турнир 2 деньx

III Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
6 класс, Лига А, II тур, 26 февраля
1. Найдите количество способов разбить число 2011 на примерно равные
натуральные слагаемые. Слагаемые называются примерно равными, если
любые два слагаемых отличаются не более чем на 2. Способы, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
2. Разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на 9
равных частей.
3. Три рыбака Вася, Петя и Антон в дождливый день рыбачили с трех соседних пристаней на Волге. Расстояние между соседними пристанями – 1 км. Так
как день был дождливый, то каждый из рыбаков видит не дальше 20 м от себя. В тот день по Волге плыл плот. Оказалось, что Вася видел плот в 12:00, Петя в 13.01 Уже не видел плот, а Антон в 13:59 еще не видел плот. Докажите,
что длина плота не более 10 м.
4. Имеется шахматная доска размером 3×3. Какое наибольшее количество фигур, можно расставить на ней, чтобы ни одна фигура не била никакую другую?
5. На клетчатой бумаге по линиям сетки со стороной 1 построена замкнутая ломаная длины 24.
Может ли она ограничить площадь 17?
6. Могло ли так случиться, что в компании из 98 девочек и 97 мальчиков все девочки знакомы с
разным числом мальчиков, а мальчики – с одним и тем же числом девочек?
7. Конфета «Рафаэлло» – шоколадный шар, внутри которого лежит орех. Гайке подарили на
день рождения коробку с 9 такими конфетами, выложенными в виде квадрата 33. Чип и Дейл
съели орехи из трех конфет и положили их обратно так, что внешне невозможно отличить испорченные конфеты. Они заявили, что в каждой строке и каждом столбце шоколадного квадрата только одна испорченная конфета. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных
весах без гирь можно определить все испорченные конфеты? Взвешивать можно любое количество конфет и из любой части квадрата. Все неиспорченные конфеты весят одинаково, и все
испорченные конфеты также весят одинаково (легче, чем настоящие).
8. Делится ли число 2009!!+2010!! На 2011? (2009!! = 1·3·5·7·…2009, 2010!!=2·4·6·…·2010)
9. Дима, Петя и Саша играли в настольный теннис по системе –«проиграл-отдыхай» оченьочень долго. За ужином Дима сказал: « Я выиграл 6 партий, причем все подряд».
Петя сказал: « А я выиграл еще больше партий, и тоже все подряд». Саша же
сказал: « а я ни разу не выигрывал больше трех партий подряд, но в итоге
именно я выиграл больше всех». Сколько партий выиграл Петя?
10. Отрезок железной дороги между городами A и K имеет длину 56 км.
Поезд делает на нем 9 промежуточных остановок — на станциях B, C, D,
E, F, G, H, I и J. Известно, что длина любых двух соседних участков дороги
не превосходит 12 км, а длина любых трех подряд идущих участков дороги не меньше 17 км.
Найдите расстояние между станциями B и G.
III Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
6 класс, Лига Б, II тур, 26 февраля
1. Квадрат 5×5 покрывают полосками 1×2 так, что каждая клетка
полоски покрывает клетку квадрата. Можно ли положить несколько полосок так, чтобы каждая клетка квадрата была накрыта ровно 5 раз?
2. Разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на 9 равных частей.
3. В кубическом доме 222 в каждой маленькой кубической
комнате живет рыцарь или лжец. Однажды каждый из них сделал заявление: «Среди
моих соседей (по граням) лжецов больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей может жить
в этом доме?
4. По кругу бегают Волк и Заяц с постоянными скоростями. Если они побегут из одной точки в одном
направлении, то Волк догонит Зайца через 36мин, если в разные, то через 4мин. За какое время каждый из
них пробегает круг?
5. На клетчатой бумаге по линиям сетки со стороной
1 построена замкнутая ломаная длины 24. Может ли она ограничить площадь 17?
6. Дима, Петя и Саша играли в настольный теннис по системе –«проиграл-отдыхай»
очень-очень долго. За ужином Дима сказал: « Я выиграл 6 партий, причем все подряд».
Петя сказал: « А я выиграл еще больше партий, и тоже все подряд». Саша же сказал: « а я
ни разу не выигрывал больше трех партий подряд, но в итоге именно я выиграл больше
всех». Сколько партий выиграл Петя?
7. Конфета «Рафаэлло» – шоколадный шар, внутри которого лежит орех. Гайке подарили
на день рождения коробку с 9 такими конфетами, выложенными в виде квадрата 33.
Чип и Дейл съели орехи из трех конфет и положили их
обратно так, что внешне невозможно отличить испорченные конфеты. Они заявили, что в каждой строке и
каждом столбце шоколадного квадрата только одна испорченная конфета. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить все испорченные конфеты? Взвешивать можно
любое количество конфет и из любой части квадрата.
Все неиспорченные конфеты весят одинаково, и все испорченные конфеты также весят одинаково (легче, чем настоящие).
8. Какое наибольшее количество цифр можно стереть в 10000-значном числе
201120112011..2011, чтобы сумма оставшихся цифр была равна 2011?
III Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
7 класс, Лига А, II тур, 26 февраля
1. Найдите количество способов разбить число 2011 на примерно равные натуральные слагаемые. Слагаемые называются примерно равными, если любые два слагаемых отличаются
не более чем на 2. Способы, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
2. В четырехугольнике ABCD ABD+BDC =180, AD = BC равны. Докажите, что  A =  C.
3. Три рыбака Вася, Петя и Антон в дождливый день рыбачили с трех соседних пристаней на
Волге. Расстояние между соседними пристанями – 1 км. Так как день был дождливый, то
каждый из рыбаков видит не дальше 20 м от себя. В тот
день по Волге плыл плот. Оказалось, что Вася видел плот в
12:00, Петя в 13.01 Уже не видел плот, а Антон в 13:59 еще
не видел плот. Докажите, что длина плота не более 10 м.
4. Девяти мудрецам надели
разноцветные колпаки: синего, белого, красного и зеленого цвета. Причем известно, что
колпаки всех цветов присутствуют. Мудрецы сидят в кругу, они
видят колпаки всех людей, но не видят цвет своего колпака.
Сначала всех мудрецов одновременно спросили: «Ваш колпак
зеленый?» Никто не ответил ни «да», ни «нет». Через минуту
этот вопрос снова повторили всем мудрецам. Несколько мудрецов сказали «да». Сколько мудрецов ответило теперь «да»?
5. На клетчатой бумаге по линиям сетки со стороной 1 построена замкнутая ломаная длины 24. Может ли она ограничить площадь 15?
6. Может ли так случиться, что в компании из 98 девочек и 97 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?
7. Среди 1001 монеты 500 настоящих и 501 фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты отличаются по весу от настоящих. Фальшивые монеты могут
весить по-разному, возможно, некоторые тяжелее настоящих, а некоторые – легче. Как с
помощью взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?
8. Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab = cd. Докажите, что число (a +
b + c + d) не является простым.
9. Найдите все двузначные числа, у которых цифра единиц равна количеству однозначных натуральных делителей, а цифра десятков- количеству
двузначных натуральных делителей.
10. Доказать, что если a, b, c - стороны некоторого треугольника, и они связаны соотношением a2 + b2 = kc2, то k > 0,5.
III Ижевский командный турнир математиков
Ижевск, 30 января – 1 февраля
7 класс, Лига Б, II тур, 26 февраля
1. Найдите количество способов разбить число 2011 на примерно равные натуральные
слагаемые. Слагаемые называются примерно равными, если любые два слагаемых отличаются не более чем на 1. Способы, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
2. В треугольнике АВС  А = 80о,  В = 20о. M –
середина АВ, N – середина АС, K – середина ВС.
Найдите  NKM.
3. В прямоугольном доме 223 в каждой маленькой кубической комнате живет рыцарь или
лжец. Однажды каждый из них сделал заявление: «Среди моих соседей (по граням) лжецов
больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей может жить в этом доме?
4. По кругу бегают Волк и Заяц с постоянными скоростями. Если они побегут из одной
точки в одном направлении, то Волк догонит Зайца через 36мин, если в разные, то через
4 мин. За какое время каждый из них пробегает круг?
5. На клетчатой бумаге по линиям сетки со стороной 1 построена замкнутая ломаная
длины 24. Может ли она ограничить площадь 15?
6. Дима, Петя и Саша играли в настольный теннис по системе –«проиграл-отдыхай» очень-очень долго. За ужином
Дима сказал: « Я выиграл 6 партий, причем все подряд». Петя сказал: « А я выиграл еще больше партий, и тоже все
подряд». Саша же сказал: « а я ни разу не выигрывал больше трех партий подряд, но в итоге именно я выиграл больше всех». Сколько партий выиграл Петя?
7. Конфета «Рафаэлло» – шоколадный шар, внутри которого лежит орех. Гайке подарили
на день рождения коробку с 9 такими конфетами, выложенными в виде квадрата 33.
Чип и Дейл съели орехи из трех конфет и положили их обратно так, что внешне невозможно отличить испорченные конфеты. Они заявили, что в каждой строке и каждом
столбце шоколадного квадрата только одна испорченная конфета. За какое наименьшее
число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить все испорченные
конфеты? Взвешивать можно любое количество конфет и из любой части квадрата. Все
неиспорченные конфеты весят одинаково, и все испорченные конфеты также весят одинаково (легче, чем настоящие).
8. Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab = cd. Докажите, что число (a + b + c + d) не
является простым.