Карточка консультация Виды неравенств

Линейные неравенства
Квадратные неравенства
Неравенства, приводимые к виду
ax>b ( ax<b, ax≥b, ax≤b )
Свойства
a∙x + b > c
b - любое
число
a∙x > c - b
Неравенства, приводимые к виду
ах2 +bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0
Алгоритм решения
x > c,
x > c,
a – положитель a – отрицатель
ное число
ное число
x > c (∙а)
x > c (∙а)
или (:а)
или(:а)
a∙x >a∙c или
a∙x < a∙c или
х:а > c:а
x:а < c:а
(графическим методом)
1.Перенести все слагаемые в левую часть и
ввести функцию от левой части неравенства.
2. Найти нули функции, приравняв ее к нулю.
(Решить уравнение у(х)=0)
3. Отметить нули функции на оси Ох и провести
схематически параболу( при а>0 ветви вверх, при
а<0 ветви вниз). Если нулей функции нет, то
схематически изобразите параболу, которая
расположена в верхней полуплоскости при а>0
или в нижней полуплоскости при а<0.
4. Найти на оси Ох промежутки, для которых
точки параболы расположены выше оси Ох (если
ах2+bх+с>0) или ниже оси Ох (если ах2+bх+с<0).
5.Записать ответ, взяв эти промежутки в
объединение.
Алгоритм решения
1. Раскрыть скобки (если есть дробные
коэффициенты, то неравенство освободить от
дробей).
2. Перенести слагаемые, содержащие
переменную в одну часть, а не содержащие в
другую.
3. Привести подобные слагаемые.
4. Разделить обе части неравенства на
коэффициент при переменной (с учётом свойств
неравенств при а≠0).
5. Записать ответ в виде простейшего
неравенства.
6. Отметить соответствующие промежутки на
координатной прямой.
7. Записать числовой промежуток.
Пример:
2 + 3х ≥ 1 + 5(х + 2)
2 + 3х ≥ 1 + 5х + 10
3х – 5х ≥ 1 + 10 – 2
- 2х ≥9
х≤ - 4,5
Ответ: (- ∞; - 4,5]
-4,5
х
Пример:
х2+х -2>0
Рассмотрим квадратичную функцию
у(х) = х2+х -2, у(х) >0.
2.
Найдём нули функции: у(х)=0, х2+х -2=0
х1 = - 2; х2 = 1.
3. Построим схематический график.
Графиком является парабола, ветви которой
направлены вверх , т.к. а = 1, 1>0.
1.
-2
1
х
4. По условию: у(х)> 0 , то х <-2 ; х >1 .
Ответ: (-∞;- 2)(1;+∞).
Рациональные неравенства
(Т)
Неравенства, приводимые к виду
(х – а)(х – b)…(х – с) > 0,
( х  a )...( x  b )
0
( x  c )...( x  d )
Алгоритм решения
(метод интервалов)
1.Привести неравенство к виду
(х – а)(х – b)…(х – с) > 0 (<0) и ввести функцию
от левой части неравенства.
2. Найти нули функции, приравняв ее к
нулю.(Решить уравнение у(х)=0)
3. Отметить на координатной прямой нули
функции.
4. Определить знак функции в крайнем правом
промежутке.
5. Используя свойство чередования знаков,
определить знаки функции в остальных
промежутках.
6. Выбрать промежутки, в которых функция
имеет требуемый знак, и записать ответ, взяв их
в объединение.
Пример:
(х + 6)(х+1)(х-4) < 0
1.Рассмотрим функцию
у(х)=(х + 6)(х+1)(х-4), у(х)<0.
2.Найдем нули функции: у(х)=0,
(х + 6)(х+1)(х-4)=0
х1= - 6; х2= -1; х3= 4
3.- 5.
+
+
-6
-4 1
х
6.По условию: у(х)<0, то х<-6; -4<х<1.
Ответ: (-∞; -6)(- 4;1)
Линейные неравенства
Неравенства, приводимые к виду
ax>b ( ax<b, ax≥b, ax≤b )
Свойства
a∙x + b > c
b - любое
число
a∙x > c - b
x > c,
x > c,
a – положитель a – отрицатель
ное число
ное число
x > c (∙а)
x > c (∙а)
или (:а)
или(:а)
a∙x >a∙c или
a∙x < a∙c или
х:а > c:а
x:а < c:а
Алгоритм решения
1. Раскрыть скобки (если есть дробные
коэффициенты, то неравенство освободить от
дробей).
2. Перенести слагаемые, содержащие
переменную в одну часть, а не содержащие в
другую.
3. Привести подобные слагаемые.
4. Разделить обе части неравенства на
коэффициент при переменной (с учётом свойств
неравенств при а≠0).
5. Записать ответ в виде простейшего
неравенства.
6. Отметить соответствующие промежутки на
координатной прямой.
7. Записать числовой промежуток.
Пример:
2 + 3х ≥ 1 + 5(х + 2)
2 + 3х ≥ 1 + 5х + 10
3х – 5х ≥ 1 + 10 – 2
- 2х ≥9
х≤ - 4,5
Ответ: (- ∞; - 4,5]
-4,5
х
Квадратные неравенства
Неравенства, приводимые к виду
ах2 +bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0
Алгоритм решения
(графическим методом)
1.Перенести все слагаемые в левую часть и
решите уравнение, приравняв выражение в левой
части к нулю.
2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на
оси ОХ и через отмеченные точки проведите
схематично параболу ветви которой направлены
вверх при а>0 или вниз при а<0.
(Если трёхчлен не имеет корней, то схематично
изобразите параболу, которая расположена в
верхней полуплоскости при а>0 или в нижней
полуплоскости при а<0.)
3. Найти на оси ОХ промежутки, для которых
точки параболы расположены выше оси ох (если
ах2+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах2+вх+с<0).
4.Записать ответ, взяв эти промежутки в
объединение.
Пример:
х2+х -2>0
1.Решим уравнение
х2+х -2=0
D = b2 – 4ac,
D = 12 - 4∙1∙(-2)=9
 1 9
b D
, х 1.2 
х1.2 
21
2a
х1 = - 2; х2 = 1.
2.Построим схематический график.
Графиком является парабола, ветви которой
направлены вверх , т.к. а = 1, 1>0.
-2
1
х
3. По условию: х2+х -2>0, то х <-2 ; х >1 .
Ответ: (-∞;- 2)(1;+∞).
Рациональные неравенства
(М)
Неравенства, приводимые к виду
(х – а)(х – b)…(х – с) > 0,
( х  a )...( x  b )
0
( x  c )...( x  d )
Алгоритм решения
(метод интервалов)
1.Привести неравенство к виду
(х – а)(х – b)…(х – с) > 0 (<0),
( х  a )...( x  b )
 0.
( x  c )...( x  d )
2.Решите уравнение, приравняв выражение в
левой части к нулю.
3. На числовой прямой отметить все полученные
значения, определить знаки в промежутках,
провести кривую знаков.
4. Выписать в ответ промежутки по знаку
неравенства ( «- » - если <0; «+» - если >0).
Пример:
(х + 6)(х+1)(х-4) < 0
1. (х + 6)(х+1)(х-4) < 0
2. Решим уравнение:
(х + 6)(х+1)(х-4)=0
х +6=0; х +1=0; х – 4 =0
х1= - 6; х2= -1;
х3 = 4
3.
-
+
-6
+
-4 -
1
х
4.По условию: (х + 6)(х+1)(х-4) < 0,
то х<-6; -4<х<1.
Ответ: (-∞; -6)(- 4;1)