Комбинации шара с другими телами Секция «Математика»

XI открытая конференция-фестиваль творчества молодёжи и школьников
«Наука. Творчество. Развитие»
Секция «Математика»
Комбинации шара с другими телами
Матвеев Дмитрий Вячеславович,
Норкина Екатерина Александровна,
ученики 11А класса
МОУ «СОШ №12»
г. Новочебоксарск
Научный руководитель:
Норкина Светлана Юрьевна,
учитель математики МОУ «СОШ №12»
г. Новочебоксарск
Новочебоксарск, 2008 г.
Оглавление
Введение.
1. Комбинации шара с конусом и пирамидой.
2. Комбинации шара с цилиндром и призмой.
3. Задачи на комбинации шара с другими телами.

Опорные задачи.

Примеры задач на комбинации шара с другими телами.

Многофигурные стереометрические задачи.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.
Заключение.
Литература.
Приложение к работе: Сайт «Комбинации шара с другими телами».
2
Введение.
Данная работа «Комбинации шара с другими телами» посвящена одной из наиболее
трудных и в тоже время очень важных тем курса стереометрии средней школы.
Многие не умеют решать задачи на комбинации различных фигур, более того, бояться
решать такие задачи. К сожалению, в действующих учебниках геометрии не так уж и много
подобных задач, а те, которые имеются, даны без необходимых для решения рекомендаций.
Авторы данной работы попытались собрать воедино материал о комбинациях шара с
другими фигурами. Кратко изложили этот материал, чтобы им можно было пользоваться без
большой затраты времени. Решили так называемые задачи-«ключи». В результате решения этих
опорных задач получили ряд формул, которые использовали и в дальнейшем. В работе
предлагается ряд задач от достаточно доступных до сложных, многофигурных.
3
1. Комбинации шара с конусом и пирамидой.
Шар называется вписанным в прямой круговой конус, если основание конуса касается
шара в одном из полюсов, а боковая поверхность конуса касается шара вдоль некоторой
параллели (окружности), плоскость которой параллельна плоскости основания конуса.
Если шар вписан в конус, высота конуса содержит ось шара.
Шар называется описанным около конуса, если окружность основания конуса совпадает
с некоторой параллелью шара, а вершина – с одним из полюсов. Шар можно описать около
любого конуса. Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается всех граней
пирамиды. Основание пирамиды касается шара в одном из полюсов, а боковая поверхность – в
точках, принадлежащих одной параллели, плоскость которой параллельна плоскости основания
пирамиды.
Теорема:
В любую треугольную пирамиду можно вписать шар и притом единственный.
Доказательство:
Пусть SABC – треугольная пирамида. Центр шара, вписанный в трехгранный угол с
вершиной S, лежит на его пространственной биссектрисе L – геометрическом месте точек –
центров всех сфер, касающихся граней трехгранного угла (l – есть пересечение биссекторных
плоскостей двухгранных углов, образующих трехгранный угол). Центр шара, вписанного в
двухгранный угол с ребром AB, лежит на его биссекторной плоскости α. L и α пересекаются в
единственной точке O, которая одинаково удалена от всех граней пирамиды. Точка O – центр
единственного шара, вписанного в пирамиду.
Следствие:
Центр шара, вписанного в треугольную пирамиду – есть точка пересечения
биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Шар называется описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат
шару.
Теорема 2:
Через четыре точки общего положения можно провести сферу и притом единственную.
Доказательство:
Пусть S1A1B1C – четыре точки общего положения, l – прямая, перпендикулярная
плоскости ABC и проходящая через центр ∆АВС, α – плоскость, перпендикулярная отрезку SA и
проходящая через его середину. Тогда l    O , O – центр шара, проходящего через данные
четыре точки.
4
Теорема 3:
Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных
плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Доказательство:
Центр шара, вписанного в пирамиду, будучи равноудаленным от всех граней пирамиды,
находится на каждой из биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды, т.е. является
точкой пересечения всех биссекторных плоскостей.
Теорема 4:
Если около пирамиды описан шар, то его центром является точка пересечения всех
плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды, перпендикулярно к этим рёбрам.
Доказательство:
Известно, что множество точек, равноудалённых от двух вершин, является плоскость,
проведённая через середину ребра перпендикулярно к нему. Поэтому центр шара, описанного
около пирамиды, будучи равноудалённым от всех вершин пирамиды, находится на каждой из
таких плоскостей, то есть является точкой их пересечения.
Замечание:
Центр описанного около пирамиды шара лежит на перпендикуляре, проведённым через
центр окружности, описанной около основания пирамиды.
Теорема 5:
Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда её основание –
многоугольник, около которого можно описать окружность.
5
2. Комбинация шара с цилиндром и призмой.
Прямой круговой цилиндр называется вписанным в шар, если окружности оснований
цилиндра совпадают с параллелями шара.
Плоскости этих параллелей отстоят на одинаковом расстоянии от центра шара. Центр
шара является серединой отрезка оси цилиндра, заключенного между основаниями цилиндра.
Ось цилиндра лежит на оси шара.
Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается его оснований и каждой
образующей. В этом случае окружности оснований цилиндра равны экватору шара.
Теорема 1:
Для того чтобы прямой круговой цилиндр можно было описать около шара, необходимо
и достаточно, чтобы высота цилиндра была равна диаметру основания.
Призма называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара.
Основания призмы в данном случае вписаны в параллели шара, плоскости которых находятся
на одинаковом расстоянии от центра.
Теорема 2:
Для того чтобы около призмы можно было описать шар необходимо и достаточно, чтобы
призма была прямой, и около ее оснований можно было описать окружности.
Замечание:
Если около призмы описан шар, то его центр совпадает с серединой высоты призмы,
проведенной через центры окружностей, описанных около оснований призмы.
Шар, в частности, можно описать около:
1) всякой прямой треугольной призмы;
2) всякого прямого параллелепипеда
3) всякой правильной n – угольной призмы.
Призма называется описанной около шара, если она касается его всеми своими гранями.
Боковые грани призмы касаются шара в точках, расположенных на его экваторе.
Если призма описана около шара, то:
1) призма прямая;
2) высота призмы равна диаметру шара;
3) основания призмы – многоугольники, которые можно вписать в окружность.
6
3. Задачи на комбинации шара с другими телами
Опорные задачи.
Научиться быстро и правильно находить решения задач, всегда было и остается одной из
важнейших целей обучения. Невозможно выделить такой алгоритм, с помощью которого
можно было бы решать все задачи. Однако можно выделить сравнительно небольшое число
задач, выводы из которых являются ключами к решению многих задач. В процессе изложения
этого параграфа будут получены уравнения связи для некоторых комбинаций фигур. Эти
уравнения можно использовать при решении других задач по данной теме.
1. Шар, вписанный в пирамиду.
Из множества всех пирамид выберем те, у которых все боковые грани одинаково
наклонены к плоскости основания. Из этого условия следует, что все апофемы пирамиды
равны, и высота пересекает основание в центре вписанной окружности. Кроме того, шар,
вписанный в пирамиду, касается основания пирамиды в центре вписанной окружности, а
боковых граней – в точках, принадлежащих апофемам.
Для этой комбинации имеют место некоторые зависимости.
Рассмотрим рисунок и введем обозначения.
S
О1
B
О
C
A
 OCS – линейный угол двугранного угла при ребре основания,  OCS =  ,
OO1 – радиус вписанного шара,, OO1 = R.,
OC – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, OC = r,
SC – апофема, SC = h,
OS – высота пирамиды, OS = H.
Так как центр O1 лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов, то
CO1 – биссектриса  OCS,  OCO1 =  SCO1 =
1
2
.
Из ΔOO1C:
OO1 = OC tg

, т. е.
2
R = rtg

2
(1) – уравнение связи.
7
Из ΔOSC (CO1 – биссектриса  C) следует
OO1
OC
=
O1 S
OO1 OC
R
r
Hr



  R 
SC
O1 S SC
H R h
rh
(2) – уравнение связи.
(1), (2) – уравнение связи для шара, вписанного в пирамиду, у которой все боковые грани
одинаково наклонены к основанию.
2. Шар, описанный около пирамиды.
Из множества всех пирамид, которые можно вписать в шар, рассмотрим те, у которых
все боковые рёбра равны или, что тоже, одинаково наклонены к плоскости основания.
Рассмотрим рисунок и введём обозначения.
S
O1
K
B
O
A
SA – боковое ребро , SA  b ,
SAO – угол наклона бокового ребра к плоскости основания, SAO   ,
SO – высота пирамиды, SO  H ,
SO1 – радиус описанного шара, SO1  R .
Так как центр описанного шара O1 – точка пересечения плоскостей, проведённых через
середины ребёр, перпендикулярно к ним, то SK = K, O1 K  SA
SO1 K  SAO как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, SA  2SK .
Из O1 SK : SK  O1 S sin SO1 K  SA  2O1 S sin SO1 K ,
SO1 K  SAO, SO1 K    b  2R sin  (3) – уравнение связи.
SO1 K ~ SOA , (SO1 K  SAO, SKO1  SOA  90) 
SO SK
H
b



SA SO1
b 2R
b 2  2 HR (4) – уравнение связи.
(3), (4) – уравнение связи для шара, описанного около пирамиды, у которой все
боковые рёбра равны.
Формулы (1) – (4) верны для любой правильной пирамиды, вписанной в шар и
описанной около шара.
8
3. Шар, вписанный в конус
На рисунке достаточно показать осевое сечение данной
O
комбинации. Введем обозначения:
SB – образующая конуса (рис.3), SB = l; OB – радиус
основания конуса, OB = r; OS – высота конуса, OS = H; OO1 –
радиус вписанного шара, OO1 = R,  SBO – угол наклона
образующей к плоскости основания,  SBO = α.
О1
BO1 – биссектриса  SBO,  OBO1 = α/2.
Из ∆OO1B => R  rtg

2
A
B
O
(5)
Из ∆SOB:
OO1 O1 S
R H R
Hr

 
 ( H  R)r  Rl  Hr  R(l  r )  R 
OB
BS
r
l
lr
(6)
4. Шар, описанный около конуса.
S
На рисунке осевое сечение комбинации фигур.
Введем обозначения: AS = l – образующая конуса;
O1
SO1 = R – радиус описанного шара; SO = H – высота конуса;
 SAB = α – угол наклона образующей конуса к его основанию.
Исходя из рассуждений в пункте 2, имеем:
l = 2Rsinα
(7)
l2 = 2HR
(8)
A
Итак, (5), (6) – уравнения связи для шара, вписанного в
конус; (7), (8) – для шара, описанного около конуса.
9
O
C
Примеры задач на комбинации шара с другими телами
При решении геометрических задач ссылаться на какие-либо особенности чертежа
нельзя, так как чертёж не заменяет логического доказательства геометрического факта, а
является лишь иллюстрацией к доказательству. При этом почти всегда достаточно изобразить
на чертеже только осевое сечение шара или даже осевое сечение всей конфигурации, так как
все элементы данной геометрической комбинации при этом будут заданы элементами сечения.
№1. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до
вершины пирамиды равно а. Двугранный угол при ребре основания равен α. Найти площадь
полной поверхности пирамиды.
Решение.
S
Обозначим радиус OO1 вписанной сферы
через R. Радиус OC
вписанной в основание
окружности через r.
O1
B
SCD – линейный угол двугранного угла при
ребре AB обозначим через α.
D
O
C
Центр вписанной сферы лежит на
A
пересечении биссекторных плоскостей всех
двугранных углов, тогда СО1 - биссектриса  SCD. В ∆OSC:
Из уравнения связи (1): R  rtg
cos  

2
 SC=a
r
rtg

OO1
a
aOC
.

 SC 
OC SC
OO1
 SC=arctg

.
2
2
OC

 OC=SCcos   OC  actg cos  .
SC
2
O – центр вписанной в основание пирамиды окружности, т.е. точка О - точка
пересечения биссектрис ∆ABD. Поскольку ∆ABD – равносторонний, то биссектрисы являются
медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины. Следовательно,
OA=2OC  AC  4OC 2  OC 2  OC 3  r 3. AC=a 3ctg

2
cos  .
1
Sполной пов. пир. = SC  P осн. +Sосн. (Pосн. – периметр основания; Sосн - площадь основания).
2
Pосн =6 AC  6 3ctg

2
cos   a
1

Sосн = 3OC 2 3OC  3 3OC 2  3 3a 2 ctg 2 cos 2  .
2
2
10
S
1




a  ctg  6 3a  ctg cos   3 3a 2 ctg 2 cos 2   3 3a 2 ctg 2 cos  (1  cos  ) 
2
2
2
2
2
 3 3a 2 ctg 2

2
cos   2 cos 2
Ответ: 6 3a 2 ctg 2

2
cos 2


2
2

 6 3a 2 ctg 2
2
cos 2

2
cos  .
cos  .
№2. В конус с углом  между образующей и плоскостью основания вписан шар. Найти
отношение объема конуса к объему шара.
Решение.
Обозначим радиус шара через R,
радиус основания конуса через r,
l – образующая конуса, а H – его высота.

1
1
Vконуса = S осн  H  r 2 H
3
3
R
H
4
Vшара = R 2 , tg    H  r  tg
r
3
Уравнение связи (5): R=r  tg

r

2
1 r 2  rtg
V
Vк
1 tg
1 tg
 3
 
 к  
 4


Vш 4
Vш 4
r 3 tg 3
tg 3
tg 3
3
2
2
2
Ответ:
tg
4tg 3

2
№3. В конус вписан шар. Доказать, что отношение площадей поверхностей конуса и
шара равно отношению их объемов.
3
Vш 4tg 2

Доказательство. Из предыдущей задачи
Vk
tg
S ш  4R 2 , S к = rl + r 2 , l =
S k  r
r
=>
cos 
r
1
 r 2  (
 1) ; S ш  4R 2  4r 2 tg 2 
2
cos 
cos 
Докажем, что
4r 2 tg 2 
1
r (
cos 
2
2 
 1)
4tg 3 
tg
2 ;
tg 2 
1
cos 
11
2 
1
tg 3 
tg
2;
1
1

tg 
2 
tg
cos   1
С другой стороны:
Итак,
tg 
2 
tg
1
1
1
cos 

cos 
1  cos 
sin 
cos 
.

(1  cos  )tg 1  cos 
Vш
S
V
S
cos 
cos 
; ш 
. Следовательно: ш  ш .

Vk 1  cos  S k 1  cos 
Vk
Sk
№4. Задача Архимеда и её обобщение. Поверхность и объем шара составляют 2
3
соответственно полной поверхности и объёма цилиндра, описанного около шара.
Доказательство.
На рисунке – осевое сечение. Обозначим радиус шара через R. Радиус основания
цилиндра, описанного около шара, равен радиусу шара, а высота (и образующая) – равна двум
радиусам шара, то есть 2R.
Тогда Vцилиндра = πR2H = πR2·2R = 2 πR3 ,
4
где H – высота. Vшара  R 3 .
3
Vшара
Тогда
Vцилиндра

4R 3
2

3
3
3  2R
Vшара
Получили, что
Vцил индра

2
3
O
R
.
.
Sшара = 4πR2, Sцилиндра = 2Sосн. + Sбок.пов.=2πR2 + 2πRH = 6πR2
S шара
S цилиндра

4R 2 2

6R 2 3
. Доказали, что
S шара
S цил индра

2
.
3
Замечание. Это предложение было доказано Архимедом (III век до н.э.). Архимед
выразил желание, чтобы чертёж к этой теоремы был изображён на его гробнице, что и было
исполнено римским военачальником Марцеллом.
Можно доказать, что площадь поверхности сферы и объём шара составляют
соответственно
4
полной поверхности и объёма описанного конуса, у которого образующая
9
равна диаметру основания.
Соединив это предложение с только что доказанным, получим обобщённую теорему
Архимеда:
Vшара ( S шара ) Vцилиндра( S цилиндра) Vконуса ( S конуса )


4
6
9
12
Многофигурные стереометрические задачи.
Рассмотрим более сложные задачи на комбинацию шара с другими стереометрическими
фигурами. Решаются они поэтапно, с серией вспомогательных чертежей, на которые выносятся
различные сечения комбинаций фигур, данных в условии задачи.
№1. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD с вершиной S вписан шар.
Второй шар касается первого шара, а также основания пирамиды в точке A. Через центр
второго шара и сторону BC основания пирамиды проведена плоскость, пересекающая ребро SA
в точке K. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания пирамиды, если известно,
что ребро SA и диагональ сечения SK перпендикулярны.
Решение. Сделаем примерный общий чертеж.
S
K
P
D
O
C
B
A
Общий чертеж необходим для того, чтобы выделить связки фигур, т.е. группы фигур,
связанные друг с другом условиями задачи.
Пусть a - длина стороны основания пирамиды, α – угол наклона грани пирамиды
к основанию, r и R – радиусы I и II шаров, φ – угол наклона секущей плоскости.
1) Пирамида и вписанный шар.
Плоскость, проходящая через высоту пирамиды и апофему SE грани SBC, пересекает
пирамиду по равнобедренному треугольнику, а шар – по
вписанному в него кругу радиуса r, т.к. шар вписан в пирамиду, и
S
пирамида правильная. Изобразим сечение отдельно.
Центр O вписанного шара лежит на биссектрисе
SEH , EH 
a
a 
, SEH    r  tg
2
2 2.
О
13
H
E
2) Основание пирамиды и оба шара.
P
O
H
A
На рисунке сечение, проходящее через центры шаров P и O и точки их касания с
основанием A и H.
Так как AH –половина диагонали квадрата со стороной a , то
AH 
a 2
2 ;
PAH  OHA  90 (по построению), PO 2  PR 2  RO 2 (по т. Пифагора) и
RO  AH  ( R  r ) 2  ( R  r ) 2  (
a 2 2
a2
) R 2  2 Rr  r 2  R 2  2 Rr  r 2 
 8Rr  a 2
2
2
:
3) Основание пирамиды, второй шар и секущая плоскость.
Второй шар касается плоскости основания в точке A. Рассмотрим сечение плоскостью
PAB. Получим PAB - прямоугольный, в котором катет PA=R, катет AB=a,
PBA    R  atg .
4) Секущая плоскость и пирамида
S
P
A
K
H
C
На рисунке сечение плоскостью ACS, на котором все нужные углы видны в натуральную
величину. Рассмотрим PAC и AHS – они прямоугольные. ASH  PCA (как углы со
взаимно-перпендикулярными сторонами, AS  PC по условию задачи).
Следовательно, APC  SAC и PAC ~ AHS .
Из подобия треугольников следует:
AP AH

.
AC SH
14
R

a 2
a 2/2
 aRtg  2a 2  Rtg  2a  R  2actg
(atg ) / 2
a 

 a 
2
r  2 tg 2
8R 2 tg 2  a






4tgtg  1 8ctgtg  1
2
8
Rr

a
  R  atg



Имеем: 
2
2
 R  atg
 R  2actg
tg  2ctg
tg  2ctg


 R  2actg


1
1 4 3

sin 
 cos 
8 cos   1  cos 
cos    sin   1 

1 
7
49
7
3
8



 tg 
cos 
 sin  1  cos 
6
tg  2ctg
tg  2  sin 
tg  2  7  3

6
74 3
Ответ.   arctg
3
6
№2. Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости α, и каждый из них
касается двух других. Найти r – радиус шара, касающегося плоскости α и трёх других шаров.
Решение. Общий чертёж изображён на рисунке.
ω
2
ω
1
О2
О1
О3
О
А
ω
3
В
Н
α
С
Выделим связки фигур:
1) Три шара радиуса R и плоскость α;
2) Шар радиуса r, плоскость α и один из шаров радиуса R.
1). Проведём сечение плоскостью, проходящей через центры шаров ω1, ω2, ω3 и
параллельную плоскости α.
Эта плоскость пересечёт шары ω1, ω2, ω3 по окружностям радиуса R.
15
Рассмотрим О1О2 О3 . Он равносторонний со
сторонами 2R. Найдём центр тяжести Н1 О1О2 О3 .
O1
O2
Вычислим длину О1Н1: О1 D  4 R  R  R 3 ;
2
2
H1
2
2
2R 3
O1 H 1  O1 D  R 3 
3
3
3
Точки А,В,С касания шаров с плоскостью α
O3
образуют треугольник АВС, который является
прямоугольной проекцией ABC  точка Н (проекция
Н1) – точка касания шара ω с плоскостью α.
2). Построим сечение плоскостью, проходящей через прямую АН, центр О шара ω и
центр одного из шаров радиуса R.
В прямоугольном треугольнике SOO1
по теореме Пифагора SO 2  OO12  O1 S 2 . SO = AH.
Имеем: ( R  r )  ( R  r )  
2
2
2R 3
3

O1
2
R  0
4R 2
R
R
4 Rr  4 R / 3  4 Rr 
 0  4 R(  r )  0  
r
R
r 
3
3
3
3

S
O
2
Ответ. r 
R
3
16
A
H
В заданиях 2 тура V Республиканской дистанционной олимпиады 2007 года,
организованной Чувашским республиканским центром новых образовательных технологий при
Министерстве образования и молодежной политики Чувашской Республики была предложена
следующая задача.
№3. Первая сфера имеет радиус r1. Около этой сферы описан правильный тетраэдр.
Около этого тетраэдра описана вторая сфера с радиусом r2. Около этой второй сферы описан
куб. Около этого куба описана третья сфера с радиусом r3.
Найти отношение r1 : r2 : r3 (которое должно быть, согласно Кеплеру, отношением
средних расстояний от планет Марс, Юпитер и Сатурн до Солнца, но которое, в
действительности, несколько отличается от истинного отношения).
Решение. Пусть а – ребро тетраэдра, тогда высота грани тетраэдра равна
а 3
2
O – центр вписанной в тетраэдр сферы с радиусом r1=OO1 и
S
описанной сферы с r2 =OS.
Из треугольника SHO1:
r1  r2  (
K
H
Из треугольника OKS:
O
O1
a 3 2
a 3 2 a 6
a 6
) (
) 
 r2 
 r1
2
6
3
3
A
r22  r12  (
a 3 2
a 6
a 3 2
a 6
) (
 r1 ) 2  r12  (
)  r1 
3
3
3
12
Тогда r2 
a 6
4
Пусть b – ребро куба, тогда b 3 - его диагональ,
а радиус описанной около него сферы r3 
куба равно диаметру сферы, т.е. b 
Итак, r1 : r2 : r3 
b 3
. Так как сфера радиуса r2 вписана в куб, ребро
2
a 6
3a 2
. Имеем, что r3 
4
2
a 6 a 6 3a 2
:
:
 1: 3 : 3 3
12
4
4
Ответ. 1 : 3 : 3 3
17
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
Изучение комбинаций стереометрических фигур представляет широкие возможности
для составления и решения задач, в которых требуется найти экстремальное значение площади
поверхности или объёма фигур.
Такие задачи удобно решать по следующему плану:
1. Выявляют
оптимизируемую
величину,
т.е.
величину,,
наибольшее
или
наименьшее значение которой требуется найти, обозначают, например, через у.
2. Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т.д.) объявляют независимой
переменной, устанавливают реальные границы её изменения и обозначают,
например, через х.
3. Этап геометрического решения задачи – исходя из условий, выражают величину
у и известные, т.е. заданные условием задачи, величины через х.
4. Для полученной функции y = f(x) находят наибольшее или наименьшее значение
по промежутку изменения х.
5. Интерпретируют результат пункта 4 для данной задачи.
На первых трёх этапах составляется математическая (аналитическая) модель данной
геометрической задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой
переменной. На четвёртом этапе модель исследуется чаще всего средствами математического
анализа.
№1. Около шара радиуса r описана правильная четырёхугольная пирамида. Найти
наименьшее значение площади её боковой поверхности.
Решение. Оптимизируемая величина S – площадь боковой поверхности пирамиды.
Центр О вписанного шара лежит на высоте правильной пирамиды, а именно, в точке
пересечения высоты с биссектрисой ОК угла между высотой МК боковой грани и проекцией
НК этой высоты на плоскость основания.
M
ОН = r – радиус вписанного шара.
Положим OKH  x , где 0 < х <

4
Выразим S через r и x
Из OKH  HK  rctgx
B
Из HKD  KD  HK  rctgx
Из MHK  MK 
rctgx
HK

cos 2 x cos 2 x
Тогда S  4SMCD  4 KD  MK  4r 2 
O
C
K
H
ctg 2 x
.
cos 2 x
A
18
D
Найдём наименьшее значение функции S  4r 2 
S   4r 2 
2ctgx(
ctg 2 x

на промежутке (0; ).
4
cos 2 x
1
) cos 2 x  2 sin 2 xctg 2 x
2
8r 2
cos 2 x 

sin x

 ctgx   ctgx sin 2 x 

2
2
cos 2 x
cos 2 x
sin 2 x 

S  не существует, если cos 2x  0 или sin x  0 , что не выполняется в интервале (0;
S   0 , если ctgx  0 , что не выполняется в интервале (0;

).
4

cos 2 x
) или если ctgx sin 2 x 
0.
4
sin 2 x
Решим это уравнение.
cos 2 x
0
sin 2 x
sin 2 2 x  2 cos 2 x  0
ctgx sin 2 x 
1  cos 2 2 x  2 cos 2 x  0
cos 2 2 x  2 cos 2 x  1  0
cos 2 x 1,2  1 
2
Подходит значение cos 2 x  2  1 .
x
1
arccos( 2  1) .
2
При найденном х функция S(x) достигает наименьшего значения.
S  4r 2 
ctg 2 x
, причём cos 2 x  2  1 .
cos 2 x
Так как 1  ctg 2 x 
2
2
1
2
, то ctg 2 x 

 1  2  1.

2
1  cos 2 x 1  ( 2  1)
sin x 1  cos 2 x
Значит наименьшее значение S  4r 2 
2 1
2 1
 4r 2 ( 2  1) 2
Ответ. 4r 2 ( 2  1) 2
№2. В шар вписана правильная п–угольная пирамида. При каком двугранном угле между
боковой гранью и плоскостью основания пирамиды объём пирамиды будет наибольшим?
Решение. Оптимизируемая величина V – объём пирамиды. Введём независимую
М
переменную. На рисунке п-я часть пирамиды.
MAB – боковая грань, МН – высота.
Обозначим радиус шара через R.
Положим МВ = х, 0 < х < 2R.
Н
Выразим V через x и R.
B
D
А
19
Известно, что радиус описанного шара в случае правильной пирамиды R 
b2
, где b – боковое
2H
ребро, H – высота пирамиды.
Тогда R 
Так
как
SABH 
x4
x2
x2
. Из MBH : HB  MB 2  MH 2  x 2 
H 
2H
2R
4R 2
АВ
–
сторона
правильного
1
2 1  2
x4
AH  HB  sin

x 
2
n
2
4R 2

1
1 1
x4
Значит, V  S осн  H  n   x 2 
3
3 2
4R 2
Для краткости обозначим
п-угольника,
то
AHB 

 sin 2

n

2
6

2 x 2 n sin
n  x 4  x
 sin


n 2R
12 R 
4R 2

n sin 2
6
n  k . Имеем V  k  x 4  x

12 R
4R 2




Найдём наибольшее значение функции V на интервале (0; 2R).

6x 5 
.
V   k  4 x 3 
4 R 2 


 x1  0


8
V   0   x2  R
3


8
 x3   R
3

Интервалу (0; 2R) принадлежит лишь x  R 8 . Vmax 
3
Обозначим MDH через φ. MH 
Из BDH : HD  HB cos 
tg 
SH
2

DH cos 
n
16 R 3 n sin 2
27
x 2 4R

2R
3
 x2 
x4
2R 2
 cos  
 cos  .
2
n
n
3
4R

2 
   arctg 
 cos  
n
n


2 
Ответ.   arctg 
cos  
n

20
n



2
,
n
а
потому
№3. Найти наибольший объём правильной 6-угольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R.
Решение. Оптимизируемая величина V – объём пирамиды.
На рисунке сечение, проходящее через высоту и два противолежащих ребра пирамиды.
Введём независимую переменную. Обозначим через х сторону основания пирамиды, то есть
S
сторону правильного шестиугольника.
0 < x ≤ R, V 
3 3x 2
1
S осн  H , где S осн  6 S прав. 
2
3
3 2
x H .
2
Н – высота, то есть V 
O
Выразим V через x и R. H  R 2  x 2  R .

3 2
V 
x R  R2  x2
2

A
H
x D
Найдём наибольшее значение функции V

x2
V   3 x R  R 2  x 2 
2 R2  x2





V  не существует, если x = R. V  = 0, если
R  R2  x2 
Ответ.
x2
2 R2  x2
 0  x2 
3x  0 , что не выполнимо в (0, R), или если
8 2
4
16 3R 3
R ; H  R; V 
9
3
27
16 3R 3
27
Решение рассмотренных задач осуществлялось по данному выше плану. Но не всегда такое
решение является рациональным. Некоторые задачи целесообразно решать другими способами,
без помощи производной. Для примера рассмотрим решение следующей задачи.
№4. В конус с углом φ между образующей и плоскостью основания вписан шар. Найдите
отношение объёма конуса к объёму шара. Каков наименьший объём конуса, который можно
описать около данного шара.
Решение. Пусть r – радиус основания конуса, Н – его высота, R– радиус вписанного шара.
Vk Hr 2
1 2
4 3
Vk  r H , Vш  R 

3
3
Vш 4 R 3
Зная уравнение связи(5) R  rtg 
2
, получим
Vk 1
 tgctg 3 
2
Vш 4
21
ctg 3   2tg 
2

2
2 
Преобразуем выражение tgctg
, оно равно
2
1  tg 2  tg 2 
1  tg 2 
2
2
2
3

Так как 1  tg 2 
tg 2 
2
 1  tg 2 
2
2
 tg 2 
2

 1 , то tg 2  2 1  tg 2  2  принимает наибольшее значение при


, то есть при tg 2 
2

1
1
. Поэтому tg 2  1  tg 2   ≤  tgctg 3  ≥ 8
2
2
2

 4
2
Значит, Vк ≥ 2Vш
Описанный конус будет иметь наименьший объём, равный 2Vш, если tg 2 
В этом случае   arccos
1
3
1 V
1
Ответ.   arccos , k  tgctg 3  .
2
3 Vш 4
22
2

1
.
2
23
Литература
1. Агаков И.Г. Элементарная математика и начала анализа
2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 9 – 10
3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.В., Киселёв Л.С., Позняк Э.Т. Геометрия: учебник
для 10 – 11 классов средних школ
4. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических
задач
5. Киселёв А.П. Элементарная геометрия: Книга для учителей
6. Погорелов А.В. Геметрия 7 – 11
7. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия
8. Штенберг Л.Ф. Многофигурная стереометрическая задача // «Квант» №2 – 1983
24