1.Множества и действия над ними. Свойства 18.Способы задания графов. Матрицы связности,

1.Множества и действия над ними. Свойства
множеств. Законы алгебры множеств.
2.Отношения и функции. Композиция бинарных
отношений. Инъективные, сюрьективные и
биективные функции.
3.Отношения эквивалентности. Рефлексивность,
симметричность, антисимметричность,
транзитивность. Вид матриц, выражающих эти
свойства.
4.Отношения порядка. Частичный порядок элементов
множеств. Диаграммы Хассе.
5.Эквивалентные, конечные и бесконечные
множества. Теорема Кантора — Бернштейна.
6.Аксиомы теории множеств. Аксиома выбора и
аксиома детерминированности.
7.Отбор подмножеств. Число перестановок с
повторениями и без повторений. Число сочетаний с
повторениями и без повторений.
8.Бином Ньютона и свойства биномиальных
коэффициентов.
9.Полиномиальная теорема.
10.Метод рекуррентных соотношений. Вывод
формулы.
11.Производящая функция. Операции в классе
производящих функций. Производящие функции
последовательностей.
12.Производящая функция последовательности чисел
Фибоначчи.
13.Метод включений и исключений. Подсчет числа
элементов объединения n множеств.
14.Формула включений и исключений для множества
элементов с k совместимыми свойствами.
15.Учет весов в формуле включений и исключений.
16.3адача о числе беспорядков. Функция Эйлера.
17.Графы, виды графов, способы их задания.
Операции над графами. Маршруты, цепи, циклы.
18.Способы задания графов. Матрицы связности,
достижимости и контрдостижимости графа.
19.Метрические характеристики графа.
20.Упорядочивание дуг и вершин орграфа.
21.Выявление маршрутов с заданным
количеством ребер. Метод Шимбелла.
22.Алгоритм Дейкстры.
23.Алгоритм Беллмана — Мура.
24.Алгоритм нахождения максимального пути.
25.Деревья. Построение экстремального остова.
26.Эйлеровы графы. Признак эйлеровости графа.
Алгоритм Флери.
27.Гамильтоновы графы. Теорема Оре.
28.Фундаментальные циклы, матрица
фундаментальных циклов.
29.Независимые множества графа.
Доминирование. Оценки числа вершинной
независимости и числа доминирования.
30.Клики графа. Алгоритм выделения клик в
графе. Матрица клик.
31.Планарность графов. Свойство
гомеоморфизма. Теорема ПонтрягинаКуратовского. Число планарности.
32.Алгоритм укладки графа на плоскость.
33.Хроматические графы. Гипотеза четырех
красок. Оценки хроматического числа. Алгоритм
последовательной раскраски графа.
34.Потоки в сетях. Теорема Форда —
Фалкерсона.
35.Модификации сети для расчета потока
минимальной стоимости.
З6.Элементы сетевого планирования.
Критические пути и сроки. Ранние и поздние
сроки свершения событий и работ. Резервы
времени.
37.Линейные графики. Планирование ресурсов в
сети.
1.Множества и действия над ними. Свойства
множеств. Законы алгебры множеств
Множество – это совокупность некоторых
объектов, объединенных по какому-либо
признаку. Эл-ы мн-ва должны быть различными,
обознач-ся {…} , внутри скобок либо
перечисляются эл-ы, либо описываются их свва. Пример: A={x N/x+2=1} – пустое. Если
объект a явл-ся эл-м множ-ва A, то пишут
,
в обратном случае
. Если кажд эл-т мн-ва
А есть эл-т мн-ва В, то пишут
или мн-во
А явл-ся подмножеством В:
. Мн-ва,
состоящие из одних и тех же эл-в называются
равными (А=В). Если
, то мн-во В
наз-ся собственным подмножеством мн-ва А.
Пустое мн-во и мн-во А наз-ся несобств подмнми мн-ва А. Если А – подмн-во В,
, пишут
. Совокупность всех подмн-в А
– его булеан(множ-во – степень), обознач-ся
A
P(A) или 2 . Новые мн-ва строятся с пом-ю
скобок и операций над мн-ми. Операции:
1.Объединение(сумма)
определяется как
.
2.Пересечение(произведение) двух мн-в – такое
мн-во С, состоящее из эл-в принадлежащих
одновременнообоим множествам.
.
3.Разность двух мн-в A и B – мн-во A\B –
состоит только из эл-в, входящих в А и
одновременно не входящих в В.
=
.
Если А-подмнож-во U, то A\U обознач-ся дополнение мн-ва А. 4.Симетрическая разность
(кольцевая сумма) мн-в А и В – мн-во
, определение
. 5.Мн-во, эл-ми которого явл-ся все упорядоч
пары (a,b),
, назыв-ся прямым или
декартовым произв-ммн-в А и В
. Пример:
A={1,2},B={2,3},
Декартовый
квадрант – произв
. Законы алгебры
множеств: 1. Коммутативный
; 2.Ассоциативный
,
; 3. Дистрибутивный
закон
2.Отношения и функции . Композиция
бинарных отношений. Инъективные,
сюръективные и биективные функции.
n-местным отношением на множествах
назыывается любое подмнож-во
декартового произведения
.
Обозначение n-местного отношения P (x1,x2,
… ,xn). При n = 1 отношение P наз-ся унарным
– подмножество множ-ва . Бинарное мн-во –
множ-во упорядоченных пар. Эл-ы x1,x2, … ,xn
наз-ся координатами (компонентами)
отношения P. Тождественное отношение
(диагональ)
. Полное
отношение (полный квадрат) ,
.
Область определения бинарного отношения P
– мн-во D={x/(x,y)
}.
Область значений R={y/(x,y)
}.
Композицией бинарных отношений
и
называется мн-во
,
,
такой, что
(x,z)
Св-ва любых бинарных отношений:
1.
2.
3.(
Бинарное отношение
называется
функцией из мн-ва A в мн-во В, если
и из
,
следует, что
. Если вместо
выполн-ся
, то f называется
частичной функцией. Инъективная функция –
если отношение
является частичной
функцией (для любых эл-в
из
следует
. Функция
наз-ся ф-й A на B –сюръективной
функцией., если
. Функция f наз-ся
биективной, если она одновременно
сюръективна и инъективна.
3.Отношения эквивалентности.
Рефлексивность, симметричность,
антисимметричность, транзитивность. Вид
матриц, выражающих эти свойства.
Отношением эквивалентности (~) на
множестве Х- это бинарное отношение,
для которого выполнены следующие
условия:
1.Рифлексивность: А~ А ( Бинарное
отношение R на множестве X называется
рефлексивным, если всякий элемент
этого множества находится в отношении
R с самим собой.)
2. Симметричность: если А~ В, то B~A
(Бинарное отношение R на множестве X
называется симметричным, если для
каждой пары элементов множества a,b
выполнение отношения aRb влечёт
выполнение отношения bRa.
3.Транзитивность если A~B и B~C, то C~A
( Бинарное отношение R на множестве X
называется транзитивным, если для
любых трёх элементов множества a,b,c
выполнение отношений aRb и bRc влечёт
выполнение отношения aRc.
Бинарное отношение R на множестве X
называется антисимметричным, если для
каждой пары элементов множества a,b
выполнение отношений aRb и bRa влечёт
a = b.
7.Отбор подмножеств. Число перестановок с
повторениями и без повторений. Число
сочетаний с повторениями и без.
С операцией отбора подмножеств связанно
понятие выборки. Выборка – осуществление
операции отбора. Результат выборки –
выбранное подмножество.
(n,r) выборка - подмн-во из n эл-тов
выбранное из состоящего из n эл-тов . r –
объем выборки. (n,r) перестановки - (n,r)
выборки рассм-ся с учетом порядка эл-тов в
них. (n,r) сочетания – выборки, в которых
порядок эл-тов в выбранных подмн-вах
неважен.
(n,r) перестановка с повторениями упорядоченная (n,r) выборка в которой эл-ты
могут повторятся. (n,r) перестановка без
повторений – упорядоченная (n,r) выборка элты которой попарно различны. Число первок без повтор.
или
. А с повтор. –
или
.
Сочетанием с повторениями из n эл-тов по r
наз-ся неупоряд. (n,r) выборка в кот. эл-ты
могут повторятся. Число сочетаний без
повторений:
, c повторениями:
. Теорема
1.Число упорядоченных r-элементных подмн-в
множ-ва из n элементов
, если r=n
8.Бином Ньютона и свойства биномиальных
коэффииентов.
– если на главной диагонали
все 1 тогда матрица рефлексивна иначе
иррефлексивна.
Если Р Т=Р тогда матрица симметрична
если же Р Т×Р матрица имеет
вид
она антисимметрична
иначе(если присутсвует хотя бы одна 1ца на не главной диагонали) не
антисимметрична
Р транзитивно если
; 4.
Законы идемпотентности:
,
,
,
,
;
5.Поглощения:
,
; 6.де Моргана(двойственности)
,
, 7. Двойного
дополнения
; 8.Включения
; 9. Равенства
4.Отношения порядка. Частичный порядок элементов
множеств. Диаграммы Хассе.
Бинарное отношение а на множестве X называется
отношением порядка, если оно
транзитивно:
и
антисимметрично:
Виды: Отношение порядка а называется отношением
нестрогого порядка на множестве X, если a
рефлексивно:
Отношение порядка а называется отношением
строгого порядка на множестве X, если a
антирефлексивно:
Множество S называется частично упорядоченным
(ЧУМ), если на нем задано рефлексивное,
транзитивное и антисимметричное бинарное
отношение частичного порядка ρ.
ЧУМ называется линейно упорядоченным (цепью),
если для любых x,y ∈ S или x ≤ y, или y ≤ x, либо
выполняются оба эти отношения (x = y). Любой
частичный порядок можно представить изображением
объединения множества диаграмм соответствующих
линейно упорядоченных подмножеств. Полученная
таким образом диаграмма называется диаграммой
хассе.
9. Полиномиальная теорема.
Полиномиальная теорема – обобщение формулы
бинома на случай k слагаемых:
Суммировани произв-ся по всем решениям ур-я
в целых неотриц числах,
выражение
5.Эквивалентные, конечные и бесконечные
множества. Теорема Кантора — Бернштейна.
Множества А и Б называются
эквивалентными если существует биекция
А Б
Множество А называется конечным если
существует n N такое что А {1,2,…,n}.
Счетное множество-это такое множество А,
все элементы которого могут быть
занумерованы в бесконечную
последовательность а1,а2,…,аn… так чтобы
при этом каждый элемент получил лишь один
номер n и каждое натуральное число n было
бы номером лишь одного элемента
множества.
Всякое бесконечное множество А содержит
счетное множество Б притом что А\Б есть
бесконечное множество
Всякое бесконечное множество А содержит
подмножество Б А причем А\Б есть
бесконечное множество
Теорема Кантора-Бернштейна: Если из двух
множеств А и Б каждое эквивалентно части
другого то эти два множества эквивалентны
между собой
10.Метод рекуррентных соотношений. Вывод
формулы
Метод рекуррентных соотношений – решение
комбинаторной задачи с n предметами
выражается через решение аналогичной задачи с
меньшим числом предметов с помощью
некоторого соотношения, которое называется
рекуррентным. Пользуясь соотношением,
вычисляем исходную величину, исходя из того,
что для небольшого кол-ва предметов решение
задачи легко находится.
Докажем, что
. Рассмотрим число
сочетаний с повторениями для малых значений
индексов.
.
-число сочетаний
из n по 1. Ясно, что из n эл-в можно выбрать
ровно n различных выборок, состоящих из 1 эл-а.
-число r-сочетаний из одного
элемента.
. Зафиксируем в
некоторый эл-т. При выборе каждое rсочетание либо содержит этот эл-т, либо нет.
Если не содержит, то он не должен попасть в rсочетание, сл-но его надо исключать из мн-ва
т.е в мн-ве остаются для выбора n-1 эл-в.Сл-но
число r-сочет с повторениями из n-1 эл-в равно
Если r-сочетание уже содержит этот эл-т,
тогда остальные r-1 эл-в можно выбрать из тех же
n эл-в множ-ва ,т.к допускаются любые
повторения. Число способов такого выбора равно
.
;
6.Аксиомы теории множеств. Аксиома выбора и
детерминированности.
(1). Аксиома объёмности. Два множества A и B
равны тогда и только тогда, когда они имеют
одни и те же элементы.
(2).Аксиома объединения. Для любого семейства
a множеств существует множество b =
,
называемое объединением множества a,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые содержатся в элементах множества a.
(3). Аксиома множества подмножеств. Для
любого множества a существует множество b,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые являются подмножествами множества
a.
(4).Аксиома подстановки(замены):для каждого
множества А и функции F, определенной на А ,
существует множество , содержащие е в
точности объекты f(x) для х из А и
существующего B причем B=
(5).Аксиома регулярности (фундирования ).если
множество А имеет минимальный елемент.
(6). Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4
предоставляют ограниченные возможности для
формирования новых множеств. Так, по теореме
Кантора в множестве P(a)имеется элемент, не
принадлежащий a, поэтому, например, не
существует «множества всех множеств». Далее
введём определение: множество называется
индуктивным, если оно а) содержит пустое
множество и б) содержит последователь (то есть
элемент a
) каждого своего элемента.
Аксиома бесконечности утверждает, что
индуктивные множества существуют.
(7). Схема выделения. Любому множеству a и
свойству Ф отвечает множество b, элементами
которого являются те и только те элементы a,
которые обладают свойством Ф. Схема
выделения содержит счётное количество
аксиом, так как каждая формула Ф(х) логики
первого порядка порождает аксиому.
1//. Аксиома пустого множества. Существует
множество e без единого элемента. Это
множество обычно обозначается {} или .
2//. Аксиома пары. Для любых множеств a и b
существует множество c такое, что a и b
являются его единственными элементами.
Множество c обозначается {a,b} и называется
неупорядоченной парой a и b. Если a = b, то c
состоит из одного элемента.
Аксиома выбора. Для любого семейства попарно
непересекающихся непустых множеств
существует множество c такое, что, каково бы
ни было множество x данного семейства,
множество x c состоит из одного элемента.
Аксиома детерминированности. Всякое
множество А являющееся подмножеством В
детерминировано. В-бэровское пространство.
11.Производящая функция. Операции в классе
производящих функций. Производящие
функции последовательностей.
В комбинаторике производящая функция
последовательности {an} — это
формальный степенной ряд
Сумма последовательностей {a}= {a0, a1 ,…}
и {b]={ b0, b1,…} называется пость{c}={a+b}={ a0+ b0, a1 + b1,…}
Производящих функций Fc(t)=
Fa(t)+Fb(t)=
Произведением последовательностей {a} {b}
называется пос-ть{d}={a*b}={ d0, d1,…}у
которой dr = a0 br + a1br-1 + a2br-2 +…+ ar b0
Производящих функций Fd(t)=
Fa(t)×Fb(t)=
Биномиальное разложение служит основой
для комбинаторных формул:
1.a=b=1
– число всех
неупорядоченных подмнож-в мн-ва ,
состоящ-го из n эл-в
2.a=1, b=-1
– суммы
биномиальных коэффициентов, стоящих на
четных и на нечетных местах, равны между
собой и каждая равна
; Число (n,r) перестановок с
повторениями: =
. Теорема
2.Число неупорядоченных r-элементных
подмножеств мн-ва , сост-го из n эл-в равно
Число
n-множ-ва
разбиений
равно
;
12. Производящая функция
последовательности чисел Фибоначчи.
Числа Фибоначчи — это элементы числовой
последовательности
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, 1597,…
в которой каждое последующее число равно
сумме двух предыдущих чисел.
Производящей функцией последовательности
чисел Фибоначчи является:
13. Метод включений и исключений.
Подсчет числа объединений n множеств.
Основная формула, которой пользуются при
нахождении числа элементов объединения
двух множеств, такова:
, где n(A)
– количество элементов множества А.
Теорема: Если
– некоторые
множества и
,
то
14. Формула включений и исключений для
множества элементов с k совместимыми
свойствами.
Данную формулу (в билете №13) можно обобщить и
подсчитать не только количество элементов заданных
множеств. Пусть дано n-множество некоторых
элементов и k-множество свойств
,
которыми элементы множества могут как обладать,
так и не обладать. Выделим какую-либо r-выборку
свойств
.
Число элементов
, обладающих всеми r
выбранными свойствами обозначим через
. Отсутствие у элемента какого-либо
свойства будем обозначать . Тогда, например,
запись
означает число элементов,
обладающих свойствами и и не обладающих
свойством .
а) Пусть имеется одно свойство p, тогда
.
б) Имеется конечное число свойств
,
несовместимых друг с другом. Тогда опять
.
в) Элементы обладают комбинациями различных
свойств. Тогда справедлива теорема:
Теорема: Если даны n-множество элементов и kмножество свойств ,
, совместимых между
собой, тогда
15.Учет весов в формуле включений и
исключений
Веса – числовые характеристики элементов
рассматриваемых множеств
Пусть задано множество и каждому элементу
приписан вес
из kмножества свойств p1,p2,…,pi.
.
Если даны n-множество, , каждый элемент
которого имеет вес, и k-множества свойств, то
сумма
весов элементов, не
удовлетворяющих ни одному из заданных
свойств, определяется по формуле
,
а
- сумма весов
элементов со свойством
Произведем r-выборку свойств
и
обозначим сумму весов элементов обладающих
всеми r выбранными свойствами, через
сумма весов элементов мн-ва
, которые обладают каждым из p1,p2,…pk
свойств. Сумму распространненую на все
возможные r-выборки свойст обозначим
Cуммирование распространяется на все
сочетания i1,i2…,ir длины r из k свойст,
количество сочетаний равно
Сумма весов элементов обладающих точно r
свойствами свойств p1,p2,…,pk
16.3адача о числе беспорядков. Функция
Эйлера.
Пусть имеется конечное упорядоченное
множество чисел 1,2, … , n. Число всех
перестановок n!. Перестановки в которых ни
один элемент не сохранил своего
первоначального места:
называются беспорядками.
Число способов, которыми можно выбрать k
закрепленных элементов из общего кол-ва n
элементов, равно
Число беспорядков, когда не один элемент не
сохранил своего первоначального места
находится по формуле
Выражение
обозначает целую часть
заданного числа, а – основание натуральных
логарифмов.
Число перестановок в которых остаются на
своих местах k элементов
Функция Эйлера
Функцией Эйлера называется функция
,
определенная на множестве N, значения которой
равны числу k натуральных, может быть и
составных целых чисел, взаимно простых с n не
и не превосходящих n, т.е.
,
для
полагают
Свойства функции Эйлера
1.Если
, то
Например (3,7)=1,
.
Возьмем
17.Графы, виды графов, способы их задания.
Операции над графами. Маршруты, цепи,
циклы.
Граф или неориентированный граф G — это
упорядоченная пара G: = (V,E), для которой
выполнены следующие условия:
*V это множество вершин или узлов,
*E это множество пар (неупорядоченных)
различных вершин, называемых рёбрами.
Виды графов по связности:
(1)Орграф называется односторонне связным,
или односторонним, если для любых двух
различных его вершин хi и xj существует, по
крайней мере, один путь из хi в xj или из xj в хi
или оба пути существуют одновременно.
(2) Орграф называется слабо связным, или
слабым, если для любых двух различных
вершин графа существует по крайней мере
один маршрут, соединяющий их.
(3) Орграф называется несвязным, если для
некоторой пары вершин орграфа не
существует маршрута, соединяющего их
Операции над графами:
*Замыкание или отождествление. Говорят, что
пара вершин хi и xj в графе G замыкается (или
отождествляется), если они заменяются такой
новой вершиной, что все дуги в графе G,
инцидентные хi и xj , становятся
инцидентными новой вершине.
*Удаление вершины. Если хi -вершина графа
G = (X, A), то G–хi -порожденный подграф
графа G на множестве вершин X–хi , т. е. G–хi
является графом, получившимся после
удаления из графа G вершины хi и всех ребер,
инцидентных этой вершине.
*Объединением графов G1 = (N1,A1) и G2 =
(N2,A2) называется граф, у которого
объединены множество вершин и множество
дуг графов G1 и G2. Обозначение G1 G2.
*Пересечением графов G1 = (N1,A1) и G2 =
(N2,A2) называется граф, у которого
пересечены множество вершин и множество
дуг графов G1 и G2. Обозначение G1 G2
19. Метрические характеристики графа.
Дан связный граф G=(S, U);
и – две
вершины графа.
Расстояние между и
– длина
кратчайшего ( , )-маршрута (простая
цепь).
Эксцентриситет вершины x:
e(x)=
– для любой вершины х.
Диаметр графа G – максимальный из всех
эксцентриситетов –
d(G)=
=
.
Радиус графа G – минимальный из всех
эксцентриситетов вершин графа –
r(G)=
=
.
Периферийная вершина х - вершина, чей
эксцентриситет равен диаметру графа –
е(х)=d(G).
Диаметральная цепь – простая цепь,
расстояние между концами к. равно d(G).
ТЕОРЕМА: для любого связанного графа G
справедливо неравенство d(G)≤rankG.
Доказательство:
1.п/п: 1) d(G)=d 2) , ,…,
–
диаметральная цепь графа G.
2.В матрице смежности вершин P(G)
выбераем нумерацию вершин так,
Чтобы вершины , ,…,
имели номера
1, 2, …, d+1.
3.Т.к. цепь , ,…,
является подграфом
23.Алгоритм Беллмана-Мура
Если веса-произвольные числа и граф G не
содержит ориентированных циклов
отрицательного веса, то мин путь можно найти
по алг Б-М, похожему на алгоритм Дейкстры и
часто называемому алгоритмом корректировки
меток. Как и в алгоритме Дейкстры всем
вершинам присваиваются метки, но здесь нет
деления меток на временные и постоянные.
Корректировка меток осуществляется по
условию
25.Алгоритм построения макс пути
Для нахождения макс пути граф G(сеть)
должен быть ациклическим, ибо в противном
случае может оказаться, что длины некоторых
путей не ограничены сверху. Если Gn –
ациклический граф, то для любых двух его
вершин
xi xj выполняется одно из трех условий:
1) xi предшествует xj , xj Sпредш(xj)
2) xi следует за xj , xj Sслед(xj)
3) нет пути между xi и xj
Первое и второе условия одновременно не
выполнимы из-за требуемой ацикличности
графа.
Перед вычислением макс пути в орграфе
необходимо упорядочить вершины графа по
алгоритму Фалкерсона. Сам алгоритм
вычисления макс пути чисто
перечислительный. Он перебирает все
возможные пути от текущей вершины до
последующих, достижимых из текущей.
Пусть – длина макс пути от вершины до
вершины , тогда величина удовлетворяет
сл рекуррентным соотношениям:
3.
,
где d – различные делители числа n. Например
Выражение
означает, что
суммирование ведется по всем делителям числа
10, т.е.
, где
и
, то P(G)=
– клеточная матрица,
В левом верхнем углу (из-за выбранной
нумерации вершин) – матрица смежности
подграфа .
4.Данный подграф является простой цепью.
А=
-симметрическая матрица
порядка d+1.
а) В ней все элементы, кроме двух
ближайших к главной диагонали полос, =0.
б) Минор порядка d матрицы А без первого
столбца и последней строки =1.
в) а это значит: rankG=rankP(G) ≥rankA≥
d=d(G) => rankG≥d(G).
Центральная вершина – вершина х, при
е(х)=r(G).
Центр графа – множество всех центральных
вершин графа (от одной и более точек).
.
Например
или x=3,n=10
20. упорядочивание дуг и вершин орграфа
Упорядочивание элементов графа помогает в работе
над графами.
Упорядочивание вершин орграфа без контуров
(циклических цепей)Это разбиение его вершин на группы, при котором:
1.Вершины первой группы не имеют
предшествующих вершин, а вершины последней
группы последующих.
2.Вершины любой другой группы не имеют
предшествующих в следущей группе.
3.Вершины одной и той же группы дугами не
соединяются!
В результате такого упорядочивания получится граф,
изоморфный исходному.
Три способа упорядочивания элементов
1.Графический м. (алгоритм Фалкерсона)
А)Находим вершины графа, в которые не входит ни
одна дуга.
Эти вершины образуют первую группу.
Нумерация вершин в произвольном порядке.
Б)Вычёркиваем все пронумерованные вершины и
исходящие дуги тоже.
В получившемся графе найдётся хотя бы одна
вершина без входящих дуг.
Этой вершине присваиваем группу № 2 и порядковый
номер.
Второй шаг повторяем до полного упорядочивания
всех вершин.
Аналогично упорядочиваем дуги орграфа.*
2.Матричный м.
А)Составляем матрицу смежности вершин графа, если
таковой не имеем.
Б)Вычисляем компоненты вектора =
(nчисло вершин),
К. представляют собой полустепени захода вершин
графа.
Полустепень захода ( ) – количество заходящих
дуг в .
Полустепень выхода ( ) – количество выходящих
дуг в .
В)Смотрим полустепени захода вершин:
если равно 0 нет заходящих дуг
в 1-ую группу.
21.выявление
маршрутов
с
заданным
количеством рёбер.
Теорема: для определения количества маршрутов,
состоящих из k рёбер(дуг),
Необходимо возвести в k-ую степень матрицу
смежности вершин.
Тогда элемент
даст количество маршрутов
длины k (состоящих из k рёбер)
из вершин в вершину .
Метод Шимбелла
Спец. операции над элементами
смежности вершин:
1.Операция умножения двух величин:
2.Операция
сложения
двух
матрицы
величин:
Минимальный или максимальный элемент
выбирается из не нулевых элементов.
С помощью спец. операций:
Возводим в степень весовую матрицу Ω,
содержащую веса рёбер и
получаем длины кратчайших или максимальных
путей между всеми вершинами.
Шаг 2. Изменение меток
Для каждой вершины с временной меткой,
непосредственно следующей за вершиной
меняем ее метку в соответствие с сл правилом
(1*)
Шаг 3. Превращение метки из временной в
постоянную.
Из вершин с временными выбираем ту, у
которой метка наименьшая.
Превращаем эту метку в постоянную и полагаем
.
Шаг 4. Проверка на завершение.
Если текущая вершина
равна t,то
длина кратчайшего пути. В противном случае
возвращаемся ко второму шагу.
Этап 2
Шаг 5. Последовательный поиск дуг
кратчайшего пути.
Среди вершин , непосредственно
предшествующих
с постоянными мтками ,
находим вершину, удовлетворяющую
соотношению
.
включаем дугу (
) в искомый путь и
полагаем
.
Шаг 6. Проверка на завершение 2ого этапа
Если
то кратчайший путь найден.если
нет то возщвращаемся к пятом шагу.
Г)Вычёркиваем вершины попавшие в 1-ую группу и
исходящие дуги
(вычёркиваем соответствующие строки в матрице
смежности вершин).
Д)Вычисляем компоненты вектора = - ( –
выпавшая вершина). И т.д.
Повторяем пункты 3, 4 и 5, пока не получится вектор
, У к. будут только нулевые и вычеркнутые
компоненты.
25.Деревья. Построение экстремального остова.
Деревом называют связный граф, не содержащий
циклов. Любой граф без циклов называется лесом
Виды: Ориентированное дерево – любой из вершин
22.Алгоритм Дейкстры.
Пусть G={S,U,Ω)- ориентированный граф со
взвешенными дугами. Вершина s-вершина пути
,t- конец пути. Алгоритм Дейкстры часто
называют алгоритмом расстановки
меток.(метки-числа числа, служащие оценкой
длинны(веса) кратчайшего пути от вершины s до
. Если вершина получила метку d( ) на
некотором шаге , это означает, что в графе
существует путь из s в ,имеющий вес d( ).
Метки могут находится в двух состояниях –
временные и постоянные. Превращение метки в
постоянную означает, то кратчайшее расстояние
от вершины s до соответствующей вершины
найдено.
Веса дуг должны быть положительными.
Состоит из двух этапов. На первом находится
длина кратчайшего пути, на втором строится
сам путь.
Этап 1
Шаг 1. Присвоение нач меток.
d(S)=0* метка постоянная.
полагаем d( )= и считаем их временными.
26.Эйлеровы графы. Признак эйлеровости графа.
Алгоритм Флери.
Связный граф называется эйлеровым если он
содержит цикл включающий все ребра графа
27.Гамильтоновы графы. Теорема Оре.
Граф называется гамильтоновым если в нем
имеется цикл содержащий каждую вершину
Теорема Оре Если для любой пары х и у
(1*)но выполнение условия
Теперь не гарантирует, что длина
кратчайшего пути найдена, тк наличие дуг с
отрицательными весами может уменьшить эту
метку на последующих шагах. Поэтому в
алгоритме Б-М вмето процедуры превращения
временной метки в постоянную формируется
очередь вершин, в которых нужно
проанализировать по правилу (1*)
возможности уменьшения меток вершин,не
находящихся сейчас в очереди, но
достижимых их из нее в один шаг. Одна и та
же вершина может отправляться в очередь не
один раз.
Алгоритм Б-М состоит из двух этапов. На
первом находят длины кратчайших путей от
вршины s до всех остальнх вершин графа.
Этот этап заканчивается при отсутствии
вершин в очереди. Второй этап – построение
кратчайшего пути от s до t – совпадает
полностью с соответствующим этапом
алгоритма Дейкстры и выполняется по
формуле
.
Этап 1 Шаг1. Присвоение нач значений.
Шаг 2. Корректировка меток и очереди.
Удаляем из очереди вершину, находящуюся в
самом начале очереди. Для каждой вершины
, непосредственно достижимой из текущей
вершины, корректируем ее метку по формуле
(1*). Если при этом
, то
корректируем очередь вершин, иначе
продолжаем перебор вершин и корректировку
временных меток.
Корректировка очереди. Если вершина не
была ранее в очереди и не находится в ней
сейчас, то ставим ее в конец очереди, а если
была в очереди раньше или находится в ней
сейчас то ставим вершину в начало очереди.
Шаг 3. Проверка на завершение первого этапа.
Если очередь Q=0 то первый этап закончен,
если нет, то возвращаемся к началу второго
шага.
29. Независимые множества графа.
Доминирование. Оценки числа вершинной
независимости и числа доминирования.
Множество вершин графа называется
Эти соотношения позволяют легко вычислить
длины макс путей от s= до вершин
достижимых из нее. Сами пути могут быть
построены методом последовательного
возвращения (второй этап в алгоритме
Дейкстры).
предшествует только 1-на вершина начиная с корня
Неориентированное дерево(любое другое) – можно
превратить в ориентированное выбрав в качестве
корня произвольную вершину
Экстремальный остов строится при помощи
Алгоритма Прима : Определим пошаговое расстояние
между множествами S1 и S2 следующим образом
d(S1, S2)=min{ώ(xi, xj)/x S1,y S2} где (xi, xj)-дуга
соединяющая вершины xi, xj
причем ребра не повторяются
Признак: Связный граф является эйлеровым
тогда и только тогда когда степени всех его
вершин четны
Алгоритм Флери: позволяет построить один из
существующих элеровых циклов
Правила:
1.Выбираем вершину Х1 и ребро С1 вычеркиваем
С1 и переходим по нему в Х2
2.Находясь в вершине Хi не следует выбирать
ребро соединяющее с Х1 и перешейком (при
удалении которого граф распадается на 2-е
компоненты связности) если имеется
возможность иного выбора
3.Порядок обхода совпадает с нумерацией ребер
несмежных вершин графа Г порядка n≥3
выполняется условие Р(х)+Р(у)≥n
то Г- гамильтонов граф.
З0.Клики графа. Алгоритм выделения клик в графе.
Матрица клик.
Подмножество S’ вершин графа G=(S,U) называется
кликой если каждые две входящие в него вершины
смежны.Клика называется макс, если она не
содержится в клике с большим количеством вершин,
и наибольшей, если число вершин в ней наибольшее
среди всех клик. Число вершин в наибольшей клике
называется кликовым числом или плотностью графа и
обозначается через
.
Опишем алгоритм выделения клик в графе. Этот
алгор представляет собой поиск с возвращением по
спец дереву поиска.Каждый узел этого дерева
соответствует полному подграфу исходного графа, а
само дерево поиска строится сл образом. Корень
дерева поиска- пустое начальное множество
S=0.Пусть S произвольная вершина дерева какоголибо уровня. Тогда вершиной следующего уровня
дерева будет вершина S
, если х
и смежна с
каждой вершиной S. В дереве поиска вершины S и
S
, соединяются ребром, соответствующим
вершине х. Каждая клика мощностью n порождается в
дереве поиска n! Раз. При построении дерева все
тонкие ребра можно сорвать они не приводят к новым
кликам. Надо руководствоваться правилами:
1) если все поддеревья узла S
в дереве поиска
клик уже исследованы , то нужно исследовать лишь те
вершины из S
,, для которых вершинв у не
смежна с вершиной х.
2) если S – узел в дереве поиска, а
- узел
предыдущего уровня и все поддеревья узла
уже исследованы, то все неисследованные поддеревья
узла S
можно опустить.
Иногда полезно понятие матрицы клик. Пусть
G=(S,U) произвольный граф, Q={Q1,Q2,…,Qp} – мново всех макс клик и S={x1,x2,…,xn}. Определим
бинарную матрицу pxn C=C(G), строки которой
соответствуют кликам из множества Q, а столбцы -
31. Плоский граф-граф, вершины которого
являются точками плоскости, а ребра непрерывными плоскими линиями без
самопересечений, причем никакие два ребра не
имеют общих точек, кроме инцидентной им
обоим вершины. Любой граф, изоморфный
плоскому, называется планарным. Все планарные
графы укладываются на плоскости.
Теорема Эйлера. Для всякого связного
планарного графа верно равенство: n-m+f=2, где
n, m, f – соответственно число вершин, ребер и
граней графа.
Два графа называются гомеоморфными, если они
оба могут быть получены из одного и того же
графа подразбиением его ребер.
Теорема Понтрягина – Куратовского
Граф планарен тогда и только тогда, когда он не
содержит подграфов, гомеоморфных графов К5
или К3,3.
Если граф непланарен, то для его геометрической
реализации удаляют отдельные ребра (переносят
их на другую плоскость). наименьшее число
ребер, удаление которых приводит к планароному
графу, называется числом планарности.
32. Алгоритм укладки графа на плоскость
Матрица C(G) называется матрицей клик графа G.
- поток по дуге
1)
начальной вершины
при ограничениях:
. 2)Для
–уравнение
истока. 3)Для конечной вершины
–уравнение
стока. 4)Для любой другой вершин
–условие
сохранения потока. Общее решение задачи о потоке
минимальной стоимости строится следующим
образом – сначала строится кратчайший путь от s к
t и величина
максимально возможного
потока вдоль этого пути. Если окажется что
, то задача решена. В противном случае
сеть модифицируется, затем опять находится
кратчайший путь и максимально возможный поток
вдоль этого пути. Это повторяется до тех пор пока
либо нужное кол-во не будет переправлено, либо
либо возникнет сеть в которой нет пути от s к t, что
означает отсутствие решения задачи.
Модифицированная относительно данного потока
сеть
строится следующим образом:
, тоесть число и набор вершин в
модифицированной сети не изменяется.
некоторое множество фиктивных
дуг. Таким образом после модификации число дуг
увеличивается.
и
, то дуга
включается в множество V. При этом полагается
,
. Этот пункт
применяется только к дугам, по которым проходит
поток , относительно которого проходит
модификация.
4.Для всех ненасыщенных дуг полагают
,
.
5.Для всех насыщенных дуг полагают
.
Гипотеза четырех красок: Всякий планарный
граф 4-раскрашиваем.
-хроматическое число графа, P(G) –
наибольшая из степеней вершин графа G
1.для любого неор. графа G выполняется
неравенство
2. Для любого связного (n, m) графа G верны
неравенства
целая часть, {}- дробная часть
3. Для любого n-вершинного графа G верно
неравенство
Алгоритм последовательно раскраски
1.Произвольной вершине х графа G
присваивается цвет 1.
2.Если вершины х1, х2, …, хi раскрашены k
цветами 1, 3, …, k, k<=i, то новой произвольно
взятой вершине x(i=1) приписывается
минимальный цвет, не использованный при
раскраске вершин из ее окружения
вершинам графа, причем
35. Модификация сети для расчета потока
минимальной стоимости
Имея сеть
, каждая дуга
характеризуется пропускной способностью
и неотрицательной стоимостью
пересылки единичного потока из в
вдоль дуги
, то задача определения потока
минимальной стоимости величины от s к t сводится
к минимизации
, где
1.выбираем любой простой цикл С графа G.
Этот цикл укладывается на плоскости и
полагается, что G(тек)=С.
2.находим все грани G(тек) и все сегменты Gi
относительно Gтек. Если множество сегментов
пусто на п7.
3.для каждого сегмента Gi определяем
множество допустимых граней Г(Gi). Если
найдется сегмент Gi для которого Г(Gi) не равно
пустому множеству, то исходный граф G
непланарен; конец алгоритма, иначе переход на
п4
4. Если сущ-ет сегмент Gi , для кот. имеется
единственная допустимая грань Г, то
происходит переход на п6, иначе на п5.
5. Для некоторого сегмента Gi, для которого Г
(Gi) >1, выбираем произвольную допустимую
грань.
6. Произвольная альфа цепь L сегмента Gi
помещается в грань Г, Gтек заменяется на
Gтек L и происходит переход к п1.
независимым (внутренне устойчивым), если
никакие две вершины из этого множества не
смежны. Очевидно, что граф порожденный
вершинами независимого множества, будет
пустым. Число вершин в наибольшем
независимом множестве графа G называется
числом (вершинной) независимости или
неплотностью этого графа и обозначается
.
Для любого графа G=(S,U) верно неравенство
. С понятием
независимости графа связано понятие
доминирования. Подмножество
вершин
графа G=(S,U) называется доминирующим
(внешне устойчивым), если вершина из
смежна с некоторой вершиной из S’ ,т.е.
каждая вершина графа находится на
расстоянии в одно ребро от доминирующего
множества. Доминирующее множество
называется минимальным, если никакое его
собственное подмножество не является
доминирующим. Доминирующее множество
имеющее наименьшую мощность, называется
наименьшим.
33. Хроматические графы
Пусть G=(S, U) – неорграф. Раскраской графа
называется такое приписывание цветов его
вершинам, что никакие две смежные вершины
не получают одинакового цвета. Т.о.
множество вершин одного цвета является
независимым множеством. Хроматическим
числом графа G называется минимальное
число цветов, требующееся для раскраски G.
З6.Элементы сетевого планирования.
Критические пути и сроки. Ранние и поздние
сроки свершения событий и работ. Резервы
времени.
Работа(дуга) - действие с затратой ресурса и
времени. Опред. двумя событ.
Событие(верш.) – предпосылка нач. или рез.
заверш. одной/некольких раб.
Сет. Граф имеет 1 исток и сток. Задается табл.
(работа, опирается на работы, продолжительность
работ).
Крит. путь – путь макс. продолж. Он определяет
крит. срок – мин. время выполн. всех работ.
Любая работа на крит. пути является крит.
работой.
Ранний срок tр(xj) сверш. cобыт. xj – раннее
время завершения всех работ (xi, xj) предшеств.
этому событ. Формула расчета:
tр(xj)=max(tр(xi)+t(xi,xj))
Поздний срок tп(xi) - момент времени после
которого остается только мин. необход. время для
выполнения последующих работ. Формула
расчета: tп(xi)=max(tп(xj)-t(xi,xj))
Ранние/поздние сроки нач. и оконч. работ:
tр.н.(xi,xj)=tр(xi), tр.о.(xi,xj)=tр(xi)+t(xi ,xj),
tп.н.(xi,xj)=tп(xj)-t(xi ,xj), tп.о.(xi,xj)=tп(xj).
Резерв врем. R(xi)=tп(xi)-tр(xi) срок на который
можно сдвинуть некритич. работу без нарушения
крит. срока.
Полный резерв времени для работы:
Rп(xi,xj)=tп(xj)-tр(xi)-t(xi,xj).
Свободный рзерв – время задержки работы не
влияющее на время раннего начала последующей
работы: Rс(xi,xj)=tр(xj)-tр(xi)-t(xi,xj).
34.Потоки в сетях. Теорема Форда —
Фалкерсона.
Граф G=(S,U) должен удовлетворять
условиям:
1.G- связный граф без петель
2.Существует только одна вершина, не
имеющая предыдущих – наз. источник,
обозначается s
3.Существует только одна вершина, не
имеющая последующих – наз. Стоком,
обозначается t
4.Каждой дуге (
)
поставлено в
соответствие неотрицательное число c(
),
c(
)
называемое пропускной
способностью дуги.
Функция
, определенная на
множестве дуг сети
, называется
потоком, если
c(
и
для
любой вершины
и
Последнее
условие – условие сохранения потока, в
промежуточных вершинах потоки не
создаются и не исчезают.Пропускной
способностью или величиной разреза
называется сумма пропускных
способностей входящих в него дуг, то есть
Теорема Форда – Фалкерсона
Для любой сети с одним источником и одним
стоком величина максимального потока в
сети от источника к стоку равна пропускной
способности минимального разреза