ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ ВАРИАНТ № 11 “ кл. ВАРИАНТ № 12 1. Упростите выражение 6ab 2b 2 a 2 a 2b a 2a 3b 2 2 b 2 2 2 2 2a b a 9b a 4ab 3b a 2ab 3b и найдите его значение при а = 1 + i35, b = 2i + 1. 1. Упростите выражение 2ab 2b 2 3a 2 3a ba 2a 8b 2 2 2 а 2 2 2 4a 5b a 4b a ab 2b a 3ab 2b и найдите его значение при а = 1 + i, b = 1 – 3i29. 2. Решите уравнение 3х4 + 11х3 + 21х2 +28х + 12 = 0 и найдите сумму квадратов его комплексных корней. 2. Решите уравнение 2х4 + 7х3 + 6х2 +18х + 27 = 0 и найдите сумму модулей его комплексных корней. 3. 3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 7х – 33у = 39. Для какой из этих пар х + 2у будет наибольшим возможным положительным трехзначным 3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 71х – 13у = – 28. Для какой из этих пар 3х – у будет наименьшим возможным отрицательным трехзначным числом? числом? 4. Постройте графики зависимостей а) у 2х 3 ; х 2 х 1 5 б) у х 2 2 х 4 х. 5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах – 1 = 0, у1, у2, у3 – корни уравнения у3 –(а2 – 2)у2 + ау + а = 0. При каких значениях х2 х2 параметра а верно равенство 1 2 у1у2(у1 + у2) + х 2 х1 у2у3(у2 + у3) + у3у1(у3 + у1)? ______________________________________________________ _ 4. Постройте графики зависимостей а) у 2х х 1 1 х3 х ; б) у 2 х х 2 4. 5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах + 1 = 0, у1, у2, у3 – корни уравнения 2у3 – а3у2 + 2(а + 1)у – 2 = 0. При каких х х значениях параметра а верно равенство 2 12 22 х 2 х1 у32 1 у12 1 у22 1 + ? у12 у22 у 32 ______________________________________________________ ПКР1, 10 кл., АВИ 2004 ПКР1, 10 кл., АВИ 2004 ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ ВАРИАНТ № 23 1. Решите неравенство x 3 ВАРИАНТ № 24 2 1 1 2 2 0. x 2 x 3x 2 2 x 3x 2 2. Саша должен приехать на вокзал, находящийся от него на расстоянии 72 км, к отправлению поезда. Выехав на скутере с постоянной скоростью, после двух часов пути он сделал остановку на 20 минут и, чтобы ликвидировать задержку, оставшийся путь проезжал со скоростью большей прежней на 12 км/ч. Какова была первоначальная скорость Саши? 3. Постройте график уравнения xy 1 3 x x 2 . x “ кл. 1. Решите неравенство x 5 2 1 2 2 2 0. x 2 x 3x 2 3x 4 x 4 2. Катер прошел по течению реки 68 км и 78 км против течения, затратив на это столько времени, сколько ему нужно, чтобы пройти 150 км по озеру. Найдите отношение собственной скорости катера к скорости течения. yx 3. Постройте график уравнения x 2 x2 5 x . 4. Решите уравнение 2 x 4 9 x 3x 2 7 x 9 . 4. Решите уравнение x 2 2 x 3 3 x 2 3x 4 ( x 3) 4( x 4) 2 . 5. Найдите все действительные корни уравнения 5. Найдите все действительные корни уравнения 3 x 6 3 8 x 2 3 48 2 x x2 4 . 6. При каких значениях параметра а все решения неравенства (а + 2)х2 – 2ах + а – 1 < 0 являются решениями неравенства x 2 2x 1. ПКР2, 10 кл., АВИ 2008 2 3 x 1 1 3 x 15 3 x2 16 x 15 . 6. При каких значениях параметра а все решения неравенства (а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 2 > 0 не являются решениями неравенства 2 2 x 3 x 9 . ПКР2, 10 кл., АВИ 2008 ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ВАРИАНТ № 31 1. Упростите выражение 2sin3x cosx sin 2 x x 1 2sin 2 9 4 2 2 sin 3 x cos 540 x 2 2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок другого сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После переплавки получили новый сплав, содержащий 40 % золота. Каков вес добавленного сплава? 3 12 3. 3. Вычислите cos 2arctg arccos arccos sin11 . 4 13 4. Постройте график функции y cosx 1 sin 2 x . 5. Решите неравенство 2 sinx 15 2. 2 sinx 1 ВАРИАНТ № 32 1. Упростите выражение 1 cos2x 1 2sin2 x x 1 2cos 2 2 sin 9 + 3x cos 900 + x 2 2 2. К 15 л раствора, содержащего 60 % серной кислоты, добавили другого раствора, содержащего 4 л серной кислоты. В результате получили раствор, содержащий 20 % серной кислоты. Каково процентное содержание кислоты в добавленном растворе? 1 5 3. Вычислите sin arctg 2 arccos arcsin sin10 . 2 13 4. Постройте график функции y sinx 1 sin 2 x . 5. Решите неравенство cosx 3 2 . cosx ctgx tgx cos16 x . 2cos 2 x sin 2 x 6. Решите уравнение (tgx ctgx) sin 4 x 4 2 sin x . 4 6. Решите уравнение ПКР3, 10 кл., АВИ 2011 ПКР3, 10 кл., АВИ 2011 ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ВАРИАНТ № 43 ВАРИАНТ № 44 1. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный 1. В основании пирамиды SABCD лежит равнобокая трапеция треугольник ABC, у которого А = 60°, С = 90°, АС = b. ABCD, в которой боковые стороны AВ = DС = a, А = α. Вершина пирамиды проектируется на сторону СВ, а Вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания плоскости CAS и SAB образуют с основанием угол на расстояние 2а. Найдите: величины β. Найдите: 1) площадь основания пирамиды; пирамиды; 2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой 2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой поверхности поверхности пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к плоскости плоскости основания пирамиды. 1) площадь основания основания пирамиды. 2. В прямоугольном ABCDA1B1C1D1 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6, AB = 6, AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1 AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1 выбрана точка выбрана точка T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки P и K T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки М и R выбраны на ребрах выбраны на ребрах DD1 и AA1 соответственно, причем DD1 и АВ соответственно, причем MD1 : DD1 = 3 : 4, ВА : ВR DP : DD1 = 1 : 2, A1K : KА = 3 : 1. Через точки T, P и K = 2 : 1. Через точки M, R и T проведена секущая плоскость. проведена и Постройте сечение и найдите: 1) площадь сечения; 2) угол найдите: 1) площадь сечения; 2) угол между секущей между секущей плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол между прямыми TA1 между прямыми DB1 и RA1; 4) угол между прямой ТA и и D1B; 4) угол между прямой PB1 плоскостью CBB1. секущая параллелепипеде плоскость. Постройте сечение и плоскостью DAB. ____________________________________________________ ПКР4, 10 кл., АВИ 2013 ___________________________________________________ ПКР4, 10 кл., АВИ 2013 ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 10 “ “ кл. ВАРИАНТ № 51 ВАРИАНТ № 52 1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что 1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что n n 1 12 22 n2 ... . 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 f1 + f2 + ... + fn = fn+2 – 1, где f n – числа Фибоначчи, определяемые по правилу: f1 f 2 1 , f n2 f n1 f n . 2. Вычислите: а) lim n 9 13n 2. Вычислите: 5n 1 5n 3 9n 1 4 ; 3cos 3 x 2cosx 1 . x 0 2 sin 2 3x б) lim 3. Найдите уравнение касательной к графику 2 функции f x x x 2 , если известно, что расстояние от точки касания до точки А(3; 0) наименьшее. 5. 4. Исследуйте функцию f x 3 x 2 x3 2 и постройте ее а) lim n 3. 1 5n n 1511 n 217 ; б) lim x 0 316n 202n 3 sin3x 3sin 2 x . 2 4 x 2 3x Найдите уравнение касательной к графику функции f x x 2 2 x 7 , если известно, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат наименьшая. 4. Исследуйте функцию f x 3 x2 x 3 2 и постройте ее график. график. 5. Найдите производную и критические точки функции f x 4sin3x 3cos3x 3ax 2a 2 3a 35 . ПКР5, 10 кл., АВИ 2011 5. Найдите производную и критические точки функции f x cos 2 x 12a cos x 2 1 4a 2 x . 4 ПКР5, 10 кл., АВИ 2011 Департамент образования города Москвы Департамент образования города Москвы Государственное бюджетное образовательное учреждение Государственное бюджетное образовательное учреждение лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ ВАРИАНТ № 61 1. Решите неравенство 2x 1 x 1 . x x 2 2x 1 4x 2 2 2. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй – 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 тонн стали с содержанием никеля 25%? 3. Решите уравнение 4 x 3 3x 2 5x 1 2 1. Решите неравенство 2. и постройте ее график. 2 x 2 20 x 100 x 10 x 2 3x 2 x5 3 5 . x 5 x 1 Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке 10%, во втором – 40%. После того как эти слитки сплавили, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определите массу полученного слитка. 3. Решите уравнение 12 x 4 70 x 4 . 4. Исследуйте функцию f x ВАРИАНТ № 62 4 15 x 4 2 x 3 . 3 2 4. Исследуйте функцию f x x 5x 72x 3 и постройте ее 5x 6 график. 5.5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 a 2 sinx cos2 x 6a2 11a 2 0 имеет на отрезке ; не более 6 6 одного решения. ____________________________________________________________ ЭКР, 10 кл., АВИ 2013 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos2 x 2(a 1)cos x 14a 12a 2 3 0 имеет на отрезке ; не менее двух различных решений. 3 _____________________________________________________ ЭКР, 10 кл., АВИ 2013 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ ВАРИАНТ № 71 log3 8 log8 9 1. Вычислите 0 ,5 log 2. Найдите решения 3 ВАРИАНТ № 72 log log sin x cos x 3 sin x cos 2 x 0 3 12 ; 2 принадлежащие промежутку . 3. Решите неравенство 4. f x log arctgx касательной к графику 5. log x 6 x3 4 x 1 2x 7 2x2 f x . 1 log x 7 3. Решите неравенство . Найдите а) f x ; б) уравнение 3 . 7 x 1 1 уравнение касательной к графику абсциссой 1. log 1 6 x log3 x 2 3 . y log 2 x x2 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение e 2a ax не ПКР7, 11 кл, АВИ 2011 f x log arcctgx 4. x3 1 x 4 1 . Найдите а) f x f x ; б) , проведенной в точке с 5. Постройте график функции 1 x имеет решений. 1 log sin x 2 cos x cos 2 x sin 2 x 1 0 2 , 13 12 ; 2 принадлежащие промежутку . , проведенной в точке с абсциссой 1. x4 x 2 2. Найдите решения уравнения , Постройте график функции y log 12 4 x x2 256 log 22 18 log 22 3 3 log 2 162 4 log 2 18 8 log 2 3 1. Вычислите . log3 24 log 72 7 log 49 81 . уравнения “ кл. x log 2 2 x log 1 x 1 x 1 2 . 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение e 2 x 4a ax имеет ровно два различных решения. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 83 1. В основании призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная трапеция ABCD, у которой A B 90 , АВ = а, острый угол ADC равен β. Вершина A1 проектируется в точку С. Грани АА1D1D и AA1B1B наклонены к плоскости основания под углом γ. Найдите: 1) объем призмы; 2) величину угла между боковым ребром призмы и плоскостью основания призмы. ВАРИАНТ № 84 1. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольная трапеция ABCD, у которой A B 90 , АD = а, острый угол ADC равен β. Вершина S проектируется в точку A, ребра SC и SD наклонены к плоскости основания под углом γ. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) угол наклона плоскости SCD к плоскости основания пирамиды. 2. В основании параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. Точки М и К лежат на ребрах АА1 и DD1, соответственно, причем A1M : MA = 1 : 2, DD1 : D1K = 3 : 2. O – пересечение диагоналей ABCD. Найдите, в каком отношении разделится плоскостью МКО 2. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Точки М и Р лежат на ребрах SA и SB, соответственно, причем SM : SA = 2 : 5, SP : PB = 2 : 3. Точка Т – середина отрезка SO, где точка О – пересечение диагоналей ABCD. Найдите, в каком отношении плоскость МТР разделит 1) ребро DC; 2) площадь грани ABCD; 3) объем параллелепипеда. 1) ребро SС; 2) площадь грани SAD; 3) объем пирамиды. 3. Все ребра правильной треугольной пирамиды SKPN равны a. Ребро AB куба ABCDA1B1C1D1 (AA1 || BB1 || CC1 || DD1) принадлежит прямой SK, ребро CC1 – прямой PN. Найдите: 1) объем куба; 2) угол между прямой AD и плоскостью PKN. ____________________________________________________ 3. Все ребра правильной треугольной призмы TNMT1N1M1 (TT1 || NN1 || MM1) равны a. Ребро SA правильной треугольной пирамиды SABC, у которой все ребра равны, принадлежит прямой NN1, ребро BC – прямой TM. Найдите: 1) объем пирамиды SABC; 2) угол между прямой SB и плоскостью TNM. ___________________________________________________ ПКР8, 11 кл., АВИ 2009 ПКР8, 11 кл., АВИ 2009 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ ВАРИАНТ № 91 1. Вычислите интегралы 3 а) 0 4 dx ; б) 2x 1 x3 8 x 3 x 2 3x 4dx ; в) e x lnxdx . 1 “ кл. ВАРИАНТ № 92 1. Вычислите интегралы 0 x3 4 x dx а) ; б) 2 x 2 5x 6dx ; в) sin 2 x x 2 cos3xdx . 0 12 2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком функции f x 4 x x3 , касательной к этому графику, проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми х = 0 и х = 2. 2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком функции f x x 3 , касательной к этому графику, проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми х = -3 и х = 2. 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиками функций f x 2 sin x и 3. Найдите площадь фигуры, заданной плоскости ХОУ неравенствами g x 2 cos x на отрезке 2 2 ; 2 . на координатной и y 2 x 2 1 y x 2 2 . 2 4. Найдите все первообразные для f(x) = x2 + x – 2, график которых имеет общие точки с четырехугольником АВСD, где А(-3; 2), В(0; 2), С(0; -1), D(-3; -1). 4. Найдите все первообразные для f(x) = 2x – 1, график которых имеет общие точки с треугольником АВС, где А(2; -2), В(-1; 2), С(-1; 1). 5. При всех значениях параметра а определите количество решений a уравнения ln 2 x . x 5. При всех значениях параметра а определите количество x решений уравнения ln3 x . a _______________________________________________________ _____________________________________________________ ПКР9, 11 кл., АВИ 2013 ПКР9, 11 кл., АВИ 2013 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 101 ВАРИАНТ № 102 1. В прямоугольном треугольнике АВС, катеты которого АС = а, a СВ = , проведена биссектриса ВК. Найдите площадь 3 поверхности и объём тела вращения треугольника АВС вокруг прямой, параллельной ВК и проходящей через точку С. 1. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со смежными сторонами параллелограмма углы 45º и 30º, а расстояние от вершины В до нее равно d. В плоскости параллелограмма АВСD через вершину С проведена прямая l, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь поверхности и объём тела вращения АВСD вокруг прямой l. 2. Шар касается одного из оснований цилиндра в его центре, а поверхность шара содержит окружность второго основания. Радиус шара R, отношение высоты цилиндра к радиусу его основания равно 2 1. Найдите: а) площадь полной поверхности цилиндра; б) площадь поверхности шара, лежащей вне цилиндра; в) объём общей части цилиндра и шара. 2. Шар касается основания конуса в его центре, а поверхность шара содержит вершину конуса. Высота конуса H. Радиус основания конуса относится к радиусу шара как 2 : 3 . Найдите: а) площадь полной поверхности конуса; б) площадь поверхности шара, лежащей вне конуса; в) объём общей части конуса и шара. 3. На сфере радиуса 2 выбраны три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника со стороной 3. В этих точках сферы изнутри касаются три одинаковые сферы радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех четырех сфер. 3. На сфере радиуса 6 выбраны четыре точки, являющиеся вершинами квадрата со стороной 3 6 . В этих точках сферы изнутри касаются четыре одинаковые сферы радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех пяти сфер. ________________________________________________________ _____________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ПКР10, 11 кл., АВИ 2008 ПКР10, 11 кл., АВИ 2008 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 111 ВАРИАНТ № 112 1. Имеются два водных раствора поваренной соли. Первый раствор массой 5 кг содержит р % соли, второй раствор массой 3 кг содержит 40 % соли. Сколько кг первого раствора нужно взять, чтобы при смешивании его с частью второго раствора получить 2 кг раствора, содержащего 2р % соли? 1. Имеются два водных раствора соляной кислоты. Первый раствор массой 4 кг содержит 30 % кислоты, второй раствор массой 6 кг содержит k % кислоты. Сколько кг второго раствора нужно взять, чтобы при смешивании его с частью k первого раствора получить 3 кг раствора, содержащего % 2 кислоты? 2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству 2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых 1 x a a x 2 1 удовлетворяют неравенству 2 0 . При каких a x 2 2a 2 x 1 значениях параметра а решения неравенства образуют луч на числовой прямой? x a a x 2 2 x x 2 a 2 2 x 4a 0 . При каких значениях параметра а решения неравенства образуют луч на числовой прямой? 3. Решите уравнение 3. Решите уравнение log2 x 1 log0,25 x 2 log2 x2 2ax loga2 1 . 2 4. При каждом действительном значении параметра а укажите количество решений уравнения a x 2a 2x x3 a x . log3 x 2 log9 x 1 log3 x 2 3ax log 2a11 . 2 4. При каждом действительном значении параметра а укажите количество решений уравнения a x 2a x3 a x . 5. 5 5. Найдите все значения параметра а, при которых среди решений 5. Найдите все значения параметра а, при которых среди неравенства y a ax содержатся ровно девять пар целых решений неравенства ay a 2 x содержатся ровно пять чисел (х; у). пар целых чисел (х; у). 2 ПКР11, 11 кл., АВИ 2010 ПКР11, 11 кл., АВИ 2010 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 121 1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник, в котором высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h и составляет с меньшим катетом треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы величины α. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду. 2. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 122 1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник, в котором медиана, проведенная на гипотенузу, равна т и составляет с меньшим катетом треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы величины α. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду. 2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно l, двугранный угол при ребре основания β. Одна из образующих прямого кругового цилиндра принадлежит диагонали основания пирамиды, не совпадая с ней, а окружности оснований цилиндра имеют по одной общей точке с боковыми ребрами, пересекающимися с данной диагональю. При каком радиусе основания цилиндра площадь его боковой поверхности будет максимально возможной. 2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна H, плоский угол при вершине β. Одна из образующих прямого кругового цилиндра принадлежит отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания пирамиды, а окружности оснований цилиндра имеют по одной общей точке с апофемами, проведенными к взятым сторонам основания. При какой высоте цилиндра его объем будет максимально возможным. 3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5, АВ = 8. Вершина S проектируется на плоскость основания в середину стороны АВ, SA = 4 2 . Через точку С, точку М – середину ребра SB и точку L, принадлежащую ребру SA, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если она имеет наименьшее возможное значение. 3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5, АВ = 6. Вершина S проектируется на плоскость основания в середину стороны АВ, SA = 5. Через точку С, точку Р – середину ребра SА и точку К, принадлежащую ребру SВ, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если она имеет наименьшее возможное значение. ПКР12, 11 кл., АВИ 2006 ПКР12, 11 кл., АВИ 2006 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 131 ВАРИАНТ № 132 1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих z 5 i z 1 3i системе неравенств . Найдите: 1) число из множества М, zi 3i 1 2 имеющее наименьший возможный аргумент; 2) 3 z0 5 , где z0 М, и z0 имеет максимально возможную действительную часть. удовлетворяющей х 0,5 1 неравенству х 0,1 3 параллельна наклонной асимптоте графика функции 3. 3. Решите неравенство: log х 2 2 х 3 х4 х х 1 у если касательная 2 х 2 3х 1 . х 1 z 5 3i z 2 i . Найдите: 1) число из множества М, имеющее z i 4 3 z0 2 , наименьший возможный модуль; 2) где z0 М, и z0 имеет 2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции у абсциссой, удовлетворяющей 2; 2. Найдите вероятность х 2 px q 0 2 неравенству х 1 2,5 2,5 х х 1 параллельна наклонной асимптоте графика функции 3. Решите неравенство: 4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка 5. 0, х7 в точке с х 1 0. того, что действительные корни уравнения неравенству x12 + x22 + 6x1x2+ 4x1 + 4x2 ≥ 0. системе неравенств максимально возможную мнимую часть. 2. 2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции у абсциссой, 1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих удовлетворяют 5.Железная дорога взяла в аренду суперкомпьютер на 800 ч работы, желая организовать его работу в одинаковые по времени смены. Затраты на одну смену продолжительностью а ч складываются из технического обслуживания р1а у. е., зарплаты операторов р2а 3 2 у. е. 1 2 log х 2 2 х 3 х4 х х 1 у что действительные корни уравнения + 2x1x2(х1 + х2 – 8) ≤ 8(x12 + x22). 0 , если касательная х2 5х 3 . 2х 3 0. 4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка 1;1 . Найдите вероятность того, х 2 px q 0 2 х6 в точке с х2 удовлетворяют неравенству x12x22 5. Заводу необходимо переработать 6000 т макулатуры, разбив это количество на одинаковые части. Переработка одной партии макулатуры весом т т складывается из стоимости измельчения р1т 1 3 тыс. р., стоимости очистки р2т тыс. р. и стоимости 4 3 и расходов на электроэнергию р3а у. е. Числа р1, р2, р3 являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 111, а их произведение равно 1000. Известно, что затраты на одну смену продолжительностью 9 ч не превосходят 660 у. е. Какой продолжительностью следует определить смены, чтобы стоимость общих затрат на все время работы была минимальной? Найдите эту стоимость. изготовлении бумаги р3т тыс. р. Числа р1, р2, р3 являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 28, а их произведение равно 512. При переработке партии весом 27 т затраты не превосходят 600 тыс. р. На какие части следует разделить 6000 т, чтобы стоимость общих затрат по переработке была минимальной? Найдите эту стоимость. 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение sin3x – 2asin2x + (a2 – 4)sinх 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2sin3x + (4а – 5)sin2x + 2(a2 – – a2 + 2a + 3 = 0 имеет на отрезке ; нечетное количество различных решений. 6 ПКР13, 11 кл., АВИ 2004 1)sinх – a2 – a + 2 = 0 имеет на отрезке 0; ПКР13, 11 кл., АВИ 2004 7 четное количество различных решений. 6 ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ФМЛ № 1511, 11 “ “ кл. ВАРИАНТ № 131 1. Найдите наибольшее значение f x ВАРИАНТ № 132 4x 1 на отрезке 1;16 . x 2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок другого сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После переплавки получили новый сплав, содержащий 40 % золота. Каков вес добавленного сплава? Ответ дайте в кг. 3. а) Решите уравнение 2 sinx sinx 1 cos x 2 3 2 1 0 . 7 3 ; . 4 4 б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие 4 6x 8 x 1 x 2 x 4 2 x x 2 4. Решите систему неравенств . log9 4 x log15 4 x log 25 9 log15 x 2 log 25 x 2 5. При каких значениях параметра а уравнение имеет более трех различных корней. ПКР13, 11 кл., АВИ 2014 x 2 16 x ax 1 2a 1. Найдите точку минимума функции f x e 2 x 2 x 2 6 x 3 . 2. Траншея была выкопана двумя землекопами в течении 15 ч, причем первый землекоп приступил к работе на 7 ч позднее второго. Известно, что первый землекоп, работая один, может выкопать такую траншею на 5 ч быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать траншею второй землекоп, работая отдельно? Ответ дайте в часах. 3. а) Решите уравнение cosx cosx 1 2 3 2 sin x 2 1 0 . 7 ; . 3 4 б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие 3x 2 3x 2 x 1 2 x x2 x 1 x 2 4. Решите систему неравенств . log 4 5 x log 6 5 x log 3 2 log 6 x 4 log 9 x 4 5. При каких значениях параметра а уравнение a 6 x x 2 8 = 3 1 2ax a2 x2 имеет только одно решение. ПКР13, 11 кл., АВИ 2014