Основные понятия теории вероятности. Опред: Теория

Основные понятия теории вероятности.
Опред: Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности
массовых случайных событий.
Опред: Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти
данное случайное событие.
Опред: Событие - это факт, который при осуществлении определенных условий может
произойти или не произойти.
Обозначение: А, В, С.
Опред: Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно
должно произойти. Например, вынуть белый шар из корзины с белыми шарами.
Опред: Невозможное событие – это такое событие, которое заведомо не произойдет.
Например, вынуть черный шар из корзины с белыми шарами.
Опред: Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или
не произойти.
Виды случайных событий:
Опред: Равновозможные события – имеют одинаковый шанс появиться.
Опред: Несовместные события – если в результате данного испытания появление одного
из них исключает появление другого
Опред: Совместные события – если в результате данного испытания появление одного из
них не исключает появление другого.
Опред: Противоположные события – это такие события, когда не появление одного из них
влечет появление другого.
Опред: Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события
А влечет за собой появление события В.
Опред: События образуют полную группу событий, если в результате испытания
обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Операции над событиями:
1.
Опред: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении
хотя бы одного из них в результате испытания. Обозначается: А+В и означает, что
наступило событие А, или В, или А и В вместе.
2.
Опред: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в
совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Обозначается: 𝐴 ∙ 𝐵
Опред: Вероятность события А – это отношение числа М благоприятствующих исходов к
общему числу N равновозможных исходов, образующих полную группу.
𝑀
𝑃(𝐴) =
𝑁
Вероятность достоверного события равна 1, невозможного – 0, случайного 0 < 𝑃(𝐴) < 1.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:
𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ).
Вероятность суммы двух совместных событий
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).
Сумма вероятностей противоположных событий
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1.
Опред: Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется
вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначение: 𝑃(𝐴/𝐵).
Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного наступления конечного
числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности
всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события
вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.
𝑃(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑛 ) =
= 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 /𝐴1 𝐴2 𝐴3 … 𝐴𝑛−1 ).
Опред: Два события называются независимыми, если появление одного из них не
изменяет вероятности появления другого, т.е.
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴/𝐵) или 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐵/𝐴)
Опред: События называются независимыми в совокупности, если наряду с их по парной
независимостью независимы любое из них и произведение любого числа из остальных.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых к
совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 … 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴3 ) … 𝑃(𝐴𝑛 )
Формула полной вероятности.
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий
𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий,
то событие А можно представить как объединение событий:
𝐴𝐻1 , 𝐴𝐻2 , 𝐴𝐻3 , … , 𝐴𝐻𝑛 , т.е.
А = 𝐴𝐻1 + 𝐴𝐻2 + 𝐴𝐻3 + ⋯ +𝐴𝐻𝑛
Вероятность события А можно определить по формуле:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻2 ) + ⋯ +
+𝑃(𝐻𝑛 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻𝑛 )
Формула Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных
событий 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 , образующих полную группу. По той же причине, что и выше,
будем называть их гипотезами. Вероятность появления события А определяется по
формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате
которого появилось событие А. Определим вероятность гипотез в связи с тем, что событие
А появилось, т.е. 𝑃(𝐻1 /𝐴), 𝑃(𝐻2 /𝐴), … , 𝑃(𝐻𝑛 /𝐴).
По теореме произведения для зависимых событий, вероятность одновременного
появления событий А и 𝐻1 равна
𝑃(𝐻1 𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐻1 /𝐴),
Следовательно, искомая вероятность:
𝑷(𝑯𝟏 𝑨) =
𝑷(𝑯𝟏 )𝑷(𝑨/𝑯𝟏 )
𝑷(𝑨)
формула полной вероятности.
Аналогично получим:
𝑃(𝐻2 )𝑃(𝐴/𝐻2 )
𝑃(𝐻𝑛 )𝑃(𝐴/𝐻𝑛 )
, … , 𝑃(𝐻𝑛 𝐴) =
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)
Здесь 𝑃(𝐴) определяется по формуле полной вероятности. Эти формулы называются
формулами Байеса. Они позволяют оценить вероятности гипотез после того, как
появилось событие А.
𝑃(𝐻2 𝐴) =
Решение типовых заданий.
1.
Из слова «поликлиника» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность,
что это гласная? Что это буква К? Что это гласная или буква К?
Решение. Всего букв N=11. Событие А – в результате эксперимента появилась гласная
буква. Событие В – появилась буква К. Событию А благоприятствуют пять событий (5
гласных), событию В – два.
𝑃(𝐴) =
𝑀
𝑁
5
= 11, 𝑃(В) =
𝑀
𝑁
2
= 11.
А и В – несовместные.
5
2
7
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 11 + 11 = 11.
2.
В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды
выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены
окажутся мастерами спорта?
Решение. Укажем два способа решения
1)
Представим себе урну, в которой находятся 5 черных и 7 белых шаров. Черные
шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из этой урны
наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 черных шаров.
Тогда искомая вероятность равна:
𝐶53
1
𝑃(𝐴) = 3 =
𝐶12 22
2) Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть событие 𝐴1 –
вынули первый черный шар, 𝐴2 – черный шар вынули во второй раз, 𝐴3 – третий раз и А все три шара черные. Тогда 𝐴 = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 . Вероятность того, что подряд извлекут все
черные шары, равна
5
4
3
1
𝑃(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) = 12 ∙ 11 ∙ 10 = 22.
5
4
𝐴3
𝑃(𝐴1 ) = 12, 𝑃(𝐴2 /𝐴1 ) = 11, 𝑃 (𝐴
1 𝐴2
3
) = 10
3.
В поликлинике на основании многолетних наблюдений определены
эмпирические вероятности встречаемости некоторых заболеваний различной
этиологии, возникающих независимо друг от друга и способных протекать у больного
одновременно (одно не исключает появление другого). В частности заболевание А
встречается с вероятностью 80%, а заболевание В – 60%. Какова вероятность того,
что у больного возникнет хотя бы одно из заболеваний.
Решение. Введем обозначения: событие А – у обследуемого больного имеет место быть
заболевание А. Событие В – у обследуемого больного имеет место быть заболевание В.
Событие С – у больного возникнет хотя бы одно из заболеваний.
Тогда, очевидно С=А + В, причем события А и В совместны.
Значит, 𝑃(С) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).
Так как события А и В независимы, то 𝑃(С) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).
Подставляя данные, находим 𝑃(С) = 0,8 + 0,6 − 0,8 ∙ 0,6 = 0,92
4.
В корзине находятся 2 белых и 3 черных шара. Из нее извлекаются шары и
возвращаются обратно. Найти вероятность того, что три раза подряд извлекут
черный шар.
Решение. Пусть событие 𝐴1 – вынули черный шар, 𝐴2 – черный шар вынули во второй раз,
𝐴3 – третий раз. 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 – независимые. Вероятность то, что три раза подряд извлекут
черный шар равна
333
27
=
5 5 5 125
5.
Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике 8 белых, 4 черных шаров, во
втором – 7 белых и 5 черных, в третьем – 6 белых и 6 черных. Какова вероятность
того, что, выбрав наудачу один из ящиков, случайно извлечем из него белый шар?
Решение. Пусть событие А - взятый шар белый. Здесь возможны гипотезы:
𝐻1 – шар (любой) будут выбирать из первого ящика,
𝐻2 – шар (любой) будут выбирать из второго ящика,
𝐻3 – шар (любой) будут выбирать из третьего ящика.
Очевидно,
что
при
равновозможности
выбора
любого
ящика
𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴3 ) =
1
𝑃(𝐻1 ) = 𝑃(𝐻2 ) = 𝑃(𝐻3 ) = 3.
Вероятность того, что взятый шар белый, при условии, что он был извлечен из первого
ящика
𝑃(𝐴/𝐻1 ) =
8
8+4
=
8
.
12
Аналогично:
7
7
6
6
𝑃(𝐴/𝐻2 ) = 7+5 = 12;
𝑃(𝐴/𝐻3 ) = 6+6 = 12.
Подставляя полученные числа в формулу
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻2 ) + ⋯ +.
+𝑃(𝐻𝑛 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻𝑛 ), получим
1 8
1 7
1 6
1 21
7
𝑃(𝐴) = 3 12 + 3 12 + 3 12 = 3 12 = 12.
6.
Рассмотрим предыдущий пример. Допустим, что событие А наступило, т.е.
вынутый шар оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первого
ящика будет равна
𝑃(𝐻1 )𝑃(𝐴/𝐻1 ) 1 8 7
8
𝑃(𝐻1 𝐴) =
= ∙
⋮
=
𝑃(𝐴)
3 12 12 21
7.
На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В –
60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А,
оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица
продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком.
Какова вероятность того, что она произведена на машине В.
Решение.
Пусть событие С состоит в том, что взята бракованная деталь из дневной продукции.
Рассмотрим гипотезы:
𝐻1 – гипотеза, что деталь изготовлена на машине А;
𝐻2 – гипотеза, что деталь изготовлена на машине В.
Вероятности этих гипотез соответственно равны:
𝑃(𝐻1 ) = 0,4
𝑃(𝐻2 ) = 0,6
Из условия задачи следует, что вероятность обнаружения брака продукции,
произведенной машиной А, равна 𝑃𝐻1 (𝐶) = 0,009.
Вероятность обнаружения брака продукции, произведенной машиной В, равна
𝑃𝐻2 (𝐶) = 0,004.
Найдем 𝑃𝐶 (𝐻2 ) вероятность того, что единица продукции, выбранная случайным образом
и оказавшаяся браком, произведена на машине В.
Воспользуемся формулой Байеса. Получим
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐶)
0,4 ∙ 0,009
𝑃𝐶 (𝐻2 ) =
=
= 0,6
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐶) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃𝐻2 (𝐶) 0,4 ∙ 0,009 + 0,6 ∙ 0,004
Ответ: 0,6