для 5 – 6 классов

Дистанционная математическая школа
Код курса: Г 2
5-6 классы
Модуль 1: Путешествие точки по «экзотическим» геометрическим линиям
...
Вопросы.
1. Представьте, что конус разрезается плоскостью, параллельной основанию. Какая
получится фигура на плоскости разреза (в сечении)?
2. Представьте, что конус разрезается плоскостью под каким-то углом по отношению к
основанию, но не пересекающей основание. Какая получится фигура в сечении?
Рис. А
Рис. Б
Рис. В
Рис. Г
3. Представьте, что конус разрезается плоскостью, проходящей через боковую поверхность
и основание. Какая получится фигура в сечении?
Ответ.
1. Круг (рис.А).
2. Эллипс (рис.Б).
3. Рис. В и Г.
Учителю. Замечательно, если обсуждение этих вопросов Вы организуете через практическую
работу с пластилином. Дайте задание учащимся вылепить конус, а затем его по-разному
резать, чтобы они «ручками увидели» получившиеся линии. При ответе на вопрос 3 обратите
внимание на получившиеся кривые (пересечение плоскости с боковой поверхностью) и сообщите,
что на рис.В – парабола, на рис. Г – ветвь гиперболы.
Познакомимся еще с несколькими закономерными кривыми линиями.
Гипербола.
Эта кривая, также как и эллипс, имеет два фокуса, но в отличие от эллипса,
гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Основное свойство гиперболы:
разность расстояния от любой точки гиперболы до двух её фокусов является
постоянной величиной. АМ1 – ВМ1 = ВМ2 – АМ2. Все точки одной ветви
ближе к одному фокусу, а другой ветви - к другому.
Парабола
Эта замечательная кривая часто встречается в природе. Например, камень,
брошенный под углом к поверхности Земли, или стрела, пущенная из лука
также под углом к земле, описывают параболу. Все точки параболы
обладают свойством: они равноудалены от одной точки F и прямой l. То
есть, для любой точки параболы М длина отрезка FM равна длине отрезка
МХ, перпендикулярного прямой l. Точка F называется фокусом параболы.
М1
М2
В
А
М
F
Х
Спираль Архимеда
Слово «спираль» в переводе с латыни означает «изгиб». Изобразить эту
кривую мог бы муравей, ползущий с постоянной скоростью по радиусу
равномерно вращающегося диска. Проползая вперёд, он одновременно
смещается в сторону вращения диска. Первым такую кривую увидел
Архимед, в честь которого она и была названа спиралью Архимеда.
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
10
l
Дистанционная математическая школа
Код курса: Г 2
Практическая работа 3: «Вышивание» параболы.
Для выполнения работы нужен плотный лист бумаги, прямоугольный треугольник, карандаш,
иголка, нитки.
1. На листе бумаги проведите прямую а и перпендикуляр к ней (рис. А).
2. На перпендикуляре отметим точку F, а на прямой а отметим точки М1, М2, М3 и т.д. на
одинаковом расстоянии друг от друга (рис. Б).
3. Приложите прямоугольный треугольник так, чтобы его вершина совпала с точкой М1, а точка
F оказалась на одной стороне прямого угла треугольника. На другой стороне прямого угла
треугольника отметьте точку N, а на листе около нее - N1 (рис. В).
4. Точно также с помощью точки N на треугольнике постройте точки N2, N3, N4 и т.д.
F
А
Рис. А
а
А
N1
а
Рис. Б
F
M1 А
а
Рис. В
5. Иглой с цветными нитками соединяем точки М1 с N1, М2 с N2, М3 с N3 и т.д. (соединять
лучше так: вытащить нитку на лицевую сторону в точке М1, вывести с лицевой в точке N1,
вытащить нитку на лицевую сторону в точке N2, вывести с лицевой в точке М2 и т.д.).
Аналогично сделайте с другой стороны перпендикуляра.
При достаточно большом количестве стежков Вы увидите кривую – параболу.
Учителю. Парабола, получаемая вышиванием, смотрится очень эффектно и нравится
учащимся. Если нет возможности организовать вышивание, Вы можете провести эту
практическую работу, проводя отрезки вдоль второй стороны прямоугольного перпендикуляра,
вместо построения точек N1, N2, N3 (пункты 3-4).
Аналогично можно «вышивать» другие кривые.
«Вышивание» астроиды.
На каждом из четырех лучей, полученных при пересечении
перпендикулярных прямых, надо отметить одинаковое количество
точек на некотором расстоянии от точки пересечения.
Соединять точки необходимо на сторонах прямого угла: первую (от
точки пересечения) соединяем с последней, вторую – с предпоследней
и т.д. (см. рисунок). Полученная кривая называется астроидой.
Сделаем практические работы по построению
закономерных кривых линий.
еще нескольких
Учителю: для проведения практической работы попросите учащихся приготовить круги из
картона дома заранее.
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
11