Геометрия 8 класс. Часть 1* (со сзвездочкой)

Геометрия 8 класс К.К.Кургинян Часть-1* (со звездочкой).
Многоугольник.
Определение: Многоугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из
плоской, замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной
называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол,
смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это
разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°. Сумма
внешних углов многоугольника 360°.
Выпуклый многоугольник.
Многоугольник называется выпуклым если:
Определение I - для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок
полностью лежит в нём.
Определение II - каждый внутренний угол меньше 180°.
Определение III - все его диагонали полностью лежат внутри него.
Определение IV – он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через
две его соседние вершины.
Сумма углов n-угольника.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)∙180°.
Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n-2)∙180°. (Доказательство
аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть
разрезан диагоналями на треугольники).
Число диагоналей n-угольника.*
Теорема: Число диагоналей всякого n-угольника равно
𝑛(𝑛−3)
2
.
Доказательство: Пусть n - число вершин многоугольника, вычислим p- число возможных разных
диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух
соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n3 диагонали; перемножим это на число вершин (n-3)∙n, однако, мы посчитали каждую диагональ
𝑛(𝑛−3)
дважды (по разу для каждого конца, следовательно, надо разделить на 2) - отсюда, p=
.
2
Задача*: в каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше чем сторон?
Решение:
р = 25+n
25+n =
𝑛(𝑛−3)
2
50 + 2n = n2- 3n
n2- 5n - 50 = 0
Разложим на
множители
n2-25-5n -25 = 0
(n+5)(n-10)=0
n=-5 не удовлетворяет,
так как не существует
такой многоугольник
n = 10 удовлетворяет
Ответ: Десяти
угольник.
Фигуры с равными диагоналями.*
На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали
равны между собой - это квадрат и правильный пятиугольник (пентагон). У квадрата две
одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника
пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды
(пентаграммы).
В пространстве существует единственный правильный многогранник (не
многоугольник), у которого все диагонали равны между собой - это
правильный восьмигранник (октаэдр). У октаэдра три диагонали, которые
попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные
грани).
Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные
диагонали равны между собой - это куб (гексаэдр), помимо пространственных у куба есть
диагонали граней. У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые пересекаются в
центре. Угол между диагоналями куба составляет либо arccos (1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей,
проведенных к смежным вершинам), либо arccos (–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных
к несмежным вершинам).
Четырехугольники.
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.
Две несмежные стороны называются противоположными.
Две не соседние вершины называются противоположными.
1.Параллелограмм - это четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=DC, AD=BC.
2) Противоположные углы параллелограмма равны. A=C, B=D.
3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
AO=OC, BO=OD.
4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. A+D=180,
A+B=180, B+C=180, D+C=180.
5) Сумма всех углов равна 360°. A+B+C+D=360°.
6)* Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов
его двух смежных сторон: AC2+BD2=2∙(AB2+AD2).
Задача 1*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна
AC=9 см, а стороны AD=7 см и AB=4 см.
Решение: Подставив значения в формулу получим:
81+BD2=2∙(49+16),
BD2=2∙65-81
BD2=130-81
BD2=49, следовательно вторая диагональ равна BD=7 см.
Ответ: 7 см.
Задача 2*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна
BD=10 см, а стороны AD=8 см и AB=2 см.
Решение: Условия задачи не верно, так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третей
стороны.
Ответ: задача не имеет решений (смысла).
Задача 3*: а)Найти сторону параллелограмма, если известно, что длина диагоналей равна BD=6 см,
AC=8, а одна сторона AB=5 см. б)Как называется этот параллелограмм.
Задача 4**: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см, а произведение 32 найдите
значение суммы квадратов всех его сторон.
Задача 5**:Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.
Решение: Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей
наибольший периметр имеет ромб.
Действительно, пусть a и b – длины соседних сторон
параллелограмма, а d1 и d 2 – длины его диагоналей (см. рис. 2). Тогда
периметр параллелограмма: P = 2(a + b).
2
2
Из равенства d1  d 2  2a 2  b 2 , выражающего теорему о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех
параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная.
По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным:
ab

2
a2  b2
2
 2a  b   2 2a 2  b 2  , причем равенство достигается т. и т. т., когда a = b. Значит,
параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом. Находим сторону этого ромба:
d1  d 2
 3 2  4 2  25 =5(см).
4
2
a
2
Ответ: 20 см.
2.Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Определение 3: это параллелограмм, у которого один угол прямой.
Определение 4: это параллелограмм, у которого углы равны.
Свойства прямоугольника: те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали прямоугольника равны.
2)* Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. AC2=AB2+DC2
Задача 1: Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, диагонали пересекаются под
углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.
Задача 2: Меньшая сторона прямоугольника равна 24, диагонали пересекаются под
углом 120°. Найдите диагонали и большую сторону прямоугольника.
Задача 3*: Сторона прямоугольника равна 3 см, диагональ 5 см. Найдите другую
сторону прямоугольника.
Задача 4*: Сторона прямоугольника равна 6 см, диагональ 10 см. Найдите площадь
прямоугольника.
3.Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все стороны равны.
Свойства ромба: те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).
2) Диагонали ромба делят его углы пополам (то есть диагонали ромба
являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC,
∠ADB = ∠CDB).
3)*Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4
(следствие из тождества параллелограмма). AC2+BD2=4·AB2
Задача 1: Диагонали ромба 6 и 8 см. Найти сторону ромба.
Задача 2: Сторона ромба 10 см, один из углов 60. Найти маленькую диагональ ромба.
4.Квадрат -это параллелограмм, у которого все углы равны 90 и все стороны равны.
Определение 2: это параллелограмм, у которого все углы и стороны равны между собой.
Определение 3: это четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны между собой.
Определение 4: это ромб, у которого один угол прямой.
Определение 5: это ромб, у которого углы равны.
Определение 6: это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата: те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали квадрата равны.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам (то есть диагонали квадрата
являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC=
∠ADB = ∠CDB=45).
4)* Квадрат диагонали равен удвоенному квадрату стороны. AC2=2·AB2
5.Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями, а две другие
боковыми.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны
равны.
Трапеция называется прямоугольной, если один из его углов прямой.
Задача: Докажите, что трапеция не может одновременно быть и
прямоугольной и равнобедренной.