результата
измерений;
2) среднюю квадратическую ошибку средних из результатов двойных
измерений;
3) относительные средние квадратические ошибки.
Указания:
1) каждый студент не принимает во внимание три пары измерений,
номера которых равны: i, i  1 , i  2 , где i — последняя цифра шифра (если
последняя цифра 0, то следует принять i  10 );
2) все вычисления выполнить в соответствии со схемой решения
задачи 5.1 раздела II.
Таблица 6.8
результаты
результаты
№
№
измерений
измерений
п/п
п/п
x′ (м)
x″ (м)
x′ (м)
x″ (м)
1 124,855 124,842 7 191,379 191,365
2 143,021 143,011 8 147,370 147,362
3 160,394 160,387 9 175,772 175,754
4 156,475 156,486 10 192,277 192,268
5 128,355 128,365 11 140,318 140,336
6 150,687 150,676 12 168,812 168,821
ЛИТЕРАТУРА
1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по ТМОГИ. — М., Недра,
2007.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. — М., Высшая школа, 2002.
3. Голубев В.В. ТМОГИ. Книга 1. Основы теории ошибок. — М.,
МИИГАиК, 2005.
4. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и
математической статистике. — М., Айрис-ПРЕСС, 2005.
30
ПРИЛОЖЕНИЯ
t2

2
Таблица величины y 
±t
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
0,564
0,561
0,553
0,539
0,521
0,498
±t
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
y
0,472
0,441
0,410
0,376
0,342
0,308
±t
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1
e по аргументу

y
±t
y
0,275 1,8 0,112
0,242 1,9 0,093
0,212 2,0 0,076
0,183 2,1 0,062
0,156 2,2 0,050
0,133 2,3 0,040
t

m
±t
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
Приложение A
y
0,032
0,025
0,019
0,015
0,011
0,008
0,006
Приложение B
t
Таблица значений интеграла вероятностей
t
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
 (t )
0,0000
0,0399
0,0797
0,1192
0,1585
0,1974
0,2358
0,2737
0,3108
0,3473
0,3829
0,4177
0,4515
0,4843
0,5161
0,5468
0,5763
0,6047
0,6319
0,6579
0,6827
0,7063
0,7287
0,7499
0,7699
t
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
 (t )
0,7887
0,8064
0,8230
0,8385
0,8529
0,8664
0,8789
0,8904
0,9011
0,9109
0,9199
0,9281
0,9357
0,9426
0,9488
0,9545
0,9596
0,9643
0,9684
0,9722
0,9756
0,9786
0,9812
0,9836
0,9857
31
t
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,40
4,50
t
1
(t ) 
e 2 dt

2πt
 (t )
0,9876
0,9892
0,9907
0,9920
0,9931
0,9940
0,9949
0,9956
0,9963
0,9968
0,99730
0,99806
0,99863
0,99903
0,99933
0,99953
0,99968
0,99978
0,99986
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,99999
0,999994
2
Приложение C
1 1  r 
Таблица значений Z  ln 

2 1  r 
r
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,99
0
0,000
0,100
0,203
0,310
0,424
0,549
0,693
0,867
1,099
1,472
2,647
1
0,010
0,110
0,213
0,320
0,436
0,563
0,709
0,887
1,127
1,528
2,670
2
0,020
0,121
0,224
0,332
0,448
0,576
0,725
0,908
1,157
1,589
2,759
3
0,030
0,131
0,234
0,343
0,460
0,590
0,741
0,929
1,189
1,658
2,826
4
0,040
0,141
0,245
0,354
0,472
0,604
0,758
0,950
1,221
1,738
2,903
5
0,050
0,151
0,255
0,365
0,485
0,618
0,775
0,973
1,256
1,832
2,994
6
0,060
0,161
0,266
0,377
0,497
0,633
0,793
0,996
1,293
1,946
3,106
7
0,070
0,172
0,277
0,388
0,510
0,648
0,811
1,020
1,333
2,092
3,250
8
0,080
0,182
0,289
0,400
0,523
0,662
0,829
1,045
1,376
2,298
3,453
9
0,090
0,192
0,299
0,412
0,536
0,678
0,848
1,071
1,422
2,647
3,800
Приложение D
Коэффициенты Стъюдента t
r
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
60
120
(t )  
0,1
0,16
0,14
0,14
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,2
0,33
0,29
0,28
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
0,3
0,51
0,45
0,42
0,41
0,41
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,40
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,39
0,4
0,73
0,62
0,58
0,57
0,56
0,55
0,55
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,53
0,53
0,53
0,53
0,5
1,00
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,70
0,70
0,70
0,69
0,69
0,69
0,68
0,68
0,68
0,6
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,90
0,88
0,88
0,87
0,87
0,87
0,87
0,86
0,85
0,85
0,85
32
0,7
2,0
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
0,8
3,1
1,9
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
6,3 12,7 31,8 63,7 636,0
2,9
4,3 7,0 9,9 31,6
2,4
3,2 4,5 5,8 12,9
2,1
2,8 3,7 4,6
8,6
2,0
2,6 3,4 4,0
6,9
1,9
2,4 3,1 3,7
6,0
1,9
2,4 3,0 3,5
5,4
1,9
2,3 2,9 3,4
5,0
1,8
2,3 2,8 3,3
4,8
1,8
2,2 2,8 3,2
4,6
1,8
2,2 2,7 3,1
4,5
1,8
2,2 2,7 3,1
4,3
1,8
2,2 2,7 3,0
4,2
1,8
2,1 2,6 3,0
4,1
1,7
2,1 2,5 2,9
3,9
1,7
2,0 2,5 2,8
3,7
1,7
2,0 2,4 2,7
3,5
1,7
2,0 2,4 2,6
3,4
Приложение E
Таблица вероятностей P ( 2 )
2
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
6
8
10
12
16
0,317
0,606
0,801
0,910
0,963
0,986
0,995
0,998
0,999
0,999
1,000
0,157
0,368
0,572
0,736
0,849
0,920
0,960
0,981
0,992
0,996
0.998
0,999
1,000
0,083
0,223
0,392
0,558
0,700
0,809
0,885
0,934
0,964
0,981
0,991
0,996
0,998
0,999
1,000
0,046
0,135
0,262
0,406
0,549
0,677
0,780
0,857
0,911
0,947
0,970
0,983
0,991
0,996
0,997
0,014
0,050
0,112
0,199
0,306
0,423
0,540
0,647
0,740
0,815
0,873
0,916
0,946
0,966
0,980
0,005
0,018
0,046
0,092
0,156
0,238
0,333
0,434
0,534
0,529
0,713
0,785
0,844
0,889
0,924
0,002
0,007
0,019
0,040
0,075
0,125
0,189
0,265
0,350
0,440
0,530
0,616
0,694
0,762
0,820
0,000
0,002
0,007
0.017
0,035
0,062
0,101
0,151
0,213
0,285
0,363
0,446
0,528
0,606
0,679
0,000
0,000
0,001
0,003
0,007
0,014
0,025
0,042
0,067
0,100
0,141
0,191
0,249
0,313
0,382
33
СОДЕРЖАНИЕ
1 ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА ...................................................... 4
1.1 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОШИБОК ..................................................................................... 4
1.2 КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ ................................................... 4
1.3 СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ ..................................... 5
1.4 КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ................................................................. 5
1.5 ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДА ИСТИННЫХ ОШИБОК
НА НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ................................................................ 7
2 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН ................... 11
2.1 СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ .............................. 11
3 РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ.......................................................................... 14
3.1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА МНОГОКРАТНЫХ
НЕЗАВИСИМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ........................................ 14
3.2 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ................................................................................................... 15
4 НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ .................................................................... 16
4.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЕСАХ .............................................................................. 16
4.2 ОБРАТНЫЙ ВЕС ФУНКЦИИ ОБЩЕГО ВИДА ............................................... 17
4.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА НЕЗАВИСИМЫХ
МНОГОКРАТНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ............................... 18
4.4 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ...... 19
5 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ .......... 20
5.1 ДВОЙНЫЕ РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ...................................................... 20
5.2 ДВОЙНЫЕ НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ............................................... 22
5.3 ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
РЯДА ОДНОРОДНЫХ ВЕЛИЧИН ......................................................................... 23
6 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ .................................................................................. 25
6.1 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 ................................................................................. 25
6.2 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ................................................................................. 27
ЛИТЕРАТУРА .......................................................................................................... 30
ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................................................................ 31
34
Теория математической обработки геодезических измерений
Раздел II. Теория ошибок измерений
Методические указания и контрольные работы №1, 2
Составитель: Русяева Е.А.
35