Ю.Н.Некрестьянова Аспирант Государственный университет

Ю.Н.Некрестьянова
Аспирант
Государственный университет управления
Г. Москва, Российская Федерация
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕСОВЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Известно, что эффективность инвестиционного проекта закладывается на
этапе его проектирования, а реализуется на этапах строительства и доведения
до конечного результата. Разработка проекта представляет собой научно
обоснованное
определение
набора
соответствующих
мероприятий
(необходимых работ) обеспечивающих желаемый результат (цель проекта).
При этом требуется чтобы цель не только оправдывала затраченные средства,
но и обеспечивала максимальный интегральный эффект от реализации проекта
на практике. Так как максимум суммы равен сумме максимумов слагаемых, то
появляется необходимость разработки методик и алгоритмов оптимизации по
каждому конкретному мероприятию отдельно. Предложенный в работе подход
позволяет уменьшить объем методических разработок и соответственно затрат
на их реализацию.
В настоящее время актуальна проблема оценки макроэкономической
эффективности инвестиционных проектов в целях сравнения и выбора
наилучшего варианта вложения государственных средств. Под мероприятием
здесь
понимается
оптимизация
(разработка
методики
и
проведение
соответствующих вычислений) по заданному критерию. Набор мероприятий
порождает
многокритериальную
задачу.
Важным
этапом
является
ранжирование критериев по их значимости (весу). При государственном
финансировании это должно быть прерогативой государства (как инструмент
государственного
регулирования
в
соответствии
с
приоритетами
макроэкономики страны).
Как
правило,
используется
система
критериев,
однако,
их
взаимозависимость создает трудности в решении задач многокритериальной
оптимизации.
Для
зависимых
критериев
применяется
метод
весовых
коэффициентов, используется интегральный критерий, включающий в себя
набор локальных критериев с их весовыми коэффициентами. При этом
возникает проблема определения значений весовых коэффициентов, т.е. веса
(значимости) каждого критерия по отношению к интегральному. Одним из
традиционных подходов для решения данной задачи является привлечение
экспертов и применение методов обработки экспертных оценок [1,3].
В качестве альтернативного подхода предлагается использовать метод
аналогии математических моделей, получаемых при формализации известных
закономерностей природы. На протяжении двух с половиной столетий на
универсальном научном методе – аналогии было основано использование
принципа наименьшего действия – одного из наиболее общих физических
принципов природы [2]. В данном исследовании он применяется к решению
экономической задачи, что оправдано его всеобщностью и оптимальностью.
Приводится доказательство того, что равно пропорциональные части, в
силу принципа наименьшего действия, являются оптимальными для любого (в
том числе и единичного) целого. При этом в качестве единичного целого
рассматривается вес (весовой коэффициент) интегрального критерия, равный
сумме весов всех входящих в него локальных критериев, а в качестве частей
этого единичного целого рассматриваются веса (весовые коэффициенты)
локальных критериев.
Поскольку при оптимальном разделении целое должно состоять из n равно
пропорциональных частей с коэффициентом пропорциональности q<1, то
уравнение связи для n весовых коэффициентов имеет следующий вид:
n
n
1   ai  a1   q i 1 .
i 1
(1)
i 1
Здесь правая часть является геометрической прогрессией со знаменателем
q, то есть рекурсией первого порядка, а левая равна единице. Используя
формулу суммы членов убывающей геометрической прогрессии, получим связь
наибольшей
части
целого
с
коэффициентом
пропорциональности
и
количеством частей целого в виде:
a1 
1
n
q
.
(2)
i 1
i 1
Очевидно, что если есть какой-то оптимальный коэффициент равной
пропорциональности частей целого, то он не должен зависеть от их числа (то
есть быть инвариантом относительно величины n). Однако при n=2, когда
отношение меньшей части к большей равно отношению большей к целому,
возможно только одно значение q   , где  

,
5 1
2
получаемое как
единственное положительное решение уравнения:
q  q2  1.
(3)
Заметим, что случай оптимального деления целого на две неравные части
давно изучен и имеет вековую практику применения в самых различных сферах
деятельности человека. Это так называемое «Золотое сечение» или «золотая
пропорция», отражающая равнопропорциональность целого с большей его
частью, и этой части с меньшей. Подставляя в (2) вместо q число  , получаем
расчетную формулу для наибольшего весового коэффициента а1:
2
.
a1 
1   n 
(4)
Умножая правую часть (4) на  , получим выражение для определения а2, и
так далее. В общем случае формула расчета величины i-го весового
коэффициента аi, где i  1, n ,имеет вид:
 i 1
ai 
.
n
1




(5)
Умножая равенство (3) на произвольную степень числа  , получим
уравнение рекурсии второго порядка
для убывающей последовательности
возрастающих степеней этого числа (ряда типа Фибоначи) в виде:
 i   i 1   i 2 .
(6)
Из (6) следует, что возрастающие степени числа q  
убывающую последовательность, которая является
образуют
рекурсией и первого и
второго порядка одновременно. Не трудно показать, что такими же свойствами
обладает и убывающая последовательность весовых коэффициентов. Это
следует из (5) и (6):
ai 1    ai ,
(7)
ai  ai 1  ai  2 .
(8)
Поскольку каждый весовой коэффициент является отношением величины
соответствующего локального эффекта к величине интегрального (суммарного)
эффекта, то используя формулы (8), получаем уравнение рекурсии второго
порядка для убывающей последовательности локальных эффектов в виде:
Эi  Эi 1  Эi  2 .
(9)
При этом члены этой последовательности образуют еще геометрическую
прогрессию (то есть рекурсию первого порядка), знаменатель которой равен  .
Необходимо напомнить, что все выше изложенное справедливо только в
случае обеспечения оптимальных соотношений между величинами эффектов от
отдельных мероприятий, но это-то как раз и требуется. При этом оптимизация
здесь производится по принципу наименьшего действия.
Заметим, что на основе полученных результатов, имея методику расчета
любого локального эффекта и зная (вычислив) величину его весового
коэффициента, легко вычислить величину интегрального эффекта, а через нее
величины и всех остальных локальных эффектов от соответствующих
мероприятий. То есть, для оценки величины интегрального эффекта, вместо n
методик расчета величин эффектов от локальных мероприятий, достаточно
иметь (разработать) всего одну, что существенно (в разы) уменьшает
затрачиваемое время и объем подготовительных для проведения вычислений
работ (например, получение и обработка статистических исходных данных).
Рассматривая в качестве мероприятий оптимизацию по заданным критериям,
получаем способ сведения многокритериальной (n-критериальной) задачи к
однокритериальной, а также способ переноса требования к величине
интегрального эффекта на величины эффектов по локальным критериям Эi, где
i  1, n , которые должны обеспечиваться соответствующими мерами на этапах
проектирования и реализации инвестиционных проектов. Вариант задания
требования
к
величине
интегрального
эффекта
часто
возникает
при
государственном финансировании инвестиционного проекта, как необходимое
условие выделения средств на его реализацию, что позволяет сразу же
отбраковывать
несоответствующие
этому
требованию
инвестиционные
проекты.
Следующим шагом является учет зависимости эффектов. Как показано
выше в (9), в убывающей по их величине последовательности эффекты
одновременно связаны в рекурсии первого и второго порядка. Заметим, что
поскольку зависимые числовые величины всегда можно рассматривать в виде
соответствующих числовых множеств, то их суммой является объединение
этих числовых множеств. Поэтому реальная величина Э для интегрального
эффекта Э будет равна:
Э 
n
Эi 
i 1
n
ai  Э  Э 
i 1
n
ai .
(10)
i 1
Далее, опираясь на формулы (8) и затем на (5), получаем:
n
Э    Э .
ai  a1  a2  an   ,
i 1
(11)
Заметим, что величину реального интегрального эффекта Э можно
выразить через величину эффекта от самого весомого мероприятия (Э1) в виде:
Э 1     Э1
Э    1 
.
a1

n
(12)
Для случая оптимизации по двум критериям получаем:
1     Э

2
Э
1

 Э1 .
(13)
При этом реальные величины эффектов от мероприятий будут равны
соответственно Э1    Э1 ; Э2    Э1   2  Э1 . Имея методику расчета величины
эффекта Э1 или Э2, легко вычисляем эти величины, так как Э2  Э1   .
В качестве таких критериев можно, например, рассматривать максимум
прибыли на единицу затрат и минимум вреда природе (выраженный также в
относительных величинах) в виде отходов и выбросов в атмосферу,
разрушающих
природную
экосистему.
Безотходные
производства
с
замкнутыми технологическими циклами - вот идеал инвестиционного проекта,
претендующего на государственное финансирование. Какой из этих двух
критериев имеет больший вес на данном этапе развития, как уже отмечалось,
должен определять государственный орган управления макроэкономикой
страны.
В заключение заметим, что соответствующее частному для изложенного
здесь подхода случаю (n=2) «Золотое сечение» является пропорцией, которая
наблюдается во всех шедеврах архитектуры, живописи, зодчества, и, которая
считается оптимальной и широко используется всюду еще со времен Леонардо
Давинчи. Ранее уже было показано, что золотая пропорция является следствием
принципа наименьшего действия. При этом убывающая последовательность
целого и двух его частей образует рекурсии первого и второго порядка
одновременно. Именно отсюда следует и ее оптимальность, и ее корни.
Признание оптимальности «золотой пропорции» является, по сути, внедрением
для выше изложенного метода вычисления оптимальных значений весовых
коэффициентов эффектов от заданного
набора мероприятий, который
применим к решению задач экономики. В том и состоит универсальность
общих принципов и математических моделей, что они одинаково применимы в
совершенно различных областях деятельности человека.
Список использованной литературы:
1. Коробов В.Б. Сравнительный анализ методов определения весовых
коэффициентов "влияющих факторов" // Социология: методология, методы,
математические модели. – Научный журнал института социологии РАН. – 2005.
- № 20.
2. Терехович В.Э. Действующие и целевые причины в принципе
наименьшего действия // Вестник ЛГУ им. А. С. Пушкина. – 2012. – Т. 2. № 3. –
С. 49–59.
3. Хамханова Д.Н. Теоретические основы обеспечения единства
экспертных измерений. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2006.