Лабораторная работа Теория алгоритмов

Министерство строительного комплекса
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Московской области
Воскресенский индустриальный техникум
Методические указания
к выполнению лабораторных работ по дисциплине
теория алгоритмов
для студентов специальностей
230115 «Программирование в компьютерных системах»
Разработала :
Вострякова А. В .– преподаватель ГБОУ СПО МО ВИТ
2013 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Практикум
содержит
набор
лабораторных
работ
по
предмету
«теория
алгоритмов» во время проведения которых изучаются: основные принципы и приемы
построения алгоритмических схем для различного рода задач, а также механизм
реализации этих алгоритмов на языке высокого уровня.
Данные методические указания рассчитанный на студентов специальност:
230115 «Программирование в компьютерных системах»;
и содержат сведения необходимые для выполнения заданий лабораторного практикума.
Для освоения изучаемого материала студентами выполняются индивидуальные
задания.
Перечень лабораторных работ:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1«Разработка программ для Машины Поста»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Разработка программ для Машины Тьюринга»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «Разработка программ для алгорифмов Маркова»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 «Разработка программ с использованием рекурсивных
функций»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «Разработка программ с использованием алгоритмов
перебора»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 «Разработка программ с использованием алгоритмов
сортировки»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7 «Составление алгоритма решения для системы
линейных уравнений на алгоритмическом языке»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8 «Составление алгоритма поиска кротчайшего пути»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Разработка программ для Машины Поста
Цель работы: развить аналитическое и логическое мышление учащихся, математическую интуицию,
по средствам разработки алгоритмов задач для логических машин.
Задача работы: изучить программу имитатор машины Поста. Выработать навык составления
алгоритмов для машины Поста.
Теоретическая часть
Формат команды машины Поста имеет вид: n K m
где:
n - номер текущей команды;
K - команда из системы команд машины Поста (см. табл. 1);
m - ссылка - номер команды, которая будет выполняться следующей.
Таблица 1. Система команд машины Поста
-->
Сдвиг каретки вправо, содержимое ленты не меняется.
<--
Сдвиг каретки влево, содержимое ленты не меняется.
V
В обозреваемую секцию ставится метка "V". Выполнение этой команды возможно
только в том случае, если обозреваемая секция пустая, в противном случае
команда считается невыполнимой.
Каретка стирает метку в обозреваемой секции. Выполнение этой команды
возможно только в том случае, если обозреваемая секция содержит метку, в
противном случае команда считается невыполнимой.
? b1 , b2
!
Команда передачи. Проверяется содержимое текущей секции, если метки нет, то
происходит передача управления команде с номером b1, иначе, если метка есть
- команде с номером b2. Содержимое ленты не меняется.
Команда останова машины. Содержимое ленты не меняется. У команды
остановки ссылка не обязательна.
Для того чтобы заполнить ленту достаточно подвести к ячейке указатель мыши и выполнить
двойной щелчок левой кнопкой, или воспользоваться кнопкой
- запоминает начальное состояние ленты.
- восстанавливает начальное состояние ленты.
- запускает алгоритм программы на выполнение.
- пошаговое выполнение программы.
.
- остановка выполнения программы.
Текст задания:
Отчет выполняется в электронном виде. Если строк таблицы для описания алгоритма программы
не хватает их не обходимо добавить. Если заданий несколько, то повторить всю систему отчета
необходимое количество раз.
Отчет о выполнении задания
Вставить скриншот начального состояния ленты.
Вставить скриншот состояния ленты после выполнения алгоритма.
Заполнить таблицу вписав алгоритм программы комментируя каждую строку.
Номер
команды
команда
отсылка
Контрольные вопросы:
1. Устройство машины Поста
комментарий
2. Система команд машины Поста.
3. Алфавит машины Поста.
4. Варианты окончания выполнения программы на машине Поста.
Задания для выполнения лабораторных работ
Задача 1
Составить программу перевода информационной ленты из начального состояния в конечное:
1 вариант
Н.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
Н.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
Н.с.
…
۷
۷
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
Н.с.
…
۷
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
Н.с.
…
۷
К.с.
…
۷
Н.с.
…
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
…
۷
…
۷
…
۷
…
۷
…
2 вариант
۷
۷
۷
۷
3 вариант
۷
۷
…
4 вариант
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
…
5 вариант
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
…
6 вариант
7 вариант
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
…
Н.с.
…
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
۷
…
8 вариант
Н.с.
…
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
۷
…
۷
…
۷
…
۷
…
9 вариант
Н.с.
…
۷
۷
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
10 вариант
Н.с.
…
۷
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
11 вариант
Н.с.
…
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
۷
…
12 вариант
Н.с.
…
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
۷
…
Задача 2
Выполнить арифметические действия :
1. 3+4, 4-2;
2. 5+3, 3*2;
3. 5-2, 2*2;
4. 5-4, 6/2;
5. 3+2, 4/2;
6. 2+4, 2*4;
7.
Задача 1
Составить программу для прохождения каретки от левой метки к правой. Количество пустых
клеток между метками неизвестно.
Н.с.
…
۷
۷
…
К.с.
…
۷
۷
…
Задача 2
Составить программу для заполнения всех клеток от левой метки до правой. Количество
пустых клеток между метками неизвестно.
Н.с.
…
۷
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
۷
…
Задача 3
Составить программу перевода информационной ленты из начального состояния в конечное.
Количество меток произвольное (не обязательно равно 4).
Н.с.
…
К.с.
…
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
…
Задача 4
Составить программу перевода информационной ленты из начального состояния в конечное.
Количество меток произвольное (не обязательно равно 4).
Н.с.
…
К.с.
…
۷
۷
...
۷
۷
۷
۷
۷
۷
۷
…
…
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
Разработка программ для Машины Тьюринга
Цель работы: развить аналитическое и логическое мышление учащихся, математическую интуицию,
по средствам разработки алгоритмов задач для логических машин.
Задача работы: изучить программу имитатор машины Тьюринга. Выработать навык составления
алгоритмов для машины Тьюринга.
Теоретическая часть
Формат команды машины Тьюринга имеет вид: a K q, где:
a - новое содержание текущей ячейки (новый символ внешнего алфавита, который заносится в
текущую ячейку),
K - команда лентопротяжного механизма машины Тьюринга (влево, вправо, стоп)
q - новое внутренне состояние машины Тьюринга
Внешний алфавит
Это редактор для введения, отображения и хранения символов внешнего алфавита машины
Тьюринга. Его необходимо заполнять в первую очередь, при написании алгоритма машины
Тьюринга. Каждый символ можно указать только один раз. Между символами могут быть пробелы.
Символ "Пробел" присутствует во внешнем алфавите всегда по умолчанию.
Если редактор "внешний алфавит" не виден, выберите пункт меню "Вид/ Внешний алфавит",
повторный выбор прячет редактор.
Прежде, чем вводить алгоритм, нужно ввести внешний алфавит.
Таблица машины Тьюринга
После окончания ввода внешнего алфавита формируется первый столбец таблицы: он заполняется
символами внешнего алфавита в том же порядке что и в редакторе. При редактировании внешнего
алфавита автоматически изменяется таблица: вставляются, удаляются или меняются местами
строки. При очистке "внешнего алфавита", очищается вся таблица.
В ячейках верхней строки записываются символы состояний головки: Q1,Q2...Qn.
В ячейках первого столбца записываются символы внешнего алфавита.
В ячейках других столбцов и строчек помещаются команды машины Тьюринга.
Чтобы ввести команду в ячейку нужно:
1) Ввести символ внешнего алфавита на который будет заменен старый или записан если ячейка
пуста;
2) Ввести одну из команд лентопротяжного механизма:
• "Влево" - ввести левую угловую скобку "<"
• "Вправо" - ввести правую угловую скобку ">"
• "Стоп" - ввести восклицательный знак "!"
3) Ввести номер нового внутреннего состояния. Нужно ввести только цифру, букву Q вводить не
надо.
Пробелы в команде игнорируются.
Чтобы указать в команде в качестве символа внешнего алфавита "пробел", нужно ввести в ячейку
символ подчеркивания "_", пробел или ввести сразу команду лентопротяжного механизма. Если
команда не была введена правильно, то в ячейку таблицы ничего не запишется. Чтобы удалить,
вставить, добавить столбцы, очистить строки или столбцы воспользуйтесь соответствующими
пунктами главного или всплывающего меню или панелью инструментов.
Текст задания:
Отчет выполняется в электронном виде. Если строк таблицы для описания алгоритма программы
не хватает их не обходимо добавить. Если заданий несколько, то повторить всю систему отчета
необходимое количество раз.
Отчет о выполнении задания
Вставить скриншот начального состояния ленты.
Вставить скриншот состояния ленты после выполнения алгоритма.
Заполнить таблицу вписав алгоритм программы, комментируя каждую строку.
Q
A
Q0
Q1
Контрольные вопросы:
1. Устройство машины Тьюринга.
2. Система команд машины Тьюринга.
3. Алфавит машины Тьюринга.
Q2
Q3
комментарий
4. Варианты окончания выполнения программы на машине Тьюринга.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
Разработка программ для алгорифмов Маркова
Цель работы: развить аналитическое и логическое мышление учащихся, математическую интуицию,
по средствам разработки алгоритмов задач для логических машин.
Задача работы: изучить программу имитатор алгорифмов Маркова. Выработать навык
составления алгорифмов Маркова.
Теоритическая часть
Нормальный алгоритм задает метод преобразования строк с помощью системы
подстановок.
Каждая подстановка состоит из слова-образца и слова-замены, разделенных цепочкой
символов «->». На каждом шаге замены подстановки просматриваются по порядку
сверху вниз, и выполняется первая из них, которая подошла: первое найденное словообразец рабочей строки заменяется на слово-замену.
Слова слева и справа от знака «->» могут быть (а могут и не быть) заключены в
апострофы или двойные кавычки.
Следующие подстановки равносильны и определяют замену буквы «а» на сочетание «бв»:
а -> бв
'а' -> 'бв '
"а" -> "бв"
'а' -> "бв"
Левая часть (слово-образец) может отсутствовать, в этом случае слово-замена ставится в
самое начало рабочего слова. Обычно такая замена должна стоять последней в списке
подстановок (иначе происходит зацикливание).
Правая часть подстановки тоже может отсутствовать (при стирании образца).
Символ «.» после слова-замены обозначает терминальную подстановку, после которой
выполнение алгоритма заканчивается.
Например:
'а' -> 'б '.
заменить «а» на «б» и остановить программу
* -> . стереть знак * и остановить программу
В верхней части программы находится поле редактора, в которое можно ввести
условие задачи в свободной форме.
Система постановок, задающая нормальный алгорифм Маркова, набирается в виде
таблице в нижней части окна программы.
Программа может выполняться непрерывно (F9) или по шагам (F8). Команда,
которая сейчас будет выполняться, подсвечивается зеленым фоном. Скорость
выполнения регулируется с помощью меню Скорость.
Задачи можно сохранять в файлах и загружать из файлов. Сохраняется условие
задачи, исходное слово и система подстановок.
Протокол работы алгоритма, в котором показаны все последовательные замены,
вызывается при нажатии клавиш Ctrl+P.
Текст задания:
Отчет выполняется в электронном виде. Если строк таблицы для описания алгоритма программы
не хватает их не обходимо добавить. Если заданий несколько, то повторить всю систему отчета
необходимое количество раз.
Отчет о выполнении задания
Вставить скриншот начального состояния рабочий строки.
Вставить скриншот состояния рабочий строки после выполнения алгоритма.
Заполнить таблицу вписав алгоритм программы, комментируя каждую строку.
№
образец
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
замена
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
->
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Что такое алгорифм Маркова.
Система подстановок алгорифма Маркова.
Правела выполнения алгорифмов Маркова.
Варианты окончания выполнения программы.
комментарий
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Разработка программ с использованием рекурсивных функций
Цель работы: познакомиться с понятием "рекурсия" и особенностями рекурсивных процедур и функций
языка программирования Pascal, закрепить практические навыки работы с системой TURBO Pascal на
примере реализации алгоритмов при помощи рекурсивных процедур и функций.
Задача работы: освоить способы программирования алгоритмов с использованием
рекурсии.
Теоретическая часть
рекурсия - способ организации вычислительного процесса, при котором
подпрограмма в ходе выполнения составляющих ее операторов обращается сама к себе.
Имеется два вида рекурсии:
1) прямая рекурсия означает, что процедура вызывает саму себя;
2) косвенная рекурсия означает, что одна процедура вызывает другую процедуру, а это в
свою очередь прямо или косвенно приводит к вызову первоначальной процедуры.
Рекурсию следует использовать только тогда, когда задача легко поддается рекурсивному
решению. Любая задача, которая может быть решена рекурсивно, также может быть
решена и без рекурсии.
Перед выполнением работы необходимо
использования рекурсивных процедур и функций:
1. прямая рекурсия
изучить
способы
описания
Функция
Function <имя ф-ции> (n-формальные параметры): <тип возвращаемого результата>;
Begin
<имя ф-ции>:=<имя ф-ции> (n-1);
End;
Процедура
Procedure <имя п-ры> (n-формальные параметры);
Begin
<имя п-ры> (n-1);
End;
2. косвенная рекурсия
До вызова процедура или функция должна быть обязательно описана, для этого
используется опережающее объявление: процедура или функция содержит описание
только своего заголовка, вслед за которым ставится зарезервированное слово forward.
Var
<имя переменной>: <тип переменной>;
Procedure <имя п-ры 2> (n-формальные параметры); forward;
Procedure <имя п-ры 1> (n-формальные параметры);
Begin
<имя п-ры 2> (n-1);
End;
Procedure <имя п-ры 2> (n-формальные параметры);
Begin
<имя п-ры 1> (n-1);
End;
и
Отчет о выполнении
Отчет выполняется в электронном виде. Если заданий несколько, то повторить всю
систему отчета необходимое количество раз.
Текст задачи
Спецификация программы
Листинг алгоритма исполняемого файла
Скриншот интерфейса запускного файла программы
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что понимается под структурным программированием?
Что называется подпрограммой?
Что такое «рекурсия»?
Как объявляется рекурсивная подпрограмма?
В чем преимущества и недостатки использования рекурсии?
Какие виды рекурсий бывают и в чем их особенность?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Разработка программ с использованием алгоритмов перебора
Цель работы: познакомиться с особенностями алгоритмов перебора.
Задача работы: освоить способы программирования алгоритмов перебора.
Теоретическая часть
Перестановки
Задача: Напечатать все перестановки чисел 1..N (то есть последовательности длины
N, в которые каждое из чисел 1..N входит ровно по одному разу).
First = (1,2,...,N) Last = (N,N-1,...,1)
Всего таких перестановок будет N!=N*(N-1)*...*2*1 (докажите!). Для составления
алгоритма Next зададимся вопросом: в каком случае i-ый член перестановки можно
увеличить, не меняя предыдущих? Ответ: если он меньше какого-либо из следующих
членов (членов с номерами больше i).
Мы должны найти наибольшее i, при котором это так, т.е. такое i, что
X[i]<X[i+1]>...>X[N] (если такого i нет, то перестановка последняя). После этого X[i]
нужно увеличить минимально возможным способом, т.е. найти среди X[i+1],...,X[N]
наименьшее число, большее его. Поменяв X[i] с ним, остается расположить числа с
номерами i+1,...,N так, чтобы перестановка была наименьшей, то есть в
возрастающем порядке. Это облегчается тем, что они уже расположены в
убывающем порядке:
procedure Next;
begin
{найти i: X[i]<X[i+1]>X[i+2]>...>X[N]};
{найти j: X[j]>X[i]>X[j+1]>...>X[N]};
{обменять X[i] и X[j]};
{X[i+1]>X[i+2]>...>X[N]};
{перевернуть X[i+1],X[i+2],...,X[N]};
end;
Теперь можно написать программу:
program Perestanovki;
type Pere=array [byte] of byte;
var N,i,j:byte;
X:Pere;
Yes:boolean;
procedure Next(var X:Pere;var Yes:boolean);
var i:byte;
procedure Swap(var a,b:byte); {обмен переменных}
var c:byte;
begin c:=a;a:=b;b:=c end;
begin
i:=N-1;
{поиск i}
while (i>0)and(X[i]>X[i+1]) do dec(i);
if i>0 then
begin
j:=i+1;
{поиск j}
while (j<N)and(X[j+1]>X[i]) do inc(j);
Swap(X[i],X[j]);
for j:=i+1 to (N+i) div 2 do Swap(X[j],X[N-j+i+1]);
Yes:=true
end
else Yes:=false
end;
begin
write('N=');readln(N);
for i:=1 to N do X[i]:=i;
repeat
for i:=1 to N do write(X[i]);writeln;
Next(X,Yes)
until not Yes
end.
Разбиения
Задача: Перечислить все разбиения целого положительного числа N на целые
положительные слагаемые (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых,
считаются за одно).
Пример: N=4, разбиения: 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1, 4.
First = (1,1,...,1) - N единиц Last = (N)
Чтобы разбиения не повторялись, договоримся перечислять слагаемые в
невозрастающем порядке. Сказать, сколько их будет всего, не так-то просто
(см.следующий пункт). Для составления алгоритма Next зададимся тем же вопросом:
в каком случае i-ый член разбиения можно увеличить, не меняя предыдущих?
Во-первых, должно быть X[i-1]>X[i] или i=1. Во-вторых, i должно быть не последним
эле ментом (увеличение i надо компенсировать уменьшением следующих). Если
такого i нет, то данное разбиение последнее. Увеличив i, все следующие элементы
надо взять минимально возможными, т.е. равными единице:
procedure Next;
begin
{найти i: (i<L) and ( (X[i-1]>X[i]) or (i=1) )}
X[i]:=X[i]+1;
{ L:= i + X[i+1]+...+X[L] - 1 }
X[i+1]:=...:=X[L]:=1
end;
Через L мы обозначили количество слагаемых в текущем разбиении (понятно, что
1<=L<=N). Программа будет выглядеть так:
program Razbieniya;
type Razb=array [byte] of byte;
var N,i,L:byte;
X:Razb;
procedure Next(var X:Razb;var L:byte);
var i,j:byte;
s:word;
begin
i:=L-1;s:=X[L];
{поиск i}
while (i>1)and(X[i-1]<=X[i]) do begin s:=s+X[i];dec(i) end;
inc(X[i]);
L:=i+s-1;
for j:=i+1 to L do X[j]:=1
end;
begin
write('N=');readln(N);
L:=N; for i:=1 to L do X[i]:=1;
for i:=1 to L do write(X[i]);writeln;
repeat
Next(X,L);
for i:=1 to L do write(X[i]);writeln
until L=1
end.
Отчет о выполнении
Отчет выполняется в электронном виде. Если заданий несколько, то повторить всю
систему отчета необходимое количество раз.
Текст задачи
Листинг алгоритма исполняемого файла
Скриншот интерфейса запускного файла программы
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Какие бывают комбинаторные объекты?
Что называется перестановкой?
Что такое разбиение?
Объясните алгоритм перестановки?
5. Объясните алгоритм разбиения?
6. Какие виды перебора вы знаете?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
Разработка программ с использованием алгоритмов сортировки
Цель работы: ознакомится с различными методами сортировки данных
Задача работы: освоить способы программирования алгоритмов сортировки.
Теоретический материал
Под сортировкой понимают процесс перестановки объектов данного множества
в определенном порядке. Цель сортировки - облегчить последующий поиск элементов в
отсортированном множестве. В этом смысле сортировка присутствует почти во всех
задачах обработки информации. С сортировкой связаны многие фундаментальные
приемы построения алгоритмов, которые и будут нас интересовать в первую очередь. В
частности, сортировка является идеальным примером огромного разнообразия
алгоритмов, выполняющих одну и ту же задачу, многие из которых в некотором
смысле оптимальные, а большинство имеет какие-либо преимущества по сравнению с
остальными. Поэтому на примере сортировки мы убеждаемся в необходимости
сравнительного анализа алгоритмов. Зависимость выбора алгоритмов от структуры
данных - явление довольно частое, а в случае сортировки она настолько сильна, что
методы сортировки обычно разделяются на две категории:
 сортировка массивов (внутренняя сортировка)
 сортировка файлов (внешняя сортировка).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
a1 , a 2 ,..., a n
ДАНО
ai1 , ai 2 ,... ain
ТРЕБУЕТСЯ
ai1  ai 2 ...  ain
СВЯЗЬ
и последовательность является перестановкой исходной последовательности.
Основное требование к методам внутренней сортировки - экономное
использование памяти. Это означает, что переупорядочивание элементов надо
выполнять на том же месте.
Методы внутренней сортировки можно разбить на четыре основных класса в
зависимости от лежащего в их основе приема:
 сортировка включением(вставкой),
 сортировка выбором,
 сортировка обменом,
 разделением.

СОРТИРОВКА ВКЛЮЧЕНИЕМ. Этот метод состоит в том, что на каждом шаге берут
i-ый элемент последовательности и передают его в готовую отсортированную часть
последовательность, вставляя его на свое место. Алгоритм сортировки включениями
выглядит следующим образом:
FOR I := 2 TO N DO
BEGIN X := a[I];
<вставить X на подходящее место в a[1],a[2],...,a[I]>
END
СОРТИРОВКА ВЫБОРОМ. Этот метод основан на следующем
правиле. Выбирается минимальный (максимальный) элемент последовательности и
обменивается с первым элементом (элементом) последовательности. Очевидно, один
элемент при этом встанет на свое место в отсортированной части последовательности.
Далее все выше изложенное надо повторить в не отсортированной части
последовательности и т.д.
FOR I = 1 TO N-1 DO
BEGIN
<присвоить K индекс наименьшего элемента из a[I]...a[N]>
<поменять местами a[I] и a[K]>
END
СОРТИРОВКА ОБМЕНОМ. Алгоритм обмена основан на принципе сравнения и
обмена пары соседних элементов до тех пор, пока не будут отсортированы все элементы.
В качестве примера рассмотрим сортировку методом пузырька.
FOR I:= 2 TO N DO
FOR J:= N DOWNTO I DO
IF a[J-1] > a[J] THEN
BEGIN X := a[J-1]; a[J-1] := a[J]; a[J] := X END
СОРТИРОВКА РАЗДЕЛЕНИЕМ. Алгоритм разделением основан на разбиении
последовательности на две подпоследовательности по некоторому правилу. При этом
каждая из них может не являться упорядоченной, но последовательное применение
указанного правила приводит к упорядоченности последовательности. Примером этого
класса алгоритмов является алгоритм быстрой сортировки.
Procedure quicksort(S);
begin
if <S содержит один элемент> then <возвратить S>
else begin <выбрать произвольный элемент a из S>;
<пусть S1 ,S2 и S3 - последовательности элементов из S, соответственно меньших,
равных и больших a>;
<возвратить quicksort(S1), затем S2,, затем quicksort(S3) >
end
end
Внешняя сортировка, т.е. сортировка данных, находящихся на внешних
запоминающих устройствах, имеет свои особенности.

Существенную долю времени в этих сортировках тратится на обмен информации с
внешним запоминающим устройством, поэтому нужны алгоритмы, которые
минимизируют число таких операций.
 Оперативная память имеет ограниченные размеры и поэтому в каждый момент
времени может быть доступна только часть данных.
Рассмотрим один из алгоритмов внешней сортировки.
СОРТИРОВКА СЛИЯНИЕМ. Главная идея, которая лежит в основе этой сортировки это
представлении файла в виде постепенно увеличивающихся серий, т.е. упорядоченных
подпоследовательностей. Если есть, по крайней мере, два файла и число серий в них
равно или отличается на единицу, то последовательным слиянием отсортированных
серий в новый файл можно уменьшить количество серий, по крайней мере, в два раза.
Отчет о выполнении
Отчет выполняется в электронном виде. Если заданий несколько, то повторить всю
систему отчета необходимое количество раз.
Текст задачи
Листинг алгоритма исполняемого файла
Скриншот интерфейса запускного файла программы
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Что такое одномерный массив?
Что такое двухмерный массив?
Что такое сортировка массива?
Какие методы сортировки вы знаете?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
Составление алгоритма решения для системы линейных
уравнений на алгоритмическом языке
Цель работы: построение алгоритма решения систем линейных уравнений на языке
высокого уровня.
Теоретический материал
Матричный метод
Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица
. Умножим
обе части матричного уравнения
слева на
(порядки матриц A ⋅
X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над
матрицами, свойства операций). Имеем 𝐴−1 ∙ (𝐴 ∙ 𝑋 ) = 𝐴−1 ∙ 𝐵 . Так как для
операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство
ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как
(𝐴−1 ∙ 𝐴) ∙ 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝑋 , а по определению обратной
матрицы
(E – единичная матрица порядка n на n), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным
методом определяется по формуле 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 . Другими словами, решение
СЛАУ находится с помощью обратной матрицы
.
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную
матрицу
только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно,
СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ
МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
Отчет о выполнении
Отчет выполняется в электронном виде. Если заданий несколько, то повторить всю
систему отчета необходимое количество раз.
Текст задачи
Листинг алгоритма исполняемого файла
Скриншот интерфейса запускного файла программы
Контрольные вопросы:
1. Что такое система линейных уравнений?
2. Матричный метод решения системы.
3. Какие методы еще знакомы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8
Составление алгоритма поиска кротчайшего пути.
Цель работы: изучение алгоритмов поиска кратчайших путей на графах и
составление алгоритма на языке высокого уровня.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Путем (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа
называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги,
отличной от последней, является начальной вершиной следующей. Так на рисунке 5
последовательности дуг μ1={a6, a5, a9, a8, a4}, μ2={a1, a6, a5, a9}, μ3={a1, a6, a5, a9, a10, a6, a4 }
являются путями.
Ориентированной цепью (орцепью) называется такой путь, в котором каждая
дуга используется не больше одного раза. Так, например, приведенные выше пути μ1
и μ2 являются орцепями, а путь μ3 не является таким, поскольку дуга a6 в нем
используется дважды.
Маршрут есть неориентированный "двойник" пути, и это понятие
рассматривается в тех случаях, когда можно пренебречь направленностью дуг в
графе.
Таким образом, маршрут есть последовательность ребер a1, a2,...,aq, в которой
каждое ребро ai, за исключением, возможно, первого и последнего ребер, связано с
ребрами ai-1 и ai+1 своими двумя концевыми вершинами.
Последовательности дуг на рисунке 6
5.2, a7, a8, a4, a3} и μ6={a10, a7, a4, Рисунок
μ4={a2, a4, a8Рисунок
, a10}, μ5={a
a8, a7, a2} 6.
являются маршрутами.
Контуром (простой цепью) называется такой путь (маршрут), в котором
каждая вершина используется не более одного раза. Например, путь μ2 является
контуром, а пути μ1 и μ3 - нет. Очевидно, что контур является также цепью, но
обратное утверждение неверно. Например, путь μ1 является цепью, но не контуром,
путь μ2 является цепью и контуром, а путь μ3 не является ни цепью, ни контуром.
Аналогично определяется простая цепь в неориентированных графах. Так,
например, маршрут μ4 есть простая цепь, маршрут μ5 - цепь, а маршрут μ6 не
является цепью.
Путь или маршрут можно изображать также последовательностью вершин.
Например, путь μ1 можно представить также: μ1={x2, x5, x4, x3, x5, x6} и такое
представление часто оказывается более полезным в тех случаях, когда
осуществляется поиск контуров или простых цепей.
Иногда дугам графа G сопоставляются (приписываются) числа - дуге (xi,xj)
ставится в соответствие некоторое число cij, называемое весом, или длиной, или
стоимостью (ценой) дуги. Тогда граф G называется взвешенным. Иногда веса (числа
vi) приписываются вершинам xi графа.
При рассмотрении пути μ, представленного последовательностью дуг (a1,
a2,...,aq), за его вес (или длину, или стоимость) принимается число L(µ), равное сумме
весов всех дуг, входящих в μ, т. е.
L(  ) 
c
ij
( xi ,x j )μ
(2)
Таким образом, когда слова "длина", "стоимость", "цена" и "вес" применяются к
дугам, то они эквивалентны по содержанию, и в каждом конкретном случае
выбирается такое слово, которое ближе подходит по смыслу.
Длиной (или мощностью) пути и называется число дуг, входящих в него.
ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ
Пусть дан граф G=(X,Г), дугам которого приписаны веса (стоимости),
задаваемые матрицей С=[сij]. Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении
кратчайшего пути от заданной начальной вершины (истока) s до заданной
конечной вершины (стока) t, при условии, что такой путь существует:
Найти µ(s,t) при L(µ)min, s,tÎХ, tÎR(s),
где R(s) - множество, достижимое из вершины s.
В общем случае элементы сij матрицы весов С могут быть положительными,
отрицательными или нулями. Единственное ограничение состоит в том, чтобы в G
не было циклов с суммарным отрицательным весом. Отсюда следует, что дуги
(ребра) графа G не должны иметь отрицательные веса.
Почти все методы, позволяющие решить задачу о кратчайшем (s-t)-пути, дают
также (в процессе решения) и все кратчайшие пути от s к xi(xiÎХ). Таким образом,
они позволяют решить задачу с небольшими дополнительными вычислительными
затратами.
Допускается, что матрица весов С не удовлетворяет условию треугольника, т. е.
не обязательно сij£сik +сkj для всех i, j и k.
Если в графе G дуга (xi, xj) отсутствует, то ее вес полагается равным ¥.
Ряд задач, например, задачи нахождения в графах путей с максимальной
надежностью и с максимальной пропускной способностью, связаны с задачей о
кратчайшем пути, хотя в них характеристика пути (скажем, вес) является не суммой,
а некоторой другой функцией характеристик (весов) дуг, образующих путь. Такие
задачи можно переформулировать как задачи о кратчайшем пути и решать их
соответствующим образом.
Существует множество методов решения данной задачи, отличающиеся
областью применимости и трудоемкостью (Дейкстры, Флойда, динамического
программирования). Среди них большое распространение получили частные
алгоритмы, применяющиеся при решении частных задач, и имеющие меньшую
трудоемкость. Эти частные случаи встречаются на практике довольно часто
(например, когда сij являются расстояниями), так что рассмотрение этих
специальных алгоритмов оправдано.
На практике задачу кратчайшего пути часто требуется решать для класса
ориентированных ациклических графов. Такая задача успешно решается с помощью
метода динамического программирования.
Отчет о выполнении
Отчет выполняется в электронном виде. Если заданий несколько, то повторить всю
систему отчета необходимое количество раз.
Текст задачи
Листинг алгоритма исполняемого файла
Скриншот интерфейса запускного файла программы
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Что такое граф?
Основные понятия и определения .
Описать задачу о кротчайшем пути.
Объяснить алгоритм решения на языке высокого уровня
Перечень литературы:
1. Теория алгоритмов: учебник / Д.Ш. Матрос, Г.Б. Поднебесова. – М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2008. – 202 с. : ил. – (Педагогическое образование).
2. Босс В. Лекции по математике. Т. 10: Перебор и эффективные алгоритмы: Учебное
пособие. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — 216 с.
3. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие для студ.
высш. учеб. заведений / В. И. Игошин. — 2-е изд., стер. — М. : Издательский центр
«Академия», 2008. — 448
4. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов
/ В. И. Игошин. — 3-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2007. —
304 с.
Дополнительная литература:
1. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Академия,
2007. - 304 с.
2. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. – М.: Академия,
2008. - 448 с.
3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. – М.: КомКнига, 2006. 240 с.
4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. – М.: КомКнига, 2006. 240 с.
5. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций.
Задачник-практикум и решения. – СПб.: Лань, 1999. - 288 с.
6. Тимофеева И.Л. Математическая логика в вопросах и задачах. Учебное пособие
для студентов математических факультетов педвузов. – М.: Прометей, 2002. 112 с.
7. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций. Часть 1. – М.: Прометей,
2003. - 144 с.
8. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций. Часть 2. – М.: Прометей,
2003. - 164 с.
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://mmf.nsu.ru/sites/default/files/AlgorithmsKogabaev.pdf
http://230101.ru/teor_algor/lect_t_a.htm
http://ap-economics.narod.ru/info/algoritms.pdf
http://any-book.org/download/68890.html
http://discopal.ispras.ru/ru.book-advanced-algorithms.htm
http://www.coolreferat.com/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1
%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC
%D0%BE%D0%B2
7. http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3025567
8. http://logic.pdmi.ras.ru/
http://infologos.narod.ru/
9. www.4tivo.com/education/; www.matburo.ru/literat.php;www.plib.ru; http://neh
udlit.ru; www.gaudeamus.omskcity.com; www.alleng.ru; www.symplex.ru; www.m
ath.ru.
10. http://agpi.itech.ru/.
Задания для дополнительного изучения
ЗАДАНИЕ 1. Изучить и реализовать следующие сортировки:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Простой вставкой.
Пузырьковая сортировка.
Простым выбором.
Пирамидальная сортировка.
Быстрая рекурсивная сортировка.
Быстрая сортировка с использованием стека.
Файловая сортировка естественным слиянием.
ВАРИАНТЫ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
ВАРИАНТ 1. “Карманная” сортировка [2]
ВАРИАНТ 2. Поразрядная сортировка [2]
ВАРИАНТ 3. Сортировка Шелла. [2]
ВАРИАНТ 4. Сортировка двухпутевым слиянием [3].
ВАРИАНТ 5. Сортировка связных списков слиянием сверху вниз[3].
ВАРИАНТ 6. Восходящая сортировка связных списков слиянием [3].
ВАРИАНТ 7. Быстрая сортировка с разделением на три части[3].
ВАРИАНТ 8. Индексная сортировка [3]
ВАРИАНТ 9. Сортировка бинарными включениями.[1].
ВАРИАНТ 10.Шейкер-сортировка [1].
ВАРИАНТ 11.Сортировка связных списков [3]
ВАРИАНТ 12. Метод распределяющего подсчета [3].
ВАРИАНТ 13.Метод разделения с вычислением медианы трех элементов [3].
ВАРИАНТ 14.Поразрядная сортировка [3].