Задание 1 - Иркутский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ В Г. БРАТСКЕ
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
специальности «Государственное и муниципальное управление»
Братск, 2015
Контрольная работа состоит из 5 заданий. В каждом задании студент выполняет
только один пример, соответствующий его варианту.
Вариант для контрольного задания студент выбирает по последней цифре зачетной
книжки или студенческого билета. Например, номер зачетной книжки 1854321. Значит,
студент выполняет первый вариант.
Если номер заканчивается на 0, то студент выполняет 10 вариант.
При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться указанных ниже
правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и
возвращаются студентам для переработки.
1. Контрольные работы выполнять в тетради пастой любого цвета, кроме
красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
2. Оформление тетрадной обложки:
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ В Г. БРАТСКЕ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант (указать вариант)
Выполнил
студент(ка) группы (указать группу)
_______
Проверил
преподаватель
_______
ФИО
(полностью)
Барсукова А.С.
Братск - 2015
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по
своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также
содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее
условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая
условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
5. После
получения
прорецензированной
работы
(как
зачтенной,
так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты. В связи с этим следует оставлять в конце тетради чистые листы
для работы над ошибками. Вносить исправления в сам текст работы после ее
рецензирования запрещается.
6. Выполнив работу над ошибками, необходимо снова сдать тетрадь на проверку.
Контрольная работа № 2
Задание 1
1. Сколькими способами можно распределить награды (золотую, серебряную и бронзовую)
среди десяти участников марафона?
2. Чтобы открыть кодовый замок, необходимо набрать комбинацию из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7. Известно, что все цифры в ней различны. Сколько различных вариантов комбинаций
существует?
3. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности
из 10 кандидатов?
4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в
числе не повторяются?
5. В конкурсе участвует 8 команд. В финал проходит только три команды. Сколько
различных составов финалистов существует?
6. Студенту необходимо сдать 9 экзаменов в течение 16 дней. Сколькими способами можно
составить расписание?
7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в
числе не повторяются?
8. В киоске продаются открытки 6 видов. Сколькими способами можно приобрести в нем 4
различные открытки?
9. Чтобы открыть кодовый замок, необходимо набрать комбинацию из цифр 1, 3, 5, 8, 9.
Известно, что все цифры в ней различны. Сколько различных вариантов комбинаций
существует?
10. В магазине продается 9 видов пирожных. Вы хотите купить 4 различных пирожных.
Сколько различных вариантов покупки существует?
Задание 2
1. Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0.8, 0.7, и 0.4
соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что:
а) в мишени будет две пробоины;
б) в мишени будет хотя бы одна пробоина?
2. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет «герб». Какова вероятность того, что
монету придется подбрасывать:
а) ровно 5 раз;
б) не менее 5 раз;
в) не более 5 раз?
3. Трое учащихся независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее
решения этими учащимися равны 0.8, 0.7 и 0.6 соответственно. Найдите вероятность
того, что:
а) все учащиеся решат задачу;
б) хотя бы один учащийся решит задачу.
4. Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0.3, 0.9, и 0.6
соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что:
а) в мишени не образовалось ни одной пробоины;
б) в мишени образовалось не менее двух пробоин?
5. При каждом выстреле, независимо от остальных выстрелов, стрелок попадает в мишень с
вероятностью 0.8. Ему разрешено стрелять до первого промаха. Какова вероятность того,
что стрелок произведет:
а) ровно 4 выстрела;
б) не менее 4 выстрелов;
в) не более 4 выстрелов?
6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
для первого игрока равна 0.8, а для второго – 0.6. Найдите вероятность того, что при
одном залпе в мишень:
а) попадет только один из стрелков;
б) попадет хотя бы один из стрелков.
7. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа
элементов соответственно равны 0.04, 0.07 и 0.03. Найдите вероятность отказа
устройства, если для этого достаточно, чтобы:
а) отказали два элемента;
б) отказал хотя бы один элемент.
8. При каждом выстреле, независимо от остальных выстрелов, стрелок попадает в мишень с
вероятностью 0.7. Ему разрешено стрелять до первого промаха. Какова вероятность того,
что стрелок произведет:
а) ровно 3 выстрела;
б) не менее 3 выстрелов;
в) не более 3 выстрелов?
9. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность получения зачета, если для этого
надо:
а) надо правильно ответить на 4 вопроса;
б) достаточно правильно ответить на 2 вопроса из 3.
10. Трем клиентам назначена деловая встреча. Вероятности опоздания для каждого из них
соответственно равны 0.2, 0.15 и 0.1. Найти вероятность того, что:
а) два клиента пришли вовремя;
б) хотя бы один клиент придет вовремя.
Задание 3
1. В клинику попадают больные с одним из заболеваний А, В и С: в среднем 50% больных с
заболеванием А, 30% с заболеванием В и 20% с заболеванием С. Вероятности полного
излечения этих болезней равны 0.9, 0.87 и 0.8 соответственно. Какова вероятность, что
выбранный наугад больной будет вылечен полностью?
2. Имеются три одинаковые по виду коробки. В первой коробке 15 белых и 8 черных шаров,
во второй – 10 белых и 13 черных шаров, в третьей – 5 белых и 18 черных. Наугад
выбирают одну коробку и достают из нее один шар. Какова вероятность, что он черный?
3. Имеется 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того,
что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна
0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок наугад
выбирает винтовку. Какова вероятность, что он попадет из нее в мишень?
4. В пяти ящиках лежат одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 синих
и 4 красных шара. В двух других – по 8 синих и 2 красных шара. В одном ящике – 2
синих и 8 красных шаров. Из наудачу выбранной коробки достают один шар. Какова
вероятность, что он синий?
5. Партия электрических лампочек на 25% изготовлена первым заводом, на 35% - вторым,
на 40% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны
0.03, 0,02 и 0,01. Какова вероятность, что наудачу выбранная лампочка будет
стандартной?
6. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 30%, вторая 25%,
третья 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1% и 3%.
Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт окажется стандартным.
7. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0.1%
брака, второй – 0.3% и третий – 0.4%. Найдите вероятность попадания на сборку
бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000 и с
третьего- 1500 деталей.
8. В клинику попадают больные с одним из заболеваний А, В и С: в среднем 50% больных с
заболеванием А, 30% с заболеванием В и 20% с заболеванием С. Вероятности полного
излечения этих болезней равны 0.9, 0.87 и 0.8 соответственно. Какова вероятность, что
выбранный наугад больной будет вылечен полностью?
9. С первого автомата на сборку поступают 20%, со второго – 30%, с третьего – 50%
деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%.
Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.
10. В клинику попадают больные с одним из заболеваний А, В, С и D: в среднем 20%
больных с заболеванием А, 30% с заболеванием В, 10% с заболеванием С и 40% с
заболеванием D. Вероятности полного излечения этих болезней равны 0.8, 0.7, 0.85 и 0.6
соответственно. Какова вероятность, что выбранный наугад больной будет вылечен
полностью?
Задание 4
1. В коробке 5 белых и 16 черных шаров. Опыт заключается в извлечении одного шара из
коробки с последующим его возвращением. Каково наивероятнейшее число появлений
белого шара в 50 опытах?
1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:
а) менее двух раз;
б) не менее двух раз.
2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Какова
вероятность, что из 5 больных:
а) поправятся 4 больных;
б) поправится хотя бы один больной?
4. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. При каком
числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 18?
5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите наивероятнейшее число девочек из
600 новорожденных.
5. По мишени производится 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,9. Определите вероятность того, что будет:
а) только одно попадание;
б) от двух до пяти попаданий.
7. В коробке 7 белых и 12 черных шаров. Опыт заключается в извлечении одного шара из
коробки с последующим его возвращением. Каково наивероятнейшее число появлений
черного шара в 60 опытах?
8. По мишени производится 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,7. Определите вероятность того, что будет:
а) хотя бы одно попадание;
б) не более трех попаданий.
9. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. При
каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 25?
10. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Какова
вероятность, что из 4 больных:
а) никто не поправится;
б) поправятся не менее трех больных?
Задание 5
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую вероятность и
построить график функции распределения. Вычислить математическое ожидание и
дисперсию этой величины.
1.
Х
Р
-2
0,2
1
0,1
2
?
3
0,4
Х
Р
-5
0,1
-2
?
1
0,2
2
0,1
Х
Р
-4
?
-3
0,3
0
0,2
2
0,2
Х
Р
-2
0,2
0
0,1
2
0,3
5
?
Х
Р
1
0,1
2
?
3
0,3
5
0,4
Х
Р
-4
0,2
-3
0,1
-2
?
0
0,4
Х
Р
-2
0,2
1
?
4
0,1
5
0,4
Х
Р
-3
?
0
0,3
2
0,2
3
0,1
Х
Р
-3
?
-1
0,1
0
0,2
1
0,3
Х
Р
-5
0,1
-3
?
1
0,4
3
0,1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Решение типового варианта
Задание 1
Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 13 дней. Сколькими способами
можно составить расписание?
Решение
Например, студенту нужно сдать математику (М), историю (И), философию (Ф),
английский язык (А) и экономику (Э). Для этого нужно выбрать 6 дней. Допустим, это 1-й, 3й, 8-й, 10-й и 12-й дни.
Можно получить следующие расписания:
М И Ф А Э
1 3 8 10 12
М И Ф А Э
3 10 12 1 8 и т.д.
Дни выбраны одни и те же, но расписание разное. Значит, надо воспользоваться
формулой из комбинаторики:
n!
Аnk 
- это число способов, с помощью которых можно выбрать k различных
(n  k )!
элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка выборки.
В нашем случае, n= 13, k=5. Получим:
13!
13! 8!9  10  11  12  13
А135 


 154440 .
(13  5)! 8!
8!
Можно составить 154440 различных вариантов сдачи экзаменов.
В конкурсе участвует 6 команд. В финал пройдут только три команды. Сколько
различных составов финалистов может быть?
Решение
Например, в финал сначала прошла 2-команда, потом 6-я и затем 1-я. Или сначала
могла пройти 6-я, потом 1-я и затем 2-я. Состав финалистов при этом остался прежним,
поэтому воспользуемся формулой:
n!
Сnk 
- это число способов, с помощью которых можно выбрать k различных
k!(n  k )!
элементов из имеющихся n элементов без учета порядка выборки.
В нашем случае, n= 3, k=3. Получим:
6!
6!
3!4  5  6
C63 


 20 .
3!(6  3)! 3!3! 1  2  3  3!
Можно получить 20 различных составов финалистов.
Чтобы открыть кодовый замок, необходимо набрать комбинацию из цифр 1, 2, 5,
7, 8, 0. Известно, что все цифры в ней различны. Сколько различных вариантов
комбинаций существует?
Решение
Например, кодовый замок можно открыть при помощи комбинации 521780. Или это
может быть комбинация 018257 и т.д. То есть нужно местами между собой имеющиеся 6
цифр.
Найти число комбинаций можно при помощи формулы:
- это число способов, с помощью которых можно выбрать n различных
pn  n!
элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка выборки.
В нашем случае имеется 6 цифр, то есть n =6. Получим: p6  6! 1  2  3  4  5  6  720 .
Чтобы открыть замок, необходимо перебрать максимум 720 комбинаций.
Задание 2
Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0.6, 0.9,
и 0.3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того,
что:
а) в мишени нет пробоин;
б) в мишени будет одна пробоина;
в) в мишени будет две пробоины;
г) в мишени будет три пробоины;
д) в мишени будет хотя бы одна пробоина;
е) в мишени будет не менее двух пробоин?
Решение
а) Нас интересует вероятность события А={в мишени нет пробоин}. Это событие возможно,
когда все три стрелка промахнулись.
Сформулируем события А1={первый стрелок попал в мишень}, А2={второй стрелок
попал в мишень} и А3={третий стрелок попал в мишень}. Так как стрелки должны
промахнуться, то получим события:
A1 = {первый стрелок промахнулся}, A 2 = {второй стрелок промахнулся} и A3 = {третий
стрелок промахнулся}
Они должны выполняться одновременно, т.е. A  A1  A2  A3 .
Тогда вероятность события А найдем по формуле:
p( A)  p( A1  A2  A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 ) .
Если первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6, то промахивается он с
вероятностью p( A1 ) = 1-0,6= 0,4. Аналогично, p ( A2 ) = 0,1 и p( A3 ) = 0,7. Отсюда
p( A)  p( A1  A2  A3 )  0,4  0,1  0,7  0,028 .
б) Нас интересует вероятность события А={в мишени будет одна пробоина}. Это возможно,
когда в мишень попал только один из стрелков, а два других промахнулись. Попасть в
мишень может или первый (тогда второй и третий должны промахнуться), или второй (тогда
первый и третий промахиваются), или третий стрелок (тогда первый и второй
промахиваются), т.е.
A  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 .
Тогда вероятность события А найдем по формуле:
p( A)  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )
p( A)  0,6  0,1  0,7  0,4  0,9  0,7  0,4  0,1  0,3  0,306 .
в) Нас интересует вероятность события А={в мишени будет две пробоины}. Это возможно,
когда в мишень попали только два стрелка, а один промахнулся. Попасть в мишень могут
или первый и второй (тогда третий должен промахнуться), или второй и третий (тогда
первый промахивается), или первый и третий стрелок (тогда второй промахивается), т.е.
A  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 .
Тогда вероятность события А найдем по формуле:
p( A)  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 ) .
p( A)  0,6  0,9  0,7  0,4  0,9  0,3  0,6  0,1  0,3  0,504 .
г) Нас интересует вероятность события А={в мишени три пробоины}. Это событие
возможно, когда все три стрелка попадают в мишень, т.е.
A  A1  A2  A3 .
Тогда вероятность события А найдем по формуле:
p( A)  p( A1  A2  A3 )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 ) .
p( A)  p( A1  A2  A3 )  0,6  0,9  0,9  0,162 .
д) Нас интересует вероятность события А={в мишени хотя бы одна пробоина}. Это событие
заключается в том, что в мишени или одна, или две, или три пробоины. Вероятности этих
событий мы нашли выше. Так как они несовместны (в мишени не может быть одновременно
и одна, и две, и три пробоины), то вероятность события А равна:
p( A)  0,306  0,504  0,162  0,972. .
Эту же задачу можно решить другим способом. Сформулируем противоположное
событие А = {в мишени ни одной пробоины}. Вероятность этого события равна
р ( А)  0,028 (из пункта а). Тогда вероятность события А равна:
p( A)  1  р( А)  1  0,028  0.972 .
е) Нас интересует вероятность события А={в мишени не менее двух пробоин}. Значит, в
мишени или две, или три пробоины. Тогда вероятность события А равна:
p( A)  0,504  0,162  0,666 .
Задание 3
Имеются четыре одинаковые по виду коробки. В первой коробке 12 белых и 4
черных шаров, во второй – 10 белых и 6 черных шаров, в третьей – 15 белых и 1
черный, в четвертой – 8 белых и 8 черных. Наугад выбирают одну коробку и достают
из нее один шар. Какова вероятность, что он белый?
Решение
Нужно найти вероятность события А={шар будет белым}. Это событие можно
рассмотреть как событие {шар – белый, и при этом он из первой коробки} и {шар – белый, и
при этом он из второй коробки} и т.д.
Сформулируем гипотезы:
Н1={шар из первой коробки};
Н2={шар из второй коробки};
Н3={шар из третьей коробки};
Н4={шар из четвертой коробки}.
Тогда вероятность события А можем найти по формуле полной вероятности:
p( A)  p( H1 )  p( A / H1 )  p( H 2 )  p( A / H 2 )  p( H 3 )  p( A / H 3 )  p( H 4 )  p( A / H 4 ) .
Здесь p( H i ) - вероятность выполнения i-ой гипотезы, а p( А / H i ) - вероятность появления
события А при выполнении i-ой гипотезы.
Из условия задачи:
p( H1 )  0,25 , p( H 2 )  0,25 , p( H 3 )  0,25 и p( H 4 )  0,25 (вероятности выбора какой-либо
коробки равны, так как коробки одинаковы);
12
(в первой коробке всего 16 шаров, из них удачных для нас, т.е. белых, 12).
16
10
15
8
Аналогично, p ( А / H 2 ) 
, p( А / H 3 ) 
и p( А / H 4 ) 
.
16
16
16
Получим:
1 12 1 10 1 15 1 8
45
p( A)        

 0,7 .
4 16 4 16 4 16 4 16 64
p ( А / H1 ) 
Задание 4
По мишени производится 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,6. Определите вероятность того, что будет:
а) одно попадание;
б) три попадания;
в) хотя бы одно попадание;
г) не более трех попаданий.
Решение
а) Необходимо определить вероятность события А={одно попадание в мишень}. Это может
быть попадание или первым выстрелом (тогда остальные дают промахи), или вторым (тогда
при 1-ом, 3-ем, 4-ом, 5-ом и 6-ом выстреле будут промахи) и т.д. Событие достаточно
сложное, и так как вероятность успеха (попадания), всегда одинаковая, то воспользуемся
формулой Бернулли:
pn (k )  Cnk  p k  q n  k .
С ее помощью можно вычислить вероятность появления k успехов в n испытаниях при
вероятности успеха p и вероятности неудачи q=1-p.
p6 (1)  C61  0,61  0,46 1  0,037 .
б) Необходимо определить вероятность события А={три попадания в мишень}. Это могут
быть первые три попадания и остальные промахи, или сначала три промаха, потом три
попадания и т.д. Событие достаточно сложное, и так как вероятность успеха (попадания),
всегда одинаковая, то по формуле Бернулли pn (k )  Cnk  p k  q n  k получим
p6 (3)  C63  0,63  0,46  3  0,276 .
в) Необходимо определить вероятность события А={хотя бы одно попадание в мишень}. Это
или одно попадание, или два, или три и т.д. Событие сложное, поэтому сформулируем
противоположное событие А ={в мишень ни разу не попали}. По схеме Бернулли вычислим
вероятность появления 0 успехов:
p6 (0)  C60  0,60  0,46  0  0,004 .
Тогда вероятность события А равна:
p( A)  1  р( А)  1  0,004  0.996 .
г) Необходимо определить вероятность события А={не более трех попаданий в мишень}.
Это могут быть три, два, одно или ни одного попадания в мишень.
Тогда вероятность события А равна:
p( A)  p6 (0)  p6 (1)  p6 (2)  p6 (3) .
p( A)  C 60  0,6 0  0,4 60  C 61  0,61  0,4 61  C 62  0,6 2  0,4 6 2  C 63  0,6 3  0,4 63  0.004  .
 0.037  0.138  0.276  0.455
Вероятность рождения мальчика равна 0,505. Найдите наивероятнейшее число
девочек из 100 новорожденных.
Решение
Наивероятнейшее число – это число появлений некоторого события (число успехов),
которому соответствует наибольшая вероятность. Чтобы не вычислять вероятность
вероятности появления одной, двух и т.д. девочек, воспользуемся формулой:
n  p  q  k0  n  p  p .
Здесь:
n – общее число опытов;
p – вероятность появления события (успеха);
q – вероятность неудачи;
k0 – наивероятнейшее число успехов.
Подставим числовые данные и получим:
100  0,495  0,505  k 0  100  0,495  0,495 .
Отсюда, 48,995  k 0  49,995 . Так как k0 – число целое, то оно равно 49. Вероятнее
всего появится 49 девочек из 100 новорожденных.
При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6.
При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 20?
Решение
Наивероятнейшее число – это число появлений некоторого события (число успехов),
которому соответствует наибольшая вероятность. Найти его можно по формуле
n  p  q  k 0  n  p  p . В данной задаче значение k0 нам уже известно, оно равно 20.
Необходимо найти общее число испытаний. Подставим известные нам данные и получим
систему из двух неравенств:
n  0,6  0,4  20  n  0,6  0,6 .
n  0,6  0,4  20
0,6n  20,4
 n  34
или 
, или 
.

n  0,6  0,6  20
 0,6n  19,4
n  32,33
Этой системе неравенств удовлетворяют два значения n: 33 и 34.
Задание 5
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую
вероятность и построить график функции распределения. Вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой величины.
Х
Р
-4
0,3
-3
?
1
0,1
2
0,4
Решение
Случайная величина Х принимает только четыре значения: -4, -3, 1 и 2. Каждое из
этих значений она принимает с определенной вероятностью. Так как сумма всех
вероятностей должна быть равна 1, то недостающая вероятность равна:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
? = 0,2.
Составим функцию распределения случайной величины Х. Известно, что функция
распределения F ( x)  P( X  x) , тогда:
1) при x  4 P( X  x)  0 , так как ни одно значение х (-4, -3, 1 и 2) не являются меньше х,
значит F ( x)  0 ;
2) при  4  x  3 P( X  x)  0.3 , так как только значение –4 будет меньше х, а событие
Х=1 появляется с вероятностью, равной 0,3, то есть F ( x)  0,3 ;
3) при  3  x  1 P( X  x)  0.5 , так как значениями, меньшими х, будут Х=-4 и Х=-3, и
случайная величина Х может принять либо первое, либо второе значение, то
F ( x)  0,3  0,2  0,5 ;
4) при 1  x  2 P( X  x)  0.6 , поэтому F ( x)  0,6 :
5) при x  2 P( X  x)  1 и F ( x)  1 .
Следовательно,
0 при x  4,

0.3 при - 4  x  -3,

F ( x)   0.5 при - 3  x  1,
 0.6 при 1  x  2,


1 при x  2.
Построим график функции F(x).
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно
произведений значения случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.
MX  x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4 .
Значит, MX  4  0.3  (3)  0.2  1  0.1  2  0.4  0.9 .
Дисперсию дискретной случайной величины найдем по формуле:
DX  ( x1  MX ) 2  p1  ( x2  MX ) 2  p2  ( x3  MX ) 2  p3  ( x4  MX ) 2  p4 .
DX  (4  (0,9)) 2  0,3  (3  (0,9)) 2  0,2  (1  0,9) 2  0,1  (2  0,9) 2  0,4  4,25 .
сумме
ПРИЛОЖЕНИЕ
Элементы комбинаторики
n!
 Число сочетаний - Сnk 
- это число способов, с помощью которых можно
k!(n  k )!
выбрать k различных элементов из имеющихся n элементов без учета порядка
выборки.
n!
 Число размещений - Аnk 
- это число способов, с помощью которых можно
(n  k )!
выбрать k различных элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка
выборки.
 Число перестановок - pn  n! - это число способов, с помощью которых можно
выбрать n различных элементов из имеющихся n элементов с учетом порядка
выборки.
Здесь: n! 1  2  3  ...  (n  1)  n - факториал числа n
Действия над событиями
Событие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в
результате опыта.
 Объединение событий А и В – это событие С, которое состоит в появлении или
события А, или события В, или обоих событий одновременно.
Обозначение: C  A  B ;
 Пересечение событий А и В – это событие С, которое состоит в одновременном
появлении обоих событий.
Обозначение: C  A  B ;
 Отрицание события А – это такое событие, которое состоит в не появлении события А.
Обозначение: A .
Классическое определение вероятности
Вероятность события А – это отношение числа опытов N A , благоприятствующих
появлению события А, к общему числу опытов N :
N
p A
N
Формула умножения вероятностей
Вероятность события A  B можно найти по формуле:
p( A  B)  p( A)  p( B / A) ,
p( A) - вероятность события А,
p(B) - вероятность события В,
p( B / A) - вероятность события В при условии, что событие А уже произошло.
Если события А и В – независимы (появление одного не влияет на появление
другого), то вероятность события A  B равна:
p( A  B)  p( A)  p( B)
Формула сложения вероятностей
Вероятность события A  B можно найти по формуле:
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) ,
p( A) - вероятность события А,
p(B) - вероятность события В,
p( A  B) - вероятность совместного появления событий А и В.
Если события А и В – несовместны (не могут появиться одновременно), то
вероятность события A  B равна:
p( A  B)  p( A)  p( B)
Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти одновременно с одним из событий H 1 , H 2 , …,
H m - назовем их гипотезами. Также известны p( H i ) - вероятность выполнения i-ой
гипотезы и p( А / H i ) - вероятность появления события А при выполнении i-ой гипотезы.
Тогда вероятность события А может быть найдена по формуле:
p( A)  p( H1 )  p( A / H 1 )  p( H 2 )  p( A / H 2 )  ...  p( H m )  p( A / H m )
Схема Бернулли
Пусть проводится n независимых испытаний. Вероятность появления (успеха)
события А в каждом из них постоянна и равна p, вероятность неудачи (т.е. не появления
события А)
q =1 - p. Тогда вероятность появления k успехов в n испытаниях можно
найти по формуле Бернулли:
pn (k )  Cnk  p k  q n  k
Наивероятнейшее число успехов k 0 в схеме Бернулли – это число появлений
некоторого события, которому соответствует наибольшая вероятность. Можно найти по
формуле:
n  p  q  k0  n  p  p .
Случайные величины
дискретные
непрерывные
(н-р, число девочек в семье с 5 детьми)
(н-р, время исправной работы чайника)
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Пусть дискретная величина задана рядом распределения:
Х
…
xn
x1
x2
Р
…
pn
p2
p1
x1 , x 2 , …, x n - значения случайной величины Х;
p1 , p 2 , …, pn - соответствующие им значения вероятностей.
 Математическое ожидание MX  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn
 Дисперсия DX  ( x1  MX ) 2  p1  ( x 2  MX ) 2  p 2  ...  ( x n  MX ) 2  p n
Функция распределения
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x) , заданная
на всей числовой прямой и равная вероятности того, что Х будет меньше х:
F ( x)  P( X  x)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Событие. Операции над случайными событиями.
Понятие вероятности события.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли.
Случайная величина, ее функция распределения и ряд распределения.
Основные свойства функции распределения.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное и
распределение Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Муавра-Лапласа.
Закон и функция распределения системы двух случайных величин.
Плотность распределения системы двух случайных величин.
Условные законы распределения, условное математическое ожидание.
Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.
Выборка. Обработка выборки. Полигон и гистограмма частот. Эмпирическая
функция распределения.
Понятие оценки параметров распределения. Требования к оценке. Доверительный
интервал. Построение интервалов для оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Критерии согласия.