1 Механика 5 Законы сохранения в механике

1 Механика 5 Законы сохранения в механике
Теорема об изменении и закон сохранения импульса материальной точки:
дифференциальная форма теоремы об изменении импульса материальной точки: дифференциал импульса материальной
 
точки равен элементарному импульсу силы, приложенной к ней dp  Fdt ;
t2
интегральная формулировка теоремы об изменения импульса материальной точки m  m  Fdt .
2
1

t1
Закон сохранения импульса материальной точки: если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке равна нулю, то


импульс материальной точки остаётся постоянным  если R =0, то p  const .




Моментом силы относительно произвольной точки О называют вектор M , определяемый формулой M  [r, F ] , где r – вектор,
проведённый из точки О в точку приложения силы.

Момент импульса материальной точки: L  [rp ] .
Теорема об изменении момента импульса материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от момента
 n
импульса материальной точки равна сумме моментов сил, действующих на материальную точку dL  M .
 k
dt k 1
n
Теорема об изменении момента импульса материальной точки в интегральной форме: L  L  M dt .
 k
2
1
k 1
Закон сохранения момента импульса материальной точки: если момент сил, действующих на материальную точку равен нулю

n 
, то момент импульса материальной точки сохраняется L  const .
M

0
 k
k 1
Сумму кинетической и потенциальной энергий материальной точки называют полной механической энергией материальной точки.
Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия материальной точки сохраняется, если на материальную точку действуют консервативные силы Ek  E p  const .
Радиус-вектор центра масс:

n
для системы материальных точек r 
c

для материального тела r  V
c
m r
k k
k 1
;
m

 r dV
;
m

N
для системы материальных тел r 
c
   r dV
j j
j 1 V j
j
.
m
Координаты центра масс:
n
m x
для системы материальных точек x 
c
  xdV
для материального тела x  V
c
m
k
k 1
n
k
m
, yc 
  ydV
, yc  V
m
m
k 1
yk
m
, yc 
  zdV
, zc  V
N

n
k
m z
k
k 1
x j dV j
;
m

N
j
y j dV j
j 1 V j
для системы материальных тел x  j 1 V j
, yc 
, zc 
c
m
m



2
Скорость и ускорение центра масс:   drc , a  d c  d rc
c
c
dt
dt 2
dt
n
n


mk a k
mk  k


для системы материальных точек   k 1
, a  k 1
;
c
c
m
m


V dV  V  adV

для материального тела  
, a 
;
c
c
m
m
N
N


 j j dV j
 j a j dV j




для системы материальных тел   j 1 V j
, a  j 1 V j
.
c
c
m
m
Проекции скорости и ускорения центра масс:
dx
dy
dy
 cx  c ,  cy  c ,  cy  c ;
dt
dt
dt
d cy d 2 yc
d cx d 2 xc
d
d 2z
acx 
 2 , acy 

,  cy  cz  2c ;
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
n
для системы материальных точек  
cx
n
acx 
m a
k 1
k
m
n
kx
, acy 
m 
k 1
k
m
m 
k
k 1
m
n
ky
, acz 
m 
k 1
k
m
kz
;
n
kx
,  cy 
m 
k 1
;
m
N
j
k
k
m

j 1 V j
,  cz 
m 
k 1
z j dV j
.
m
n
ky
j
k
m
kz
;
для материального тела
  x dV
  y dV
  z dV
  a x dV
  a y dV
  a z dV
V
V
; a V
;
 cx  V
,  cy  V
,  cz  V
,
a

,
a

cx
cy
cz
m
m
m
m
m
m
для системы материальных тел
N
 cx 
 
j
j 1 V j
N
jx
dV j
,  cy 
m
N
 a
j 1 V j
j
 
j
j 1 V j
N
jy
dV j
,  cz 
m
N
jx
 a
dV j
j
j 1 V j
 
j 1 V j
j
jz
dV j
;
m
N
jy
 a
dV j
j 1 V j
j
jz
dV j
.
, acy 
, acz 
m
m
m
Теорема об изменении импульса механической системы в дифференциальной форме: первая производная по времени от импульса

dP  (e)
 R , где:
механической системы равна главному вектору внешних сил 
dt
n
n
 e   e 


для системы материальных точек P   mk k – импульс системы материальных точек;  Fk  R – главный вектор
acx 
k 1
k 1
внешних сил системы материальных точек;




для материального тела P    dV – импульс материального тела; R ( e )   f ( e ) dV – главный вектор внешних сил матеV
V
риального тела;
N

 N


для системы материальных тел P     j j dV j – импульс материального тела; R ( e)    f j( e) dV j – главный вектор
j 1 V j
j 1 V j
внешних сил материального тела.

Закон сохранения импульса механической системы: если механическая система является замкнутой ( R e   0 ), то её импульс со
храняется ( p  const ).
Закон сохранения импульса в случае абсолютно упругого столкновения двух тел: m11  m22  m1u1  m2u2 , где i , ui i  1, 2 – скорости тел 1 и 2 до и после соударений соответственно.



При неупругом ударе, когда тела слипаются после соударения, их общая скорость u становится равной u  m11  m2 2 .
m1  m2

 e  dL
Теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) механической системы тел: M 
.
dt
Ф1.5.1-1
Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиу- 1. оба тела поднимутся на одну и ту же высоту
сы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные ско- 2. выше поднимется сплошной цилиндр
рости этих тел одинаковы, то…
3. выше поднимется полый цилиндр*
На сплошной или полый цилиндры в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При этом выполняется закон сохранения полной механической энергии цилиндра: сумма кинетической энергии
(энергия поступательного и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения
полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент подъема цилиндра до максимальной высоты (момент 1): Ek 0  E p 0  Ek1  E p1  Ek 0  Ek1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
mc2
Iс2
(m – масса цилиндра, υс2 – скорость центра масс цилиндра), кинетическая энергия вращательного движения
(I –
2
2
момент инерции цилиндра, относительно оси, совпадающей с осью вращения цилиндра, ωс2 – угловая скорость относительно
оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра). Изменение потенциальной энергии цилиндра E p1  E p 0  mgh (h –
изменение высоты центра масс цилиндра над поверхностью земли). С учётом этого закон сохранения полной механической
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что в точке максимального подъёма поступательное и
2
2
2
2
mc20 Iс20

 mgh . Угловая скорость относительно оси
вращательное движения цилиндра отсутствуют, то есть υс12=0, ωс12=0:
2
2
энергии перепишем в виде:
вращения, проходящей через центр масс цилиндра, и скорость центра масс цилиндра связаны соотношением  с 
подстановки имеем:
m
I

 mgh , откуда высота подъёма цилиндра равна: h 
2
2R
2
c0
2
с0
2
скорости
и
радиусы
цилиндров
совпадают:
2mg
I 

R2 
. Момент инерции полого
mR2
. В итоге с учётом условия, что массы,
2

mR 2 
c20  m  2 
R 

hПОЛЫЙ
11 4
2mg


 > 1 . В итоге
2
hСПЛОШНОЙ

mR  1  1 3

c20  m 
2
2 R 2 

2mg
цилиндра I ПОЛЫЙ  mR 2 , момент инерции сплошного цилиндра I СПЛОШНОЙ 
начальные


c20  m 
с
. После
R
hПОЛЫЙ > hСПЛОШНОЙ – выше поднимется полый цилиндр. Ответ: 3
Ф1.5.1-2
Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиу1: выше поднимется полый цилиндр*
сы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные ско2: выше поднимется шар
рости этих тел одинаковы, то…
3: оба тела поднимутся на одну и ту же высоту
На цилиндр и шар в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При
этом выполняется закон сохранения полной механической энергии тела: сумма кинетической энергии (энергия поступательного
и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент подъема тела до максимальной высоты (момент 1):
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1  Ek 0  Ek1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
скорость центра масс тела), кинетическая энергия вращательного движения
mc2
(m – масса тела, υс2 –
2
Iс2
(I – момент инерции тела, относительно оси,
2
совпадающей с осью вращения тела, ωс2 – угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела).
Изменение потенциальной энергии тела E p1  E p 0  mgh (h – изменение высоты центра масс тела над поверхностью земли). С
учётом этого закон сохранения полной механической энергии перепишем в виде:
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что
2
2
2
2
в точке максимального подъёма поступательное и вращательное движения тела отсутствуют, то есть
υс12=0, ωс12=0:
mc20 Iс20

 mgh . Угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, и скорость центра масс
2
2
mc20 Iс20


 mgh , откуда высота подъёма тела равна:
тела связаны соотношением  с  с . После подстановки имеем:
2
2R 2
R
I 

c20  m  2 
2mR 2
R

 . Момент инерции полого цилиндра
h
. В итоге с учётом
I ЦИЛИНДР  mR2 , момент инерции шара I ШАР 
2mg
5

mR 2 
 c20  m  2 
R 

hЦИЛИНДР
1  1 10
2mg



> 1 . В итоге
условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндров совпадают:
2
hШАР

2mR  1  2 7

 c20  m 
5
5 R 2 

2mg
hЦИЛИНДР > hШАР – выше поднимется полый цилиндр. Ответ: 1
Ф1.5.1-3
Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и 1: больше скорость сплошного цилиндра*
радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда 2: больше скорость полого цилиндра
верным утверждением относительно скорости тел у основания горки 3: скорости обоих тел одинаковы
является следующее:
На сплошной или полый цилиндры в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При этом выполняется закон сохранения полной механической энергии цилиндра: сумма кинетической энергии
(энергия поступательного и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения
полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент нахождения цилиндра у основания горки после скатывания (момент 1): Ek 0  E p 0  Ek1  E p1  Ek 0  Ek1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
mc2
(m – масса цилиндра, υс2 – скорость центра масс цилиндра), кинетическая энергия вращательного движения
2
Iс2
(I – момент инерции цилиндра, относительно оси, совпадающей с осью вращения цилиндра, ωс2 – угловая скорость отно2
сительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра). Изменение потенциальной энергии цилиндра
E p1  E p 0  mgh (h – изменение высоты центра масс цилиндра над поверхностью земли). С учётом этого закон сохранения
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что в начале движения поступа2
2
2
2
mc21 Iс21
тельное и вращательное движения цилиндра отсутствуют, то есть υс02=0, ωс02=0: 

 mgh . Угловая скорость от2
2
полной механической энергии перепишем в виде:
носительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра, и скорость центра масс цилиндра связаны соотношением
mc21 Iс21
с
 2  mgh , откуда модуль скорости центра масс цилиндра у основания горки ра. После подстановки имеем:
2
2R
R
2mgh
вен: с1 
. Момент инерции полого цилиндра I ПОЛЫЙ  mR 2 , момент инерции сплошного цилиндра
I
m 2
R
с 
I СПЛОШНОЙ 
mR2
. В итоге с учётом условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндров совпадают:
2
с1 ПОЛЫЙ
с1СПЛОШНОЙ

I СПЛОШНОЙ
1
1
R2
2  3 < 1 . В итоге 

с1 ПОЛЫЙ < с1СПЛОШНОЙ – больше скорость сплошного цилиндра.
I ПОЛЫЙ
11
4
m
R2
m
Ответ: 1
Ф1.5.1-4
Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиу- 1:больше скорость шара*
сы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда вер- 2:больше скорость полого цилиндра
ным утверждением относительно скорости тел у основания горки яв- 3:скорости обоих тел одинаковы
ляется следующее:
На цилиндр и шар в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При
этом выполняется закон сохранения полной механической энергии тела: сумма кинетической энергии (энергия поступательного
и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент нахождения тела у основания горки после скатывания (момент 1): E k 0  E p 0  E k1  E p1  E k 0  E k1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
тела,
υс2 – скорость центра масс тела), кинетическая энергия вращательного движения
mc2
(m – масса
2
Iс2
(I – момент инерции тела, относи2
тельно оси, совпадающей с осью вращения тела, ωс2 – угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр
масс тела). Изменение потенциальной энергии цилиндра E p1  E p 0  mgh (h – изменение высоты центра масс тела над поверхностью
земли).
С
учётом
этого
закон
сохранения
полной
механической
энергии
перепишем
в
виде:
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что в начале движения поступательное и вращательное движения тела отсутствуют,
2
2
2
2
mc21 Iс21

 mgh . Угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс тето есть υс02=0, ωс02=0: 
2
2

mc21 Iс21
 2  mgh , откуда модуль
ла, и скорость центра масс тела связаны соотношением  с  с . После подстановки имеем:
R
2
2R
2mgh
2
скорости центра масс тела у основания горки равен: с1 
I . Момент инерции полого цилиндра I ЦИЛИДР  mR , момент
m 2
R
2mR 2
инерции шара I ШАР 
. В итоге с учётом условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндра и шара совпадают:
5
2
I
1
m  ШАР
2
с1ЦИЛИНДР
7
5
R



< 1 . В итоге с1ЦИЛИНДР < с1ШАР – больше скорость шара. Ответ: 1
I ЦИЛИНДР
с1 ШАР
11
10
m
R2
Ф1.5.1-5
Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и 1: быстрее скатится сплошной цилиндр*
радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда 2: быстрее скатится полый цилиндр
верным утверждением относительно времени скатывания к основа- 3: оба тела скатятся одновременно
нию горки является следующее:
На сплошной или полый цилиндры в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При этом выполняется закон сохранения полной механической энергии цилиндра: сумма кинетической энергии
(энергия поступательного и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения
полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент нахождения цилиндра у основания горки после скатывания (момент 1): Ek 0  E p 0  Ek1  E p1  Ek 0  Ek1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
mc2
(m – масса цилиндра, υс2 – скорость центра масс цилиндра), кинетическая энергия вращательного движения
2
Iс2
(I – момент инерции цилиндра, относительно оси, совпадающей с осью вращения цилиндра, ωс2 – угловая скорость отно2
сительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра). Изменение потенциальной энергии цилиндра
E p1  E p 0  mgh (h – изменение высоты центра масс цилиндра над поверхностью земли). С учётом этого закон сохранения
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что в начале движения поступа2
2
2
2
mc21 Iс21

 mgh . Угловая скорость оттельное и вращательное движения цилиндра отсутствуют, то есть υс02=0, ωс02=0: 
2
2
полной механической энергии перепишем в виде:
носительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра, и скорость центра масс цилиндра связаны соотношением
mc21 Iс21
с
 2  mgh , откуда модуль скорости центра масс цилиндра у основания горки ра. После подстановки имеем:
2
2R
R
2mgh
вен: с1 
. Момент инерции полого цилиндра I ПОЛЫЙ  mR 2 , момент инерции сплошного цилиндра
I
m 2
R
с 
I СПЛОШНОЙ 
с1 ПОЛЫЙ
с1СПЛОШНОЙ
mR2
. В итоге с учётом условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндров совпадают:
2
I
1
m  СПЛОШНОЙ
1
2
R
2  3 < 1 . Следовательно: 


с1 ПОЛЫЙ < с1СПЛОШНОЙ – у основания горки больше скоI ПОЛЫЙ
11
4
m
2
R
рость сплошного цилиндра. Но если скорость больше, то и ускорение центра масс сплошного цилиндра больше (поскольку из
кинематики известно, что ac 
c21
2l
, где
l – длина горки). Поэтому для преодоления горки сплошному цилиндру потребуется
меньше времени. Ответ: 1
Ф1.5.1-6
Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиу- 1: быстрее скатится шар*
сы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда вер- 2: быстрее скатится полый цилиндр
ным утверждением относительно времени скатывания к основанию 3: оба тела скатятся одновременно
горки является следующее:
На цилиндр и шар в рассматриваемом случае действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила трения качения). При
этом выполняется закон сохранения полной механической энергии тела: сумма кинетической энергии (энергия поступательного
и вращательного движения тела) и потенциальной энергии сохраняется. Запишем закон сохранения полной механической энергии, приравняв её в момент начала движения (момент 0) и в момент нахождения тела у основания горки после скатывания (момент 1): Ek 0  E p 0  Ek1  E p1  Ek 0  Ek1  E p1  E p 0 . Кинетическая энергия поступательного движения
тела,
υс2 – скорость центра масс тела), кинетическая энергия вращательного движения
mc2
(m – масса
2
Iс2
(I – момент инерции тела, относи2
тельно оси, совпадающей с осью вращения тела, ωс2 – угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр
масс тела). Изменение потенциальной энергии цилиндра E p1  E p 0  mgh (h – изменение высоты центра масс тела над поверхностью
земли).
С
учётом
этого
закон
сохранения
полной
механической
энергии
перепишем
в
виде:
mc20 Iс20 mc21 Iс21



 mgh . Учтём, что в начале движения поступательное и вращательное движения тела отсутствуют,
2
2
2
2
mc21 Iс21
то есть υс02=0, ωс02=0: 

 mgh . Угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс те2
2

mc21 Iс21
 2  mgh , откуда модуль
ла, и скорость центра масс тела связаны соотношением  с  с . После подстановки имеем:
R
2
2R
2mgh
2
скорости центра масс тела у основания горки равен: с1 
I . Момент инерции полого цилиндра I ЦИЛИДР  mR , момент
m 2
R
2
2mR
инерции шара I ШАР 
. В итоге с учётом условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндра и шара совпадают:
5
2
I
1
m  ШАР
2
с1ЦИЛИНДР
5  7 < 1 . Следовательно: 
R
– у основания горки больше скорость шара.


с1ЦИЛИНДР < с1 ШАР
I
с1 ШАР
11
10
m  ЦИЛИНДР
R2
Но если скорость больше, то и ускорение центра масс шара больше (поскольку из кинематики известно, что ac 
c21
, где
2l
l–
длина горки). Поэтому для преодоления горки шару потребуется меньше времени. Ответ: 1
Ф1.5.2-1
Система состоит из трёх шаров с массами m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг, которые движутся так, как показано на рисунке
1. 5
3
2. 10
3. 2 *
3
4. 4
Если скорости шаров равны V1 = 3 м/с, V2 = 2 м/с, V3 =1 м/с, то величина скорости центра масс этой системы в м/с равна …
n

Скорость центра масс системы материальных тел определяется соотношением  c 


n
 m  m
i 1
n
i i
m
i 1
i

i i
i 1
m
, где
n – число тел в си-

3

стеме, m – масса всей системы. Скорость центра масс системы, состоящей из трёх шаров  c 
шем
координатный
3
cx 
 m
i 1
 cz  0
i cxi
m
способ,
3
, cy 
 m
i 1
i cyi
m
согласно
которому
.
cx 
 m
i 1
i i
. Используем в дальней-
m




c  cx i  cy j  cz k ,
скорость
где
3
, cz 
 m
i 1
i czi
m
Отсюда:
1 0  2  2  3  0 м 2 м

,
6
с 3 с
cy 
1  3  2  0  3 1 м
м
0 ,
6
с
с
2м
м
2
2
2
.  c   cx   cy   cz 
. Ответ: 3
3 с
с
Ф1.5.3-1
Зависимость перемещения тела массой 4 кг от времени представлена на
рисунке. Кинетическая энергия тела в момент времени t = 3 с равна …
1. 20 Дж
2. 50 Дж*
3. 40 Дж
4. 25 Дж
5. 15 Дж
m 2
, где υ – скорость центра масс
2
S
тела. По графику видно, что S~t. Это означает, что модуль скорости тела является постоянным   . При t=3 с, S=15 м, тогда
t
м
4  52
  5 . Следовательно: Eк 
Дж  50 Дж . Ответ: 2
с
2
Кинетическая энергия поступательного движения тела определяется соотношением Eк 
Ф1.5.4-1
Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в 1. увеличится
руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из вертикального положения в гори- 2. не изменится
зонтальное, то частота вращения в конечном состоянии
3. уменьшится*
Поскольку проекции моментов внешних сил на ось вращения равны
нулю, то сумма проекций моментов импульса системы сохраняется
(под системой понимаем карусель – 1, человек – 2, шест –
3): LI  LII  I I I  I II II , где I – момент инерции системы, ω –
угловая
скорость
системы.
Тогда:
I1  I 2  I 3 I I  I1  I 2  I 3 II II . Моменты инерции карусели и
человека не изменяются, моменты инерции тонкого стержня
m3l 2
.
После
подстановки
получаем:
12
II
I1  I 2

 1  II  I . Следовательно, угловая скорость
m l2
I
I1  I 2  3
12
I 3 I  0, I 3 II 
и частота вращения уменьшаются. Ответ: 3
Ф1.5.5-1
Тело массой m падает вертикально со скоростью
от неё. Импульс, полученный опорой, равен …

на горизонтальную опору и упруго отскакивает
1. m
m
2
2
m
3.
2
4. 2m
5. 2m *

2.




Изменение импульса тела p  p2  p1  m2  1  . При упругом
ударе импульс тела меняет своё направление на противоположное,


модуль импульса тела сохраняется, то есть p2   p1 . Поэтому



p  2 p1  2m1 . В соответствии с законом сохранения импульса


системы изменение импульса горизонтальной опоры p  2m1 . В
проекции на ось Y: py  2m1 y  2m1  2m . Модуль изменения импульса опоры или импульс, полученный опорой, равен:

p  py  2m . Ответ: 5
Ф1.5.6-1
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в соотношении 1 : 3. На
ее правый конец падает тело массой m2=1 кг, теряя при ударе всю свою скорость. Если после удара
тело массой m1=2 кг начинает двигаться со скоростью V1, то скорость V2 равна…
1:
*
2:
3:
4:
Поскольку проекции моментов внешних сил, действующих на механическую систему (под механической системой будем понимать грузы массами m1, m2 и невесомая доска), на ось вращения равны нулю, то сумма проекций моментов импульса системы на
ось вращения будет сохраняться (момент импульса доски равен нулю, т.к. её масса равна нулю – она невесома):
l1m11  l2 m2 2   2 
l1m1
2
1   2  1 . Ответ: 1
l2 m2
3
Ф1.5.6-2
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в соотношении 1 : 3. На
ее правый конец падает тело массой m2=2 кг, теряя при ударе всю свою скорость. Если после удара
тело массой m1=1 кг начинает двигаться со скоростью V1, то скорость V2 равна…
1:
*
2:
3:
4:
Поскольку проекции моментов внешних сил, действующих на механическую систему (под механической системой будем понимать грузы массами m1, m2 и невесомая доска), на ось вращения равны нулю, то сумма проекций моментов импульса системы
на ось вращения будет сохраняться (момент импульса доски равен нулю, т.к. её масса равна нулю – она невесома):
l1m11  l2 m2 2   2 
l1m1
1
1   2  1 . Ответ: 1
l2 m2
6
Ф1.5.6-3
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски на две неравные части.
На правый конец доски падает тело массой m2=2 кг, теряя при ударе всю свою скорость. После уда-
1:
ра первое тело массой m1=1 кг приобретает скорость V1, причем
2:
. В этом случае соотноше-
ние между l1 и l2 равно…
*
3:
4:
Поскольку проекции моментов внешних сил, действующих на механическую систему (под механической системой будем понимать грузы массами m1, m2 и невесомая доска), на ось вращения равны нулю, то сумма проекций моментов импульса системы на
ось вращения будет сохраняться (момент импульса доски равен нулю, т.к. её масса равна нулю – она невесома):
l1m11  l2 m2 2  l1 
 2 m2
l  l1  3l2 . Ответ: 1
1m1 2
Ф1.5.6-4
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски на две неравные части.
На правый конец доски падает тело массой m2=2 кг, теряя при ударе всю свою скорость. После удара первое тело массой m1=1 кг приобретает скорость V1, причем
. В этом случае соотноше-
ние между l1 и l2 равно…
1:
*
2:
3:
4:
Поскольку проекции моментов внешних сил, действующих на механическую систему (под механической системой будем понимать грузы массами m1, m2 и невесомая доска), на ось вращения равны нулю, то сумма проекций моментов импульса системы
на ось вращения будет сохраняться (момент импульса доски равен нулю, т.к. её масса равна нулю – она невесома):
l1m11  l2 m2 2  l1 
 2 m2
4
l2  l1  l2 . Ответ: 1
1m1
3
Ф1.5.6-5
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в соотношении 1 : 3. На
правый конец доски падает тело массой m2=2 кг, теряя при ударе всю свою скорость. После удара
первое тело приобретает скорость V1, причем
. В этом случае масса тела m1 равна…
1:m1=9 кг*
2:m1=1 кг
3:m1=2 кг
4:m1=4 кг
Поскольку проекции моментов внешних сил, действующих на механическую систему (под механической системой будем понимать грузы массами m1, m2 и невесомая доска), на ось вращения равны нулю, то сумма проекций моментов импульса системы на
ось вращения будет сохраняться (момент импульса доски равен нулю, т.к. её масса равна нулю – она невесома):
l1m11  l2 m2 2  m1 
l2 2
m2  m1  9 кг . Ответ: 1
l11
Ф1.5.7-1
На общую вертикальную ось насажены два диска с моментами инерции J1=0,3 кг·м2 и J2=0,2 кг·м2. 1. – 1,8 рад/с
Вращение дисков задаётся уравнениями: φ1=2t, φ2=–1,5t. В некоторый момент верхний диск падает и 2. 0,6 рад/с*
сцепляется с нижним. Если трение в осях пренебрежимо мало, то угловая скорость вращения дис- 3. – 0,6 рад/с
ков после сцепления равна …
4. 1,8 рад/с
Для данной системы выполняется закон сохранения проекции момента импульса системы на ось координат, совпадающую с
осью вращения, поскольку проекции на данную ось моментов внешних сил, действующих на рассматриваемую систему, равны
dLz
 M z , если Mz=0, то Lz=Izωz=const). Согласно
dt
d
d
I1 1 z  I 2 2 z  I1  I 2  z  I1 1  I 2 2  I1  I 2  z . Отсюда:
dt
dt
нулю (согласно теореме об изменении проекции момента импульса системы
закону
z 
I1
сохранения
проекции
момента
импульса:
d1
d
 I2 2
dt
dt  0,3  2  0,2 1,5 рад  0,6 рад . Ответ: 2
I1  I 2
0,3  0,2
с
с
Ф1.5.8-1
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном
из фокусов которой находится звезда массой М.
1. Момент силы тяготения, действующей на планету,
относительно центра звезды, не равен нулю.
2. Момент импульса планеты относительно центра
звезды при движении по орбите не изменяется.*
3. Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение L=mVr
Если - радиус-вектор планеты, то справедливы утверждения:
1. Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, равен нулю, так как
 

 
r  F , M  [r  F ]  0 .
2. Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. Поскольку согласно теореме
об изменении момента импульса



dL 
 M и M  0 , то L  const .
dt
3. Для момента импульса планеты относительно центра звезды не справедливо выражение
 
соотношение L  mr  sin( r  ) . Ответ: 2
L=mVr. Справедливым является
Ф1.5.8-2
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном
из фокусов которой находится звезда массой М.
1: Момент силы тяготения, действующей на планету,
относительно центра звезды, равен нулю.*
2: Соотношение, связывающее скорости планеты V1 и
V2 в точках минимального и максимального ее удаления от звезды с расстояниями r1 и r2, имеет
вид:
Если
1.
.*
- радиус-вектор планеты, то справедливы утверждения:
Момент
силы
тяготения,
 

 
r  F , M  [r  F ]  0 .
действующей
на
планету,
3: Момент импульса планеты относительно центра
звезды при движении по орбите периодически изменяется.
относительно центра звезды, равен нулю, так как
 

 

мального и максимального удаления планеты от звезды r   90О L, sin( r  )  1 . Тогда в соответствии с законом сохране r
ния момента импульса планеты m1r1  m 2 r2  1r1   2 r2  1  2 .
 2 r1
2. Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение L  mr  sin( r  ) . В точках мини-
3: Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется, поскольку выполняется законом сохранения момента импульса планеты. Ответы: 1 и 2
Ф1.5.8-3
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном
из фокусов которой находится звезда массой М.
Если
ния:
1.
– радиус-вектор планеты, то справедливы утвержде-
Момент
силы
тяготения,
 

 
r  F , M  [r  F ]  0 .
действующей
на
планету,
1: Момент силы тяготения, действующей на планету,
относительно центра звезды, равен нулю.*
2: Момент импульса планеты относительно центра
звезды при движении по орбите не изменяется.*
3: Соотношение, связывающее скорости планеты V1 и
V2 в точках минимального и максимального ее удаления от звезды с расстояниями r1 и r2, имеет
вид:
относительно
.
центра
звезды,
равен
нулю,
так
как
2. Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. Поскольку согласно теореме



dL 
 M и M  0 , то L  const .
об изменении момента импульса
dt
3: Соотношение, связывающее скорости планеты
V1 и V2 в точках минимального и максимального ее удаления от звезды с
V
r
расстояниями r1 и r2, не имеет вид: 1  1 . Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражеV2 r2
 
 
 
ние L  mr  sin( r  ) . В точках минимального и максимального удаления планеты от звезды r   90О L, sin( r  )  1 .
 r
Тогда в соответствии с законом сохранения момента импульса планеты m1r1  m 2 r2  1r1   2 r2  1  2 . Ответы: 1 и 2
 2 r1
Ф1.5.8-4
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном
из фокусов которой находится звезда массой М.
1: Соотношение, связывающее скорости планеты V1 и
V2 в точках минимального и максимального ее удаления от звезды с расстояниями r1 и r2, имеет вид:
.*
2: Момент импульса планеты относительно центра
звезды при движении по орбите не изменяется.*
3: Момент силы тяготения, действующей на планету,
относительно центра звезды, отличен от нуля.
 
1. Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение L  mr  sin( r  ) . В точках миниЕсли
ния:
– радиус-вектор планеты, то справедливы утвержде-
 
 
sin( r  )  1 . Тогда в соответствии с законом сохране-
мального и максимального удаления планеты от звезды r   90О L,
ния момента импульса планеты m1r1  m 2 r2  1r1   2 r2 
1 r2
 .
 2 r1
2. Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. Поскольку согласно теореме
об изменении момента импульса



dL 
 M и M  0 , то L  const .
dt
 

 
1. Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, равен нулю, так как r  F , M  [r  F ]  0 .
Ответы: 1 и 2
Ф1.5.8-5
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном
из фокусов которой находится звезда массой М.
1: Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение:
,
где
– угол между векторами
и
.*
2: Момент импульса планеты относительно центра
звезды при движении по орбите не изменяется.*
3: Момент силы тяготения, действующей на планету,
относительно центра звезды, отличен от нуля.
Если
– радиус-вектор планеты, то справедливы утверждения:
1: Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение: L  mVr sin  , где α – угол между век-


торами r и V , поскольку согласно теореме об изменении момента импульса



dL 
 M и M  0 , то L  const .
dt
2. Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется. Поскольку согласно теореме



dL 
 
 M и M  0 , то L  const , L  mr  sin( r  ) .
об изменении момента импульса
dt
 

 
3. Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, равен нулю, так как r  F , M  [r  F ]  0 .
Ответы: 1 и 2
Ф1.5.9-1
Тело массой 2 кг поднято над Землей. Его потенциальная энергия 400 Дж. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость, с
которой оно упадёт на Землю, составит …
1: 10 м/с
2: 14 м/с
3: 40 м/с
4: 20 м/с*
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 .
С
учетом
условий
имеем:
 0  0  Ek 0 
m02
m12
 0, E p 0  400 Дж, Ek1 
,
2
2
h1  0  E p1  mgh1  0 . После подстановки полученных выражений в закон сохранения полной механической энергии:
E p0 
m12
. Отсюда 1 
2
2E p0
m

2  400 м
м
 20 . Численное значение массы тела, заданное в условии, для решения не
2
с
с
требуется. Ответ: 4
Ф1.5.9-2
Тело массой 2 кг поднято над Землей. Его потенциальная энергия 400 Дж. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость тела
на половине высоты составит…
1: 14 м/с*
2: 10 м/с
3: 20 м/с
4: 40 м/с
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 . С учетом условий имеем:
Ek 1 
m 02
m12
,  0  0  Ek 0 
 0, E p 0  mgh0  400 Дж,
2
2
E p0
h0
h
 E p1  mg 0 
. После подстановки полученных выражений в закон сохранения полной механической энергии:
2
2
2
E
E p0
m12
400 м
м
 p0 
. Отсюда 1 

 14 . Численное значение массы тела, заданное в условии, для решения не
2
2
m
2 с
с
h1 
E p0
требуется. Ответ: 1
Ф1.5.9-3
Тело массой 2 кг поднято над Землей. Его потенциальная энергия 400 Дж. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость тела
после прохождения
расстояния до Земли составит…
1: 10 м/с*
2: 20 м/с
3: 14 м/с
4: 40 м/с
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 . С учетом условий имеем: Ek1 
m 02
m12
,  0  0  Ek 0 
 0, E p 0  mgh0  400 Дж,
2
2
3E p 0
3h0
3h
 E p1  mg 0 
. После подстановки полученных выражений в закон сохранения полной механической энер4
4
4
3E p 0 m12
E p0
400 м
м

гии: E p 0 
. Отсюда 1 

 10 . Численное значение массы тела, заданное в условии, для реше4
2
2m
22 с
с
h1 
ния не требуется. Ответ: 1
Ф1.5.9-4
Тело массой 2 кг бросили с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь,
максимальное значение его потенциальной энергии составит…
1:400 Дж*
2:100 Дж
3:200 Дж
4:800 Дж
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 .
С
учетом
условий
имеем:
0  20
m02
m12
м
, Ek 0 
, 1  0  Ek1 
 0,
с
2
2
E p 0  mgh0  0, E p1  mgh1  E pMAX . После подстановки полученных выражений в закон сохранения полной механической
энергии:
m02
2  202
 E pMAX . Отсюда E pMAX 
Дж  400 Дж . Ответ: 1
2
2
Ф1.5.9-5
Тело массой 2 кг бросили с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь,
значение его кинетической энергии на половине максимальной высоты подъема составит…
1: 200 Дж*
2: 100 Дж
3: 400 Дж
4: 800 Дж
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 .
С
учетом
условий
имеем:
0  20
m02
м
, Ek 0 
, E p 0  mgh0  0,
с
2
hMAX E pMAX EkMAX Ek 0 m02




. После подстановки полученных выражений в закон сохранения полной
2
2
2
2
22
m02
m02
m02 2  202
 Ek 1 
механической энергии:
. Отсюда Ek1 

Дж  200 Дж . Ответ: 1
2
4
4
4
E p1  mgh1  mg
Ф1.5.9-6
Тело массой 2 кг бросили с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь,
значение его кинетической энергии после прохождения
расстояния до точки максимального подъема
1: 100 Дж*
2: 200 Дж
3: 300 Дж
4: 400 Дж
составит…
Поскольку на тело действует только консервативная сила тяжести, то выполняется закон сохранения полной механической
энергии:
Ek 0  E p 0  Ek1  E p1 .
С
учетом
условий
имеем:
0  20
m02
м
, Ek 0 
, E p 0  mgh0  0,
с
2
3hMAX 3E pMAX 3EkMAX 3Ek 0 3m02




. После подстановки полученных выражений в закон сохранения
4
4
4
4
42
m02
3m02
m02 2  20 2
 Ek 1 

Дж  100 Дж . Ответ: 1
полной механической энергии:
. Отсюда Ek1 
2
8
8
8
E p1  mgh1  mg
Ф1.5.10-1
На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же со скоростью υ = 1м/с. После удара шары
разлетелись под углом 90º так, что импульс одного шара Р1= 0,3 кг·м/с, а другого Р2= 0,4 кг·м/с. Массы
шаров равны …
Ф1.5.10-2
1: 0,5 кг*
2: 0,1 кг
3: 0,2кг
4: 1 кг
На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же с импульсом Р= 0,5 кг·м/с. После удара
шары разлетелись под углом 90º так, что импульс одного шара Р1= 0,3 кг·м/с. Импульс второго шара
после удара …
1: 0,4 кг·м/с*
2: 0,2 кг·м/с
3: 0,5 кг·м/с
4: 0,3 кг·м/с
Ф1.5.10-3
На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же с импульсом Р= 0,5 кг·м/с. После удара
шары разлетелись под углом 90º так, что импульс одного шара Р1= 0,4 кг·м/с. Импульс второго шара
после удара …
1: 0,3 кг·м/с*
2: 0,2 кг·м/с
3: 0,4 кг·м/с
4: 0,5 кг·м/с
Ф1.5.10-4
Шар массы m1 совершает центральный абсолютно упругий удар о покоящийся шар массы
шар полетит после удара в обратном направлении при следующем соотношении масс …
m2. Первый 1: m1<<m2*
2: m1=m2
3: m1>>m2
4: m1≥m2