Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. 2014 Применение свойств функций. Четность. Функция y = f (x) , заданная на множестве X, называется нечетной, если выполнены следующие условия: (1) множество X симметрично относительно начала координат; (2) для любого x ∈ X справедливо равенство f (-x) =- f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y = f (x) , заданная на множестве X , называется четной, если выполнены следующие условия: (1) множество X симметрично относительно начала координат; (2) для любого x ∈ X справедливо равенство f (-x) = f (x) . График четной функции симметричен относительно оси Oy . Задание1 Определите, является ли четной или нечетной функция а) у=х4-5х2-8cos x; б) у= х5-5х-8sin x; в) у=|𝑥 − 4|+|𝑥 + 4|; г) у=√𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ; д) у=√(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) + √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) . Задание2 На рисунке 1 ( а-г) показана часть графикафункцииу=f(х). Пострройте весь график, если известно, что эта функция а) четная; б) нечетная. 1 Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. а) 2014 б) в) г) Рис.1 Справедливы следующие утверждения: 1) если функции f и g четные, то h(x)=f(x)±g(x) и p(x)=f(x)g(x) –четные; 2) если функции f и g нечетные, то h(x)=f(x)±g(x) – нечетные, а p(x)=f(x)g(x) – четная; 3) если одна из функций f и g – четная, а другая – нечетная, то p(x)=f(x)g(x) – нечетная. Пример 1. Какие из функций обладают свойством четности: а) f(x)=5x-5-x; б) f(x)=cos(x-7)cos(7+x)? Решение: Каждая из заданных функций определена на всей числовой прямой. Вычислим f(-x): а) f(-x)=5-x-5x=-f(x) – функция нечетная; б) f(-x)=cos(-x-7)cos(7-x)=cos(x+7)cos(x-7)=f(x) – функция чётная. 2 Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. 2014 Пример 2. Найдем значение функции y(х)=f(x)·g(-x)-f(-x) в точке х0, если известно, что функция f- чётная, g – нечётная, f(х0) = -3, g(х0) = -2. Решение: Так как функция y = f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а так как функция g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x). Преобразуем данную функцию: y(х) = f(x) · g(-x) - f(-x) = f(x) · (-g(x)) - f(x) = - f(x) · g(x) - f(x). Тогда при х= х0 получим: y(х0) = - f(х0) · g(х0) - f(х0) = -(-3) · (-2) - (-3) = -6 + 3 = -3. Пример 3. Чётная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции 𝑓(𝑥−9.5) g(x)=2,1 + 𝑥−9.5 вычислим сумму g(9)+g(10). Решение: 𝑓(9−9,5) 𝑓(−0,5) 𝑓(10−9,5) 𝑓(0,5) g(9)=2,1+ 9−9,5 =2,1+ −0.5 , g(10)=2,1+ 10−9,5 =2,1+ 0.5 , Т. к. функция f по условию является четной, то f(-0.5)= f(0.5). 𝑓(0,5) 𝑓(0,5) 𝑓(0,5) 𝑓(0,5) Тогда, g(9)+ g(10)= 2,1+ −0.5 + 2,1 + 0.5 = 4,2 + 0.5 − 0.5 = 4,2. Пример 4. При каких значениях параметра а функция f (x) = √12 − 𝑥 2 − 4𝑥+2√36 − 𝑥 2 + 16𝑥 − 3√𝑥 2 − 4 + ax является четной? Решение: Найдем область определения заданной функции: (𝑥 + 6)(𝑥 − 2) ≤ 0 12 − 𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 0 {36 − 𝑥 2 + 16𝑥 ≥ 0 ⇔ {(𝑥 − 18)(𝑥 + 2) ≤ 0 ⇔ (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≥ 0 𝑥2 − 4 ≥ 0 x∈ {−2; 2} Оказалось, что область определения функции состоит из двух симметричных относительно начала координат точек. Для четности функции нужно, чтобы значения функции в этих точках были равными: f(2)=f(-2), а значит 4-2a=16+2a, откуда а=-3. Задания для самостоятельного решения 1. Найдите значение функции в точке х0, если функция f – четная, g – нечетная, f(х0)=1, g(х0)=-3 Ответ: -0,4 2. Найдите значение функции y(x)=f(x)g(-x)+2f(-x) в точке х0, если известно, что функция f – четная, функция g – нечетная, f(х0)=2, g(х0)=-3 Ответ: 10 3. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=2,3+f(x-9) вычислите сумму g(6)+g(8)+g(10)+g(12). Ответ: 9,2 3 Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. 2014 4. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для 𝑓(𝑥−3,5) функции𝑔(𝑥) = 3,8 + 𝑥−3,5 вычислите сумму g(3)+g(4). Ответ: 7,6 5. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=(x-1)(x-3)(x+7). 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) Найдите значение функции ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) при x=-3. Ответ: -1 6. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=(x+1)(x+3)(x-7). Найдите значение функции ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) при x=-3. Ответ: 1 7. При каких значениях параметров а и b функция f (x) =√𝑎𝑥 + 3 + √𝑥 + 𝑏 является четной? Ответ: a=-1, b=3. Задания на количество корней уравнения f(x)=0. Пример 5. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(2x+1)(x2-5x+6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? Решение: График нечетной функции у=f(х) симметричен относительно начала координат. Функция у=g(х) обращается в нуль на области х≥ 0 в точках с абсциссами х1=0, х2=2, х3=3. Числам 2 и 3 соответствуют противоположные числа -2 и -3. Поэтому график функции у=f(х) пересекает ось абсцисс в 5 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 5 корней. Ответ: 5 Пример 6. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(x+1)(5x-2)(2х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? Решение: График четной функции у=f(х) симметричен относительно оси ординат. Функция у=g(х) обращается в нуль на области х≤ 0 в точках с абсциссами х1=0, х2=-1. Значит, числу -1 соответствует противоположное число 1. Поэтому график функции у=f(х) пересекает ось абсцисс в 3 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 3 корня. Ответ: 3. Пример 7. Даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x). Решите уравнение f(x)= g(x),если для всех действительных значений х выполняется равенство f(x)+ g(x)=2х+7. 4 Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. 2014 Решение: Т.к. даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x), то выполняются равенства f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х). Заменим х на -х, получаем : f(-x)+ g(-x)= 2(-х)+7 f(-x)+ g(-x)= -2х+7 Учитывая равенства f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х),получаем f(x)-g(x)=-2х+7 Составим и решим систему уравнений 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2х + 7 { 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −2х + 7 Отсюда f(x)=7, g(x)=2х. Следовательно, f(x)= g(x), 7=2х; х=3,5 Ответ: 3,5. Задания для самостоятельного решения 8) Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(2x+1)(5x+2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? Ответ: 3. 9) Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(5x+1)(x-2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0? Ответ: 5. Задания с параметрами Пример 8. Может ли при каком- нибудь значении а уравнение 2х6-х4-ах2=1 иметь три корня? Решение: Функция f(х)= 2х6-х4-ах2 четная . При замене х на –х данное уравнение не изменится, значит, если число х0 является корнем данного уравнения, - х0 также является его корнем, т.е. корни, отличные от 0, входят в множество решений уравнения «парами».Так как 0 не является корнем, то уравнение имеет четное число корней. Ответ: не может. Задания для самостоятельного решения 10) Может ли при каком- нибудь значении а уравнение 2х8-3ах6+4х4-ах2=5 иметь пять корней? Ответ: не может. 11) Докажите, что уравнение 3х+3-х=ах4+2х2+2 имеет нечетное число корней. 12) Докажите, что уравнение 4х+4-х=х3+2ах имеет нечетное число корней. Пример 9. (С- 5 Математика. 11 класс. ) Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x2− |𝑥 − 𝑎 + 6 | =|𝑥 + 𝑎 − 6 | − (a - 6)2 имеет единственный корень. Решение. 5 Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е. 2014 Запишем уравнение в виде x2 + (a – 6) 2 =| 𝑥 + 𝑎 − 6 | + |х − а + 6| . Если x0 является корнем исходного уравнения, то и −x0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если x0 = − x0 , то есть x0 = 0 . Подставим значение x = 0 в уравнение: |𝑎 − 6 | × (|𝑎 − 6 | − 2) = 0 , ( a – 6)2 = 2 |𝑎 − 6 |; откуда либо |𝑎 − 6 | = 0; a = 6, либо |𝑎 − 6 | = 2 ; a = 4 или a = 8 . При a = 6 уравнение принимает вид x2 = 2 |х| . Корнями этого уравнения являются числа − 2, 0 и 2 , то есть уравнение имеет ровно три корня. При a = 4 и при a = 8 уравнение принимает вид x2 + 4 = |х − 2| + | х + 2|. При x < - 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0 , которое не имеет корней. При −2 ≤х≤ 2 получаем уравнение x2 = 0 , которое имеет единственный корень. При x > 2 получаем уравнение x2 - 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. Таким образом, при a = 4 и при a = 8 исходное уравнение имеет единственный корень. Ответ: a = 4 и a = 8. Задания для самостоятельного решения 12) Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x2 + (1- a) 2 = |𝑥 − 1 + 𝑎 | +|𝑥 − 𝑎 + 1| имеет единственный корень. Ответ: a = -1 и a = 3. Литература: 1) Математика Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы. М. « Дрофа», 2000г. 2) ЕГЭ. Математика. Справочные материалы. Контрольно- тренировочные упражнения. Челябинск, «Взгляд», 2006г. 3) КИМ Диагностическая работа № 1 по МАТЕМАТИКЕ от 24 сентября 2013 года. 6