Б3.В.18 Дискретная математикаx

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
1.
Общие сведения
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
4.
Дисциплина (модуль)
Тип заданий
Количество этапов формирования
компетенций (ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
М и ММЭ
050100.62 Педагогическое образование,
профиль «Математика, Информатика»
Дискретная математика
Контрольная работа
5
Перечень компетенций
ОК–1: владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-4: способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования
ОК-6: умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь
ОК-9: способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные понятия и утверждения математики, необходимые для изучения
математических дисциплин в дальнейшем, и их доказательства.
Умения: уметь решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал,
творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных
условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Навыки: уметь придавать задачам конкретной предметной области математическую форму,
исследовать получающуюся математическую модель задачи и применять к ее решению
методы конкретных математических дисциплин.
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
Этапы формирования компетенций
компетенций: ДЕ, разделов, тем и т.д.)
1.Теория графов
(Количество
2.Алгоритмы на графах
3.Основы математической логики.
4.Булевы функции
5.Минимизация булевых функций
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
этапов
формирования
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание (контрольная работа, тест, кейс-задание и пр.)
1. Подбирается экипаж космического корабля из 3-х человек: командира, инженера и
врача. Имеются 4 кандидата на должность командира к1, к2, к3, к4, 3 кандидата на
должность инженера и1, и2, и3 и 3 кандидата на должность врача в1, в2, в3.
Известно, что
к1 психологически совместим с и1, и3, в2, в3; к2  с и1, и2, в1, в2, в3;
к3  с и1, и2, в1, в3;
к4  с и1, и2, и3, в2.
Кроме того, и1 психологически несовместим с в3, и2  с в1, и3  с в2.
2.
3.
4.
5.
6.
Сколькими способами можно составить экипаж?
Исследовать графы на изоморфизм.
Пусть F1  неориентированное дерево с 4 вершинами, а F2  полный
неориентированный граф с 3 вершинами. Подсчитать количество вершин и ребер в
графах F1F2, F1+F2, F1F2, F1 [F2] и F2 [F1].
Существует ли полный неориентированный граф с 5 вершинами, степени которых все
различны между собой, т.е. равны 0, 1, 2, 3, 4?
Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый спортсмен должен сыграть
с каждым из остальных по одному разу). Показать, что в любой момент времени
найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.
Без помощи диаграммы по известной матрице смежности неориентированного
псевдграфа восстановить его матрицу инцидентности и определить степени всех
вершин.
0
1
0
2
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
0
0
0
1
0
7. Доказать, что лес, состоящий из k деревьев и содержащий m вершин, имеет mk ребер.
8. Определить, какие из переменных следует заменить на x , а какие на x , чтобы
получить из несамодвойственной булевой функции f константу, если f  (1,0,0,1) .
9. С помощью теоремы Поста проверить на полноту следующие системы булевых
функций f  x  y , g  x .
10. Является ли тавтологией или противоречием ФЛВ
?
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Образцы решения типовых заданий.
2
1. Подбирается экипаж космического корабля из 3-х человек: командира, инженера и
врача. Имеются 4 кандидата на должность командира к1, к2, к3, к4, 3 кандидата
на должность инженера и1, и2, и3 и 3 кандидата на должность врача в1, в2, в3.
Известно, что к1 психологически совместим с и1, и3, в2, в3;
к2  с и1, и2, в1,
в2, в3; к3  с и1, и2, в1, в3; к4  с
и1, и2, и3, в2. Кроме того, и1
психологически несовместим с в3, и2  с в1, и3  с в2. Сколькими способами
можно составить экипаж?
Решение: Экипаж можно
составить 10 способами:
 к1, и3, в3;к1, и1,в2;
 к2, и1, в1; к2, и2, в2; к2, и1, в2; к2, и2, в3;
 к3, и1, в1; к3, и2, в3;
 к4, и2, в2; к4, и1, в2.
к1
к2
и1
в1
и1
и2
в2
и2
и3
в3
и3
к3
в1
в2
в3
и1
и2
и3
к4
в1
в2
в3
и1
в1
и2
в2
и3
в3
2. Исследовать графы на изоморфность.
Решение:
Два графа, изображённые на рисунке, являются
изоморфными, так как в обоих графах вершина v1
соединена с вершиной v2; вершина v2  с v1, v3, v4, v5;
вершина v3  с v2 и v4; вершина v4  с v2, v3, v5; v5  с v2
и v4.
3. Пусть F1  неориентированное дерево с 4 вершинами, а F2  полный
неориентированный граф с 3 вершинами. Подсчитать количество вершин и ребер
в графах F1F2, F1+F2, F1F2, F1 [F2] и F2 [F1].
m1  3
m2  3
Решение:
n1  4
n2  3
3
F1  F2 : n  n1  n2  4  3  7
m336
F1  F2 : n  n1  n2  7
m  m1  m2  n1  n2  6  4  3  12  6  18
F1  F2 : n  n1  n2  4  3  12
m  n1  m2  n2  m1  4  3  3  3  12  6  18
F1 F2 : n  n1  n2  12
m  n1  m2  n22  m1  4 * 3  3 2 * 3  12  27  39
F2 F1 : n  n1  n2  12
m  n2  m1  n12  m2  3  3  4 2  3  9  16 * 3  9  48  57
4. Существует ли полный неориентированный граф с 5 вершинами, степени которых
все различны между собой, т.е. равны 0, 1, 2, 3, 4?
Решение: Т. к.. полным графом называется граф без петель и кратных рёбер,
каждая пара вершин соединена ребром, то полного графа со степенями 0, 1, 2, 3, 4
не существует.
5. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый спортсмен должен
сыграть с каждым из остальных по одному разу). Показать, что в любой момент
времени найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.
Решение: Каждому шахматисту поставим в соответствие вершину графа, а
каждой сыгранной партии между двумя шахматистами - ребро, соединяющее
вершины, соответствующие этим игрокам. В результате мы получим
неориентированный граф без петель и кратных рёбер с девятью вершинами и
некоторым неизвестным числом рёбер. Во всяком неориентированном графе без
петель и кратных рёбер с n вершинами, где n  2, всегда найдутся, по меньшей
мере, две вершины с одинаковыми степенями.
6. Без помощи диаграммы по известной матрице смежности неориентированного
псевдграфа восстановить его матрицу инцидентности и определить степени всех
вершин.
0
1
0
2
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
0
0
0
1
0
Решение: Список ребер:
R I
II
A 1
3
B 1
5
C 1
5
4
D 2
3
E 2
5
F
2
2
G 3
3
H 4
5
Матрица смежности:
C
1
2
3
4
5
1
0
0
1
0
2
2
0
1
1
0
1
3
1
1
1
0
0
4
0
0
0
0
1
5
2
1
0
1
0
7. Доказать, что лес, состоящий из k деревьев и содержащий m вершин, имеет mk
ребер.
Решение: Т.к. одно дерево с т вершинами имеет (т  1) ребро(по теореме),то лес,
состоящий из k деревьев и содержащий т вершин, имеет ( т  k ) ребер.
8. Определить, какие из переменных следует заменить на x , а какие на x , чтобы
получить из несамодвойственной булевой функции f константу, если
f  (1,0,0,1) .
Решение: Так как булева функция
f
не монотонна, то существуют
противоположные наборы значений переменных, на которых она принимает
одинаковые значения. В данном случае это наборы (0,0), (1,1) и (0,1), (1,0); причем
f (0,0)  f (1,1)  1 , f (0,1)  f (1,0)  0 . Поэтому (см. доказательство теоремы
о несамодвойственной функции) чтобы получить из
f константу 1 можно
переменные x 1 и x 2 заменить x или на x ; чтобы получить из f константу 0
можно переменные x 1 и x 2 заменить соответственно на x и x или на x и x .
9. С помощью теоремы Поста проверить на полноту следующие системы булевых
функций f  x  y , g  x .
Решение: Принадлежность функций системы классам Поста будем помечать
знаком +.
5
f
g
P0


P1


S


M


L


В каждом столбце таблицы содержится хотя бы один минус. Поэтому
рассматриваемая система полна.
10. Является
ли
тавтологией
A
B
C
И
И
И
И
И
Л
или
противоречием
ФЛВ
?
Решение:
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
И
И
И
И
И
И
Не является.
Вопросы к зачету/экзамену
1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицания, дизъюнкция,
конъюнкция
2. Высказывания. Операции над высказываниями: импликация и эквиваленция.
3. Формулы алгебры логики высказываний. Равносильность высказываний.
4. Законы алгебры логики высказываний.
5. Логическое следствие, схемы доказательств. Косвенное доказательство.
6. Предикаты. Операции над предикатами.
7. Логическое следствие. Равносильность предикатов.
8. Понятия теории графов. Операции с графами.
9. Степени вершин графов. Способы задания графов.
10. Маршруты, цепи, циклы.
11. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы.
12. Двудольные графы и жесткость ферм.
13. Деревья. Коды Прюфера.
14. Задача об остове минимального веса. Мультиграфы
15. Понятие булевой функции. Понятие фиктивной переменной.
16. Основные булевы функции от 1-ой и 2-х переменных.
17. Понятие формулы над Р. Операция суперпозиции.
18. Эквивалентность формул. Свойства элементарных функций.
6
19. Принцип двойственности. Разложение булевых функций по переменным.
20. СДНФ. СКНФ.
21. Полнота и замкнутость. Полином Жегалкина.
22. Класс Т0. Класс Т1.
23. Класс S. Класс L. Класс М.
24. Теорема о функциональной полноте.
25. Представление о результатах Поста.
26. Алгоритм Дейкстра.
27. Алгоритм Белла.
28. Расстояние на графах.
29. Обход в глубину. Обход в ширину.
30. Понятие ДНФ. Проблема минимизации булевых функций.
31. Упрощение ДНФ. Тупиковые ДНФ.
32. Постановка задачи в геометрической форме.
33. Свойства соответствия f  N f . Сокращенная ДНФ.
34. Алгоритм построения сокращенной днф. Метод минимизирующих карт.
35. Понятие схемы из функциональных элементов.
36. Реализация функций алгебры логики схемами.
37. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель.
38. Дешифратор. Асимптотика сложности дешифратора.
7