T - Решение задач по математике, физике
реклама
СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Санкт-Петербург
2010
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра радиотехники
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Институт радиоэлектроники
Специальность 210302.65 – радиотехника
Направление подготовки бакалавра 210300.62 – радиотехника
Санкт-Петербург
Издательство СЗТУ
2010
Утверждено редакционно-издательским советом университета
УДК 621.37: 519.2
Статистическая теория радиотехнических систем: учебно-методический комплекс / Г. И. Худяков. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2010. – 244 с.
Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального
образования.
Дисциплина посвящена изучению теоретических основ построения современных радиотехнических систем, работающих с сигналами, уровень которых соизмерим с уровнями электрических и радиопомех, присутствующих в
различных компонентах радиосистем.
Представляются основные вероятностные модели сигналов и помех в радиосистемах, а также модели пространственно-временных случайных сигналов.
Рассматриваются основы теории поиска и обнаружения сигналов на фоне помех, основы статистической теории оценивания параметров пространственновременных сигналов, теории различения и разрешения простых и сложных сигналов. Представляются обобщённые структуры оптимальных устройств обнаружения и различения сигналов.
Рассмотрено на заседании кафедры радиотехники 29 сентября 2009 г.,
одобрено методическим советом института радиоэлектроники 29 октября 2009
г.
Рецензенты: кафедра радиотехники СЗТУ (Е. Г. Борисов, канд. техн. наук,
доц.);
С.Н. Воробьёв, канд. техн. наук, доц. СПб государственного
университета аэрокосмического приборостроения.
Составитель
Г. И. Худяков, д-р техн. наук, проф.
© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2010
© Худяков Г. И., 2010
1. ИНФОРМАЦИЯ О ДИСЦИПЛИНЕ
1. 1. Предисловие
Дисциплина СД.05 «Статистическая теория радиотехнических систем»
изучается студентами специальности 210302.65 и направления подготовки бакалавра 210300.62 – «Радиотехника» очно-заочной и заочной форм обучения.
Дисциплина включает в себя разделы: вероятностные модели случайных сигналов, основы теории поиска и обнаружения сигналов, оптимальное измерение и
оценивание параметров сигналов, основы теории оптимальной фильтрации,
различение и разрешение простых и сложных сигналов, основные методы расчёта статистических характеристик пространственно-временных радиосигналов.
Целью преподавания дисциплины СД.05 является овладение студентами
методами анализа и синтеза оптимальных устройств обработки информации в
современных радиотехнических системах (РТС), функционирующих в условиях, при которых на радиотехнические сигналы воздействуют различные случайные факторы как в радиотехнических цепях, так и на трассах распространения радиосигналов.
Задачи изучения дисциплины – освоение основных положений системотехнического проектирования оптимальных РТС.
В результате изучения дисциплины студент должен овладеть знаниями по
дисциплине, которые формируются на нескольких уровнях.
Студент должен иметь представление:
– о методах построения устройств обработки радиосигналов при неполной априорной информации;
– об общих принципах построения систем оптимальной обработки сигналов;
Знать:
– методы анализа и синтеза устройств поиска и обнаружения радиосигналов, а также оптимального оценивания их параметров;
–3–
– принципы различения и разрешения радиосигналов;
– структуру оптимальных устройств обработки радиосигналов;
Уметь:
– выбирать и строить необходимые вероятностные модели радиосигналов;
– определять структуру оптимальных устройств обработки радиосигналов
и оценивать их статистические характеристики;
– составлять блок-схемы алгоритмов решения задач анализа и синтеза оптимальных способов обработки сигналов средствами вычислительной техники.
Место дисциплины в учебном процессе
Дисциплина имеет комплексный характер и для её изучения необходимы
знания и навыки, полученные студентами при изучении фундаментальных и
специальных дисциплин, которые входят в учебный план специальности
210302.65 – «Радиотехника»:
– математика (в том числе – теория вероятностей и математическая статистика);
– радиотехнические цепи и сигналы;
– электродинамика и распространение радиоволн;
– метрология и радиоизмерения.
Дисциплина даёт основу для углублённого изучения основных статистических разделов других специальных дисциплин и дисциплин специализации:
– устройства приёма и обработки сигналов;
– радиотехнические системы;
– радиотехнические системы передачи информации;
– системы и сети подвижной радиосвязи;
– транспортные информационно-управляющие РЭС;
– дискретная и цифровая обработка сигналов в РТС.
–4–
Статистическая теория радиотехнических систем является основой для
анализа и синтеза современных радиосистем передачи и приёма информации с
учётом различных внешних и внутренних электрических и радиопомех. Поэтому для успешного овладения статистической теорией радиосистем необходимо
опираться на изученные ранее технические дисциплины, а также повторить основные разделы математики, в особенности – теорию вероятностей и математическую статистику.
Основная форма изучения материала – самостоятельная работа студента.
По наиболее трудным для усвоения разделам программы читаются лекции и
проводятся практические занятия. По всем разделам курса студенты могут получить консультации на кафедре радиотехники.
Для контроля усвоения материала по каждой теме в данном методическом комплексе приводятся вопросы для самопроверки, представляющие собой
основное содержание экзаменационных билетов.
Для того чтобы быть допущенным к экзамену по дисциплине, студенты
должны изучить теоретический материал, прослушать курс лекций и активно
участвовать в практических занятиях, самостоятельно решить достаточное для
понимания теоретического материала количество задач и выполнить контрольную работу.
Приступая к изучению дисциплины, необходимо обратить внимание на
понятия «система» и «радиосистема». Под системой понимается любая целостная совокупность определённым образом взаимодействующих между собой и
взаимосвязанных
разнородных
функционально
законченных
элементов
(устройств, комплексов, подсистем), совместно выполняющих заданные функции (решающих общую задачу).
Радиотехнические системы (РТС) отличаются от других технических систем наличием в своём составе канала радиосвязи, позволяющего осуществлять
информационное взаимодействие подсистем на больших расстояниях и в движении с помощью электромагнитных волн радиодиапазона.
–5–
После внимательного изучения обобщённой структуры РТС и анализа
особенностей её функционирования можно сформулировать основные задачи,
решаемые составными частями РТС, и наметить вероятностный подход к анализу и синтезу устройств и подсистем различных РТС.
Следует глубоко понять и чётко усвоить особенности вероятностного
подхода к количественному анализу сложных явлений и процессов.
Если «обычная математика» имеет дело с количественными закономерностями в конкретных событиях, множествах, величинах, векторах и тому подобных детерминированных (строго определённых) математических объектов, то
теория вероятностей оперирует с «размытыми» (неопределёнными, сложными,
многовариантными) объектами, а строгие количественные закономерности относятся к вероятностным характеристикам ансамблей (множеств) этих объектов.
В то же время, подавляющее большинство дисциплин, изученных студентами в средней и высшей школах, основано на формально-логических детерминистских построениях. Именно в «непривычности» вероятностного подхода к
изучению различных явлений заключается трудность освоения статистических
дисциплин. Это чисто психологическое препятствие следует преодолевать путём внимательного и последовательного усвоения логики построения вероятностных моделей, переходя от простых ситуаций к более сложным.
Кроме того, рекомендуется решить как можно больше задач по относящимся к статистической теории радиосистем разделам теории вероятностей и
математической статистики. Полезно также попытаться решить все задачи,
предлагаемые в подразд. 4.1, одну из которых следует решить в качестве контрольной работы.
–6–
1. 2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
1.2.1. Содержание дисциплины по ГОС ВПО
Модели сигналов и помех в радиотехнических системах; основы теории
различения, обнаружения и оценивания параметров сигналов; структуры оптимальных обнаружителей, различителей и их качественные показатели; основы
статистической теории измерения параметров сигналов радиотехнических систем; разрешение сигналов; сложные сигналы.
1.2.2. Объём дисциплины и виды учебной работы
Всего часов
форма обучения
Вид учебной работы
очная
Общая трудоёмкость дисциплины (ОТД)
очно- заочная
заочная
100
Работа под руководством преподавателя (РпРП)
–
60
60
в том числе аудиторные занятия:
лекции
практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студента (СРС)
–
–
–
18
8
40
8
4
40
–
–
7
1
Зачёт
7
1
Текущий контроль успеваемости,
количество,
в том числе: контрольная работа
Вид аттестации
1.2.3. Перечень видов учебной работы студента,
текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
– Контрольная работа (одна – для очно-заочной и заочной форм обучения);
– Тесты (тренировочные и контрольные по разделам дисциплины);
– Зачёт.
–7–
2. РАБОЧИЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
2.1. Рабочая программа (100 часов)
Введение (4 часа) [1], с. 10-18; [2], с. 10-12; [6], с. 3-43; [8], с. 4-8
Раздел 1. Случайные сигналы и помехи
и их вероятностные модели (26 часов)
1.1. Основные понятия теории вероятностей (6 часов)
[1], с. 19-65; [2], с. 13-27; [8], с. 9-78
Вероятностные модели конечной совокупности случайных событий. Теоремы полной вероятности и Байеса.
Вероятностные модели скалярных случайных величин.
Векторные случайные величины и их преобразования.
Комплексные нормальные случайные величины.
1.2. Вероятностные модели сигналов и помех
в радиотехнических системах (14 часов)
[1], с. 101-188; [2], с. 27-69; [3], с. 10-20; [8], с. 91-283
Общая характеристика случайных процессов, их простейшие свойства.
Случайные периодические сигналы. Стохастические ряды Фурье.
Случайные сигналы с ограниченной энергией. Теорема Карунена-Лоэва.
Стационарные случайные сигналы и помехи с ограниченной мощностью.
Теорема Винера-Хинчина.
Регулярные и сингулярные процессы. Эргодические процессы. Белый
шум и его представление.
Стационарные случайные сигналы с финитным энергетическим спектром.
Обобщённая теорема Котельникова-Шеннона.
Линейные преобразования случайных сигналов и помех.
1.3. Пространственно-временные случайные сигналы и помехи (6 часов)
[1], с. 189-215; [5], с. 54-79, 101-119; [7], с. 7-57; [8], с. 168-179
Скалярные случайные поля.
Пространственно-временные сигналы и помехи и их спектрально-корреляционное представление.
–8–
Раздел 2. Основы теории обнаружения сигналов (18 часов)
[1], с. 216-253; [2], с. 83-123; [3], с. 38-74; [4], с. 118-143; [6], с. 44-82
2.1. Обнаружение дискретных сигналов (6 часов)
[1], с. 216-228
Обнаружение априори известных дискретных сигналов.
Критерии оптимальности устройств обнаружения.
Аддитивность отношения сигнал/помехи.
2.2. Обнаружение полностью известных аналоговых сигналов (4 часа)
[1], с. 229-244; [2], с. 84-1013; [3], с. 38-41; [4], с. 118-124; [6], с. 44-50
2.3. Поиск и обнаружение узкополосных радиосигналов
с неизвестными параметрами (8 часов)
[1], с. 245-253; [2], с. 102-112; [3], с. 42-50; [4], с. 124-143; [6], с. 51-82
Обнаружение узкополосных радиосигналов с неизвестной амплитудой.
Обнаружение узкополосных радиосигналов с неизвестной начальной фазой. Квадратурная обработка радиосигналов.
Поиск и обнаружение узкополосных радиосигналов с неизвестными временем прихода и частотой несущей.
Структура оптимальных устройств обнаружения радиосигналов.
Раздел 3. Основы статистической теории измерения и оценивания
параметров сигналов радиотехнических систем (14 часов)
[1], с. 254-272; [2], с. 158-203; [3], с. 75-109, 123-141; [6], с. 109-122
Оптимальное оценивание амплитуды сигналов известной формы.
Определение временнóго положения флуктуирующих сигналов.
Совместное измерение временнóго положения и частоты несущей узкополосных радиосигналов. Принцип неопределённости в радиотехнике.
Потенциальная точность оценок параметров сигналов. Интервальное оценивание их параметров.
Структура оптимальных устройств оценивания параметров сигналов.
Статистические характеристики качества оценки параметров сигналов.
Раздел 4. Оптимальная фильтрация сигналов (8 часов)
[1], с. 273-287; [2], с. 134-143, 236-257; [3], с. 109-122
Общие положения теории оптимальной фильтрации сигналов.
Оптимальная фильтрация реализаций случайных процессов.
Физическая реализуемость оптимальных фильтров, согласованные фильтры и корреляторы.
–9–
Согласованные фильтры для одиночных и пачек импульсов. Гребёнчатые
фильтры.
Раздел 5. Различение и разрешение сигналов.
Сложные сигналы (10 часов)
[1], с. 288-313; [2], с. 144-157, 204-215; [3], с. 20-37, 142-176;
[4], с. 159-170; [6], с. 82-108
Различение сигналов. Структуры оптимальных устройств различения и их
качественные показатели.
Разрешение сигналов известной формы.
Функция неопределённости радиосигналов и синтез сложных сигналов.
Раздел 6. Методы расчёта статистических характеристик
пространственно-временных радиосигналов (18 часов)
[1], с. 314-372; [3], с. 198-214; [4], с. 80-94; [7], с. 58-122, 192-255, 429-455
6.1. Основные системотехнические задачи
статистической радиофизики (2 часа)
[1], с. 314-323; [7], с. 58-62
6.2. Пространственно-временнáя корреляция
внешних радиопомех (2 часа)
[1], с. 324-332
6.3. Распространение радиоволн в стохастических средах (10 часов)
[1], с. 333-364; [7], с. 58-122, 192-255, 429-455
Метод случайных коэффициентов Френеля. Замирания радиосигналов.
Рассеяние радиоволн на мелкомасштабных неоднородностях.
Зоны разделения областей применимости методов квазигеометрической
оптики и теории рассеяния радиоволн на мелкомасштабных неоднородностях.
Метод модулированных мод.
6.4. Эффективная площадь рассеяния радиолокационных целей (8 часов)
[1], с. 365-372; [3], с. 198-214; [4], с. 80-94; [7], с. 208-214
Точечные и распределённые радиолокационные цели.
Рассеяние радиоволн на случайной совокупности отражателей.
Физико-статистические методы оценки эффективной площади рассеяния
целей.
Заключение (2 часа)
[1], с. 373
Использование результатов статистической теории РТС при проектировании радиотехнических систем.
– 10 –
2.2. Тематический план дисциплины
2.2.1. Тематический план для студентов очно-заочной формы обучения
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
24
–
6
8
–
2
10
–
3
40
4
11
31
№1
№2-7
7
–
2
1
–
№1-3
6
1
2
1
1
1
№2,3
№1
№1,2
14
2
3
1
2
6
№4,5
№2
№3
6
1
1
–
–
4
№6,7
–
–
18
4
6
1
2
5
№8-13
2
№4-7
6
2
2
1
1
–
№8,9
№3
№4
4
1
2
–
1
–
№10,11
№4
№5-7
8
1
2
–
–
5
№12,13
–
–
14
4
4
2
2
2
№14-18
№5
№8
8
2
2
–
–
4
№19-22
–
–
10
2
2
1
1
4
№23-26
№6
№9,0
18
2
4
2
2
8
№27-30
1
–
2
1
–
–
–
1
№27
–
–
2
–
1
–
–
1
№28
–
–
6
–
1
–
–
5
–
–
–
8
1
2
2
2
1
№29,30
№7
–
2
–
–
–
–
2
–
–
–
– 11 –
Контрольная
работа
18
–
4
ДОТ
100
4
26
аудит.
Практические
занятия
4
мехи и их вероятностные модели
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
1.2. Вероятностные модели
сигналов и помех в радиотехнических системах
1.3. Пространственно-временные
случайные сигналы и помехи
Раздел 2. Основы теории
обнаружения сигналов
2.1. Обнаружение дискретных
сигналов
2.2. Обнаружение полностью
известных аналоговых сигналов
2.3. Поиск и обнаружение
узкополосных радиосигналов с
неизвестными параметрами
Раздел 3. Основы статистической
теории измерения и оценивания
параметров сигналов
радиотехнических систем
Раздел 4. Оптимальная фильтрация сигналов
Раздел 5. Различение и
разрешение сигналов.
Сложные сигналы
Раздел 6. Методы расчёта
статистических характеристик
пространственно-временных
радиосигналов
6.1. Основные системотехнические задачи
статистической радиофизики
6.2. Пространственно-временнáя
корреляция внешних радиопомех
6.3. Распространение радиоволн
в стохастических средах
6.4. Эффективная площадь
рассеяния радиолокационных
целей
Тесты
3
Самостоят.
работа
ВСЕГО
1 ВВЕДЕНИЕ
2 Раздел 1. Случайные сигналы и по-
ДОТ
Наименование раздела
(отдельной темы)
Практич.
занятия
аудит.
№
№
пп
Кол-во час. по
очной форме
обуч.
Виды занятий и контроля
Лекции
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
3
№6,7
–
–
1
4
3
№8-13
№4-7
3
1
–
–
№8,9
№47
№4
–
3
–
1
–
№10,11
№5-7
8
–
2
–
2
4
№12,13
№57
–
14
2
4
1
2
5
№14-18
№8
№8
8
1
2
1
1
3
№19-22
–
–
10
1
2
1
1
5
№23-26
№9,0
№9,0
18
1
6
–
3
8
№27-30
–
–
2
1
–
–
1
№27
–
–
2
–
2
–
–
–
№28
–
–
8
–
2
–
1
5
–
–
–
6
–
2
–
2
2
№29,30
–
–
2
–
–
–
–
2
–
–
–
Тесты
№3
Самостоят.
работа
№3
ДОТ
№4,5
аудит.
5
ДОТ
Контрольн.
работа
4
1
–
№1-3
№2,3
11
–
№13
№1,2
100
4
26
8
–
1
32
2
8
4
–
–
16
–
5
40
2
12
31
№1
№2-7
6
–
1
–
1
4
14
1
5
–
3
6
–
2
–
18
2
8
2.1. Обнаружение дискретных
сигналов
2.2. Обнаружение полностью
известных аналоговых сигналов
6
2
4
2.3. Поиск и обнаружение
узкополосных радиосигналов с
неизвестными параметрами
Раздел 3. Основы статистической
теории измерения и оценивания
параметров сигналов
радиотехнических систем
Раздел 4. Оптимальная фильтрация сигналов
Раздел 5. Различение и
разрешение сигналов.
Сложные сигналы
Раздел 6. Методы расчёта
статистических характеристик
пространственно-временных
радиосигналов
6.1. Основные системотехнические задачи
статистической радиофизики
6.2. Пространственно-временнáя
корреляция внешних радиопомех
6.3. Распространение радиоволн
в стохастических средах
6.4. Эффективная площадь
рассеяния радиолокационных
целей
мехи и их вероятностные модели
3
Практич.
занятия
Практическ
занятия
ВСЕГО
1 ВВЕДЕНИЕ
2 Раздел 1. Случайные сигналы и по-
Виды занятий и контроля
Лекции
аудит.
№№ Наименование раздела
пп
(отдельной темы)
Кол-во час. по
очной форме
обуч.
2.2.2. Тематический план для студентов заочной формы обучения
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
1.2. Вероятностные модели
сигналов и помех в радиотехнических системах
1.3. Пространственно-временные
случайные сигналы и помехи
Раздел 2. Основы теории
обнаружения сигналов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
– 12 –
№1,2
№4
–
2.3. Временной график изучения дисциплины при использовании
информационно-коммуникационных технологий
№
1
2
3
4
5
6
7
Наименование раздела (темы),
вида учебной работы студента
Раздел 1. Случайные сигналы и помехи
и их вероятностные модели
Раздел 2. Основы теории поиска
и обнаружения сигналов
Раздел 3. Оптимальное измерение и оценивание
параметров сигналов
Раздел 4. Основы теории оптимальной
фильтрации сигналов
Раздел 5. Различение и разрешение
сигналов. Сложные сигналы
Раздел 6. Методы расчёта
статистических характеристик пространственновременных радиосигналов
В том числе: контрольная работа №1
ИТОГО
– 13 –
Продолжительность
изучения раздела (темы)
(из расчёта – 4 часа в день)
7 дн.
5 дн.
4 дн.
2 дн.
3 дн.
4 дн.
2 дн.
25 дн.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Случайные сигналы и помехи и их вероятностные модели
1.2. Вероятностные модели
сигналов и помех в РТС
1.3. Пространственно-временные
случайные сигналы и помехи
2. Основы теории обнаружения сигналов
3. Основы стат. теории
измерения и оценивания параметров сигналов РТС
4. Оптимальная фильтрация сигналов
5. Различение и
разрешение сигналов.
Сложные сигналы
6. Методы расчёта стат.
хар-к пространственновременных радиосигналов
2.1. Обнаружение
дискретных сигналов
Оптим. оценивание
амплитуды сигналов
Общие положения
теории оптимальной
фильтрации
Различение сигналов
6.1. Основные системотехн. задачи статистической радиофизики
2.2. Обнаружение
полностью известных
аналоговых сигналов
Определение временнóго положения
Оптимальная фильтрация случайных
процессов
Разрешение сигналов
6.2. Простр.-временнáя
корреляция внешних
радиопомех
2.3. Поиск и обнаружение узкополосных
радиосигналов
Принцип неопределённости
Физическая реализуемость фильтров
Функция
неопределённости
6.3. Распространение
радиоволн в стохастических средах
Структура оптимальных устройств обнаружения
Потенциальная
точность оценок
Согласованные
фильтры и корреляторы
Структура устройства оценивания
6.4. Эффективная площадь рассеяния радиолокационных целей
2.4. Структурно-логическая схема дисциплины
– 14 –
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
2.5. Практический блок
2.5.1. Практические занятия (очно-заочная форма обучения)
Кол-во часов
Ауд. ДОТ
Номер и наименование темы,
раздела
Наименование тем
практических занятий
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
1.2. Вероятностные модели сигналов и
помех в радиотехнических системах
2.1. Обнаружение дискретных
сигналов
2.2. Обнаружение полностью
известных аналоговых сигналов
3. Основы статистической теории
измерения и оценивания параметров
сигналов радиотехнических систем
5. Различение и разрешение сигналов.
Сложные сигналы
6.4. Эффективная площадь
рассеяния радиолокационных целей
ПЗ №1. Структура вероятностных моделей.
Теоремы полной вероятности и Байеса
ПЗ №2. Общая структура вероятностных
моделей случайных сигналов и помех
ПЗ №3. Решение задач обнаружения,
критерии оптимальности обнаружения
ПЗ №4. Решение задач обнаружения
во временной и частотной областях
ПЗ №5. Оптимальное оценивание по
выборке из прямых неравноточных
независимых измерений. Дисперсия оценок
ПЗ №6. Способы синтеза сложных сигналов
1
1
1
2
1
1
–
1
2
2
1
1
ПЗ №7. Расчёт эффективной площади
рассеяния сложных целей
2
2
2.5.2. Практические занятия (заочная форма обучения)
Кол-во часов
Ауд. ДОТ
Номер и наименование темы,
раздела
Наименование тем
практических занятий
1.1. Основные понятия
теории вероятностей
1.2. Вероятностные модели сигналов и
помех в радиотехнических системах
1.3. Пространственно-временные
случайные сигналы и помехи
2.1. Обнаружение дискретных
сигналов
2.2. Обнаружение полностью
известных аналоговых сигналов
2.3. Поиск и обнаружение
узкополосных радиосигналов
с неизвестными параметрами
3. Основы статистической теории
измерения и оценивания параметров
сигналов радиотехнических систем
4. Оптимальная фильтрация сигналов
ПЗ №1. Структура вероятностных моделей.
Теоремы полной вероятности и Байеса
ПЗ №2. Общая структура вероятностных
моделей случайных сигналов и помех
ПЗ №3. Канонические разложения
случайных полей
ПЗ №4. Решение задач обнаружения,
критерии оптимальности обнаружения
ПЗ №5. Решение задач обнаружения
во временной и частотной областях
ПЗ №6. Квадратурная обработка радиосигналов и современные методы модуляции
–
1
–
3
–
1
1
–
–
1
–
2
ПЗ №7. Оптимальное оценивание по
выборке из прямых неравноточных
независимых измерений. Дисперсия оценок
ПЗ №8. Физическая реализуемость
оптимальных фильтров
ПЗ №9. Способы синтеза сложных сигналов
1
2
1
1
1
1
ПЗ №10. Методы модулированных
радиоволн и точечных рассеивателей
ПЗ №11. Расчёт эффективной площади
рассеяния сложных целей
–
1
–
2
5. Различение и разрешение сигналов.
Сложные сигналы
6.3. Распространение радиоволн
в стохастических средах
6.4. Эффективная площадь
рассеяния радиолокационных целей
– 15 –
2.6. Балльно-рейтинговая система оценки знаний
Дисциплина «Статистическая теория радиотехнических систем» состоит
из шести разделов, включающих в себя тринадцать тем. Она изучается в одном
семестре и завершается сдачей зачёта. Студенты должны изучить теоретический материал (см. рабочую программу) и выполнить практические работы (см.
тематические планы). После изучения каждого раздела необходимо ответить на
вопросы для самопроверки, пройти тренировочный тест, а затем выполнить
контрольный тест.
Ответы на вопросы тренировочных тестов по разделам не оцениваются,
но рекомендуется ответить на них, так как эти тесты – репетиция прохождения контрольных тестов.
Номера тестов указаны в тематических планах. Тест состоит из пяти вопросов. Правильный ответ на вопрос оценивается в 1 балл.
При условии успешной работы студент может получить максимум 100
баллов, которые называют базисными рейтинг-баллами (БРБ). Ниже приведён расчёт БРБ.
Расчёт БРБ для студентов различных форм обучения
Форма обучения
Расчёт
Очно-заочная
Тесты: 6 разделов·5 вопросов·1,5 балла = 45 баллов
Практические занятия: 7·5 баллов = 35 баллов
Контрольная работа: 10 баллов
Активность: 10 баллов
Тесты: 6 разделов·5 вопросов·1,5 балла = 45 баллов
Практические занятия: 11·3 балла = 33 балла
Контрольная работа: 10 баллов
Активность: 12 баллов
Заочная и
обучающиеся с
использованием
ДОТ
БРБ
100
100
Для получения допуска к зачёту Вам достаточно набрать 65 баллов.
Если БРБ составит более 65 баллов, то обучающиеся с использованием
ДОТ получают зачёт автоматически.
– 16 –
3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Библиографический список
Основной:
1. Худяков, Г. И. Статистическая теория радиотехнических систем/
Г. И. Худяков. – М.: Академия, 2009.
2. Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем: Учеб.
пособие для вузов/А. И. Перов. – М.: Радиотехника, 2003.
Дополнительный:
3. Радиотехнические системы: Учебник для вузов/Под ред. Ю. М. Казаринова. – М.: Высшая школа, 1990.
4. Васин, В. В. Справочник-задачник по радиолокации/ В. В. Васин,
Б. М. Степанов. – М.: Сов. радио, 1977.
5. Коростелёв, А. А. Пространственно-временная теория радиосистем:
Учеб. пособие для вузов/А. А. Коростылёв. – М.: Радио и связь, 1987.
6. Дымова, А. И. Радиотехнические системы/А. И. Дымова, М. Е. Альбац,
А. М. Бонч-Бруевич. – М.: Сов. радио, 1975.
7. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля/С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский. – М.: Наука, 1978.
8. Тихонов, В. И. Статистическая радиотехника/ В. И. Тихонов. – М.: Радио
и связь, 1982.
9. Худяков, Г. И. Прикладная теория информации: Информационная теория радиотехнических систем. – Изд-во СЗТУ, 2010.
Ресурсы “Internet”:
10. http://elib.nwpi.ru/Joomla/index.php.
11. http://window.edu.ru/window/library.
12. http://ru.wikipedia.org/wiki.
13. http://en.wikipedia.org/wiki.
– 17 –
3.2. Опорный конспект
Введение
Современные радиосистемы представляют собой область техники, которая базируется на достижениях ряда дисциплин: электродинамика и распространение радиоволн, радиотехнические цепи и сигналы, антенны и устройства
СВЧ, радиоавтоматика, устройства генерирования и формирования сигналов,
устройства приёма и обработки сигналов и др.
Развитие в 1940-50-х годах «классических» радиотехнических систем
(РТС), в основном военного назначения, потребовало разработки методов расчёта предельно достижимых эксплуатационно-технических характеристик различных РТС. Эти методы используют вероятностные подходы к постановке и
решению задач анализа и синтеза оптимальных систем РТС. Совокупность таких методов составила содержание двух взаимно дополнительных научноприкладных дисциплин: статистической радиотехники и статистической
радиофизики – которые совместно образуют дисциплину «Статистическая
теория радиотехнических систем».
В 1990-х годах достижения в области создания систем РТС военного
назначения нашли широчайшее распространение в области радиоэлектронных
систем массового гражданского применения. Понять структуру и функционирование таких радиосистем (например, сотовых систем сухопутной подвижной
радиосвязи общего пользования) без знания основных положений статистической теории РТС невозможно. Отсюда вытекает важность тщательного изучения дисциплины СД.05, несмотря на достаточно трудный математический аппарат, лежащий в основе этой дисциплины.
При изучении Введения следует усвоить понятие системы – вообще и радиотехнической системы как подсистемы информационных эрготехнических
систем – в частности.
– 18 –
Информация в системах РТС передаётся с помощью радиотехнических
сигналов. На системы РТС воздействуют различного рода помехи, понимать
стохастическую (случайную) природу которых необходимо.
Отсюда вытекают основные вероятностные системотехнические задачи
статистической теории радиотехнических систем.
Литература: [1], с. 10-18; [2], с. 10-12; [6], с. 3-43; [8], с. 4-8.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое «система» и чем радиотехнические системы отличаются от
других технических систем?
2. Что называется сигналом?
3. Какие классы помех оказывают на системы РТС существенное отрицательное влияние?
4. В чём заключаются основные задачи системотехнического проектирования систем РТС?
Раздел 1. Случайные сигналы и их вероятностные модели
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить темы:
1.1. Основные понятия теории вероятностей,
1.2. Вероятностные модели сигналов и помех в радиотехнических
системах,
1.3. Пространственно-временные случайные сигналы и помехи;
ответить на вопросы для самопроверки;
выполнить ПЗ №1, 2;
ответить на вопросы контрольных тестов №2-7.
1.1. Элементы теории вероятностей
Основу «Статистической теории РТС» составляют теория вероятностей,
математическая статистика и теория случайных функций. Перед изучением материалов дисциплины СД.05 следует повторить эти разделы математики. При
повторении знаний по вероятностным моделям скалярных случайных величин
следует чётко различать случаи дискретных и непрерывных случайных величин. В первом случае основным математическим аппаратом анализа вероятно– 19 –
стных закономерностей является комбинаторика, во втором – дифференциальное и интегральное исчисление.
При переходе к векторным случайным величинам необходимо различать
формальные векторы как совокупности разнородных случайных величин и
собственно случайные векторы как направленные отрезки в евклидовых (двух-,
трёх- и многомерных) пространствах. Предварительно следует повторить векторную алгебру и матричное исчисление.
Комплексные нормальные случайные величины следует рассматривать
как весьма полезное формальное обобщение действительных величин и не пытаться найти какие-либо рациональные их интерпретации. В теории радиотехнических цепей и сигналов, а также в электродинамике такая формализация
приводила к успешному решению весьма сложных линейных задач теории преобразования сигналов и распространения радиоволн.
К сожалению, теорию вероятностей и математическую статистику обычно преподают профессиональные математики, которые не могут в полной мере
учесть специфику и стиль мышления радиоинженера. Чуть ли не единственным
исключением из этого правила являются учебники Е. С. Вентцель (1907-2002),
последним из которых является: Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. – М.: Академия, 2003.
Поэтому после повторения элементов теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций следует «переструктурировать»
эти знания с целью усвоения единой методологии вероятностного описания
сложных радиотехнических явлений: случайных скалярных и векторных величин, случайных сигналов и помех, а также пространственно-временных сигналов.
Любая вероятностная модель сложного явления содержит совокупность
трёх множеств {U, P, F}: множества элементарных объектов различной природы U; множества частотностей, или вероятностей их реализации (появления)
P, являющейся вероятностной мерой на множестве U; множества сложных
– 20 –
событий F, являющихся всевозможными подмножествами множества U, – а
также совокупность математических правил, с помощью которых по вероятностям из совокупности P можно вычислить вероятность любого сложного события. Все перечисленные радиотехнические явления имеют указанную общую
структуру, но различные объекты рассмотрения и различные правила вычислений.
Так, в теории случайных событий A простейшей вероятностной моделью
является совокупность независимых элементарных событий Uε = {εj} 1N , множества их вероятностей Pε = {Pj} 1N и множества всех подмножеств Fε = {Ak} 1K
множества Uε = {εj} 1N . Из множества правил вычисления вероятностей сложных
событий P(Ak) для статистической радиотехники наиболее важными являются
теоремы полной вероятности и Байеса.
Простейшей вероятностной моделью скалярной случайной величины α
является совокупность действительных чисел Uα = {– ∞ < x < ∞}, в качестве вероятностной меры Pα на множестве Uα выступает плотность вероятности
Pα = pα(x), а роль множества Fα играет совокупность всевозможных отрезков
Ak = {ak < α < bk} и их комбинаций на числовой оси {– ∞ < x < ∞}. Вероятность
реализации случайной величины Ak вычисляется достаточно просто:
P(Ak) =
bk
ak
pα ( x) d x .
Наиболее важными для статистической теории РТС являются равномерно
распределённые случайные величины, гауссовские, или нормальные случайные
величины, случайные величины, распределённые по законам Пуассона, Релея,
Релея-Райса, а также логарифмически-нормальные случайные величины. Необходимо запомнить наглядный вид функции pα(x), математическое выражение
для pα(x), а также основные параметры плотности вероятности таких величин и
вероятностный смысл этих параметров.
– 21 –
Нормальные случайные величины α допускают достаточно простое
обобщение на нормальные (гауссовские) случайные величины α α j α , где
α' и α'' – случайные действительная и мнимая части комплексной случайной величины α . В статистической теории РТС гауссовские случайные величины
α α j α имеют широкое применение, поскольку случайные амплитуды гар-
монических колебаний адекватно описываются комплексными случайными величинами.
Если величина α является случайной константой со средним значением a,
то её плотность вероятности имеет вид: pα(x) = δ(x – a). Такие случайные величины α называются сингулярными; если величина α имеет обычную плотность
вероятности pα(x), то величина α – регулярная. По теореме Вольда любую случайную величину α можно представить как сумму двух независимых случайных
величин: регулярной αр и сингулярной αс. Это почти очевидное утверждение
обобщается совсем неочевидным образом на случайные векторы и сигналы
ξ(t).
При рассмотрении векторных случайных величин следует различать
векторые величины как совокупности n случайных величин различной природы
={α1, α2, …, αj, …, αn}, рассматриваемых совместно, и случайные векторные
величины в собственном смысле этого слова (математики говорят: собственные
случайные векторы) как случайные направленные масштабированные отрезки на плоскости, в трёхмерном или многомерном евклидовом пространстве
R n . Если в пространстве R n выбрана система декартовых координат, то со-
вокупность проекций случайного вектора на эти оси образует числовой случайный вектор α = ||α1, α2, …, α j, …, α n ||T.
Вероятностная модель случайного n-мерного вектора есть совокупность пространства его значений {x1, x2, …, xj, …, xn}, n-мерной плотности вероятности pα(x) и множества сложных событий Fα, в качестве которых высту– 22 –
пают попадания вектора в многомерные параллелепипеды Ak вида Ak =
= {a1k < α1 < b1k, a2k < α2 < b2k, …, ank < αn < bnk} – для произвольных случайных
векторов или попадания вектора в любую замкнутую область Ak пространства R n – для собственных случайных векторов.
Наиболее компактно случайные векторы характеризуются вектором
средних значений его компонентов α1 , α 2 ,
матрицей R α
R11
R12
R1n
R21
R22
R2 n
R jk
Rn1
Rn 2
, α j,
, αn
Т
и корреляционной
, где Rjk – корреляция компонентов αj и αk:
Rnn
R jk (α j α j ) (α k αk ) .
Если вектор R n – собственный, то с помощью соответствующего ортогонального преобразования B пространства Rn (аналог поворота декартовой
системы координат на плоскости R2) всегда можно выбрать в пространстве Rn
такую систему координат, что корреляционная матрица Rα координат α вектора
R n в такой системе координат будет диагональной:
Rα
D1
0
0
0
D2
0
Dj
0
0
0
, где Dj – дисперсия компонента αj: D j (α j α j )2 .
Dn
Такая система координат является наиболее простой для координатного
представления α данного собственного случайного вектора R n : случайные
координаты α вектора являются некоррелированными, а если вектор R n
– гауссовский, то и независимыми. Такое представление называется каноническим, а если получившаяся система координат – ортогональная (декартова), то
полученное представление называется ортогональным каноническим. Для
удобства оперирования со случайными векторами R n такую систему коор– 23 –
динат необходимо обязательно найти. При этом может оказаться так, что часть
компонентов числового вектора координат α собственного вектора R n будут сигнулярными случайными величинами.
Ещё одним обобщением, необходимым для построения статистической
теории РТС и обычно не рассматриваемым в классической теории вероятностей, являются бесконечномерные случайные векторы . Гауссовские бесконечномерные случайные векторы полностью характеризуются бесконечной
совокупностью средних значений его компонентов α1 , α 2 ,
корреляционной матрицей бесконечного порядка R α
, α j,
R11 R12
R21 R22
R jk
, αn
Т
и
.
Литература: [1], с. 19-65; [2], с. 13-27; [8], с. 9-78.
Вопросы для самопроверки по теме 1.1
1. Что такое «вероятностная модель явления»?
2. Что такое «вероятностный подход к анализу и синтезу систем РТС» и
чем он отличается от детерминистского проектирования систем РТС?
3. Можно ли обойтись без «вероятностного проектирования систем
РТС» и почему?
4. Какова структура вероятностной модели конечной совокупности случайных событий?
5. Каков теоретический и прикладной смысл теоремы полной вероятности?
6. Каков теоретический и прикладной смысл теоремы Байеса?
7. Что такое априорная и апостериорная вероятности?
8. Какова структура вероятностной модели действительных случайных
величин?
9. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять
плотность вероятности случайной величины?
10. Какими параметрами характеризуются распределения случайных величин?
– 24 –
11. Каким образом меняются вероятностные характеристики при линейных преобразованиях случайных величин?
12. Как построить плотность вероятности результата произвольного преобразования случайных величин?
13. Что такое регулярные и сингулярные случайные величины?
14. Чем характеризуются комплексные случайные величины?
15. Что такое «векторные случайные величины» и чем они характеризуются?
16. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять
плотность вероятности векторной случайной величины?
17. Что такое «гауссовские, или нормальные случайные величины и векторы»?
18. Что такое собственные случайные векторы?
19. Что такое каноническое представление случайного вектора?
20. Каково ортогональное каноническое разложение случайного вектора и
как оно строится?
21. Какой вид имеет матрица ортогонального канонического представления случайного вектора?
22. Как описать математически бесконечномерные случайные векторы?
1.2. Вероятностные модели сигналов и помех
в радиотехнических системах
Вероятностные модели сигналов и помех основаны на математической теории
случайных функций, которая исторически развивалась относительно самостоятельно на базе весьма абстрактной теории меры и интеграла. Математики
определяют случайные функции ξ(t) скалярного аргумента t как семейство случайных величин ξ X на пространстве T аргумента t. Поэтому случайную
функцию ξ(t) они характеризуют бесконечным самосогласованным семейством
всевозможных конечномерных распределений или плотностей вероятностей
– 25 –
вида:
pξ ( x1 ,
, xm ; t1 ,
, tm )
m
1 ( x1 ε1 ) ξ(t1 ) ( x1 ε1 );
m
ε ,...,
lim
(2
ε
)
P
.
k
εm 0
1
k 1
; ( xm ε m ) ξ(tm ) ( xm ε m )
Ясно, что работать практически с такой вероятностной мерой могут
только профессиональные математики. Однако мы можем извлечь из приведённого выше определения полезные результаты.
Во-первых, мы можем определить среднее значение ξ(t ) случайной
функции ξ(t): ξ(t ) ξ(t ) . Во-вторых, можно определить корреляцию Rξ(t, s) случайных величин ξ(t) и ξ(s): Rξ(t, s) = ξ(t ) ξ(t ) ξ( s) ξ( s) , – которая называется корреляционной функцией (двух аргументов t и s) и т. п.
Однако мы будем следовать логике английского физика Нормана Кэмпбелла (1880-1949), американских радиофизика Джона Карсона (1886-1940), радиоинженера Гарри Найквиста (1889-1976), радиофизика Стефена Райса (19071986), электроинженера и математика Клода Шеннона (1916-2001), советского
учёного В. С. Пугачёва (1911-1998) и других выдающихся учёных-прикладников,
которые определяют случайную функцию ξ(t) так же, как случайные величины
α и случайные числовые векторы α: как генеральные совокупности. Мы так же
под случайными функциями будем подразумевать генеральные совокупности,
имеющие одно и то же семейство конечных распределений, то есть совокупность стохастически эквивалентных ансамблей реализаций, обладающих одинаковыми статистическими свойствами.
Из ансамблей реализаций одной и той же случайной функции мы будем
выделять три типа ансамблей: флуктуационный («обычный») ансамбль, импульсный (Кэмпбелла-Карсона) и гармонический (Найквиста). При этом в зависимости от решаемой задачи статистической радиотехники мы будем пользоваться соответствующим ансамблем.
– 26 –
Тогда вероятностная модель случайных сигналов и шумов ξ(t) имеет такую же структуру, как и случайные величины α: {Uξ, Pξ, Fξ}. Здесь: Uξ – совокупность функций определённого класса, являющихся реализациями случайного процесса ξ(t); Pξ – вероятностная мера на этом пространстве; Fξ – любое
замкнутое множество в функциональном пространстве Uξ. При этом мы будем
искать в пространстве Uξ такой функциональный базис (аналог системы координат в эвклидовых пространствах Rn), чтобы в этом базисе соответствующее
представление Rξ = || Rmn; m, n = 1, 2, …|| корреляционной функции Rξ(t, s) было
бы простейшим, то есть диагональным, и имело вид:
Rξ = || Dm δ m n; m, n = 1, 2, …||, где Dm – дисперсия m-го коэффициента разложения случайного процесса ξ(t) в найденном функциональном базисе; δ m n – символ Кронекера: δ m n = 1 при n = m и δ m n = 0 при n ≠ m. Такое представление
называется каноническим, или представлением Пугачёва. Если найденный
функциональный базис – ортогональный, то представление Пугачёва называется ортогональным каноническим. Дальнейшее рассмотрение случайных сигналов и помех зависит от конкретного класса этих сигналов и помех. Если соответствующий функциональный базис {φ(t, μ)} имеет непрерывный «индекс» μ,
то корреляционная функция ортогонального канонического представления
имеет вид: Rξ(μ, ν) = Wξ(μ) δ(μ – ν).
Простейшим классом случайных процессов являются случайные периодические сигналы и стохастические ряды Фурье. В первом случае все реализации
ξT (t) являются периодическими функциями времени, имеющими один и тот же
период T. А они могут быть разложены в ряд Фурье, как это делалось в дисциплинах «Основы теории цепей» и «Радиотехнические цепи и сигналы». Однако
коэффициенты таких разложений меняются от реализации к реализации непредсказуемым (случайным) образом. Поэтому они образуют случайный в общем случае бесконечномерный комплексный вектор α , который характеризу-
– 27 –
ется вектором средних α α1 , α2 ,
Т
и корреляционной матрицей
R α = || R mn; m, n = 1, 2, … ||.
Если косинусные и синусные составляющие для каждой гармоники случайного процесса ξT (t) независимы и имеют одинаковые дисперсии, то процесс
ξT (t) является периодически стационарным, а его корреляционная функция RξT
(t, s) зависит от одной переменной τ = t – s: RξT (t, s) = RξT (t –s) = RξT (τ). Коэффициенты одномерного преобразования Фурье функции RξT (τ) численно равны
мощностям соответствующих гармоник случайного процесса ξT (t).
Если у суммы случайных гармонических колебаний нет единого периода
T, то такие процессы называются почти периодическими случайными функциями (Бора) ξ Б(t) или стохастическими рядами Фурье.
Если коэффициенты разложения в ряды Фурье реализаций процесса ξ Б(t)
независимы и для каждой гармоники – одинаковы, то процесс ξ Б(t) является
стационарным почти периодическим, а его корреляционная функция Rξ Б(t, s) =
= Rξ Б(t – s) = Rξ Б(τ).
Следующим классом случайных процессов являются функции с ограниченной
энергией,
у
которых
энергия
каждой
реализации
конечна
Ei ξ i2 (t ) dt . Такие процессы не могут быть стационарными, но зато
пространство Uξ является гильбертовым L2(t), и в нём всегда можно найти такой
дискретный функциональный базис, в котором процесс ξГ(t) будет представляться в ортогонально-каноническом виде. В этом состоит вероятностный
смысл теоремы Карунена-Лоэва.
Наибольшее распространение в статистической радиотехнике находят
стационарные процессы с ограниченной мощностью. Они уже не могут быть
представлены в дискретном базисе разложения. В 1932 г. Г. Найквист показал,
что совокупность гауссовских шумов эквивалентна совокупности синусоид со
всевозможными частотами и со случайными амплитудами и начальными фазами. А в 1934 г. независимо друг от друга советский математик А. Я. Хинчин и
– 28 –
американский Н. Винер доказали теорему об ортогональном каноническом
представлении стационарных случайных функций с непрерывным спектром
(теорема Винера-Хинчина).
Следует также разобраться с регулярностью и сингулярностью стационарных случайных процессов: стационарные случайные периодические и почти
периодические процессы являются сингулярными, а удовлетворяющие условиям теоремы Винера-Хинчина – регулярными. В то же время, регулярные процессы могут быть представлены в виде пуассоновского потока импульсов определённой формы со случайными коэффициентами (аналогично утверждению
теоремы Дж. Карсона – 1925 г.).
Далее. Следует также усвоить, что среди стохастически эквивалентных
ансамблей реализаций регулярных случайных процессов могут быть такие, у
которых по любой реализации можно определить все статистические характеристики данного случайного процесса. Такие ансамбли данного регулярного
случайного процесса ξ р(t) называются эргодическими.
Ещё одним важным для статистической радиотехники классом процессов
являются эргодические стационарные случайные процессы с ограниченной по
частоте (финитной) спектральной плотностью средней мощности. Для таких
случайных процессов справедливо обобщение теоремы отсчётов Котельникова-Шеннона.
Из всевозможных преобразований случайных сигналов и помех необходимо освоить их линейные преобразования: стационарные и параметрические
(нестационарные).
Таким образом, в подразд. 1.2 на основании теории вероятностей изучается последовательное построение системы типовых вероятностных моделей случайных радиотехнических сигналов и помех: от простейших моделей случайных периодических до более сложных моделей стационарных случайных
процессов.
– 29 –
Здесь следует обратить внимание на существенную общность этих моделей и на единство логики их построения: разложение (представление) реализаций случайных процессов на некоррелированные составляющие (канонические
представления). Если элементы разложения являются детерминистски ортогональными, то получаются различные ортогональные канонические представления: согласно теореме Карунена-Лоэва – в случае сигналов с конечной энергией, согласно теореме Винера-Хинчина – в случае стационарных сигналов с
ограниченной мощностью. Поэтому теоремы Карунена-Лоэва и ВинераХинчина являются частными случаями канонического представления случайных процессов общего вида (Пугачёва).
Такие представления позволяют легко решать (аналитически) всевозможные линейные задачи статистической радиотехники или получать алгоритмы
цифрового моделирования реализаций случайных процессов – для численного
решения различных нелинейных задач.
Литература: [1], с. 101-188; [2], с. 27-69; [3], с. 10-20; [8], с. 91-283.
Вопросы для самопроверки по теме 1.2
1. Что такое случайная функция?
2. Какова вероятностная модель случайной функции?
3. Какие существуют основные модели случайных процессов?
4. Что такое стохастическая эквивалентность различных совокупностей
реализаций случайных функций?
5. Что такое гауссовские (нормальные) случайные процессы и чем определяются их вероятностные свойства?
6. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять
функция двух переменных, чтобы она была корреляционной для некоторого
случайного процесса?
7. Что такое каноническое представление случайной функции?
8. Чем отличается каноническое представление случайных функций от
ортогонального?
9. Что такое стохастические ряды Фурье?
10. Каковы условия стационарности случайных периодических сигналов?
– 30 –
11. В чём состоит стохастическое равенство Парсеваля?
12. Каков вероятностный смысл теоремы Карунена-Лоэва?
13. Каково содержание понятия «спектральная плотность средней мощности, или энергетический спектр стационарного случайного сигнала» и в чём
его вероятностный смысл?
14. Каков вероятностный смысл теоремы Винера-Хинчина?
15. Что такое регулярные и сингулярные стационарные случайные сигналы?
16. Каково импульсное представление регулярных стационарных случайных сигналов?
17. Какие стационарные случайные сигналы называются эргодическими?
18. Каковы необходимые и достаточные условия эргодичности?
19. В чём существо обобщённой теоремы отсчётов (КотельниковаШеннона)?
20. Для каких стационарных случайных сигналов возможно обобщение
теоремы отсчётов и в чём это обобщение состоит?
21. В чём состоит принцип суперпозиции преобразования сигналов?
22. Каков общий вид линейного преобразования случайных сигналов?
23. В чём состоит физический смысл ядра линейного преобразования?
24. В чём особенность стационарного линейного преобразования стационарных случайных сигналов?
1.3. Пространственно-временные случайные сигналы и помехи
В подразд. 1.3 рассматриваются скалярные случайные функции в двумерном и в трёхмерном евклидовых пространствах (случайные поля), их основные
вероятностные свойства и представления. Вероятностные модели случайных
полей позволяют решать в рамках статистической теории РТС различные задачи статистической радиофизики, которые необходимы для системотехнического проектирования различных радиосистем.
Аналогично случайным процессам следует рассмотреть спектральнокорреляционное представление случайных полей.
– 31 –
Пространственно-временные случайные гармонические радиосигналы
удобно представлять в виде комплексных случайных полей, а их спектральное
разложение позволяет достаточно просто решать многие линейные задачи статистической радиофизики.
Литература: [1], с. 189-215; [5], с. 54-79, 101-119; [7], с. 7-57; [8], с. 168-179.
Вопросы для самопроверки по теме 1.3
1. Что такое пространственно-временные сигналы и в чём особенности их
вероятностных моделей?
2. Что такое спектральная плотность интенсивности однородного случайного поля?
3. Какое ортогонально-каноническое представление имеет однородное
скалярное случайное поле?
4. Что такое изотропное однородное скалярное случайное поле?
5. Какое ортогонально-каноническое представление имеет изотропное
однородное скалярное случайное поле?
6. Что такое линейный блок?
7. Что такое функция Грина (влияния) линейного блока?
8. Какова классификация пространственно-временных сигналов?
– 32 –
Раздел 2. Основы теории обнаружения сигналов
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить темы:
2.1. Обнаружение дискретных сигналов,
2.2. Обнаружение полностью известных аналоговых сигналов,
2.3. Поиск и обнаружение узкополосных радиосигналов
с неизвестными параметрами;
ответить на вопросы для самопроверки;
выполнить ПЗ № 3, 4;
ответить на вопросы контрольных тестов № 8-13.
2.1. Обнаружение дискретных сигналов
Воздействие различного рода помех, имеющихся в радиотехнических системах,
приводит к неизбежным ошибкам в работе решающего устройства, причём двоякого рода: «пропуск сигнала» и «ложное срабатывание» – и возникает задача
оптимизации принимаемого решения.
Для оптимизации правила принятия решения при работе устройства обнаружения следует (Разработчикам и Заказчикам аппаратуры радиосистемы)
заранее договориться о критериях оптимальности. Для возможности выбора
типового критерия в статистической теории РТС разработаны различные общие критерии, в особенностях применения которых необходимо разобраться.
Начинать изучение материалов второго раздела следует с простейшей задачи: обнаружение априори известного дискретного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи. При этом следует помнить «золотое правило» статистики: если Вы ничего не знаете априори, то Вы ничего не узнáете и
апостериори.
Итак, пусть мы априори знаем, что с вероятностью P1 на входе приёмника может присутствовать напряжение: u = s + n, а с вероятностью P0 = 1 – P1:
u = n, где s – дискретный сигнал, величина которого нам известна, а n – случай-
– 33 –
ная помеха, плотность вероятности значений которой есть:
x 2
1
pn ( x)
exp 2 , где σ – среднеквадратическое значение дискретной
2σ
2πσ
помехи n, которая имеет нулевое среднее значение, то есть n 0 .
Без учёта выбранного критерия оптимальности задача обнаружения поставлена полностью.
Если мы возьмём некоторый произвольный порог срабатывания U решающего устройства, то мы можем определить вероятность ложного срабатывания устройства обнаружения α(U ) =
U
p0 (u ) du при наличии сигнала на его
входе, и вероятность пропуска сигнала β(U ) =
Г
p1 (u ) du – при отсутствии
сигнала на входе устройства. Здесь:
p0 (u )
u2
exp 2
2σ
2πσ
1
, а
p1 (u )
(u s) 2
exp
2πσ
2σ 2
1
.
Если изменять величину U от – ∞ до + ∞, то вероятность ложного срабатывания α(U ) будет меняться от 1 до 0, а вероятность пропуска сигнала β(U ) –
от 0 до 1. Значит, если мы будем стараться уменьшить вероятность пропуска
сигнала β, то мы неизбежно будем получать увеличение вероятность (частотности) ложных срабатываний α, и наоборот. График совместного изменения величин α и Pп.о. = 1 – β при изменении величины U от – ∞ до ∞ называется характеристикой обнаружения, а величина Pп.о. называется вероятностью
правильного обнаружения (то есть вероятностью того, что при наличии сигнала
устройство обнаружения будет сигнализировать о присутствии сигнала на входе усторойства). При этом крутизна характеристики обнаружения зависит
только от величины так называемого отношения сигнал/помеха q, которая
определяется отношением квадрата величины сигнала s к дисперсии помехи: q
= s2/σ2.
Для однозначного выбора величины порога U нам и понадобится выбранный заранее критерий оптимальности.
– 34 –
В статистической теории радиосистем получили широкое распространение четыре критерия – в зависимости от дополнительных априорных знаний.
Если знают только априорные вероятности наличия P1 и отсутствия P0 = 1 – P1
на входе устройства обнаружения сигнала, то пользуются критерием Котельникова-Зигерта, или «идеального наблюдателя». В этом случае по переменной U
минимизируют среднюю вероятность ошибки: Pош(U ) = P0 α(U ) + + P1 β(U ). В
результате минимизации Pош(U ) для оптимальной величины U0 порога U получают уравнение: P0/P1 = p1(u)/p0(u). Величину Λ(u) = p1(u)/p0(u) называют отношением правдоподобия, а величину Λ0 = P0/P1 – уровнем правдоподобия.
Численное решение уравнения Λ(u) = Λ0 позволяет найти оптимальный
порог срабатывания U0 устройства обнаружения по критерию «идеального
наблюдателя».
Если наряду с величинами P0 и P1 нам известны величины потерь Q0 и Q1,
которые мы понесём в результате принятия неправильных решений, то можно в
качестве критерия оптимальности устройства обнаружения взять критерий минимума средних потерь Q , величина которого называется (средним) риском
принятия решений R. В этом случае величина порога получается численным
решением уравнения Λ(u) = Λ0 Q0/Q1.
Если же величины Q0 и Q1 известны, но неизвестны значения P0 и P1, то
используется минимаксный критерий: при всевозможных значениях P0 и
P1 = 1 – P0 минимизируется максимально возможный риск R(ρ, q) = Q (ρ, q).
Наконец, широко распространённый в статистике критерий НейманаПирсона применяется в статистической радиотехнике в том случае, если плотности вероятностей p1(u) и p0(u) зависят от некоторого случайного параметра:
p1(u, θ)/p0(u, θ). Тогда задаются верхней границей α0 величины α(U ), а величину
β(U ) минимизируют по параметру θ при α(U ) < α0.
И, наконец, следует усвоить метод последовательного анализа (Вальда),
при котором задаются два порога срабатывания U1 и U2, а алгоритм принятия
решения имеет три исхода: если u > U2, то принимается решение «сигнал на
– 35 –
входе устройства обнаружения присутствует»; если u ≤ U1 < U2, то принимается
решение «сигнал на входе отсутствует»; если U1 < u ≤ U2 , то решение не принимается, а производится дальнейшее наблюдение и т. д., пока процесс принятия решения не закончится: либо принятием первого решения, либо второго.
При этом в процессе наблюдения следует так обрабатывать принятые напряжения, чтобы величина результирующего отношения сигнал/помеха была максимальной. Если каждый раз определять k-е отношение сигнал/помеха как
qk = sk2/σk2, то в случае независимости между собой k-х помех uk результирующее отношение сигнал/помеха q будет максимальным, если проводить линейную обработку накопленной информации в виде: v k 1 uk sk /σ 2 . В этом слуm
чае k-е отношения сигнал/помеха просто суммируются: v k 1 qk . В этом
m
свойстве аддитивности отношения сигнал/помеха, определяемого как
qk = sk2/σk2, заключается преимущество такого определения.
Литература: [1], с. 216-228
Вопросы для самопроверки по теме 2.1
1. Что такое дискретный сигнал?
2. Что есть «ложная тревога» и «пропуск цели»?
3. Что такое «характеристики обнаружения априори известного сигнала»?
4. Что называется «отношением сигнал/помеха» для дискретных сигналов?
5. Что такое «простые гипотезы», и каким образом они проверяются?
6. В чём существо оптимальности устройства автоматического обнаружения сигналов?
7. Каковы основные критерии оптимальности устройства обнаружения?
8. Что называется отношением правдоподобия и в чём состоит его математический смысл?
9. Что называется риском принятия решения?
10. Что такое «метод последовательного анализа (Вальда)»?
– 36 –
2.2. Обнаружение полностью известных аналоговых сигналов
Итак, мы установили, что при накоплении информации о сигнале: если
помехи независимы, то максимальное результирующее отношение сигнал/помеха является просто суммой «парциальных» отношений сигнал/помеха,
а оптимальные коэффициенты линейной обработки v k 1 uk sk /σ 2 входных
m
напряжений uk суть: ak = sk/σ2.
Поэтому для оптимального обнаружения априори известного аналогового
сигнала s(t) с ограниченной энергией Es s 2 (t ) dt приходится перехо
дить в частотную область представления и сигналов s(t), и стационарных помех
n(t). Однако сигналы s(t) и реализации стационарных помех n(t) принадлежат к
различным функциональным пространствам. Сигналы s(t) принадлежат пространству функций с интегрируемым квадратом (с конечной энергией Es), а потому имеют преобразование Фурье (энергетический спектр) S (ω) ; реализации
помех n(t) преобразования Фурье (в обычном смысле) не имеют, а потому не
имеют энергетического спектра. Тем не менее, реализации помех можно представлять ансамблем гармонических реализаций со случайными частотами, амплитудами и начальными фазами. При этом эти параметры являются независимыми случайными величинами (представление Г. Найквиста).
Поэтому если разбить ось частот {– ∞ < f < ∞} на промежутки длиной
Δ f ≈ 0, то для построения оптимального устройства обнаружения априори известного аналогового сигнала s(t) на фоне стационарных шумов n(t) нужно максимизировать результирующее отношения сигнал/помеха путём оптимальной
линейной обработки парциальных колебаний на входе устройства обнаружения
и суммирования парциальных отношений сигнал/помеха, которые получаются
рассмотрением амплитуд парциальных гармонических сигналов
sk(t) = sk cos(2 π k Δ f t + φsk) и реализаций помех nk(t) = nk cos(2 π f t + φn),
частота которых попадает в промежуток (k – ½) Δ f < f ≤ (k + ½) Δ f.
Проделав всё это, мы получаем результирующее отношение сиг– 37 –
нал/помеха в виде: qΣ =
2
S ( fk ) Δ f
Wn ( f k )
k
=
q k , где qk – «парциальные» отноше
k
2
ния сигнал/шум; qk S ( f k ) f /Wn ( f k ) ; S ( f ) – спектральная плотность энергии сигнала s(t); Wn( f ) – спектральная плотность средней мощности стационарной помехи n(t).
При переходе к теоретическому пределу при Δ f → 0 формально получа
ем: vΣ = U ( f ) S * ( f ) Wn–1( f ) d f; qΣ =
S( f )
2
Wn ( f ) d f . Если в эффектив-
ной полосе частот сигнала s(t) помеха n(t) имеет равномерную спектральную
плотность средней мощности Wn( f ) = N0, то мы приходим к формулам:
vΣ = N1
0
U ( f ) S * ( f ) d f, qΣ = N1
0
S( f )
2
d f, или qΣ = Es /N0 = q.
Формальному равенству для vΣ в спектральной области (по теореме Планшере
ля) соответствует интеграл во временнóй области: vΣ = N1
0
u (t ) s(t) dt.
Мы таким образом полностью решаем задачу обнаружения априори известного аналогового сигнала s(t) с ограниченной энергией Es на фоне аддитивного шума n(t). Если шум – белый, то аппаратурно оптимальное устройство
обнаружения реализуется с помощью коррелятора (или согласованного фильтра) и порогового устройства. Если шум – не белый, то перед коррелятором
(или согласованным фильтром) ставится отбеливающий фильтр с коэффициентом передачи K ( f ) 1
Wn ( f ) .
Литература: [1], с. 229-244; [2], с. 84-101; [3], с. 38-41; [4], с. 118-124;
[6], с. 44-50.
Вопросы для самопроверки по теме 2.2
1. Что такое энергия сигнала, и каков её физический смысл?
2. Каким образом можно увеличить отношение «сигнал/помеха» в
устройстве обнаружения сигнала?
3. Почему при синтезе устройства обнаружения известного сигнала целесообразно переходить в спектральную область анализа сигналов?
4. Что такое отбеливающий фильтр?
– 38 –
2.3. Поиск и обнаружение узкополосных радиосигналов
с неизвестными параметрами
Прежде чем переходить к решению задач оптимального обнаружения радиосигналов, следует понять специфику радиосигналов как узкополосных высокочастотных электрических колебаний, переносящих сигнал, который содержит некоторое сообщение, с помощью процедуры модуляции этим сигналом
гармонической высокочастотной несущей частоты f0. В результате модуляции
получается сложный радиосигнал, узкополосность которого означает, что ширина полосы частот, в которой содержится почти вся энергия высокочастотного
сигнала, гораздо меньше величины f0. А в таком случае при любом способе модуляции радиосигнал можно записать в виде: s(t) = s (t ) cos(2 π f 0 t φ0 ) , где s (t )
– огибающая сигнала s(t), φ0 – его начальная фаза.
Если начальная фаза сигнала s(t) известна априори, но неизвестна его амплитуда A, то есть радиосигнал имеет вид: s(t) = A s0 (t ) cos(2 π f 0 t φ0 ) , где
случайная величина A имеет априори известную плотность вероятности pA(x),
то в качестве оптимального устройства обнаружения такого сигнала может
служить коррелятор с опорным сигналом s0 (t ) cos(2 π f 0 t φ0 ) , а оптимальный
порог решающего устройства U0 выбирается исходя из заданного критерия оптимальности и плотности вероятности pA(x).
Если кроме амплитуды A радиосигнала s(t) неизвестной является и
начальная фаза φ несущей f(t) = cos(2 π f 0 t φ) , то устройство обнаружения дополняется двухканальной квадратурной обработкой радиосигнала, то есть вычислением величин:
vc = N1
0
u (t ) s0 (t ) cos (2 π f0 t) dt, vs = N1
0
u (t ) s (t ) sin (2 π f0 t) dt, v
0
vc 2 vs 2 .
Оптимальный порог срабатывания V0 устройства обнаружения по вычисленному значению v определяется аналогично предыдущим случаям.
– 39 –
Если кроме априорных неопределённостей, которые были перечислены
выше, неизвестными являются также временнóе запаздывание tз огибающей радиосигнала s(t) = A s0 (t tз ) cos(2 π f t φ) , а также и частота несущей f радиосигнала, то обнаружение сигнала производится в процессе его поиска.
Следует обратить внимание на взаимосвязанность задач поиска и обнаружения сигналов на фоне помех. Если сигнал не обнаружен в искомом временнóм или частотном промежутке, то одноканальный приёмник радиосигналов переходит к обнаружению сигнала в соседнем временнóм или частотном
промежутке (последовательный поиск) – либо производится обнаружение сигнала одновременно в нескольких областях возможных его временных или частотных положений (параллельный поиск).
Литература: [1], с. 245-253; [2], с. 102-112; [3], с. 42-50; [4], с. 124-143;
[6], с. 51-82.
Вопросы для самопроверки по теме 2.3
1. Что такое узкополосные сигналы и в чём особенности их анализа?
2. В чём особенности оптимального обнаружения узкополосных радиосигналов?
3. В чём особенности обнаружения узкополосных радиосигналов с неизвестной начальной фазой несущей?
4. В чём особенности обнаружения узкополосных радиосигналов с неизвестной амплитудой?
5. В чём особенности поиска и обнаружения радиосигналов с неизвестными временем прихода и частотой несущей?
– 40 –
Раздел 3. Основы статистической теории измерения и оценивания
параметров сигналов радиотехнических систем
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить основы статистической теории измерения
и оценивания параметров сигналов радиотехнических систем;
ответить на вопросы для самопроверки;
выполнить ПЗ № 5;
ответить на вопросы контрольных тестов № 14-18.
Изучение раздела следует начинать с простейшего линейного (средневзвешенного) оценивания одного из энергетических параметров сигнала (амплитуды или энергии) известной формы.
Затем нужно рассмотреть обобщение решения этой задачи на случаи измерения временнóго положения флуктуирующего сигнала произвольной формы, частоты несущей узкополосного радиосигнала, совместного измерения нескольких параметров радиосигналов, в том числе – временнóй задержки и доплеровского сдвига несущей радиосигнала.
Наконец – рассмотреть общие структуры устройств оптимального измерения параметров сигналов и статистические характеристики таких устройств.
Итак, методику оптимального оценивания параметров сигналов в радиотехнических системах можно, в большинстве практических случаев, свести к
метрологической схеме прямых неравноточных измерений. Из курса «Метрология и радиоизмерения» известно, что если имеется выборка из результатов n независимых равноточных измерений: X = (x1, x2, …, xi, …, xn), то при вычислении выборочного среднего xˆ 1n i 1 xi мы получим дисперсию D( x̂ ) оценки
n
x̂ , в n раз меньшую, чем дисперсия Dx единичного измерения:
D( x̂ ) = Dx/n.
Методом математической индукции можно получить оптимальную оценку x̂ некоторой неизвестной величины x, имеющую наименьшую дисперсию
– 41 –
D( x̂ ), для случая независимых неравноточных измерений X = (x1, x2, …, xi, …,
xn), которые имеют совокупность дисперсий погрешностей измерений D = (D1,
D2, …, Di, …, Dn).
Оптимальная линейная оценка x̂ вычисляется по формуле:
x̂ =
n
i 1
n
D
ai xi , где ai = D( x̂ )/Di; D( x̂ ) = 1
1
i
i 1
.
Значит, при оптимальной линейной обработке результатов измерений
X = (x1, x2, …, xi, …, xn) обратная дисперсия оценки равна сумме обратных
дисперсий погрешностей отдельных измерений.
Если мы хотим получить оптимальную оценку Â амплитуды сигнала
априори известной формы s(t) = A s0(t) на фоне аддитивного стационарного шума n(t), то мы должны перейти в частотную область представления сигнала и
реализаций шума, чтобы свести поставленную задачу к метрологической схеме
прямых независимых неравноточных измерений. В результате соответствующей обработки принятого колебания u(t) = A s0(t) + n(t) мы получим выборку
(A1, A2, …, Ai, …, An), по которой оптимальная оценка неизвестной амплитуды A
сигнала s(t) = A s0(t) получается в виде:
 ≈
A D
k 0
k
k
1
D
l 1
1
l
≈
2
S0 ( f k ) Δ f
k 0
Wn ( fk )
2
S 0 ( fl ) Δ f
l 1
Wn ( fl )
.
–1
Дисперсия D∑ такой оценки – минимальна и равна: D∑ ≈
2
S0 ( f k ) Δ f
k 1
Wn ( f k )
.
При Δ f → 0 получаем окончательно
 = D∑
U ( f ) S0 ( f )
2
S0 ( f ) Wn ( f )
d f = D∑
*
U ( f ) S0 ( f )
Wn ( f )
d f ; D∑ =
–1
S0 ( f )
2
Wn ( f )
df .
Если шум n(t) – белый, то
 = N1
0
U( f ) S
*
0
( f ) d f ; D∑
–1
= N1
0
S0 (ω)
2
dω = E0 /N0 = q0.
То есть дисперсия оптимальной линейной оценки Â амплитуды сигнала
A известной формы s0(t) на фоне аддитивного белого шума n(t) обратно
– 42 –
пропорциональна отношению сигнал/шум q0.
По теореме Планшереля операции для вычисления величины Â в частотной области соответствует следующая операция во временнóй области:
 = 1 u (t ) s0(t) dt. То есть, как и для решения задачи обнаружения известN 0
ного сигнала на фоне белого шума, нам понадобится коррелятор или согласо-
ванный фильтр.
Если же мы оцениваем амплитуду радиосигнала с известной формой огибающей, но неизвестной начальной фазой несущей, то очевидно, что нужно
провести соответствующую квадратурную обработку радиосигнала, а дисперсия оптимальной оценки амплитуды будет, при том же отношении сигнал/шум,
в два раза большей, чем в случае, если бы мы знали величину начальной фазы
несущей заранее.
Чтобы свести задачу измерения временнóго положения априори известного сигнала s(t) на фоне шума n(t) к схеме прямых независимых неравноточных измерений, необходимо обнаружить его в некотором временнóм промежутке и тем самым предварительно оценить его временнóе положение. Затем
следует перейти в частотную область анализа, в которой парциальная асимптотически нормальная несмещённая оценка равна: tk = (φuk – φsk)/(2 π fk), где φsk –
начальная фаза k-й гармоники сигнала s(t); φuk – начальная фаза k-й гармоники
принятого колебания u(t) = s(t) + n(t); fk – частота k-й гармоники. Дисперсия величины tk есть: Dtk = Dnk (sk ωk)– 2 = 1/(qk ωk2).
Усредняя с оптимальным взвешиванием парциальные оценки t̂0 k , получаем приближённую (зависящую от дискретности Δ f ) несмещённую оптимальную оценку временнóго положения известного сигнала s(t) на фоне аддитивных
помех n(t): t̂ 0 ≈
≈1
k 1
D 1 (φuk φ sk )/ωk
k 1 t k
k 1
Dt k1 , имеющую дисперсию: Dt0 ≈
Dt k 1 .
Подставив в выражение для Dt0 значения Dtk, получим: Dt0 ≈ 1
ω
k 1
– 43 –
2
k k
q .
Поэтому при Δω → 0 получаем: Dt 0– 1 =
0
ω2 | S (ω) | 2 Wn– 1(ω) dω.
Если в эффективной полосе частот сигнала Wn(ω) = N0, то есть n(t) – белый шум, то Dt0– 1 = N2
0
Если величину
0
ω 2 | S (ω) | 2 dω.
[ ω2 | S (ω) | 2 dω /
S (ω)
2
dω]1/2, которая называется
эффективной шириной спектра сигнала s(t), обозначить через βэ, то получим:
Dt 0– 1 = 2 E βэ2 /N 0 , или Dt 0 = 1/(2 q0 βэ 2 ) .
Значит, дисперсия асимптотически оптимальной оценки t̂ 0 временнóго
положения известного сигнала на фоне белого шума обратно пропорциональна
отношению сигнал/шум q0 (что очевидно) и квадрату эффективной ширины
спектра сигнала βэ – что является на первый взгляд неожиданным результатом
статистических оценок. Однако если вспомнить, что по одной реализации
входного колебания u(t) = s(t) + n(t) мы получаем выборку T = (t1, t2, …, ti, …, tn)
для значений временнóго положения сигнала s(t), объём которой n зависит как
от дискретности разбиения оси частот {– ∞ < f < ∞} – величины Δ f, так и от
парциальных отношений сигнал/шум qk, наиболее значимых в эффективной полосе сигнала βэ, то формально полученный результат Dt 0 = 1/(2 q0 βэ 2 ) становится вполне ясным.
Поскольку производной s'(t) сигнала s(t) соответствует спектральная
ω 2 | S (ω) | 2 dω соответствует во
плотность j ω S (ω) , то равенству Dt0– 1 = 2
N0
временнóй области равенство Dt0– 1 = 1
N0
0
s(t ) 2 dt .
Значит, при воздействии белого шума на известный сигнал s(t) решение
задачи оптимального линейного оценивания его временнóго положения t0 сводится к умножению принятого колебания u(t) = s(t – t0) + n(t) на производную
s'(t – θ) сигнала s(t), интегрированию полученного произведения по всей оси
времени {– ∞ < t < ∞} и к нахождению нулевого значения этого интеграла как
функции параметра θ, то есть к нахождению временнóго положения максимума
– 44 –
свёртки принятого колебания u(t) = s(t – t0) + n(t) и генерируемого в приёмнике
опорного сигнала s(t – θ).
При переходе к решению задачи оптимального оценивания величины
априори неизвестной частоты несущей f узкополосного радиосигнала s(t)
= = s (t) cos (2 π f t) следует учесть, что сдвиг во времени сигнала с ограниченной энергией аналогичен сдвигу по частоте несущей узкополосного радиосигнала. Поэтому решение поставленной задачи сводится к нахождению глобального локального максимума по частоте ν следующего интеграла:
u (t ) s (t ) cos(2 πν t ) d ν .
По аналогии с задачей оценивания временнóго положения известного
сигнала, дисперсия оценки частоты несущей узкополосного радиосигнала Df
равна: Df ≈ 1/(2 q αэ2), где αэ – эффективная длительность радиосигнала;
αэ2 =
t
2
s
s 2 (t ) dt
2
(t ) dt .
Если измеряются одновременно и временнóе положение t0 радиосигнала
s(t) = s (t – t0) cos (2 π f t), и частота его несущей f, то ищется глобальный максимум величины
u (t ) s (t θ) cos(2πν t ) d ν по двум переменным: θ и ν. Произ-
ведение дисперсий оптимальных оценок по частоте и по времени есть: Dt 0 ·Df =
= 1/(4 q02 э 2 βэ 2 ) = 1/(4 q0 2 Bs 2 ) , где величина Bs называется базой радиосигнала;
Bs = э э .
Для радиосигнала с колоколообразной огибающей s0 (t) = exp [– t 2/(2 τи2)]:
Bs = э э = 2. Сигналы s(t) = s (t) cos (2 π f t), у которых база Bs = э э порядка
единицы, называются простыми радиосигналами; если у радиосигнала величина Bs = э э >> 1, то он называется сложным радиосигналом.
Для простого сигнала: чем точнее мы хотим определить его временнóе
положение, тем шире должен быть его спектр, но тем меньше будет его длительность и, значит, тем хуже оценивается частота его несущей. Для сложных
– 45 –
радиосигналов этот принцип неопределённости в статистической радиотехнике не действителен.
Литература: [1], с. 254-272; [2], с. 158-203; [3], с. 75-109, 123-141;
[6], с. 109-122.
Вопросы для самопроверки по разделу 3
1. Чем отличается измерение параметров радиосигналов от их оптимального оценивания?
2. Каким образом получают оптимальные оценки энергетических параметров сигналов известной формы?
3. Каким условиям должны удовлетворять оптимальные линейные оценки параметров сигналов?
4. Что такое «интервальное оценивание» и чем оно характеризуется?
5. Что такое «потенциальная точность оценки параметра сигнала»?
6. Что называется эффективной шириной спектра сигнала?
7. Что называется эффективной длительностью сигнала?
8. Каков алгоритм оптимального линейного оценивания временнóго положения априори известного сигнала?
9. Что такое продольный и поперечный эффекты Доплера?
10. Каков алгоритм оптимального оценивания доплеровского сдвига
априори известного радиосигнала?
11. В чём состоит принцип неопределённости в статрадиотехнике?
– 46 –
Раздел 4. Оптимальная фильтрация сигналов
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить основы теории оптимальной фильтрации сигналов;
ответить на вопросы для самопроверки;
ответить на вопросы контрольных тестов № 19-22.
В простейшей постановке задачи оптимальной фильтрации считается, что
имеющееся колебание u(t), содержащее полезный сигнал s(t) в смеси с помехой
n(t), зарегистрировано на временнóм промежутке от – ∞ до + ∞. При этом
предполагается, что сигнал s(t) является реализацией стационарного случайного
процесса с известной спектральной плотностью средней мощности Ws(ω), а аддитивная помеха n(t) – реализацией также стационарного случайного процесса
с известной функцией Wn(ω). Значит, реализации сигнала и помехи принадлежат к одному и тому же функциональному пространству, а потому они одинаковым образом могут быть представлены в виде независимых гармонических
колебаний со случайными амплитудами, частотами и начальными фазами.
В качестве критерия оптимальности обычно выбирается минимум среднего по реализациям независимых сигнала и помех квадрата отклонения колебания u(t) = s(t) + n(t) от случайного сигнала s(t). Ясно, что, в данном случае,
если мы минимизируем средний квадрат этого отклонения по каждой гармонической реализации uk(t) = sk(t) + nk(t), попадающей в k-й частотный промежуток
длиной Δ f, то и бесконечная сумма этих квадратов также будет минимальной.
Предельным переходом при Δ f → 0 можно получить выражение для модуля
коэффициента передачи K (ω) оптимального стационарного линейного фильтра: | K (ω) | = Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)]. Минимальное значение квадрата отклонения колебания u(t) = s(t) + n(t) от случайного сигнала s(t) есть:
D0 =
W (ω)
0 Ws (ω)s Wn (ω) dω .
Как видим, решение поставленной задачи оптимальной линейной фильтрации определяет только модуль коэффициента передачи оптимального
фильт-
– 47 –
ра K (ω) , то есть фазочастотная характеристика φ0 (ω) arg K (ω) такого
фильтра может быть произвольной. Для однозначного определения коэффициента передачи K (ω) учитывается, что в реальных условиях (при обработке сигналов в режиме реального времени) реализация u(t) = s(t) + n(t) известна только
на промежутке от t = – ∞ до текущего момента времени t. Это приводит к необходимости нахождения такого фильтра, который реагирует только на предшествующие значения колебаний, то есть импульсной характеристики физически
реализуемого линейного фильтра. Такой фильтр находится методами теории
функций комплексной переменной. Осознав это, следует помнить формулу для
нахождения импульсной характеристики оптимального физически реализуемого фильтра и понимать её физический смысл.
Литература: [1], с. 273-287; [2], с. 134-143, 236-257; [3], с. 109-122.
Вопросы для самопроверки по разделу 4
1. В чём состоит задача оптимальной фильтрации сигналов?
2. Каков вероятностный смысл критерия оптимальности линейного фильтра?
3. Каков математический смысл физической реализуемости оптимального
фильтра?
– 48 –
Раздел 5. Различение и разрешение сигналов. Сложные сигналы
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить различение, разрешение сигналов и сложные сигналы;
ответить на вопросы для самопроверки;
выполнить ПЗ №6;
ответить на вопросы контрольного теста № 23-26.
Следует чётко понять различия в постановке задач разрешения сигналов
как определение того, сколько известных сигналов одновременно присутствует
в принятом высокочастотном колебании, и задач различения сигналов как определение того, какой сигнал (из ансамбля известных) присутствует в принятой
смеси некоторого сигнала и помехи.
Как и в задаче одновременного оценивания временнóго положения и доплеровского сдвига по частоте несущей узкополосного радиосигнала, важнейшую роль в задаче разрешения сигналов играет функция неопределённости
(Вудворда), или сигнальная функция. Анализ основных свойств функции неопределённости позволяет понять методы синтеза сложных радиосигналов, в
том числе современных многопозиционных.
В нормированном симметричном виде функция неопределённости
Ψs(τ, Ω) узкополосного радиосигнала s(t) = s (t) cos (ω t), записывается в виде:
1
Ψ s (τ, Ω)
E0
s0 (t τ/2) s0 (t τ/2) cos(Ω t ) dt
1
2π E0
S ( Ω/2) S
( Ω/2) exp( j ) d .
Функция Ψs(τ, Ω) обладает замечательными свойствами.
Во-первых, при τ = Ω = 0 её значение равно единице (нормированность
функции): Ψs(0, 0) = 1. Во-вторых, при τ ≠ 0 и Ω ≠ 0: | Ψs(τ, Ω) | ≤ 1. В-третьих,
объём Vs квадрата функции неопределённости | Ψs(τ, Ω) |2 есть:
Vs =
s (, ) 2d d
не зависит от огибающей s (t) радиосигнала s(t) = s (t) cos (ω t) и от способа мо-
– 49 –
дуляции и равен: Vs = 2 π.
У простых радиосигналов горизонтальные сечения сигнальной функции
Ψs(τ, Ω) вытянуты либо вдоль оси O τ, либо вдоль оси O Ω. У сложных сигналов
(например линейно-частотно-модулированных – ЛЧМ-сигналов) эти сечения
могут быть вытянуты вдоль наклонных прямых, проходящих через начало координат (τ = 0, Ω = 0). Это позволяет получить большýю величину базы радиосигнала Bs и преодолеть принцип неопределённости в статистической радиотехнике, то есть получить произвольно большýю точность измерения по
одному радиосигналу и временнóй задержки tз огибающей радиосигнала s(t), и
частоты его несущей f; либо получить большýю разрешающую способность и
по временнóму положению радиосигнала, и по частоте его несущей. Аппаратурно такие радиосигналы, имеющие большýю длительность, в канале измерения величины tз могут быть подвергнуты сжатию – для точного определения
их временнóго положения.
Литература: [1], с. 288-313; [2], с. 144-157, 204-215; [3], с. 20-37, 142-176;
[4], с. 159-170; [6], с. 82-108.
Вопросы для самопроверки по разделу 5
1. В чём состоит задача различения сигналов?
2. Что такое многопозиционные сигналы и сигнальное созвездие?
3. Каким образом синтезируются оптимальные многопозиционные сигналы?
4. В чём состоит задача разрешения сигналов?
5. Что называется разрешающей способностью по Релею?
6. В чём состоят особенности оптимального разрешения двух одинаковых сигналов на фоне помех?
7. Что такое объём тела неопределённости радиосигнала?
8. Каковы основные особенности функции неопределённости?
9. Чем отличаются простые радиосигналы от сложных?
10. Что такое коэффициент сжатия сигналов?
– 50 –
Раздел 6. Методы расчёта статистических характеристик
пространственно-временных радиосигналов
При работе с данным разделом Вам предстоит
изучить темы:
6.1. Основные системотехнические задачи статистической радиофизики,
6.2. Пространственно-временнáя корреляция внешних радиопомех,
6.3. Распространение радиоволн в стохастических средах,
6.4. Эффективная площадь рассеяния радиолокационных целей;
ответить на вопросы для самопроверки;
выполнить ПЗ №7;
Ответить на вопросы контрольного теста №27-30.
6.1. Основные системотехнические задачи
статистической радиофизики
Тематика разд. 6 дисциплины «Статистическая теория радиотехнических
систем» относится к статистической радиофизике. Хотя в смежной дисциплине «Радиотехнические системы» в разделе «Радиолокационные системы»
вводится формальное понятие «эффективная площадь рассеяния радиолокационной цели», понять содержательную сторону этого термина без знания основ
статистической радиофизики весьма затруднительно. Поэтому радиоинженер
должен иметь представление о том, что происходит с излучаемыми передатчиком системы РТС радиосигналами на трассах распространения радиоволн при
наличии на этих трассах различных случайных неоднородностей. Практически
полезно также знать, какими статистическими характеристиками обладают
внешние радиопомехи, которые поступают на антенно-фидерные устройства
системы РТС. Тем более что физико-математическая подготовка студентов
специальности 210302.65 вполне достаточна для усвоения элементов статистической радиофизики.
В связи с этим в разд. 6 рассматриваются простейшие задачи, с которыми
может столкнуться радиоинженер при анализе функционирования или при системотехническом проектировании современных высококачественных радиосистем: оценка пространственно-временнóй корреляции внешних радиопомех,
– 51 –
радиозондирование шероховатых поверхностей или исследование статистических характеристик рассеянных на таких поверхностях радиосигналов, радиопросвечивание стохастической среды распространения и т. п.
В разд. 6 следует рассмотреть также физико-статистические методы оценки эффективной площади рассеяния радиолокационных целей и случайных совокупностей пассивных отражателей (радиолокационных помех).
Литература: [1], с. 314-323; [7], с. 58-62.
Вопросы для самопроверки по теме 6.1
1. Каковы основные системотехнические задачи статистической теории
радиосистем?
2. Какими параметрами определяются приближённые методы решения
задач статистической радиофизики?
3. Какой четырёхмерной функцией можно аппроксимировать пространственно-временнýю корреляционную функцию однородного стационарного
гауссовского случайного поля неоднородностей среды распространения в
окрестности вершины корреляционной функции?
6.2. Пространственно-временнáя корреляция внешних радиопомех
Если внешние радиопомехи представляют собой стационарное локальнооднородное изотропное случайное поле, энергетический спектр Wвн( f ) которого
известен для некоторой точки (x, y, z), то их пространственно-временнýю корреляционную функцию Rвн(da, τ), где da – расстояние между приёмными антеннами, τ – разность моментов времени приёма радиопомех в пространственно
разнесённых приёмниках, можно достаточно просто построить исходя из представления о реализациях случайных полей этих радиопомех как гармонических
волн, имеющих различные частоты и приходящих равновероятно с самых различных направлений. Например, для вертикальной компоненты электрического
поля
R (da , τ)
промышленных
0
радиопомех
можно
S (ω) 2 Wпр (ω) J0 ω da с0 cos(ωτ) dω , где S (ω)
2
получить:
– модуль коэф-
фициента передачи входных цепей согласованного с сигналом приёмника;
– 52 –
J0(z) – функция Бесселя нулевого порядка. Здесь важно выяснить, каким образом связана фазовая скорость электромагнитных волн со скоростью хаотической изменчивости.
Литература: [1], с. 324-332.
Вопросы для самопроверки по теме 6.2
1. В чём состоят особенности пространственно-временных корреляционных функций внешних радиопомех?
2. Каким образом связаны скорость хаотической изменчивости и фазовая
скорость распространения случайных волн в данной среде?
6.3. Распространение радиоволн в стохастических средах
Из курса «Электродинамика и распространение радиоволн» мы знаем, что
в любой точке пространства свойства электромагнитного поля характеризуются
векторами
напряженности
электрического
E ( x, y, z,t )
и
магнитного
H ( x, y, z,t ) полей, которые подчиняются четырём дифференциальным уравне-
ниям Максвелла, вытекающим из основных, установленных экспериментально,
законов электромагнетизма.
В дальнейшем нас будут интересовать только волновая составляющая
электромагнитного поля (полное поле включает также статический электрический и индукционные электрический и магнитный члены), которая в радиотехнических системах является переносчиком радиосигнала. Для комплексных амплитуд волновых составляющих Eв ( x, y, z ) и H в ( x, y, z ) , которые обе имеют
вихревой характер, система дифференциальных уравнений может быть сведена к раздельным уравнениям для Eв ( x, y, z ) и для
H в ( x, y, z ) : 2 Eв ( x, y, z ) ω2 μ 0 ε a ( x, y, z,t ) Eв ( x, y, z ) 0;
2 H в ( x, y, z ) ω2 μ 0 ε a ( x, y, z,t ) H в ( x, y, z ) 0 ,
где i / x j / y k / z – набла-оператор Гамильтона;
2 ( ) 2 /x2 2 /y 2 2 /z 2 – оператор Лапласа.
– 53 –
При такой форме записи уравнений Максвелла в обычных (слабо диэлектрических) средах распространения можно решать уравнения для любых компонентов комплексной амплитуды электрической составляющей Eв ( x, y, z )
волнового поля как скалярное дифференциальное уравнение Гельмгольца. Мы в
основном будем пользоваться уравнением Гельмгольца для вертикальной составляющей электрического поля:
2 Ez 2 Ez 2 Ez
ω2 μ 0 ε a Ez 0 ,
2
2
2
x
y
z
и решать его как скалярное.
Пусть комплексная диэлектрическая проницаемость ε a имеет регулярную
и небольшую случайную составляющие:
ε a ( x, y, z ,t ) εa ( x, y, z ,t ) ε a ( x, y, z ,t ),
2
2
где ε a ( x, y, z ,t ) εa ( x, y, z ,t ) . В результате функция E z будет также иметь
регулярную E z и случайную E z составляющие.
Тогда уравнение для величины E z будет иметь вид
2 Ez 2 Ez ω2μ 0 (εa ε a )( Ez Ez ) 0 ,
2 Ez ω2μ 0 εa Ez 2 Ez ω2μ 0 εa Ez ω2μ 0ε a Ez ω2μ 0ε a Ez 0 .
или
Первые два слагаемых относятся к регулярному полю в данной среде и
в таком (линейном) приближении в сумме дают ноль. Последним слагаемым
~
ε E , в силу малости величин ε и E z , можно пренебречь по сравнению со слаa
z
a
гаемыми ε a Ez и εa Ez .
Остаётся решить уравнение 2 Ez ω2 μ 0 εa Ez ω2 μ 0 ε a Ez .
Если среда распространения радиоволн в среднем не поглощает электромагнитной энергии, то величина εa Re εa j Imεa не имеет мнимой части
Imε
a
0 и радиоволны в такой среде распространяются с фазовой скоростью
vф μ 0 Re εa
1 2
.
– 54 –
Значит, ω2 μ 0 εa ω vф 2π λ k 2 и уравнение для величины E z
2
2
запишется в виде: 2 Ez k 2 Ez 2k 2 n Ez , где k – волновое число среды распространения с параметрами μ 0 и εa ; n ε a εa – показатель (коэффициент)
преломления в среде с диэлектрической проницаемостью ε a относительно сре-
ды с проницаемостью εa ; n2 εa ε a
εa 1 2 n .
Волновое уравнение для величины E z содержит в правой части наведённые регулярным полем E z на неоднородностях ε a вторичные источники. Поэтому его решение можно записать для каждой реализации ε a ( x, y, z,t ) в
виде: Ez (r ,t ) 2k 2 n (r ,t ) E z (r ) ℰ( r r ) dr', где ℰ( r ) – амплитуда гармоV
нического поля вторичного точечного источника излучения, расположенного в
точке x = y = z = 0 и имеющего единичный дипольный момент P 1 , а d r = dx
dy dz – элемент объёма в декартовых координатах (x, y, z).
Граничные условия на поверхностях раздела данного объёма среды распространения радиоволн и остального пространства также могут иметь регулярную и случайную составляющие. А значит, и распространяющийся в этом
объёме радиосигнал будет иметь соответственно регулярную («среднюю»)
E (r ,t ) и случайную E (r ,t ) составляющие.
Итак, исходя из представленных уравнений, можно определить следующие три класса задач статистической радиофизики.
1. Электромагнитное поле случайных источников излучения: случайной
является плотность p ( x, y, z) источников PД ( x, y, z ) .
2. Флуктуации электромагнитного поля в стохастической среде распространения:
ε a ( x, y, z , t )
случайной
является
диэлектрическая
проницаемость
среды
или вариации коэффициента (показателя) её преломления
n ( x, y , z , t ) .
3. Дифракция радиоволн на стохастических границах раздела («шерохо-
– 55 –
ватых поверхностях»): случайными являются граничные условия на поверхностях раздела.
Решение таких задач основано на общем решении (обычно – приближённом) задачи распространения радиоволны в каждой из реализаций среды распространения или границах раздела – с последующей статистической обработкой полученных общих решений по ансамблю этих реализаций (обычно –
численными методами). При таком подходе успех решения стохастической задачи распространения радиоволн зависит от используемой вероятностной модели параметров случайного поля среды распространения или граничных условий.
Как правило, точных решений задачи распространения радиоволны в любой из реализаций стохастической среды распространения получить не удаётся.
Поэтому используются многочисленные методы приближённого решения задачи распространения радиоволн, справедливость которых зависит от величин
параметров трёх типов:
а) отношение среднеквадратического значения σε вариаций диэлектрической проницаемости ε a ( x, y, z , t ) к среднему значению ε a ( x, y, z) или соответ-
ствующих параметров границ разделов сред ηε = σε
εa (r ) ;
б) отношение пространственных масштабов неоднородностей среды распространения rн к длине волны узкополосного радиосигнала ( χн = rн / λ0);
в) отношение поперечных к трассе распространения пространственных
масштабов неоднородностей r к поперечным размерам первой зоны Френеля
rфр μ r / rфр .
Что касается первого параметра задачи распространения радиоволн в стохастических средах, то мы будем, для простоты, предполагать, что
ηε = σ ε
εa 1 (флуктуации среды распространения – слабые). Это позволяет
линеаризировать задачи статической радиофизики и существенно упростить их
решение. Правда, при этом исключаются из рассмотрения сильные флуктуации
– 56 –
радиоволн и скользящее распространение радиоволн вдоль «шероховатых поверхностей» (большие углы падения радиоволны на среднюю граничную поверхность раздела). Здесь мы по существу пренебрегаем многократным рассеянием радиоволн на неоднородностях трасс распространения и применяем
методы расчёта, известные в теоретической физике как приближения РелеяГанса-Вентцеля-Крамерса-Борна-Бриллюэна.
Второй параметр χ н может принимать следующие значения: 0 < χ н << 1, χ
н
≈ 1 и χ н >> 1. Этим трём случаям соответствуют три различные постановки
задачи расчёта статистических характеристик случайных радиоволн:
α) рассеяние радиоволн на мелкомасштабных («точечных») неоднородностях;
β) рассеяние радиоволн на неоднородностях, соизмеримых с длиной радиоволны λ0 (на среднемасштабных неоднородностях);
γ) рассеяние радиоволн на крупномасштабных неоднородностях.
Первая и третья постановки задачи иногда позволяют получить аналитическое решение стохастической задачи распространения радиоволн; вторая
– требует исключительно численных методов решения.
Третий параметр задач ( r ) приводит к двум предельным случаям и соответствующим им методам расчёта:
* поперечные (к трассе распространения) размеры первой зоны Френеля
rфр
существенно
меньше
поперечного
масштаба
неоднородностей
r
(rфр r ) . Здесь применяются приближение Кирхгофа, метод «плавных воз-
мущений» или метод модулированных мод;
* масштабы неоднородностей r много меньше размеров первой зоны
Френеля (rфр r ) . Здесь применяются методы суперпозиции волновых полей
случайных вторичных источников или методы возмущений.
Простейшей задачей расчёта статистических характеристик распространения радиоволн в средах, имеющих случайные неоднородности (в стохастиче-
– 57 –
ских средах), является задача рассеяния радиоволн, излучаемых точечным источником, на шероховатых поверхностях. Если антенны источника и приёмника расположены достаточно высоко над средней поверхностью раздела двух
сред, а размеры первой зоны Френеля – много меньше радиуса горизонтальной
корреляции шероховатостей рассеивающей поверхности, то можно воспользоваться методом случайных коэффициентов отражения Френеля. В этом случае
масштабы корреляции рассеянного электромагнитного поля рассчитываются
исходя из геометрооптических соображений: в зависимости от взаимного расположения источника и разнесённых приёмников, а также расположения точек
зеркального отражения радиоволны от средней поверхности раздела двух сред.
Дисперсия рассеянной радиоволны определяется коэффициентом отражения
радиоволны от средней поверхности раздела, геометрией взаимного расположения источника излучения, приёмников и точек зеркального отражения от
средней поверхности раздела.
Если в таком приближении рассматриваются многолучёвые трассы распространения, то методом случайных коэффициентов Френеля можно рассчитать статистические характеристики замираний радиосигналов.
Другим предельным случаем является задача рассеяния радиоволн точечного источника на мелкомасштабных шероховатостях границ раздела двух
сред. В этом случае можно воспользоваться принципом Гюйгенса: в приёмных
точках проинтегрировать по всей средней поверхности раздела сред случайные
радиоволны, которые излучаются точечными источниками, наведёнными на
мелкомасштабных неоднородностях шероховатой поверхности, и провести их
статистическую обработку.
Границы применимости метода точечных рассеивателей определяются
отношением площади пересечения первых зон Френеля к среднегеометрическому их значению. Такие расчёты можно очень просто провести численным
методом Монте-Карло.
– 58 –
Если в задаче рассеяния радиоволн на шероховатой поверхности можно
не учитывать их перерассеяния на различных шероховатостях и геометрооптическое затенение излучённой радиоволны отдельными неоднородностями, то
при произвольных горизонтальных масштабах шероховатостей рассеивающей
поверхности статистические характеристики рассеянного электромагнитного
поля точечного источника всегда можно рассчитать численными методами статистического моделирования с использованием приближения Релея-Ганса. Для
этого лучше всего воспользоваться «случайно-импульсным» представлением
реализаций случайных функций как пуассоновским потоком гауссовских неоднородностей с гауссовскими случайными коэффициентами.
В слоистых случайно неоднородных средах при волноводном распространении электромагнитных волн эквивалентным методу случайных коэффициентов Френеля является метод модулированных мод (типов волноводных
волн). В этом методе считается, что комплексная амплитуда данной волноводной моды в каждом сечении волновода является комплексной случайной величиной, которая определяется однородным волноводом, имеющим параметры,
соответствующие параметрам данного сечения волновода. Интегрирование
случайных параметров всех волноводных мод от источника излучения до приёмника даёт реализацию случайной радиоволны, распространяющейся в данной
реализации волновода. Статистическая обработка полученных таким образом
реализаций позволяет оценить интересующие нас статистические характеристики радиоволн в данном стохастическом волноводе.
Аналогично методам расчёта радиоволн на шероховатой поверхности,
только с учётом волноводного представления электромагнитного поля, применяются методы расчёта рассеяния на мелкомасштабных неоднородностях и
слабых неоднородностях произвольных горизонтальных масштабов.
Литература: [1], с. 333-364; [7], с. 58-122, 192-255, 429-455.
– 59 –
Вопросы для самопроверки по теме 6.3
1. Что такое принцип Гюйгенса и какова математическая запись этого
принципа?
2. Что такое «трасса распространения радиосигнала» и «зоны Френеля»?
3. Что такое «случайный коэффициент Френеля» и каков его физикостатистический смысл?
4. В чём состоит метод точечных рассеивателей, и при каких условиях
он справедлив?
5. В чём состоит метод модулированных мод, и при каких условиях он
применяется?
6.4. Эффективная площадь рассеяния радиолокационных целей
При решении задач рассеяния радиоволн в неограниченном случайнонеоднородном пространстве следует учитывать, что зоны Френеля в этом случае представляют собой трёхмерные слои, ограниченные эллипсоидами вращения, фокусы которых расположены в фазовых центрах передающей и приёмной
антенн. Здесь также методом Монте-Карло можно определить, для заданных
значений расстояния D и поперечного к трассе распространения разнесения
приёмных антенн da, границы разделения неоднородностей среды на мелкомасштабную и среднемасштабную составляющие.
Влияние крупномасштабных неоднородностей показателя преломления
можно учитывать аналогично методу модулированных мод.
Что касается точечных рассеивателей, то численное интегрирование соответствующих формул приведёт к расходящимся интегралам. Поэтому эту,
как говорят математики, «некорректно поставленную задачу» следует предварительно «регуляризировать», например, введением конечных размеров точечных неоднородностей, рассмотрением задачи рассеяния на точечных неоднородностях, расположенных в зоне пересечения диаграмм направленности
передающей и приёмной антенн при несовпадении их осей и т. п.
– 60 –
Особый случай имеет место, когда передающая и приёмная антенны совмещены, как например – в активной радиолокации. В этом случае границами
зон Френеля являются сферы радиуса Rn = (n λ 0)/4. Поэтому здесь ограничиваются оценкой наиболее важных для работы РЛС характеристик рассеяния: эффективной площади рассеяния (ЭПР) цели σц, ЭПР искусственных отражателей, осадков, «шероховатой поверхности» Земли и морского волнения.
По имеющейся возможности теоретической оценки величины ЭПР σц радиолокационные цели подразделяются на элементарные, для которых теоретический расчёт величины σц возможен, и сложные цели. ЭПР сложных целей
определяются физико-статистическими методами.
С точки зрения разрешающей способности данной РЛС радиолокационные цели подразделяются на точечные и распределённые. Точечные цели – такие цели, отдельные элементы которых не могут быть разрешены ни по дальности (то есть по задержке отражённых от цели зондирующих сигналов), ни по
угловым координатам (то есть с использованием диаграммы направленности
антенны РЛС), ни по скорости (по Доплер-эффекту). У распределённых целей
данная РЛС может различить отдельные элементы. Распредёленные цели могут
быть поверхностными (земная, водная поверхность) и объёмными (облака, туман, осадки и т. п.).
ЭПР элементарных отражателей может быть рассчитана исходя из следующих эвристических соображений. Поскольку плотность потока мощности
есть модуль вектора Умова-Пойнтинга: Π = E · H = E 2/Z0, где Z0 = 120 π ≈
≈ 376,6 (Ом) – волновое сопротивление (характеристический импеданс) сво2
/Z0 .
бодного пространства, то ΠРЛС = Πц σц G(α, β)/(4 π D2) = EРЛС
Значит σц = 4 π D2 EР2ЛС /[G (α, β) Eц2 ] .
При расчёте дальности действия РЛС исходят из следующих соображений. Если мощность излучения РЛС равна Pизл, то плотность потока мощности
– 61 –
Πц у цели, которая расположена на расстоянии D, есть:
Πц = Pизл G(α, β)/(4 π D2),
где G(α, β) – коэффициент направленного действия антенной системы РЛС по
азимуту α и углу места β. Если цель обладает эффективной площадью рассеяния σц, то в месте расположения антенны РЛС плотность потока мощности отражённой от цели радиоволны:
ΠРЛС = Πц σц G(α, β)/(4 π D2) = Pизл σц G 2(α, β)/(16 π2 D 4).
Для некоторых простейших целей величину σц удаётся рассчитать аналитически.
Простейшей моделью сложной точечной цели могут служить два изотропных отражателя, имеющие одинаковые ЭПР σ0 и находящиеся на расстоянии d друг от друга. Узкополосный радиосигнал, переизлучённый такой идеализированной сложной целью, будет иметь два компонента с почти равными
амплитудами: E1 E 2 G (α, β) Z 0 Pизл σ 0 (4π D 2 ) , но с различными начальными фазами, которые определяются разностью электрических длин трасс распространения плоских волн (при D >> d ) относительно угла θ сложной цели:
1 2 2k 2kd sin θ . Около антенны РЛС компоненты поля E1 и E2
суммируются векторно: E 2 E1 E 2 2E1 E 2 cos .
Значит, в данном случае (σ1 ≈ σ2 ≈ σ0): σц 21 cos(2kd sinθ)σ0 .
В более сложных случаях для определения величины σц используют результаты многочисленных экспериментальных исследований, в которых эмпирически оценивается удельная эффективная площадь рассеяния σуд различных
радиоволн в различных условиях облучения цели и приёма рассеянных ею радиоволн. При решении конкретной задачи рассеяния радиоволн величину ЭПР
цели σц оценивают путём интегрирования величины σуд по объёму или по площади, существенно влияющих на суммарное рассеянное электромагнитное поле, принимаемое радиолокационным приёмником. Такой метод называют физико-статистическим методом оценки эффективной площади рассеяния целей.
– 62 –
Литература: [1], с. 365-372; [3], с. 198-214; [4], с. 80-94; [7], с. 208-214.
Вопросы для самопроверки по теме 6.4
1. Чем отличается распределённая радиолокационная цель от точечной?
2. Что такое поверхностные и объёмные радиолокационные цели?
3. Каковы характеристики рассеяния основных моделей элементарных
радиолокационных целей?
4. Каковы характеристики рассеяния простейшей модели сложной точечной цели?
5. Каков закон распределения амплитуд радиолокационных сигналов,
рассеянных сложными точечными целями?
6. Что такое «эффективная площадь рассеяния» (ЭПР) радиолокационной цели?
7. Каким образом рассчитывается ЭПР сложной точечной и распределённой целей?
8. Каковы основные особенности рассеяния радиоволн поверхностью
земли и морской поверхностью?
9. Каким образом оцениваются размеры элемента разрешения радиолокационных целей?
Заключение
Статистическая теория радиотехнических систем (РТС) – весьма обширная и развивающаяся область экспериментально-теоретических исследований,
результаты которых имеют большое практическое значение, как для оптимизации проектируемых радиотехнических систем, так и для оценивания эксплуатационно-технических характеристик существующих радиосистем, в том числе
для оценивания пропускной способности различных систем передачи информации, методы которых рассматриваются в «Прикладной теории информации».
Курс «Статистическая теория радиотехнических систем» даёт основу для
дальнейшего углублённого изучения проблем статистической теории РТС в
различных направлениях. Это, прежде всего, разнообразные задачи оптимальной и адаптивной фильтрации различных сигналов на фоне аддитивных и неаддитивных, стационарных и не-стационарных, гауссовских и не-гауссовских
радиопомех. Отдельный класс задач представляют собой задачи статистической
– 63 –
теории антенн. Большое практическое значение имеют статистические задачи
теории когерентности. Различные нелинейные задачи радиотехники и радиофизики также имеют стохастические составляющие.
Большое разнообразие задач статистической радиофизики возникает при
системотехническом проектировании различных РТС, работающих в самых
разных диапазонах радиоволн, распространяющихся по самым различным случайно-неоднородным трассам.
Освоение материалов данного курса является первым шагом в выбранном
радиоинженером направлении: изучении конкретных проблем статистической
теории радиотехнических систем.
В заключение следует повторить основные положения изученного материала, просмотреть тренировочные тесты и перейти к решению контрольной
работы.
– 64 –
3.3. Письменные лекции
Введение
Современные радиотехнические системы представляют собой область
техники, теория которой базируется на содержании ряда дисциплин: электродинамика и распространение радиоволн, радиотехнические цепи и сигналы, антенны и устройства СВЧ, радиоавтоматика, устройства генерирования и формирования сигналов, устройства приёма и обработки сигналов и др. Развитие в
1940-50-х годах «классических» радиотехнических систем (РТС), в основном
военного назначения, потребовало разработки методов расчёта предельно достижимых эксплуатационно-технических характеристик различных РТС. Эти
методы используют вероятностные подходы к постановке и решению задач
анализа и синтеза оптимальных систем РТС. Результаты таких методов составили содержание двух взаимно дополнительных научно-прикладных дисциплин: статистической радиотехники и статистической радиофизики, которые в
совокупности образуют дисциплину «Статистическая теория РТС».
В 1990-х годах достижения в области создания систем РТС военного
назначения нашли широчайшее распространение в области радиоэлектронных
систем массового гражданского применения. Понять структуру и функционирование таких радиосистем (например, сотовых систем сухопутной подвижной
радиосвязи общего пользования) без знания основных положений статистической теории РТС невозможно. Отсюда вытекает важность изучения дисциплины СД.05 «Статистическая теория РТС», несмотря на достаточно трудный математический аппарат, лежащий в основе этой дисциплины.
Радиотехническая система (РТС) представляет собой совокупность
технических средств, предназначенных для дистанционного формирования
(или разрушения) радиофизической информации, для преобразования различных видов информации из одной формы в другую, для передачи и приёма информации с помощью радиоволн различных диапазонов.
– 65 –
Современные системы РТС являются сложными техническими системами, входящими в качестве подсистем в различные эрготехнические («человекомашинные») информационно-управляющие системы. Сложность системы
определяется не количеством аппаратурных элементов, составляющих систему,
а специфическими признаками сложности различных систем. Наиболее существенными из этих признаков для РТС являются: наличие средств обеспечения
целостности системы, целенаправленность функционирования и слабая предсказуемость (стохастичность) поведения системы.
Под системой понимается целостная совокупность определённым
образом взаимодействующих между собой функционально законченных
элементов. Эти элементы могут объединяться в более крупные составные части
системы, называемые подсистемами. В то же время, данная система может
входить как составная часть в более крупную систему, называемую
надсистемой. Система обычно находится под воздействием различных
объектов естественного и искусственного происхождения, не входящих в
состав системы, но существенно влияющих на функционирование данной
системы. Совокупность этих объектов составляет окружающую обстановку
(системную среду).
Для обеспечения эффективного функционирования данной техничес-кой
системы может создаваться множество вспомогательных технических средств,
которые
непосредственно
не
входят
в
состав
системы,
а
образуют
соответствующую инфраструктуру системы.
Состояние технической системы характеризуется упорядоченной совокупностью значений её внутренних и внешних параметров, определяющих
способ функционирования ( режим работы) системы.
Целостность системы РТС количественно характеризуется допустимым временем обнаружения нарушений в функционировании системы и
донесения сообщения о неисправности системы до её пользователей и
операторов.
– 66 –
Операторы (субъекты, непосредственно обеспечивающие функционирование системы), пользователи и радиотехническая система в совокупности
образуют антропотехническую («человеко-машинную») надсистему.
Радиотехнические системы являются техническими подсистемами
информационных эрготехнических систем, имеющими каналы
фиксированной или подвижной радиосвязи.
Сообщения в радиосистемах передаются с помощью сигналов.
Сигналами называются физико-химические процессы,
переносящие данное сообщение, то есть являющиеся динамическими
материальными носителями информации.
Сигналы представляют собой изменение в пространстве
и (или) во времени некоторой физико-химической величины
в соответствии с передаваемым сообщением.
В радиотехнических системах сигналами являются изменения в пространстве и времени параметров электромагнитных волн различных диапазонов частот, а также изменения величин токов и напряжений в электрических
цепях устройств и блоков системы РТС.
На функционирование радиосистемы существенное влияние оказывают
следующие классы помех.
Во-первых, сухопутные трассы распространения радиоволн обычно являются сильно пересечёнными, а при наличии на них плотных городских застроек
практически невозможно обеспечить прямое прохождение радиосигнала от антенны передатчика до антенны приёмника. Поэтому трассы распространения в
этом случае оказываются многолучевыми, и при движении мобильной подсистемы приёма и обработки сигналов радиосигнал на её входе претерпевает
сильные замирания.
Во-вторых, приземный слой атмосферы содержит динамические неоднородности диэлектрической проницаемости различных пространственно-времен-
– 67 –
ных масштабов, имеющие стохастический (непредсказуемый) характер. Это
приводит к случайным вариациям параметров принимаемого радиосигнала и к
его частичному рассеянию.
В-третьих, на трассах распространения могут находиться различные точечные или объёмные неоднородности естественного (например, атмосферные
осадки) или искусственного (например уголковые или игольчатые отражатели)
происхождения.
В-четвёртых, на антенно-фидерное устройство приёмника поступают
различные радиопомехи естественного и искусственного происхождения, которые представляют собой случайные электромагнитные поля, статистические
характеристики которых имеют нерегулярные суточные, сезонные и межгодовые вариации.
В-пятых, во входных цепях приёмника имеются микроскопические тепловые флуктуации (внутренние электрические шумы), которые накладываются на принятые очень слабые высокочастотные электрические колебания и искажают содержащуюся в них информацию.
В силу этих причин получателю информации предоставляются искажённые в различных элементах радиосистемы сообщения и (или) ошибочные значения измеренных параметров принятых радиосигналов.
Наконец, в-шестых, в космических каналах радиосвязи, вследствие высоких скоростей движения спутников-ретрансляторов, присутствует не известное
в приёмнике и существенно изменяющееся во времени доплеровское смещение
частоты несущей радиосигнала.
В условиях такой сложной системной среды разработчик радиосистемы
должен предусмотреть такое построение системы (системотехнический, или эскизный проект системы РТС), чтобы данная радиотехническая система обеспечивала доведение до получателя информации (ПИ) сообщений, вырабатываемых источником сообщений (ИС), с минимальной задержкой в необходимой
форме и с минимальными искажениями, а результатов измерения парамет-
– 68 –
ров радиосигналов – с максимальной точностью.
И всё это – при допустимых энергетических и аппаратурных затратах.
Эти требования к системотехническому проекту РТС весьма противоречивы. Кроме того, поступающие в радиосистему сообщения могут быть самыми
разнообразными и заранее не предсказуемыми. Поэтому данная радиосистема
должна быть оптимальной для определённого (заданного) класса возможных
сообщений в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Раздел 1. Случайные сигналы и помехи и их вероятностные модели
1.1. Основные понятия теории вероятностей
Первоосновой любой прикладной статистической теории является математическая теория вероятностей, в которой рассматриваются закономерности
различных случайных событий и процессов. В 1960-х годах было выяснено, что
вероятностные и детерминистские математические модели различных процессов и явлений материального мира являются взаимно дополнительными
идеальными отражениями этих процессов и явлений. Если данное явление – достаточно простое, то его можно весьма точно представить с помощью математико-аналитических (детерминистских) моделей. Если явление очень сложное,
то его достаточно точно можно описать теоретико-вероятностными моделями.
При явлениях средней сложности их можно одинаково хорошо и непротиворечиво представлять как аналитически, так и стохастически. Поэтому вероятность
не есть какая-то мистическая «индетерминированность» явлений реального
мира, а количественная мера сложности «детерминированных» явлений.
Вероятностная модель есть формально-математическое описание
сложных явлений определённого класса.
В теории вероятностей любая вероятностная модель состоит из совокупности следующих трёх множеств.
1. Множества U элементарных (в простейшем случае – независимых)
– 69 –
математических объектов определённого класса.
2. Множества P вероятностей реализации (появления в результате проведения испытаний или наблюдений) этих элементарных объектов.
3. Множества F всевозможных сложных объектов, составленных из элементарных.
Эта совокупность дополняется правилами, которые позволяют по вероятностям реализации элементарных объектов вычислить вероятности сложных.
Например, простейшая вероятностная модель случайных событий состоит из множества элементарных независимых событий Uε = {ε1, ε2, …, εj, …, εN},
или Uε = {εj} 1N , множества (априорных) вероятностей появления этих событий
Pε = {Pj} 1N и множества сложных событий Fε = {Ak} 1K , где K ≥ N.
Из правил, с помощью которых по множеству Pε можно вычислить вероятности P(Ak), выделим следующие.
Формула полной вероятности: если множество Uε можно представить соM
вокупностью сложных событий Uε = {Am} 1 таких, что они полностью покрывают множество Uε и не имеют общих элементов ε Uε (полная группа
событий), то вероятность некоторого сложного события B Fε есть:
M
P(B) =
P( Am B) =
m 1
M
P( A
m 1
m
) P ( B Am ) ,
где P(B|Am) – условная вероятность события B Fε при условии реализации
сложного события Am Fε.
Формула Байеса: поскольку P(Am)·P(B|Am) = P(B)·P(Am|B) при m = 1, 2, …,
M, то P(Am|B) = P(Am) P(B|Am)
M
P ( Al ) P ( B Al ) .
l 1
В формуле Байеса величину P(Am|B) называют апостериорной вероятностью m-й гипотезы, а величину P(Am) – априорной вероятностью m-й гипотезы. Сама эта формула используется для проверки гипотезы о реализации события Am при реализации некоторого события B Fε.
– 70 –
Вероятностная модель непрерывной действительной случайной величины
α так же, как и вероятностная модель совокупности случайных событий, состоит из трёх множеств {Uα, Pα, Fα}, где
множество Uα = {x} всевозможных реализаций x случайной величины α, в
качестве которого обычно выбирается вся числовая ось (– ∞ < x < ∞);
вероятностная мера Pα на множестве Uα, в качестве которой в прикладной
математике берётся плотность вероятности pα(x);
множество Fε = {Ak} 1 есть всевозможные совокупности отрезков на числовой оси (– ∞ < x < ∞).
Если A есть полуоткрытый отрезок числовой оси (a1, a2] = {a1 < x ≤ a2}
a2
или [a1, a2) = {a1 ≤ x < a2}, то P( A) a pα ( x) dx .
1
Если A – отрезок (a1, a2], а B – отрезок (b1, b2], то при a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 имеем: P(A B) =
a2
b1
pα ( x) dx , P(A B) =
b2
a
1
pα ( x) dx .
В качестве плотности вероятности pα(x) может выступать любая функция
f (x), обладающая двумя очевидными свойствами:
при любом значении x функция f (x) неотрицательна, то есть f (x) ≥ 0;
и выполняется равенство
pα ( x) dx 1.
В более компактном виде случайную величину α можно характеризовать
её центрированными (центральными) моментами:
μ α( n ) ( x α ) n pα ( x) dx , где n – порядок момента μ α( n ) (n > 1),
α – называется средним значением (математическим ожиданием) случайной
величины α; α x pα ( x) dx . Наиболее важным является второй центрирован
ный момент μα(2), называемый дисперсией Dα величины α [Dα ≡ μα(2)].
– 71 –
В статистической теории РТС чаще всего используется гауссовская (нормальная) случайная величина, которая имеет плотность вероятности
pα(x) =
( x α)2
1
exp
,
2 σ 2
2π σ
где α – среднее значение, а дисперсия Dα = σ2.
Пусть y = f (x) – непрерывная монотонная функция. Тогда плотность вероятности случайной величины β = f (α), где случайная величина α имеет плотность вероятности pα(x), равна: pβ( y) = pα [x ( y)]·| dx ( y)/dy |.
При линейном преобразовании β = a α + b случайной величины α
закон распределения не меняется, а изменяется масштаб по оси абсцисс
и начало отсчёта: pβ( у) = pα [( y – b)/a]/│a│.
Если плотность вероятности pα(х) случайной величины α выражается через дельта-функции Дирака: pα(х) = j Pj δ(x – xj), то такие действительные
случайные величины называются дискретными, или сингулярными. При этом
среднее значение α и дисперсия Dα сингулярной случайной величины α суть:
α
x pα ( x) dx
j
x j Pj , Dα =
( x α) 2 pα ( x) d x
j
( x j α) 2 Pj .
Обычные действительные случайные величины называются регулярными.
Любую скалярную случайную величину α можно представить как сумму
двух независимых случайных величин (α = α1 + α2),
одна из которых (например, α1) – регулярная,
другая (скажем, α2) – сингулярная.
Обобщение действительных случайных величин α, имеющих распределение по закону Гаусса, на комплексные гауссовские случайные величины α (они
нам понадобятся в разд. 6) достаточно просто.
– 72 –
Пусть реализации данной случайной величины есть комплексные числа:
α i Re α i j Im α i α i j α i . Пусть Re α Im α 0 . В таком случае усреднени-
ем по ансамблю реализаций α комплексной случайной величины α α j α
мы можем получить две неслучайные величины:
Dα α α α * α2 α2 Dα Dα (Dα ≥ 0) и
2
Vα α 2 α α (α j α ) 2 α2 2 j αα α2 Vα j Vα ,
где Dα (Re α ) 2 , Dα (Im α ) 2 , Dα – дисперсия случайной величины α ;
Vα (Re α ) 2 (Im α ) 2 , Vα 2 Re α Im α , Vα – (комплексная) вариация комплексной случайной величины α .
Для двух комплексных случайных величин α и β получаем следующее
j Rαβ
, B αβ α β Bαβ
j Bαβ
, где
(при α 0 и β 0 ): R αβ α β * Rαβ
α β α β , Rαβ
α β α β , Bαβ
α β α β , Bαβ
α β α β .
Rαβ
Величина R αβ называется (комплексной) корреляцией комплексных случайных величин α и β , а B – их ковариацией.
αβ
Полностью комплексные случайные величины α задаются плотностью
вероятности pα(x, y) на плоскости x Re α , y Im α . Мы ограничимся одним
из простейших классов комплексных случайных величин – круговыми гауссовскими комплексными случайными величинами, или случайными величинами
Лоэва α , имеющими в качестве плотности pα(x, y) гауссовский изотропный закон распределения, у которого Vα = 0, то есть у случайных величин Лоэва V'α =
= V''α = 0. Отсюда следует, что Dα Dα Dα / 2 и αα 0 , то есть действительная и мнимая части величины α являются независимыми случайными величинами с одинаковыми дисперсиями.
2
У двух случайных величин Лоэва α и β : Vα Vβ 0 , Dα α 2 Dα ,
2
0 , Rαβ α β * Rαβ
2 α β .
Dβ β 2 Dβ , B αβ Rαβ
– 73 –
Значит, так же, как и две действительные гауссовские случайные величины α и β, комплексные случайные величины Лоэва α и β полностью характеризуются тремя неслучайными действительными величинами: двумя дисперсиями (Dα и Dβ) и корреляцией Rαβ α β * 2 α β 2 α β .
Если величины α1, α2, …, αk, …, αm являются проекциями некоторого слу
чайного вектора α на оси декартовых (прямоугольных) координат, то говорят,
что в числовом пространстве Rm задан собственный (в собственном смысле
слова) случайный вектор α проекций вектора α R m (r ) . Примерами такого
рода пространств являются обычные геометрические двумерное (плоскость R2)
и трёхмерное («физическое») пространство R3 с прямоугольной системой декартовых
координат,
случайные
сигналы
с
ограниченной
энергией:
Eξ ξ(t ) dt и т. п.
В числовых пространствах Rm имеют смысл m-мерные элементарные гиперобъёмы dVm = dx1 dx2 … dxm, геометрические преобразования типа поворота
декартовой системы прямоугольных координат, линейные и нелинейные преобразования Rm → Rm и т. п.
Вероятностная
модель
m-мерной
векторной
случайной
величины
α R m (r ) такова. Множество элементарных событий Uα есть m-мерное евкли-
дово пространство R m (r ) с прямоугольной системой декартовых координат
(Ox1, Ox2, …, Oxm). Вероятностная мера Pα величины α есть m-мерная плотность вероятности pα(x) = pα(x1, x2, …, xm) на числовом пространстве координат Rm(x) случайного вектора α .
В отличие от формальной совокупности из m случайных скалярных величин α = {α1, α2, …, αk, …, αm} сложное событие A в вероятностной модели mмерной векторной случайной величины α R m (r ) является попадание реализации α i в любую замкнутую область AV пространства R m (r ) конечного гиперобъёма VA.
– 74 –
Вероятность P(AV) события AV вычисляется по формуле (объёмного интеграла) P( AV ) pα ( x) dVm , где dVm = dx1 dx2 … dxm – элементарный гиперобъV
ём в пространстве Rm(x). Значит, Fα – совокупность всевозможных областей {A}
евклидова пространства R m (r ) .
Продемонстрируем это на примере двумерного пространства R 2 (r ) и
случайной векторной величины α R 2 (r ) , имеющей числовой вектор средних
значений координат α α1, α2
Т
и корреляционную матрицу вида
R α Rαi j ; i, j 1, 2 .
Возьмём два произвольных действительных числа a1 и a2 и составим
сумму Σ = a12 Rα11 + a1 a2 (Rα12 + Rα21) + a22 Rα22 = || a1, a2 ||·Rα·|| a1, a2 ||T, учитывая
при этом, что Rα12 = Rα21 = (α1 α1 ) (α 2 α2 ) .
Вычислим дисперсию случайной величины θ = a1 α1 + a2 α2:
Dθ a1 α1 α1 a2 α2 α2 a12 Rα11 2a1 a2 Rα12 a2 2 Rα 22 0.
2
Значит, Σ = || a1, a2 ||·Rα·|| a1, a2 ||Т ≥ 0. Матрицы R, обладающие таким
свойством, называются положительно (неотрицательно) определёнными. Таким образом, обобщая предыдущие выкладки на случай m > 2, можно доказать,
что если любое положительное число Dα является дисперсией некоторой случайной скалярной величины α, то любая положительно определённая
матрица Rα = || Rαij; i, j = 1, 2, …, m || является корреляционной для некоторого
Т
числового случайного вектора α = α1 , α 2 , ..., α m .
Результат линейного преобразования A некоторой числовой случайной
векторной величины α является случайной векторной величиной β и записывается в виде: β = A α + b, где A – матрица линейного преобразования, b – неслучайная матрица-столбец (числовой вектор).
Вектор β имеет вектор средних β = A α + b и корреляционную матрицу
R β β β β β A α α α α AT A R α AT .
T
Т
– 75 –
Если | A | = 1, то преобразование β = A α + b называется ортогональным и
эквивалентно повороту системы координат на плоскости R 2 (r ) или в про
странстве R 3 (r ) .
Ортогональное преобразование на плоскости R 2 (r ) с декартовой (прямоугольной) системой координат (x1O x2) можно записать в виде
β = || α1 cos φ + α2 sin φ, – α1 sin φ + α2 cos φ ||T,
где φ – угол поворота системы координат на плоскости R 2 (r ) .
Корреляция Rβ12 компонентов вектора β определяется выражением
Rβ12 = sin (2φ) (Rα22 – Rα11)/2 + cos (2φ) Rα12.
При этом можно найти такой угол поворота ψ0, что Rβ12 = 0:
tg (2ψ0) = – 2 Rα12 /(Rα22 – Rα11).
Вектор β будет иметь некоррелированные составляющие
β1 = α1 cos ψ0 + α2 sin ψ0 и β2 = – α1 sin ψ0 + α2 cos ψ0.
Обратно:
координаты α1 и α2 всякого случайного вектора α R 2 (r ) можно,
соответствующим поворотом декартовой системы координат,
представить как взвешенные суммы пары
некоррелированных случайных величин β1 и β2.
Такое представление называется ортогональным каноническим. Если
координатные оси x1 и x2 не имеют геометрического смысла, то описанное
представление называется просто каноническим.
В общем случае (при m > 2) корреляционная матрица Rα канонического
представления имеет компоненты Rβks = Dβ k δk s, где δk s – символ Кронекера (δk k
= 1; δk s = 0 при s ≠ k).
При m → ∞ формально можно определить бесконечномерный вектор
(матрицу-столбец) средних γ γ1 , γ 2 , ...
T
и бесконечномерную корреляцион-
ную матрицу Rγ c элементами Rγ k s = ( γk γk ) ( γ s γ s ).
– 76 –
Фактически же мы не можем записать бесконечномерную плотность
вероятности pγ(x); x = || x1, x2, …||T; даже для гауссовского бесконечномерного
случайного вектора γ, ибо определитель R γ 0 существовать не обязан. Однако любое конечномерное распределение вектора γ (s) = || γj1, γj2, …, γjk, …, γjs ||T,
где { jk } – любой набор индексов размера s из совокупности { 1, 2, …}, построить можно:
pγ( s ) (x ) (2 π ) s / 2 R (γs )
1/ 2
exp (γ (s ) γ (s ) )T R (γs ) 1 (γ (s ) γ (s )) / 2 .
Если заданы все конечномерные распределения {pγ(s)(x); s = 1, 2, … }, то
говорят, что задан бесконечномерный случайный вектор γ. Для нормального
случайного вектора это эквивалентно заданию бесконечномерного вектора
T
средних γ γ1 , γ2 , ... и бесконечномерной корреляционной матрицы
Rγ11 Rγ12
Rγ 21 Rγ 22
Rγ
Rγ m1 Rγ m 2
.
1.2. Вероятностные модели сигналов и помех
в радиотехнических системах
Пусть в некоторых фиксированных физических условиях некоторый измерительный прибор регистрирует в течение определённого промежутка времени (t0 < t ≤ T ) изменения во времени какой-либо скалярной величины f, которая может принимать любые действительные значения на числовой оси (– ∞
< f < ∞). В результате сеанса измерений будет зарегистрирована некоторая зависимость (функция времени) f1(t). Если в тех же условиях повторить измерения, то получится, вообще говоря, другая зависимость: f2(t) ≠ f1(t) и т. д.
Значит, в результате серии повторных регистраций получается совокупность функций
f i (t ); i 1, 2, ..., n .
По аналогии со случайными величинами α
мы говорим, что поскольку от сеанса к сеансу зарегистрированные функции
– 77 –
fi(t) времени изменяются непредсказуемым образом, а нас не интересуют особенности поведения каждой из них в отдельности, то мы должны применить к
математическому описанию совокупностей функций { fi(t)} 1n вероятностный
подход, то есть построить вероятностную модель этих совокупностей.
Совокупность функций { fi(t); i = 1, 2, …; – ∞ < t < ∞}, будем называть
случайной функцией аргумента t (случайным процессом) и обозначать как ξ(t).
Каждую функцию fi(t) будем называть i-й реализацией случайной функции (случайного процесса) ξ(t) и обозначать как ξi(t).
Таким образом, случайный процесс ξ(t) является бесконечным ансамблем
всевозможных её реализаций { fi(t); i = 1, 2, …; – ∞ < t < ∞}. При этом один и
тот же случайный процесс ξ(t) может иметь различные виды ансамблей своих
реализаций {ξi(t)} 1 . Основных типов этих ансамблей три: флуктуационные
(общего вида), импульсные (Н. Кэмпбелл – 1909 г., Дж. Карсон – 1925 г.) и гармонические (Г. Найквист – 1932 г.). Это позволяет уточнить определение понятия «случайная функция» следующим образом:
случайной функцией называется множество стохастически
эквивалентных совокупностей (ансамблей) её реализаций.
Вероятностная модель случайного процесса ξ(t) состоит из следующих
трёх математических объектов {Uξ, Pξ, Fξ}:
– множество элементарных событий Uξ, которое представляет собой
множество функций определённого вида (функциональное пространство);
– вероятностная мера Pξ на данном функциональном пространстве Uξ;
– множество сложных событий Fξ.
Вероятностной мерой Pξ случайной функции ξ(t) на функциональном
пространстве Uξ является бесконечная совокупность конечномерных
плотностей вероятности pξ( x1, x2, …, xm; t1, …, tm) при m → ∞.
– 78 –
Нормальные, или гауссовские случайные функции определяются семейством плотностей вероятности
pξ ( x1 ,
, tm ) (2π) m / 2 Rξ (t1 ,
, xm ; t1 ,
, tm )
1/ 2
exp 1 ( x x )T R ξ 1 (t1 ,
2
, tm ) ( x x ) ,
где xТ = || x1, x2, …, xm|| – вектор-строка значений функции ξ(t) в совокупности
точек (t1, t2, …, tm); Rξ(t1, t2, …, tm) = || Rξ(ti, tj), i, j = 1, 2, …, m ||; Rξ(ti, tj) – корреляция значений случайной функции ξ(t) в моменты времени ti и tj;
x Τ ξ(t1 ),
– вектор-строка средних значений функции ξ(t) в моменты
, ξ(tm )
времени t1 , t 2 , , t m .
Каждая действительная гауссовская случайная функция
ξ (t ) ; – ∞ < t < ∞; определяется своим средним значением ξ (t ) и корреля-
ционной функцией Rξ (t , s) . При этом функция ξ (t ) – произвольна,
а корреляционная функция Rξ (t , s) обладает единственным необходимым
и достаточным свойством – положительной определённостью:
m
m
j 1
i 1
Rξ (ti , s j ) ai a j 0 при любых действительных числах
a1 , a2 , ..., am и любом значении m .
Последнее эквивалентно требованию
Rξ (t , s ) f (t ) f ( s ) dt ds 0 .
Любая действительная функция Rξ (t , s); – ∞ < t < ∞; – ∞ < s < ∞;
обладающая свойством положительной определённости,
является корреляционной функцией некоторой гауссовской
действительной случайной функции ξ (t ) с произвольным
средним значением ξ (t ) и корреляционной функцией
Rξ (t , s) [ξ (t ) ξ (t )] [ξ (s) ξ (s)]; при этом Rξ (t , s) Rξ ( s, t ) .
Если известно, что некоторая функция f (x) принадлежит конкретному
классу функций Uξ (функциональному пространству), то в пространстве Uξ
– 79 –
найти такую полную систему линейно независимых функций (базис данного
функционального пространства) {φk(x); k = 1, 2, …}, что любую функцию
f (x) ∈Uξ можно будет представить в координатном виде:
f ( x) =
f k φk(x).
k 1
Если рассмотреть случайную функцию ξ(x), реализации которой принадлежат пространству Uξ [ξi(x) ∈Uξ], то, в принципе, мы можем найти координаты
αk; k = 1, 2, …; каждой реализации ξi(x) и представить функцию ξ(x) в виде
ξ(x) =
k 1
случайный,
α k φk(x), где совокупность значений координат {α1, α2, …} образует
в общем случае – бесконечномерный,
числовой
вектор
α = || α1, α2, …||Т.
Отсюда можно найти корреляционную функцию Rξ (x, y) случайной
функции ξ(x): Rξ(x, y) =
или
∞
∞
k 1
m 1
∑α k φ k ( x) ∑α m φ m ( y) =
Rξ(x, y) =
α k α m φk(x) φm( y),
k 1 m 1
Rα km φk(x) φm( y),
k 1 m 1
где Rα = Rαkm ; k , m 1, 2, α k α m ; k , m 1, 2, – корреляционная матрица
коэффициентов разложения {αk} 1∞, то есть вектора α = || α1, α2, …||Т.
Значит, вероятностную меру Pξ случайной функции ξ(x) ∈Uξ мы можем
строить не на функциональном пространстве Uξ, а на бесконечномерном числовом пространстве коэффициентов {αk} 1∞. Это существенно облегчает решение
линейных задач статистической теории радиосистем, ибо последние сводятся к
векторно-матричному исчислению линейной алгебры.
Далее. Если мы найдём такой функциональный базис {φ k(x)} 1∞, что для
данной случайной функции ξ(x) ∈Uξ коэффициенты {αk} 1∞ окажутся независимыми (для гауссовских функций – некоррелированными), то матрица Rα окажется диагональной (Rα k m = Dk δk m), на главной диагонали матрицы Rα окажутся
дисперсии {Dk} 1∞ коэффициентов {αk} 1∞, а на остальных – нули.
– 80 –
Тогда корреляционная функция Rξ(x, y) случайной функции ξ(x) ∈Uξ
представится в виде Rξ(x, y) =
k 1
Dk φk(x) φk(y). Такие представления называ-
ются каноническими представлениями (Пугачёва). [В. С. Пугачёв – советский
прикладной математик: 1911-1998].
Если мы найдём такой функциональный базис {φk(x)} 1∞ канонического
представления случайной функции ξ(x) ∈Uξ, что этот базис окажется ортонормированным, то есть
φ k (t ) φl (t ) dt δ k l , где δk l – символ Кронекера, то кано-
ническое представление ξ(x) =
k 1
α k φk (x) будет называться ортогональным
каноническим или просто ортогональным.
Пусть реализации {ξT i (t )}1 ; – ∞ < x < ∞; случайного процесса ξТ (t)
представляют собой периодические функции времени с одним и тем же периодом T, то есть пусть для всякого индекса i (i = 1, 2, …) имеет место равенство
ξT i(t + mT ) = ξT i(t ); m = …, –1, 0, 1, 2, ….
Тогда всевозможные реализации ξT (t) образуют класс (функциональное
пространство) периодических функций Uξ T, в котором в качестве ортонормированного базиса можно взять гармонические функции:
φ 0 (t ) 1 ; φck (t ) T2 cos(2π k t /T ) ; φs k (t ) T2 sin(2π k t /T )
T
с условием ортонормированности (в этом можно убедиться непосредственными
вычислениями)
φc k (t ) φcl (t )
dt δk l ,
φ
(
t
)
φ
(
t
)
T /2 s k
sl
поскольку при k ≠ l интеграл Ik l = 0, а при k = l
T /2
Ikl
T /2
2
T
T /2
T /2
cos (2π k t /T ) dt T2
2
T /2
T /2
sin (2π k t /T ) dt T1
2
T /2
а
2
T
T /2
1 cos (4πk t / T ) dt 1,
T /2
T /2
cos(2π k t /T ) sin (2π k t /T ) dt T1
sin (4π k t /T ) dt 0 .
T /2
Обычно в качестве базиса представления периодических функций берутся функции φ 0 (t ) 1 ; φc k (t ) cos(2π k t /T ) ; φs k (t ) sin(2π k t /T ) ; k = 1, 2, ….
– 81 –
Эти функции образуют ортогональный, но не нормированный базис.
В этом случае каждая реализация ξT i (t ) может быть представлена рядом
Фурье в виде: ξT i (t ) = ai0 +
[ aik cos (2π k t/T ) + bik sin (2π k t/T )],
где ai 0, aik, bik
k 1
(k = 1, 2, …) – случайные коэффициенты, которые вычисляются по формулам
T /2
ai 0 = T1
T /2
T /2
ξT i (t ) dt; aik = T1
ξT i (t ) cos (2π k t /T ) dt;
T /2
T /2
bik = T1
ξT i (t ) sin (2π k t /T ) dt.
(1)
T /2
Как видим, от реализации к реализации (по индексу i) меняются (случайным образом) только коэффициенты разложения ai 0, aik и bik (k = 1, 2, …). При
этом ai0 – случайная константа, а преобразование Фурье (1) проектирует функциональное пространство периодических функций Uξ T на числовое евклидово
пространство бесконечномерных векторов W = {α, β}, где α и β – случайные
числовые векторы коэффициентов разложения (1), реализации которых имеют
вид: αi = || ai0, ai1, …, aik, …||Т, βi = || bi1, bi2, …, bik, …||Т.
Поэтому случайную функцию ξТ (t) полностью определяет вероятностная
мера Pα,β на этом числовом (а не на функциональном!) пространстве W ={α, β}.
А чтобы получить вероятностную меру Pα,β на пространстве коэффициентов
разложения W = {α, β}, нужно провести статистическую обработку ансамбля
{aik, bik; k = 0, 1, 2, …} 1∞ по индексу i для каждой пары индексов из совокупности {k = 1, 2, …}.
Пусть все коэффициенты {ak }0 и {bk }1 не зависимы друг от друга, а их
дисперсии суть: a02 D0 , ak2 bk2 Dk .
Тогда корреляционная функция сигнала ξТ (t) есть:
RξT (t , s) D0 k 1 Dk cos(2π k t /T ) cos(2π k s /T ) sin(2π k t /T ) sin(2π l s /T ) ,
или RξT (t , s) D0 k 1 Dk cos 2π k (t s )/T .
– 82 –
Значит, при указанных выше условиях корреляционная функция RξТ (t, s)
зависит только от разности τ = t – s аргументов t и s, то есть процесс ξТ (t ) является периодически стационарным:
RξТ (t, s) = D0 Dk cos 2π k (t s)/T = D0 Dk cos 2π k τ/T = RξТ (τ),
k 1
k 1
RξТ (t + mT, s + mT ) = D0 Dk cos 2π k (t mT s mT )/T ,
k 1
или RξТ (t + mT, s + mT ) = D0 Dk cos 2π k τ /T = RξТ (τ),
k 1
то есть функция RξТ (τ) имеет тот же период, что и процесс ξТ (t ).
Средняя по ансамблю реализаций {ξT i(t)} 1∞ и периоду T мощность N ξT
действительного стационарного случайного процесса ξT (t)
T /2
N ξT
= T1
или N ξT =
ξT2 (t ) dt = 1 T D0 1 k1
T
T /2
T
T /2
T /2
Dk cos 2 (2π k t /T ) sin 2 (2π k t /T ) dt ,
D
k 0
k
Равенство
= RξT (0).
T /2
T /2
ξT2 (t ) dt = T k 0 Dk называется стохастическим равен
ством Парсеваля.
Если стационарный процесс ξТ (t) – гауссовский, то каждая k-я пара случайных коэффициентов {ak, bk} образует двумерный изотропный гауссовский
вектор, а случайный процесс ξТ (t ) можно записать в виде:
ξT (t ) = α 0 +
γ
k 1
k
cos (2π k t /T + φk),
где случайная амплитуда γk гармоники с номером k имеет распределение Релея
с параметром Dk: pk(ρ) = ( ρ /Dk) exp [– ρ2/(2 Dk)], а случайная начальная фаза φk
имеет равномерное распределение на любом промежутке числовой оси длиной
2 π.
Действительно, пусть ak ≡ x, bk ≡ y, Dk ≡ D. Тогда плотность вероятности
p(x, y) имеет вид p(x, y) = 2 π1D exp [– (x 2 + y 2)/(2 D)].
Перейдём к полярной системе координат (ρ, ψ) на декартовой плоскости
{x, y}. Тогда x = ρ cos ψ, y = ρ sin ψ.
– 83 –
Поскольку p(x, y) dx dy = p(ρ, ψ) ρ dρ dψ, то
ρ
p(ρ, ψ) = ρ p[x(ρ, ψ), y(ρ, ψ)] = 2 π D exp [– ρ2/(2 D)] = p(ρ) p(ψ).
1
Если учесть, что D
0
ρ exp [ – ρ2/(2 D)] dρ = 1, то получается, что случай-
ные величины ρ и ψ – независимые, величина ψ распределена равномерно на
промежутке (0, 2π], а величина ρ имеет распределение (Релея):
p(ρ) = ρ exp [ – ρ2/(2 D)]/D.
Среднеквадратическое значение Sρ величины ρ определяется формулой
Sρ2 =
0
1
ρ 2 p(ρ) dρ = D
Отсюда Sρ =
0
ρ 3 exp (– ρ2/2 D) dρ = 2 D.
2D .
Итак, корреляционная функция RξТ (τ) и сам периодически стационарный
случайный процесс ξТ (t ) имеет каноническое представление:
RξT (τ) D0 m1 Dm cos 2π m τ/T ,
ξT (t ) = a0 +
[ ak cos (2π k t/T ) + bk sin (2π k t/T )],
k 1
где Dk – дисперсия случайного коэффициента ak, равная дисперсии случайного
коэффициента bk.
Умножим разложение корреляционной функции RξТ (τ) на функцию
cos (2π k τ /T ) /(2 T ); k = 0, 1, 2, …; и проинтегрируем произведение по периоду
корреляционной функции T; получим:
T /2
1
T
T /2
D
RξT (τ) cos(2π k τ/T ) d τ = T0
T /2
cos(2π k τ/T ) dτ +
T /2
T /2
k 1
T /2
+ 1 Dm
T
cos(2π k τ/T ) cos(2π m τ/T ) d τ .
В результате интегрирования все члены бесконечной суммы окажутся
равными нулю, кроме члена с индексом k = m; k = 1, 2, …; который равен:
Dm
T
T /2
T /2
D
cos 2 (2π m τ/T ) dτ 2 Tm T Dm /2 .
Dm T2
R (τ) cos(2π m τ/T ) d τ , RξT (τ) D0 m1 Dm cos 2π m τ/T ,
T /2 ξ T
T /2
Значит,
где D0 1
T
T /2
RξT (τ) d τ .
T /2
– 84 –
Если ввести «отрицательные частоты», то есть индекс m полагать отрицательным, то из предыдущих равенств получим:
[ ak cos (2π k t/T ) + bk sin (2π k t/T )],
ξT (t ) =
k
D
RξT (τ)
T /2
Dm T1
m
m
cos 2π m τ/T ,
(2)
RξT (τ) cos(2π m τ/T ) d τ , N ξT RξT (0)
T /2
Если у процесса ξT (t ) =
k
D
m
m
.
[ ak cos (2π k t/T ) + bk sin (2π k t/T )] все дис-
персии Dm – одинаковы и равны единице: Dm = D = 1; m = 0, ± 1, ± 2, …; то
NξT RξT (0) m1 , а соответствующий процесс εT∞(t) называется «перио
дическим белым шумом».
Соотношения (2) представляют собой каноническое представление (Пугачёва) для периодических стационарных случайных процессов.
Если стационарный процесс ξТ (t) проходит через стационарное линейное
радиотехническое устройство с коэффициентом передачи K (ω ) , то в установившемся режиме случайные коэффициенты αk и βk k-й случайной гармоники
ξT k (t) процесса ξТ (t) претерпевают линейное преобразование отдельно для каждой частоты ωk = 2 π k /T, а сигнал ζТ (t) на выходе устройства остаётся стационарным периодическим и имеет ортогональное каноническое представление
ζТ (t) = α 0 K (0) +
γ
Rζ(τ) = D0 | K (0) |2 +
k 1
∞
k
| K (ωk ) | cos [2π k τ /T + φk + arg K (ωk ) ],
∑D
k
| K (ωk ) |2 cos (2π k τ /T ),
k 1
где
γk2
=
αk2
+
βk2
– случайная амплитуда k-й гармоники процесса ξТ (t ).
Пусть Dk = D = 1 (k = 0, 1, 2, …). Тогда представление корреляционной
функции RζT (τ) процесса ζТ (t) можно переписать в виде:
RζT (τ) =
k 0
| K (ωk ) |2 cos(2π k τ /T ) =
D
k 0
k
cos(2π k τ /T ),
где Dk K (ωk ) 2 .
– 85 –
Последняя формула означает, что
любой стационарный периодический действительный гауссовский
случайный процесс ξТ (t) ∈UТ с корреляционной функцией RξT (τ)
можно рассматривать как результат прохождения
единичного периодического белого шума εТ ∞(t)
через стационарную линейную цепь с коэффициентом передачи K (ω ) ,
T /2
удовлетворяющим равенству | K (ωk ) |2 = 1 RξT (τ) cos (2 π k τ/T ) d τ.
T T /2
Мы так подробно остановились на различных свойствах вероятностной
модели периодических случайных процессов ξТ (t) ∈UТ потому, что вероятностные модели случайных функций ξ(x) различных других классов имеют
аналогичные структуру и представления.
Рассмотрим действительное гильбертово функциональное пространство
L2(x); – ∞ < x < ∞; и действительную случайную функцию ξ(x), все реализации
которой принадлежат функциональному пространству L2(x); при этом пусть
ξ ( x) d x Eξ , то есть рассмотрим класс случайных функций ξ(x), каж2
дая реализация ξ i(x) которой имеет ограниченную энергию Ei.
Выберем в пространстве L2(x) действительный ортонормированный
функциональный базис {φ k ( x); k 1, 2,
φ k (x) φ j ( x) dx δ k j .
ξ ( x) ∈L2(x)
можно
Тогда
} с условием ортонормированности
любую
представить
в
реализацию
виде:
случайной
функции
ξ ( x) k 1 ξ k φk ( x) ,
где
ξ k ξ ( x) φ k ( x) d x , то есть в выбранном базисе {φk (x)} 1 функция ξ(x) одно
значно определяется бесконечномерным вектором ξ = ξ1 , ξ 2 ,
T
.
Если вычислить среднюю функцию ξ ( x) , то в силу линейности операции
усреднения ξ ( x) k 1 ξ k φ k ( x) , то есть среднее значение ξ ( x) однозначно
определяется вектором средних ξ = ξ1 , ξ 2 ,
T
случайного числового вектора
ξ, где ξk ξ ( x) φ k( x) d x .
– 86 –
Для определения корреляционной функции Rξ ( x, y) проведём следующее
усреднение: Rξ ( x, y) [ξ ( x) ξ ( x)] [ξ ( y) ξ ( y)] .
Тогда Rξ ( x, y ) (ξ k ξ k ) (ξ m ξ m) φ k ( x) φ m ( y ) ,
k 1 m 1
Rξ ( x, y ) Rξ k m φ k ( x) φ m ( y) ,
или
k 1 m 1
ξ (ξ k ξ k ) (ξ m ξ m) ; k , m 1, 2,
где R
– корреляционная матрица слу-
чайного вектора ξ.
Значит, случайной функции ξ ( x) L2 ( x) однозначно соответствует бесконечномерный случайный вектор ξ с вектором средних ξ и корреляционной
матрицей Rξ. При этом среднее значение (x) случайной функции ξ ( x) и её
корреляционная функция Rξ ( x, y) связаны со средним значением ξ случайного
вектора ξ и его корреляционной матрицей Rξ следующими соотношениями:
ξ ( x) ξk φk ( x), ξk
k 1
ξ ( x) φ k( x) d x ;
Rξ ( x, y) Rξ k m φk ( x) φ m( y) ,
Rξ k m
k 1 m 1
Rξ ( x, y) φ k( x) φ m ( y) d xd y
При этом справедливо стохастическое равенство Парсеваля:
R ( x, x) dx ξ ( x) ξ ( x) d x ξ k ξk Dk tr Rξ , Dk ξ k ξk .
2
k 1
2
2
k 1
Это значит, что случайный вектор ξ принадлежит числовому гильбертову
пространству l 2 , а выбранный базис представления {φ k ( x)} случайных функций ξ ( x) L2 ( x) позволяет однозначно отобразить пространство случайных
функций с ограниченной энергией Uξ = L2 ( x) на пространство случайных числовых векторов ξ l 2 .
Тогда линейным преобразованиям A в числовом пространстве l 2 будут
– 87 –
соответствовать линейные преобразования в функциональном пространстве
L 2 ( x) : ηk j 1 ak j ξ j η( x)
A ( x, x) ξ ( x) d x ,
где A ( x, x) akm φ k ( x) φ m (x) , akm
k 1 m 1
A ( x, x) φ k ( x)
φ m ( x) d x d x ,
A(x, x' ) – ядро интегрального линейного преобразования.
Таким образом, отображение пространства L2(x) на пространство l2 позволяет свести линейные задачи теории случайных функций в L2(x) к задачам линейной алгебры случайных числовых векторов в l2. В частности, можно найти
такое ортогональное преобразование A0 числового вектора ξ (с помощью матрицы A 0, у которой det A 0 = 1), что вектор η = A 0 ξ будет иметь диагональную
корреляционную матрицу: R η A 0 R ξ A 0Т D ηk δ km .
Тогда вектор ξ будет иметь каноническое представление ξ = A 0–1 η, что
соответствует ортогональному каноническому представлению функции ξ ( x) в
виде: ξ ( x)
K ( x, x) η ( x) d x η k ψ k ( x) ,
k 1
ηk
где
η(x) φ
k
(x) d x ; ψ k (x)
K ( x, x)
K ( x, x) φ k ( x) d x ,
k 1 m 1
A 01km φ k ( x) φ m ( x).
При этом компоненты вектора η попарно некоррелированны.
Ясно, что такое представление функции ξ ( x) является наиболее простым,
а линейное преобразование A функции ξ ( x) L2 ( x) имеет вид:
ξ ( x)
η l A ( x, x ) ψ l ( x ) d x ,
A ( x, x ) η( x ) d x
l 1
или
ξ ( x) ηl l ( x) , где l ( x)
l 1
A ( x, x ) ψ l ( x ) d x.
Значит, формально мы нашли ортогональное каноническое представление любого допустимого линейного преобразования A случайных функций ξ(x)
– 88 –
из L2 ( x) . При этом корреляционная функция Rξ ( x, y) функции ξ(x) есть:
Rξ ( x, y) l 1 Dη l l ( x) l( y) .
Представленные результаты составляют содержание теоремы КаруненаЛоэва, которая определяет каноническое представление (Пугачёва) для случайных процессов с ограниченной энергией:
если случайный процесс ξ(t) имеет ограниченную энергию,
то в функциональном пространстве L2(t) можно найти такой ортонормированный базис её представления { l (t ), l 1, 2,
}, что реализации
функции ξ (t ) l 1 ξ l l (t ) будут иметь некоррелированные случайные ко
эффициенты ξ l (l = 1, 2, …), а корреляционная функция Rξ (t , s)
случайной функции ξ (t ) L2 (t ) будет иметь представление
Rξ (t , s) k 1 D k k (t ) k (s) , где Dk – дисперсия коэффициента ξ k .
При не-каноническом представлении: Rξ (t , s) Rξ k l φk (t ) φl ( s) .
l 1 k 1
Вектор Dξ = || Dξ1, Dξ2, …|| = || Rξ11, Rξ22, …|| , составленный из диагональT
T
ных элементов матрицы Rξ k l ; k , l 1, 2, ... канонического представления, называется спектром случайной функции ξ ( x) L2 ( x) в данном базисе канонического
представления {φ i ( x)}1 .
Пусть теперь в результате соответствующего статистического эксперимента мы получили ансамбль реализаций {ξi(t)} 1∞ некоторого случайного сигнала ξ(t), и этот ансамбль имеет гармонический вид (Найквиста). Ансамбль
представляет собой всевозможные синусоиды с различными частотами ωi, амплитудами Ui и начальными фазами φi: ξ i(t) = Ui cos (ωi t + φi).
Энергия каждой реализации ξi(t) – бесконечна; однако её средняя по времени мощность Ni = lim T1
T
T /2
T /2
ξ i2 (t ) dt U i 2 /2 ограничена.
– 89 –
Теперь подойдём к рассмотрению гармонического ансамбля {ξi(t)} 1 так
же, как поступают при построении плотности вероятности pα(x) действительной
случайной величины α (– ∞ < x < ∞). То есть возьмём ось круговых частот
{0 ≤ ω < ∞}, выделим на ней интервал (ωj – Δω /2, ωj + Δω /2) шириной Δω и из
ансамбля реализаций {ξi(t)} 1∞ отберём те из реализаций ξ jk(t); k = 1, 2, …; частоты которых ωi попадают в этот интервал.
Пусть по ансамблю {ξ jk (t); k = 1, 2, …} выяснилось, что величины Uj
и φj – независимы, величины Uj распределены по закону Релея, а φj – равномерно на промежутке (0 < φ ≤ 2 π), то есть реализации {ξ jk (t)} представляют собой
гауссовский стационарный случайный процесс ξ j(t) = γj cos (ωj t + φj).
Определим для каждой реализации ξ jk(t); k = 1, 2, …; её мощность:
T /2
N jk =
U jk2
lim 1
T T
cos
T / 2
2
(ω jk t + φ jk) dt = U jk2/2.
По всему ансамблю реализаций {ξi(t)} 1 определим среднее значение N j
для мощности тех реализаций, частоты которых попали в промежуток
(ωj – Δω /2, ωj + Δω /2), отнесём величину N j к длине интервала Δω и, перебирая промежутки (ωj – Δω /2, ωj + Δω /2); j = 1, 2, …; построим в виде «столбиков» соответствующую гистограмму.
Затем аппроксимируем эту гистограмму подходящей функцией Wξ(ω) такой, чтобы выполнялись условия: Wξ(ω) ≥ 0 и
N ξ lim
Δω
j 1
Wξ (ω) d ω N ξ , где
N j – средняя мощность случайного процесса ξ(t). Функцию
Wξ(ω) назовём спектральной плотностью средней мощности, или энергетическим спектром случайного процесса ξ(t).
Каков содержательный смысл полученной нами функции Wξ(ω)? Для его
выявления возьмём подансамбль {ξ jk(t); k = 1, 2, …} и будем считать, что у всех
реализаций ξ jk(t); k = 1, 2, …; частота ω jk одна и та же, ибо при достаточно малом значении Δω ≈ 0: ω jk ≈ ωj.
– 90 –
Тогда каждую реализацию ξ jk(t) можно представить в виде
ξ jk(t) = U jk cos (ω j t – φ jk) = U jk cos φ jk cos (ωj t) + U jk sin φ jk sin (ωj t),
или ξ jk(t) = α'jk cos (ωj t) + α"jk sin (ωj t), где α'jk = U jk cos φ jk; α"jk = U jk sin φ jk.
Вектор-столбец α jk = || α'jk, α"jk ||Т является типичным представителем некоторого случайного двумерного вектора α = || α', α" ||Т. В простейшем случае он
является гауссовским с нулевым вектором средних α = 0, с дисперсиями Dα' =
= Dα" = D и с нулевой корреляцией компонентов α' и α".
Значит, каждый гармонический компонент ξ j (t) = γj cos (ωj t + φ j) или, что
то же самое, ξ j (t) = γj cos (ωj t – φ j) случайного процесса ξ(t) с ограниченной
средней мощностью N ξ < ∞ в простейшем случае имеет, как показано выше –
при рассмотрении гауссовских случайных периодических процессов ξT (t) – независимые случайные амплитуду γj и начальную фазу φj; амплитуда γj распределена по закону Релея со среднеквадратическим значением Sj, удовлетворяющим равенству γ j2 2 N j S j2 2 D j 2Wξ (ω j )Δω = N j = Wξ(ωj) Δω, а начальная фаза φj распределена равномерно на промежутке (0 < φ ≤ 2 π).
Просуммировав все компоненты ξ j(t), получим, в силу независимости
компонентов, выражение для корреляционной функции Rξ(t, s) сигнала ξ(t):
Rξ(t, s) ≈
ξ j (t ) ξ m (s) ≈
j 1 m1
ξ j (t ) ξ m (s) ≈
j 1 m 1
ξ j (t ) ξ j ( s ) =
j 1
=
γ j2 cos(ω j t φ j ) cos(ω j s φ j ) =
j 1
=
[αj cos(ω j t ) αj sin (ω j t )][αj cos(ω j s) αj sin (ω j s)] =
j 1
∞
= ∑ [ (αj )2 cos (ωj t) cos (ωj s) + (αj )2 sin (ωj t) sin (ωj s)],
j =1
где α'j ≡ γj cos φj, α''j ≡ γj sin φj.
Поскольку в данном случае αj 2 αj 2 D j , то
Rξ(t, s) ≈
D
j 1
j
[cos (ωj t) cos (ωj s) + sin (ωj t) sin (ωj s)],
– 91 –
или
Rξ(t, s) ≈
W (ω ) Δω cos [ωj (t – s)].
j 1
ξ
j
Переходя в последнем выражении к пределу при Δω → 0, окончательно
получаем: R (t , s) W () cos(τ) dω R (τ) , где τ t s .
0
При этом W () 2 R (τ) cos(τ) dω/ . Если τ = 0, то
0
R (0) N W () dω .
0
Значит, построенная нами модель случайного сигнала ξ j(t) является стационарным непериодическим случайным процессом, энергетический спектр
Wξ(ω) которого является плотностью распределения средней мгновенной мощности N ξ ξ 2 (t ) Dξ Rξ (0) , то есть дисперсии Dξ косинусной и синусной составляющих стационарного случайного процесса ξ(t), по круговым частотам ω.
Если ввести «отрицательные частоты» и положить Wξ ( ω ) Wξ (ω)/2 , то
получим следующую симметричную форму записи корреляционной функции
Rξ(τ) и её преобразования Фурье:
R (τ)
W () cos(τ) dω ; W () R (τ) cos(τ) dω/(2) .
При τ = 0 получаем: R (0) Dξ Wξ () dω Nξ .
Значит,
(3)
спектральная плотность средней мощности W () стационарного
гауссовского действительного случайного сигнала ξ(t) является
распределением средней мощности N ξ сигнала ξ(t) по всевозможным
гармоническим составляющим ξ(t) = γ cos (ω t + φ); – ∞ < ω < ∞;
а корреляционная функция Rξ(τ) этого сигнала представляется
косинус-преобразованием Фурье спектральной плотности
средней мощности W () случайного сигнала ξ(t).
– 92 –
Заметим, что W () – распределение средней мощности N ξ = Dξ по круговым частотам ω. Если нас интересует распределение мощности W ( f ) по
обычным частотам f = ω /(2 π), то должны соблюдаться равенства:
Nξ R (0) 2 Wξ (2 f ) d f Wξ (2 f ) d f .
Значит, Wξ ( f ) 2Wξ () и функции W ( f ) и R () связаны следующей
парой косинус-преобразований:
R (τ)
W ( f ) cos(2 f τ) d f ; W ( f ) R (τ) cos(2 f τ) d f .
(4)
Сформулированное утверждение составляет содержание теоремы Винера-Хинчина, которая является аналогом теоремы Карунена-Лоэва об ортогональном каноническом представлении (Пугачёва) случайных сигналов с ограниченной энергией, а также выведенном ранее ортогональном каноническом
представлении периодически стационарных случайных сигналов ξ T (t) – формулы (2).
Заметим, что если W ( f ) = N ξ /2, то W () = N ξ /(4 π) и
Rξ(τ) = Re
Nξ
4π
exp ( j ω τ) dω = N ξ δ(τ).
При τ = 0: Rξ(0) = ∞; при τ ≠ 0: Rξ(τ) = 0. Такой экзотический случайный
процесс называется «белым шумом» с неограниченной полосой частот ε ∞(t) с
мощностью (со спектральной плостностью средней мощности – по положительным частотам) Nε . Если Nε = 1, то процесс ε∞(t) называется единичным
белым шумом и обозначается как ε0(t).
Полученные выше достаточно простые представления относительно случайных сигналов с ограниченной мощностью ξ(t) и их свойствах мы вывели исходя из гармонического ансамбля реализаций {ηi(t) = γi cos(ωi t + φi)} 1 . Однако
множество стохастически эквивалентных между собой ансамблей могут иметь
реализации и других видов.
– 93 –
Флуктуационный ансамбль {ξ i(t)} 1 мы можем сконструировать из гармонического ансамбля {ηi(t)} 1 в виде:
ξ i(t) =
γ ik cos(ωik t + φik)
k 1
γ ik2 при условии
k 1
γ ik2 .
k 1
Ясно, что
в силу независимости всех компонентов случайного сигнала ξ (t)
любые два процесса ξ 1(t) и ξ 2(t), полученные из сигнала ξ (t)
с помощью двух полосовых фильтров с неперекрывающимися
полосами пропускания, будут также независимыми.
В дальнейшем это свойство гауссовских стационарных случайных сигналов ξ (t) будет широко использоваться.
Чтобы построить стохастически эквивалентный ансамблю {ηi(t)} 1 импульсный ансамбль {ζi(t)} 1 , нужно провести дальнейший анализ свойств стационарных случайных процессов.
В 1938 г. шведский математик Г. Вольд (1908-1992) показал, что любой
стационарный случайный процесс ξ(t) можно разложить (причём единственным
способом) на два компонента: ξ(t) = ξс(t) + ξр(t), где ξс(t) – сингулярный стацио-
нарный процесс; ξр(t) –регулярный стационарный процесс, независимый от процесса ξс(t).
Сингулярные стационарные процессы ξс(t) – это периодически стационарные случайные сигналы ξT (t) и почти периодические стационарные сигналы
(Бора) ξБ(t). Формально они имеют спектральную плотность мощности вида
Wξ(ω) =
N
j 1
j
δ(ω ω j ) . При этом если все ω j; j = 1, 2, …; кратны между собой,
то есть ωj = j Δω, то период процесса ξс(t) есть T = 2 π /Δω. Если же ансамбль
{ωj} 1 содержит некратные частоты, то процесс ξс(t) называется почти периодическим случайным процессом (Бора).
– 94 –
Регулярные стационарные процессы ξр(t) имеют кусочно-непрерывный
энергетический спектр Wξ(ω); ω ≥ 0; а их корреляционная функция Rξ (τ), по
теореме Винера-Хинчина, определяется косинус-преобразованием Фурье:
Rξ (τ) =
0
Wξ (ω) cos (ωτ) dω .
Поскольку Wξ(ω) ≥ 0, а при прохождении любого стационарного случайного сигнала ξ(t) через стационарный линейный четырёхполюсник с коэффициентом передачи K (ω) получается стационарный случайный сигнал ψ(t) со спектральной плотностью мощности Wψ(ω) = | K (ω) |2 Wξ(ω), то любой регулярный
стационарный случайный сигнал ξр(t) можно представить реакцией некоторого
четырёхполюсника на единичный белый шум (с неограниченной полосой частот) ε0(t), ибо Wр(ω) = | K (ω) |2 N0 = | K (ω) |2 ×1.
Это следует из того, что Wξ(ω) ≥ 0, а потому коэффициент передачи искомого четырёхполюсника [фильтра, формирующего данный процесс ξр(t)] имеет
модуль коэффициента передачи | K (ω) | =
Wξ (ω) . Если этот четырёхполюсник
является физически реализуемым, то случайный сигнал ξр(t) называется линейно-регулярным.
Построим ансамбль реализаций {εi(t)} 1 вида εi(t) =
j
αij δ(t tij ) , где
{αij}; i = 1, 2, …; – реализации независимых гауссовских случайных величин α j
с нулевыми средними ( α j 0 ) и единичными дисперсиями: α j2 1 ;
tij – i-я реализация совокупности случайных моментов времени {tj}, то есть реализация потока точек на числовой оси (– ∞ < t < ∞).
Предположим, что поток точек {tj}
удовлетворяет следующим трём
условиям наибольшей простоты потока {tj}
.
1. Стационарность потока. При любых значениях ∆ t > 0 и n ≥ 0 вероятность того, что на промежутке (t, t + ∆ t) в реализациях εi(t) окажется n случайных точек tj, принадлежащих промежутку {t < tj ≤ (t + ∆ t)} не зависит от вели– 95 –
чины t и определяется только величинами ∆t и n.
2. Отсутствие статистических связей в потоке. Вероятность того, что
на промежутке (t, t + ∆ t] окажется n случайных точек не зависит от того, какие
точки tj попали в промежутки, предшествующие промежутке (t, t + ∆ t].
3. Ординарность потока. В совокупности реализаций {tj}
вероятность
встретить пару соседних точек tij и til при | tij – til | → 0 стремится к нулю.
Такой поток точек {tj}
на числовой оси (– ∞ < t < ∞) называется про-
стейшим, или пуассоновским, а вероятность Pn(∆t) того, что для любого промежутка (t, t + ∆ t] длительностью ∆t на нём окажется ровно n значений моментов времени tj не зависит от его расположения на оси времени и равна
Pn(∆t) = exp( – λ ∆t ) ( – λ ∆t ) n/n!; n = 0, 1, 2, ….
При этом среднее значение n числа случайных точек {tj}
, попавших в
любой промежуток времени длительностью ∆ t, есть n = λ ∆ t. Значит, параметр
λ есть среднее значение количества моментов времени из совокупности {tj}
,
попадающих в данной реализации εi(t) на единицу длительности. Значение па-
раметра λ называется интенсивностью (плотностью) потока точек {tj}
на
оси времени ( – ∞ < t < ∞).
Можно показать, что совокупность реализаций {εi(t)} 1 стохастически эквивалентна гауссовскому «белому шуму» ε∞(t) со спектральной плотностью
мощности N0 = λ. То есть
величина энергетического спектра Wε(ω) = N0 процесса
ε(t) =
j
α j δ(t t j ) , где {αj} – реализации независимых гауссовских
случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями:
α j2 1 , а {tj} – пуассоновский поток точек на числовой оси ( – ∞ < t < ∞),
численно равна интенсивности λ потока случайных величин вида αj δ(t – tj).
– 96 –
Если же случайные величины αj; – ∞ < j < ∞; будут иметь одну и ту же
дисперсию D(αj) = Dα ≠ 1, то мощность N0 процесса ε(t) будет равна N0 = λ Dα. А
это значит, что при одной и той же мощности «белого шума» N0 поток дельта-импульсов αj δ(t – tj) в реализациях ε(t) можно сделать сколь угодно «редким», увеличив дисперсию Dα в соответствии с равенством Dα = N0 /λ и наоборот.
Таким образом,
любой регулярный гауссовский стационарный сигнал ξ(t) моделируется
импульсным ансамблем {ζi(t)} 1 вида: ζ(t) =
j
α j s(t t j ) ,
где s(t) – формирующий данный регулярный процесс импульс;
{αj}
– независимые гауссовские случайные величины ( α j 0 ; Dj = D);
{tj}
– пуассоновская совокупность моментов времени с интенсивностью
λ. При этом спектральная плотность мощности Wζ(ω) процесса ζ(t) есть
Wζ (ω) = λ D S (ω) 2, а корреляционная функция Rζ(τ) =
0
Wζ (ω) cos (ω τ) dω.
Значит, все основные стохастически эквивалентные ансамбли стационарных гауссовских случайных сигналов мы связали между собой соответствующими соотношениями.
Если же по любой реализации ξ i (t) регулярного гауссовского стационарного процесса ξ(t) можно вычислить корреляционную функцию Rξ (τ):
Rξ (τ) lim
T
1
T
ξi (t ) ξi (t τ) dt ,
2T T
то такой действительный случайный процесс ξ(t) называется эргодическим.
Для эргодичности гауссовского случайного сигнала ξ(t) с ограниченной
средней мощностью Nξ Wξ (ω) cos(ωτ) d необходимо:
а) чтобы он был стационарным (для независимости спектральных составляющих, которые получаются из любой его реализации);
– 97 –
б) чтобы спектральная плотность Wξ (ω) была хотя бы кусочно-непрерывной функцией при любом значении круговой частоты ω.
Последнее условие исключает из спектра реализаций случайного сигнала
ξ(t) случайные константы и изолированные гармоники, то есть сингулярные составляющие сигнала ξ(t).
Что касается достаточных условий эргодичности данного случайного
сигнала ξ(t), то одним из них является следующее. Пусть неизвестно, эргодичен
процесс ξ(t) или нет. Оценим корреляционную функцию Rξ(τ) с использованием
одной реализации ξ1(t), затем другой ξ2(t), третьей ξ3(t) и т. д. В случае, если все
полученные оценки (с точностью до погрешностей вычислений) одинаковы, то
любая из них представляет собой оценку корреляционной функции Rξ (τ) случайного сигнала ξ(t), полученному с помощью одной из его реализаций, то есть
случайный сигнал ξ(t) – эргодический. При этом должно соблюдаться условие:
lim Rξ (τ) 0 , что также является одним из достаточных условий регулярности
τ
стационарного процесса ξ(t).
Для детерминированных сигналов с ограниченной энергией справедлива
теорема отсчётов Котельникова-Шеннона.
Пусть сигнал s(t) {– ∞ < t < ∞} обладает конечной энергией Es s 2 (t ) dt
и ограниченным по частоте (финитным) спектром:
S (ω) 0 при | ω | > 2π Fm.
Тогда сигнал s(t) может быть представлен в виде ряда Э. Уиттекера
(Эдмунд Уиттекер, шотландский математик: 1873-1956):
Δt
s (t ) sn sinc π Fд (t tn ) s (a n Δt ) sinc π (t a n Δt ) ,
n
n
(5)
где a – произвольное число, Fд = (1/Δ t) ≥ 2 Fm, а ряд (5) в каждой точке t сходится среднеквадратически.
При этом Es Δt n sn2 , а величина Δ tm ≡ 1/(2 Fm) называется интервалом Найквиста.
– 98 –
Для стационарных случайных сигналов теорема отсчётов формулируется
следующим образом.
Теорема. Если регулярный стационарный гауссовский случайный сигнал
ξ(t) с ограниченной средней мощностью ( Nξ ξ 2 (t ) ) является эргодическим
и имеет финитную спектральную плотность средней мощности
(Wξ(ω) = 0 при | ω | > 2 π Fm), то его реализации могут быть однозначно представлены в виде: ξ(t) =
ξ (a n t ) sin c πt (t a n t ) ,
n
а корреляционная
функция Rξ(τ) сигнала ξ(t) имеет следующее представление:
Rξ(τ) =
Rξ (m t ) sin c πt ( τ m t ) .
m
Здесь a – произвольное число, а величина Δ t ≤ 1/(2 Fm) или Δ t ≤ Δ tm.
Обратим внимание на то, что в разложении реализаций случайного сигнала ξ(t) величина a – произвольная, а в разложении корреляционной функции
a = 0.
Практический смысл условия эргодичности стационарного случайного
сигнала ξ(t) в последней теореме такой же, как условия принадлежности детер-
минированного сигнала s(t) пространству L2(t) в теореме КотельниковаШеннона: отсутствие в сигнале s(t) или в реализациях случайного сигнала ξ(t)
сингулярных составляющих вида A cos (ω t + φ), которые разложением Уиттекера (5), вообще говоря, не воспроизводятся.
Линейным преобразованием A скалярных функций f (x), принадлежащих
заданному функциональному пространству Φ(x), называется оператор, который
каждой функции
f (x) Φ(x) ставит в соответствие некоторую функцию g
(x) Φ(x) и который обладает свойством суперпозиции. Последнее означает, что
если даны функции f1(x) Φ(x), f2(x) Φ(x) и результаты действия
оператора A на них, то есть A f1(x) = g1(x) и A f2(x) = g2(x),
то результат действия оператора A на функцию f (x) = a1 f1(x) + a2 f2(x),
то есть на линейную комбинацию функций f1(x) и f2(x), имеет вид:
A f (x) = a1 g1(x) + a2 g2(x) = A [a1 f1(x) + a2 f2(x)].
– 99 –
Отсюда следует, что если функцию f (x) разложить в бесконечный ряд
f (x) = k 1 ak φ k ( x) , то действие линейного оператора A на эту функцию представится в виде g (x) = k 1 ak g k ( x) , где gk(x) = A φk (x) – при условии, что соответствующие ряды сходятся.
Если же функция f (x) Φ(x) представлена в интегральном виде [напри
F (ω) exp( j ω x) dω ], то результат действия на неё линейного опемер f ( x)
ратора A представится в виде: g (x) =
A( x, y)
f ( y) dy, где A(x, y) – называется
ядром линейного оператора A и представляет собой функцию двух переменных: x и y.
Математический смысл ядра A(x, y) состоит в следующем.
A( x, y ) δ( y – x0) dy = A(x, x0).
Пусть f (x) = δ(x – x0). Тогда g (x) =
Значит, ядро A(x, y) показывает величину вклада в функцию g (x) значения
f ( y ) δ( y – x0) dy.
функции f (x) в точке x = x0, поскольку f (x0) =
Общий вид линейного преобразования случайного сигнала ξ (t ) есть
ζ(t) =
A(t , t ) ξ(t' ) dt',
где A ( t , t ) – ядро линейного преобразования.
Для среднего значения ζ (t ) имеем:
ζ (t ) =
A(t , t ) (t ) dt A(t , t ) ξ(t ) dt'.
В дальнейшем будем полагать, что ξ (t ) = ζ (t ) = 0.
Тогда для автокорреляционной функции Rζ (t , s) результата ζ (t ) линейного преобразования случайного сигнала ξ (t ) получается следующее выражение:
Rζ (t , s) ζ(t ) ζ(s) ,
или Rζ (t , s ) A(t , t ) A( s, s ) ξ(t ) ξ( s) ds'dt' = A(t , t ) A( s, s) Rζ (t , s) ds'dt'.
Рассмотрим наиболее важные линейные преобразования.
Единичное линейное преобразование задаётся ядром A ( t , t ) δ (t t ) .
– 100 –
Для этого преобразования
ζ ( t)
δ(t t)ξ ( t) dt ξ ( t ) ,
Rζ (t , s) Rξ (t , s) .
Стационарное линейное преобразование имеет ядро: A(t, t' ) = A(t – t' ).
Корреляционная функция процесса ζ ( t ) A (t t ) ξ ( t ) dt имеет вид:
Rζ (t , s) A (t t ) A( s s) Rξ (t , s) dt ds .
Если процесс ξ(t) – стационарный, то процесс ζ(t) в этом случае также
стационарный и имеет энергетический спектр: Wζ (ω) K (ω) 2 Wξ (ω) ,
где K (ω) 21π A(ω) exp ( j ω τ) d τ ; τ = t – t'; K (ω) – коэффициент передачи соответствующего линейного четырёхполюсника, осуществляющего линейное
преобразование A.
1.3. Пространственно-временные случайные сигналы и помехи
В подразд. 1.3 рассматриваются скалярные случайные функции векторного аргумента. Аргумент случайной функции представляет собой точку в трёхмерном евклидовом пространстве R3( r ) или на плоскости R2( r ). Примерами
таких случайных функций являются случайное поле неоднородностей диэлектрической проницаемости ε a или относительного коэффициента преломления
na атмосферы Земли, случайное поле электронной концентрации ионосферы
Земли, случайные волны на поверхности океана, уровень атмосферных помех
или электромагнитное поле галактического происхождения на поверхности
Земли и т. п.
В радиотехнических системах сообщения передаются с помощью сигналов, которые являются электромагнитными волнами различных радиодиапазонов (частоты электромагнитных колебаний от 3 Гц до 3000 ГГц), а также видимой
части
оптического
диапазона:
в
волоконно-оптических
линиях
стационарной (фиксированной) электросвязи используются монохроматические
световые волны длиной 0,85; 1,3 и 1,55 мкм).
– 101 –
Антенно-фидерные устройства приёмников улавливают эти электромагнитные волны и превращают их в соответствующие высокочастотные электрические колебания токов и напряжений в электрических цепях приёмника. Эти
колебания затем обрабатываются с целью извлечения из них информации. Поэтому в отличие от статистической радиофизики в статистической теории радиосистем рассматриваются только скалярные случайные функции, параметры
которых зависят от пространственных координат и времени.
Поэтому
под пространственно-временными сигналами понимаются изменения
в пространстве и во времени параметров электромагнитных полей
различных радиодиапазонов, которые переносят некоторые сообщения.
Реализации случайных пространственно-временных сигналов обознача
ются как ξ ( x, t ) .
Вначале зафиксируем некоторый момент времени t и будем рассматривать
«пространственные фотографии» реализаций пространственно-вре-меннóго
сигнала: f ( x ) ξ ( x, t )It t0 . Функцию f ( x ) будем называть скалярным полем.
Если в пространстве R m ( x ) ввести декартову систему координат (x, y, z),
то можно отобразить реализацию f ( x ) на числовое евклидово пространство
R m ( x ) , где xт = || x1, x2, x3 ||; x1 = x, x2 = y, x3 = z.
Для определённости под пространством R m ( x ) будем подразумевать
обычное «физическое» пространство, то есть полагать m = 3, а точки простран
ства R m ( x ) с координатами (x1, x2, x3) в декартовой системе координат с
направляющими ортами i , j и k будем обозначать символом x R 3 (r ) .
Вектор-столбец x числовых значений координат вектора x есть
T
x x1 , x2 , x3 , а x = || i , j , k ||·x = i x1 j x2 k x3 .
– 102 –
Пусть функция f (x) координат x вектора x R 3 (r ) имеет Фурье-преобразование:
F3 (k1, k2 , k3 ) F (k ) (2 )
3
f ( x1, x2 , x3 ) e
j ( k1x1 k2 x2 k3 x3 )
d x1d x2d x3 ,
где k = || k1, k2, k3|| – вектор-столбец координат собственного вектора k в про
странстве R3( k ); ki = 2π/λi; λi – пространственный период по оси координат Oxi;
Т
i = 1, 2, 3.
Пределы интегрирования обычно будем считать бесконечными и опускать
их. Обратим внимание также на то, что в статистической радиофизике, знак в
экспоненте преобразования Фурье – положительный. Удобство такого представления выяснится при рассмотрении пространственно-временных радиосигналов.
Предыдущую формулу можно записать более компактно:
F3 (k ) f (x ) exp j (k x ) d x /(2 )3 ,
где k k1 , k2 , k3
T
– так называемый «волновой вектор»;
dx dx1 dx 2 dx3 ; – элементарный объём в числовом пространстве Rm(x);
(k x ) k1x1 k2 x2 k3 x3 k T x – скалярное произведение координатных век-
торов k и x; F (k ) – спектральная плотность функции f (x ).
В пространстве R 3 (x ) , в силу его многомерности, появляются дополнительные свойства преобразования Фурье, связанные с бóльшим, чем на прямой
R 1 ( x) , многообразием движений и видов симметрии. Так, сдвиг вектора
x R 3 (r ) на величину y обобщается на n-мерный случай непосредственно:
ℱ [ f ( x y)] e j ( k y ) ℱ [ f ( x)] .
Наряду со сдвигом в пространстве R 3 (r ) появляются вращения вокруг
точки или оси. Вращению U в R 3 (r ) соответствует аналогичное вращение U
– 103 –
в пространстве R 3 (k ) , то есть ℱ [ f (U x)] F (U k ) . Отсюда следует, что преобразование Фурье сферически симметричной функции f (R) есть сферически
симметричная функция F ( K ) , где
R x
x12 x22 x32 ; K k k12 k22 k32 .
При этом, поскольку функция
f (R) зависит от одной переменной R,
функции f (R) и F ( K ) связаны фактически одномерным интегральным преобразованием.
В частности, при n = 2: F ( K ) 21
0
f ( R) J 0 ( K R) RdR .
При n = 3:
F (K )
1
2
2
где sinc (x) = (sin x)/x.
0
f ( R)
sin( K R)
1
R dR = 2 f ( R) sinc (KR) R2 dR,
K
2π 0
Найдём методом преобразования Фурье частное решение для дифференциального оператора в частных производных Лапласа, то есть решим
уравнение:
Δ f ( x)
2 f ( x) 2 f ( x) 2 f ( x)
δ(x ) .
x12
x22
x32
(6)
Поскольку ℱ [ Δ f ( x ) ] k ℱ [ f ( x )] 1 / (2 )3 ,
2
или ℱ [ f ( x)]
sin ( KR )
1
1
dK 1 .
,
то
f
(x)
=
ℰ
(R)
=
3
2 0
3
2
K
4π R
2π R
(2 ) K
Значит, функция – (4 π R)
–1
является частным решением уравнения (6),
или фундаментальным решением для оператора Лапласа Δ.
Периодические в пространстве Rm(x) функции, так же как и на прямой
R1(x), имеют дискретную спектральную плотность.
Пусть функция f (x ) ; x R 3 (r ) ; периодична по координатам x1 и x2 , то
есть пусть f ( x ) f ( x1 m X 1 , x2 n X 2 , x3 ) . Тогда
ℱ [ f ( x)] = F (k3 )
F
m, n
mn
δ(k1 2πm X 1 )δ(k2 2πn X 2 ) .
– 104 –
Однако в пространстве Rm(x) возможны и другие виды периодичности,
которые порождают другие разложения периодических функций, например,
гексагональное разложение в пространстве R 3 (r ) .
Для представления аддитивной группы движений в Rm(x) (сдвиг на вектор
y R m ( x ) – «поступательное движение») выбирается система базисных функ-
ций вида:
φ( x , k ) (2π) n 2 exp j (k x) , где (k x) k1 x1 k 2 x2 k n xn .
В этом случае реализации случайного поля ξ(x) в Rm(x) имеют вид
ξ ( x ) (2π) n 2 Qξ (k ) exp j (k x ) dk ,
а корреляционная функция
Rξ ( x, y) (2π) n Gξ (k , χ) exp j (k x ) j (χ y ) dk d ,
где Gξ (k , χ) Qξ (k ) Qξ (χ) .
Такое представление удобно для однородных случайных полей:
Rξ ( x, y) Rξ ( x y) (2π) n 2 Wξ (k ) exp j k ( x y) dk ,
где Wξ (k ) (2π) n 2 Rξ ( s) exp j (k s) ds – спектральная плотность интенсивности
поля ξ ( x ) ; s x y .
Значит,
однородное случайное поле в пространстве Rm(x) является
совокупностью некоррелированных между собой
гармонических функций (пространственных гармоник).
Заметим, что гармонические функции являются базисом в пространстве
функций, заданных на пространстве Rm(x), а с другой стороны – собственными
функциями оператора Лапласа:
Δ( x , k ) K 2 ( x, k ).
(7)
Поэтому при замене декартовых координат на иные ортогональные координаты все решения уравнения (7) образуют ортонормированный базис для
функций на пространстве Rm(x).
– 105 –
Если случайное поле ξ(x, y) реализуется на плоскости R2 ( r ) , то в цилиндрической системе координат {ρ, φ} ортогональным функциональным базисом
представления {ψm(ρ, φ; λ)} 0 являются функции (цилиндрические гармоники):
ψm(ρ, φ; λ) = Jm(λ ρ) exp (– j m φ), где Jm(λ ρ) – цилиндрические функции Бесселя
I рода порядка m; = 0, ± 1, ± 2, ….
Значит, реализации поля ξ(ρ, φ) представляются в виде:
ξ(ρ, φ) = 21π
π
где Qξ m (λ) 1 2
(2 π)
ξ(ρ, φ) J
m
е
j mφ
m
Q
ξm
(λ) J m (λρ) λ d λ ,
0
(λρ) е j m φρ d ρ dφ .
π 0
Поэтому корреляционная функция Rξ(ρ, φ; r, ψ) поля ξ(ρ, φ) имеет вид:
Rξ(ρ, φ; r, ψ) = 1 2
4π
е
m n
ξn
где Gξ mn (λ, χ) Qξ m (λ) Q (χ) .
j ( m φ n ψ)
G
ξ mn
0 0
(λ, χ) J m (λρ) J n (χ r ) λ χ d λ dχ ,
Если спектральная функция Gξ mn (λ, χ) имеет вид:
Gξ mn (λ, χ) = 2 π Wξ (λ) δmn δ(λ – χ )/χ,
то
Rξ(ρ, φ; r, ψ) = 21π
е
j m (φ ψ)
или Rξ(ρ, φ; r, ψ) = 21π Wξ (λ)
0
W (λ) J
ξ
m
m
(λρ) J m (λ r ) λ d λ ,
0
е
j m (φ ψ)
m
J m (λρ) J m (λ r ) λ d λ .
По теореме сложения цилиндрических функций Бесселя
е
j m (φ ψ)
m
J m (λρ) J m (λ r ) J 0 (λ d ) ,
где d – расстояние между точками (ρ, φ) и (r, ψ).
Значит, Rξ(ρ, φ; r, ψ) = 21π Wξ (λ) J 0 (λ d ) λ d λ Rξ (d ) , то есть случайное
0
поле ξ(ρ, φ) – однородное изотропное.
– 106 –
Отсюда следует, что
изотропное однородное скалярное случайное поле ξ(ρ, φ) на плоскости
{ρ, φ} представляет собой совокупность некоррелированных между собой
цилиндрических гармоник ψm(ρ, φ; λ) = Jm(λ ρ) exp (– j m φ), а его
корреляционная функция Rξ(d ) и спектральная плотность
средней интенсивности Wξ(λ) связаны преобразованиями:
Rξ (ρ) 21π Wξ (λ) J 0 (λρ) λ d λ , Wξ (λ) 21π
0
R (ρ) J
ξ
0
(λρ) ρ d ρ .
0
По существу сформулированное выше утверждение является обобщением
теоремы Винера-Хинчина для однородных изотропных скалярных случайных
полей на плоскости R2 ( r ) .
В пространстве R 3 (r ) при сферической системе координат (r , , θ) в качестве базисных выбирают функции (сферические гармоники):
ψmn (r, , θ; λ) ψm (λ r ) exp( j n ) Pmn (cosθ),
где Pmn (cosθ) – присоединённые нормированные сферические функции Лежандра;
Pmn (cosθ) =
(2m 1)(m n)!
2(m n)!
Pmn (cosθ) ;
Pmn (cosθ) – присоединённые функции
Лежандра I рода порядка m степени n; m = 0, 1, 2, …; n = – m, – m + 1, …, – 1, 0, 1,
…, m; ψm (λ r ) π (2λ r ) J m 1 2 (λ r ) ; ψ m (λ r ) – сферические функции Бесселя I рода порядка m; J m 1 2 (λ r ) – функции Бесселя полуцелого порядка.
Заметим, что обычно сферические функции Бесселя I рода обозначаются
через jm(λ r); однако буква j у нас достаточно перегружена; поэтому мы обозначаем эти функции как ψ m (λ r ) .
Условие нормированности для сферических гармоник ψ mn (r , , , λ) имеет
вид:
2π π
ψ
mn
(r , , θ; λ) ψ mn (r , , θ; χ) r 2 sin θ drdθ d 2 δ m m δ n n δ(λ χ) λ 2 .
0 0 0
– 107 –
В этом случае реализации случайного поля ξ ( x ); x R 3 (r ); можно представить в виде суммы сферических гармоник:
ξ( x ) ξ(r , , )
m
e
j mφ
m0 n m
где Qξ mn (λ) (2π)
1
Pmn (cos θ)
Qξ m n (λ)ψm (λr)λ d λ ,
2
0
2π π
ξ ( x) ψm (λr) Pm (cosθ) exp( j m) r drdθd .
n
0
2
0 0
Корреляционная функция Rξ (r , r ' ) Rξ (r , , ; r' , ' , ' ) в таком базисе
представления есть:
Rξ (r , , θ; r, , θ)
m
m
G
m0 m0 n m n m 0 0
mmnn
(λ, χ) ψmn (r , , θ; λ) ψmn (r, , θ; χ)λ 2χ 2 d λ dχ .
Если поле ξ ( x ); x R 3 (r ) ; однородное изотропное, то
Gm mn n (λ, χ) 2π Wξ (λ) δm m δn n δ(λ χ) 2 ,
Rξ (r , , θ; r, , θ) = Rξ ( R) 4π Wξ () sinc( S ) 2d ,
(8)
0
Wξ () 1 2
2
Rξ ( R) sinc( R) R
2
dR ,
(9)
0
где R – расстояние от точки (r , , θ) до точки (r , , θ ) .
Значит,
изотропное однородное скалярное случайное поле ξ(r ) ξ(r , φ, θ)
в пространстве R 3 (r ) R 3 (r , , ) есть совокупность
некоррелированных между собой сферических гармоник
ψmn (r, , θ; λ) ψm (λ r ) exp( j n ) Pmn (cosθ) , а его
корреляционная функция Rξ(R) и спектральная плотность средней
интенсивности Wξ(λ) связаны одномерными преобразованиями (8) и (9).
Это – обобщение теоремы Винера-Хинчина на изотропные однородные
скалярные случайные поля в «физическом» пространстве R 3 (r ) .
– 108 –
Таким образом, специфика представления скалярных случайных полей
ξ (r ) , заданных в пространствах R n (r ) , состоит в том, что их аргумент r явля-
ется точкой m-мерного евклидова пространства r Rm (r ) , все координаты которой равноправны, а числовое пространство R3(x) допускает различные группы
движений,
которые
порождают
различные
виды симметрии и
соответствующие им представления случайных функций ξ (r ) ; r R3 (r ) ; и их
корреляционных функций Rξ (r , r ) .
Рассмотрим теперь линейные преобразования скалярных случайных полей.
Общий вид скалярного линейного преобразования A реализаций ξ ( x ) ;
x R 3 (r ) ; в реализации η( x ) ; x R 3 (r ) ; есть: η( x ) A ( x, x ) ( x) dx , где
A ( x , x ) – ядро линейного преобразования A двух векторных переменных x и
x′. Вопрос о допустимых ядрах A ( x, x ) линейных преобразований остаётся от-
крытым и решается каждый раз, исходя из математической постановки конкретной физической задачи.
Физический смысл ядра A ( x, x ) состоит в следующем.
Пусть ξ ( x ) δ( x x0 ) ; тогда
η ( x ) A ( x, x ) δ( x x 0 ) dx A ( x, x 0 ) .
Значит,
ядро линейного преобразования A ( x, x 0 ) есть неслучайное
скалярное поле, которое порождается точечным источником δ( x x 0 ) ,
расположенным в точке x x 0 .
Математически ядро A ( x, x 0 ) является решением краевой задачи для поля точечного источника δ( x x 0 ) в данной среде, заполняющей пространство
Rm( r ). По аналогии с линейными электрическими цепями эта среда заполнения
пространства R3( r ), осуществляющая совместно с соответствующими граничными условиями линейное преобразование A объёмного распределения источ– 109 –
ников поля ξ ( x ) ; x R 3 (r ) ; в конкретное физическое поле η ( x ) , называется ли
нейным блоком. Ядро A ( x, x ) в уравнении для η( x ) , характеризующее этот
линейный блок, называется функцией влияния, или функцией Грина этого блока.
Если ξ ( x, t ) – скалярная случайная функция вектора x R 3 (r ) и времени t,
то функция ξ ( x, t ) называется пространственно-временным сигналом (ПВС).
Случайный ПВС ξ ( x, t ) характеризуется корреляционной функцией
Rξ ( x, y; t , s) ξ( x, t ) ξ( y, s) .
Если корреляционная функция имеет вид Rξ ( x, y; t , s) Rξ ( x, y; t s ) , то
случайная функция ξ ( x, t ) называется стационарным ПВС.
Если Rξ ( x, y; t , s) Rξ ( x y; t , s ) , то функция ξ ( x, t ) называется однород
ным ПВС. Если Rξ ( x, y; t , s) Rξ x y ; t , s , то функция ξ ( x, t ) называется
однородным изотропным ПВС.
Если пространственно-временнóй сигнал ξ ( x, t ) – однородный и стацио-
нарный, то он представляется интегральной совокупностью некоррелированных
функций вида (2π) 4 exp j (k x ) j ωt и имеет корреляционную функцию
Rξ ( x y; t s) (2 π) 4 Wξ (k , ω) exp j k ( x y ) j (t s) dk dω ,
где Wξ (k , ω) – спектральная плотность интенсивности однородного стационар
ного пространственно-временнóго сигнала ξ ( x, t ) .
По аналогии с радиотехническими цепями для сигналов ПВС вводится
понятие распределённого блока как «устройства» любой физической природы,
которое преобразует один ПВС ξ ( x, t ) в другой ПВС η ( x, t ) . Если этот распределённый блок удовлетворяет принципу суперпозиции, то он называется линейным распределённым блоком и в общем случае может быть представлен ядром-
– 110 –
Gξ ( x, x ; t , t ) линейного интегрального оператора:
η( x , t )
D
G ( x, x; t , t ) ξ( x, t ) dxdt ,
где Gξ ( x, x ; t , t ) – функция Грина, или функция точечного источника; D – область пространства R 3 (r ) , на которую распространяется действие распределённого блока.
Если G (x, x; t , t ) G (x, x; t t ) , то соответствующий блок называется
стационарным; если G (x, x; t , t ) G (x x; t , t ) , то однородным; если
G(x, x; t , t ) G x x ; t , t , то изотропным.
Большинство распределённых блоков представляют собой макрофизические процессы, которые развиваются в пространстве R 3 (r ) и во времени
t R 1 (t ) и которые описываются дифференциальными уравнениями в частных
производных.
Например, для волнового оператора Даламбера
□ 2
t 2 a 2Δ n ; a 0;
H(t )
2
a 2t 2 x .
2 a
Функция a 2t 2 x 2 всюду в пространстве R 3 (r ) равна нулю, кроме
при n 3 имеем: ℰ3(x, t) =
прямой R = a t, где R = | x |, a функция a 2t 2 R 2 имеет на сфере радиуса R
сингулярность, и описывает распространение изотропного возмущения, возникшего в точке (x1 = x2 = x3 = 0) в виде дельта-импульса δ(t) и распространяющегося со скоростью a (например, акустическая волна от точечного взрыва).
При гармонической зависимости от времени вида exp( j ωt ) для волнового оператора получаем фундаментальное решение:
ℰ3( r , t) = (4π R) 1exp j (aR ωt ) .
В радиотехнике функция ℰ3( r , t) известна как сферическая волна, излучаемая точечным источником. Если её записать в виде
ℰ3( r , t) = – (4 π R)–1 exp [ j ω (t – a R/ω)],
– 111 –
то на расстоянии R от источника излучения эта волна ℰ3( r , t) является гармони-
ческим колебанием с круговой частотой ω, с амплитудой U = 1/(4 π R) и с
начальной фазой φ0 = – a R/ω. Значит, функция ℰ3( r , t) представляет собой гармоническую во времени волну, бегущую вдоль радиуса-вектора
r
с фазовой
скоростью vф = a/ω, где a = | k |. Именно в силу наглядности такого представле
ния функции ℰ3( r , t) в преобразовании Фурье по пространственным координатам взят знак «плюс», о чём говорилось ранее.
– 112 –
Раздел 2. Основы теории обнаружения сигналов
2.1. Обнаружение дискретных сигналов
Простейшей задачей обнаружения сигналов является обнаружение известного нам дискретного сигнала, под которым в радиотехнике понимается
идеализированная модель реального сигнала, которая представляет собой
последовательность значений {s(tk)} некоторой физической величины
s (– ∞ < s < ∞) – тока, напряжения,
напряженности электромагнитного поля и т. п. –
в определённых точках {tk} числовой оси {– ∞ < t < ∞} – оси времени.
Поскольку на сигнал s(tk) воздействуют различные помехи, то в простейшем случае аддитивных гауссовских помех приёмник сигналов будет регистри-
ровать некоторую величину uk = u(tk), которая является суммой дискретного
сигнала sk = s(tk) и дискретной гауссовской помехи nk = n(tk):
u(tk) = s(tk) + n(tk), или uk = sk + nk.
Итак, пусть в некоторый момент времени t производится регистрация
суммы принимаемого сигнала s и помехи n: u = s + n. Это – апостериорная
ситуация, характерная для однократного отсчёта значения реального, в общем
случае – непрерывного сигнала s(t).
После регистрации величины u мы должны в проектируемом приёмнике
поставить решающее пороговое устройство (с порогом срабатывания U ), которое выдаст решение:
сигнал s > 0 приёмником зарегистрирован, если u > U (или u < U при s < 0);
сигнал s > 0 на входе приёмника отсутствует, если u ≤ U (u ≥ U, если s < 0).
Со статистической точки зрения описанные выше процедуры соответствуют задаче проверки двухальтернативной гипотезы. Английский инженерисследователь Ф. Вудворд в 1953 г. первым из радиоинженеров подробно рассмотрел задачу обнаружения радиотехнических сигналов как проверку статистических гипотез.
– 113 –
Для наиболее эффективного (оптимального) выбора значения порога U
решающего устройства мы должны использовать всю доступную нам априорную статистическую информацию о сигнале s и о вероятностных свойствах
помехи n.
Будем полагать, что априори мы точно знаем величину s и то, что случайная помеха n распределена по закону Гаусса со средним значением
n
=0ис
плотностью вероятности pn(u) = (2 π Dn)–1/2 exp (– u2/(2 Dn)). Наконец, будем полагать, что априори мы знаем вероятности наличия сигнала s на входе приёмника P1, а также вероятность его отсутствия P0. При этом P1 = 1 – P0, поскольку
эти события образуют полную группу событий.
Тогда мы апостериори получаем два варианта условной плотности вероятности p(u) зарегистрированной случайной величины u:
p0(u) = (2 π D n)–1/2 exp [– u2/(2 Dn)] – при условии отсутствия на входе приёмника сигнала s (гипотеза H0);
p1(u) = (2 π D n)–1/2 exp [– (u – s)2/(2 Dn)] – при наличии сигнала s (гипотеза H1).
При любом значении порога U (– ∞ < U < ∞) возможны два рода ошибок.
В соответствии с радиотехнической терминологией ошибки I рода статистической теории проверки гипотез (срабатывание решающего устройства в отсутствие сигнала s) называются ложными срабатываниями (в военной радиолокации – ложными тревогами), а ошибки II рода (отсутствие срабатывания при
наличии сигнала s) – пропусками сигнала (пропусками цели).
Вероятность α(U ) ложного срабатывания
α(U ) =
U p0 (u ) du,
(10)
а вероятность β(U ) пропуска сигнала
U
β(U ) =
p1 (u ) du.
(11)
Величина Pпо(U ) = 1 – β(U ) называется вероятностью правильного обнаружения сигнала.
– 114 –
Ясно, что в заданных выше условиях величины α, β и Pпо зависят только
от выбранного значения U порога срабатывания решающего устройства.
Если величину U изменять в бесконечных пределах (– ∞ < U < ∞), то величины α и Pпо = 1 – β будут меняться соответственно от α = Pпо = 1 (при U = – ∞)
до α = Pпо = 0 (при U = + ∞). Кривые совместного изменения величин α и Pпо
называются характеристиками обнаружения сигнала s, или рабочими характеристиками приёмника.
Каждой точке характеристики обнаружения (α, Pпо) соответствует определённое значение порога U и соответствующие ему значения α(U ) и Pпо(U ).
Если s = 0, то при любом U: p1(u) = p0(u), α + β = 1, α + 1 – Pпо = 1, то есть
Pпо = α, что на характеристике обнаружения (α, Pпо) соответствует диагональ,
соединяющая точку 0 с точкой (α = 1, Pпо= 1). В остальных случаях характеристики обнаружения будут лежать выше этой диагонали.
Рассмотрим, от чего зависит, например, величина β ? Для этого рассмотрим выражение
U
β=
s
s
p1 (u ) du = p1 (u ) du – p (u ) du =
1
U
=
1
2
–1/2
– (2 π Dn)
s
exp[ – (u – s) /(2 Dn)] du.
2
U
Сделаем замену переменной: y = (u – s)/σ, где σ = Dn .
Тогда dy = du/σ и
U / σs / σ
exp (– y
–1/2
β = (2 π)
или
β = 12 – 1π
2
/2) dy =
1
2
–
0
1
2π
2
π
U /σ s /σ
exp (– t 2 ) dt = 12 [1 – erf ( 1 ( s σ U σ) )],
2
2
exp (– t ) dt =
(12)
x
x
0
exp( y 2 /2) dy ,
( s U )/( 2 σ)
0
где erf (x) =
1
2π
exp (– t
/2) dt – специальная функция,
2
x
называемая интегралом вероятности, или интегралом ошибок (иногда
обозначается через Φ(x) и называется функцией Лапласа, или Крампа).
– 115 –
Как следует из формулы (12), величина β зависит, естественно, не непосредственно от величин U и s, а от относительных величин ρ = U/σ и s/σ. Величина q = s2/Dn в статистической радиотехнике называется отношением «сигнал/помеха».
Для однозначного определения оптимального значения порога срабатывания ρ0 = U0 /σ Заказчику оптимального приёмника и его Разработчику нужно
договориться о критерии оптимальности.
В. А. Котельников (1946 г.) и А. Зигерт (1947 г.) предложили критерий
«идеального наблюдателя», согласно которому нужно выбирать значение ρ0
таким образом, чтобы средняя вероятность ошибок как первого, так и второго
рода) Pош(ρ0, q), при заданном значении q, была бы минимальной. При этом если
мы не знаем априорной вероятности присутствия P1 дискретного сигнала s на
входе приёмника, то приходится считать наличие и отсутствие сигнала s равновероятными, то есть полагать P0 = 1 – P1 = 0,5.
Тогда средняя вероятность ошибок
Pош( ρ, q) = 12 [α(ρ) + β(ρ, q)].
Для определения порога срабатывания U0 = ρ0 σ «идеального наблюдателя» нужно решить уравнение ∂Pош( ρ, q)/∂ρ = 0, или ∂[α(ρ) + β(ρ, q)]/∂ρ = 0.
Подставляя сюда выражения для α(ρ) и β(ρ, q) и учитывая, что функции
α(ρ) и β(ρ, q) являются интегралами с пределами интегрирования – ∞, + ∞ и ρ и
что дифференцирование таких интегралов по верхнему пределу даёт подынтегральную функцию, а по нижнему – минус эту функцию, получаем:
∂Pош(ρ, q)/∂ρ = p1(u/σ) – p0(u/σ) = 0, или exp [– ( ρ –
Значит, exp (– ρ02/2) = exp [– (ρ0 –
q )2 /2 ] – exp (– ρ2 /2) = 0.
q )2 /2 ], то есть ρ02 = (ρ0 – q )2 , что даёт
нам ρ0 = q /2 и значение порога U0 = σ q /2 = s/2. При этом средняя вероятность ошибки Pош(q) = 12 [1 – erf ( q /8 )].
– 116 –
Теперь вспомним: ранее мы предполагали, что априорные вероятности
наличия P1 и отсутствия P0 дискретного сигнала s на входе приёмника равны,
то есть P1 = P0 = 0,5. Если они различны, то вероятность средней ошибки
есть: Pош(ρ, q) = P0 α(ρ) + P1 β(ρ, q).
Тогда минимизация этой вероятности по переменной ρ даёт нам соотношение: P0 exp (– ρ02/2) = P1 exp [– (ρ0 –
q ) 2 /2 ], или
P0/P1 = exp [ρ02 /2 – (ρ0 –
q ) 2 /2 ].
В общем случае оптимальный порог U0 определяется решением уравнения: P0/P1 = p1(u)/p0(u).
Отношение Λ(u) ≡ p1(u)/p0(u) в статистике называется отношением
правдоподобия Λ(u), а величина P0/P1 обозначается через Λ0.
В нашем случае Λ(u) = Λ(ρ, q) = exp [ q (2ρ –
q ) /2].
Значит, оптимальное значение ρ0 относительного порога срабатывания ρ
= U/σ для «идеального наблюдателя» (Котельникова-Зигерта) в общем случае
(P0 ≠ P1) соответствует решению уравнения правдоподобия Λ(u) = Λ0.
Такое название проистекает из байесовской постановки задачи обнаружения. По формуле Байеса апостериорные плотности вероятности наличия p(s | u)
и отсутствия p(0 | u) сигнала s на входе приёмника при условии, что на его выходе зарегистрировано значение u, есть
p(s | u) =
P1 p1 (u )
P0 p0 (u )
, p(0 | u) =
.
P0 p0 (u ) + P1 p1 (u )
P0 p0 (u ) + P1 p1 (u )
Байесовское правило проверки статистических гипотез состоит в том,
что если p(s | u) > p(0 | u), то принимается гипотеза H1 о наличии дискретного
сигнала s на входе приёмника; иначе – об его отсутствии (гипотеза H0). Граничное значение p(s | u) = p(0 | u) соответствует равенству
P1 p1 (u )
= 1, или Λ( u) = Λ0.
P0 p0 (u )
Отметим, что эти результаты не зависят от формы плотности распре-
p(s | u) /p(0 | u) = 1, или
деления помех pn(u), то есть имеют общий характер.
– 117 –
Критерий «идеального наблюдателя» не учитывает тех потерь, которые
соответствуют ошибкам принятия решения различного рода. Если задаться потерями: Q0 – для случая ложной тревоги (ложного срабатывания) и Q1 – для
случая пропуска цели (сигнала), то среднее значение потерь от принятия
«наблюдателем» ошибочных решений Q (ρ, q) = Q0 P0 α( ρ) + Q1 P1 β(ρ, q).
Величина Q = R в статистике называется средним риском принятия
решения.
Значит, мы можем в качестве критерия выбора оптимального значения
порога ρ0 принять минимум риска R(ρ, q). В этом случае нужно решить уравнение: Q0 P0/(Q1P1) = exp ( q (2ρ –
q )/2), или Λ(ρ, q) = Λ0 Q0 /Q1.
Возможна ещё одна типовая ситуация: потери Q0 и Q1 заданы, а вот
априорные вероятности P0 и P1 – не известны. Тогда можно выбрать порог U0 = σ ρ0 таким образом, чтобы при всевозможных значениях P0 (0 < P0 < 1)
и P1 = 1 – P0 минимизировать максимально возможный риск R(ρ, q) = Q (ρ, q).
Такой критерий называется минимаксным критерием.
В соответствии с минимаксным критерием мы должны, при фиксированном значении P0, минимизировать риск R(ρ, q) по переменной ρ, а затем – максимизировать его значение по величине P0. В результате первой операции получаем Q0 P0/[(1 – P0) Q1] = exp [ q (2ρ – q ) /2], то есть
ρ(P0) = {ln [Q0 P0/((1 – P0) Q1)] + q/2}/ q .
Теперь уже риск R(ρ, q) зависит, при заданном значении q, только от величины P0 и выражается как
R(P0, q) = 12 Q0 P0 {1 – erf [(ln(Q0 P0/(1 – P0) Q1) + q/2)/ 2q ]} +
+ 12 Q1 (1 – P0){1 + erf [(ln(Q0 P0/(1 – P0) Q1) – q/2)/ 2q ]}.
Если задаться конкретными значениями величин Q0 и Q1, то, решая уравнение ∂R(P0, q)/∂P0 = 0, можно получить значение P0 = P̂0 , при котором риск
R(P0, q) будет максимальным.
– 118 –
Тогда минимаксный порог U0 будет равен:
U0 = σ {ln [Q0 P̂0 /(1 – P̂0 ) Q1] + q/2}/ q .
Наконец, известен также статистический критерий Неймана-Пирсона,
который предписывает максимизировать вероятность правильного обнаружения Pпо при ограничении вероятности ложного срабатывания α(ρ) заранее выбранной величиной α0. В условиях работы «идеального наблюдателя» это значит, что при любом значении q следует выбирать порог срабатывания U0
исходя из решения трансцендентного уравнения erf (ρ/ 2 ) = 1 – 2 α0. В результате получаем: U0 = ρ0 σ. При этом β(ρ0, q) = {1 + erf [(ρ0 – q )/ 2 ]}/2, а вероятность ошибки Pош( ρ0, q) = [α0 + β(ρ0, q)] /1.
Во всех рассмотренных выше случаях величины вероятностей ложного
срабатывания α(ρ) и пропуска сигнала β(ρ, q) взаимосвязаны. Спрашивается,
нельзя ли задавать эти вероятности независимо? Положительный ответ на этот
вопрос даёт метод последовательного анализа венгерского математика
А. Вальда (1936 г.).
Идея метода Вальда довольно проста. Выберем некоторые допустимые
значения величин α1 и β1 и по ним определим значения двух порогов: верхнего
Uв1 = σ ρв1 и нижнего Uн1 = σ ρн1 путём раздельного решения двух уравнений:
α1 = [1 – erf (ρВ1/ 2 )]/2 и β1 = {1 + erf [(ρН1 – q )/ 2 ]}/2.
Затем зарегистрируем принятое приёмником значение выходного напряжения u1 = u, а в решающее устройство введём следующий алгоритм:
если u1 > Uв1, то принимается гипотеза H1 («сигнал обнаружен»);
если u1 ≤ Uн1, то принимается гипотеза H0 («сигнала на входе приёмника
нет»);
иначе – принимается решение: «не знаю» – и производится повторная
регистрация u2. В последнем случае результаты обеих регистраций суммируются.
– 119 –
Тогда помехи, в силу их независимости, сложатся среднеквадратически
(σ2 = σ
2 ),
а сигналы – линейно (s2 = 2 s), и величина отношения сигнал/помеха
возрастёт (в данном примере – в два раза: q2 = (2 s)2/(2 σ2 ) = 2 q).
На этом втором шаге принятия решения, исходя, скажем, из тех же величин вероятностей ложного срабатывания и пропуска сигнала, находим значения
новых порогов Uв2 и Uн2 – путём решения уравнений
α2 = [1 – erf (ρв2/ 2 )]/2 и β2 = {1 + erf [(ρн2 – q )/ 2 ]}/2.
Затем проводится сравнение результатов двух регистраций (u1 + u2) с
этими порогами и принимается трёхальтернативное решение: H0, H1, «не знаю».
В последнем случае («не знаю») производится дополнительная регистрация u3 –
и так далее. Математики доказали, что при увеличении i = 1, 2, …, n разность
порогов ΔUi = Uвi – Uнi уменьшается и процесс последовательного статистического анализа заканчивается при таком значении n, при котором Uвn становится
равным или меньшим Uнn.
Рассмотрим оптимальное обнаружение априори известного аналогового
сигнала. Пусть на вход приёмника с некоторой вероятностью P1 может поступить априори известный аналоговый сигнал s(t) с ограниченной энергией:
Es =
s 2 (t ) dt < ∞.
Под энергией Es сигнала s(t) понимается следующая величина. Пусть
s(t) – напряжение (в Вольтах) на входном сопротивлении приёмника величиной
R = 1 (Ом). Тогда мощность сигнала, поступающего на вход приёмника, P(t) =
= s2(t)/R = s2(t) (Ватт). На элементарном промежутке времени dt на входе приёмника рассеивается энергия P(t) dt = s2(t) dt ( Джоулей). Полная рассеянная
энергия Es =
2
P (t) dt = s (t) dt ( Дж).
На выходе приёмника с вероятностью P1 может оказаться колебание
u(t) = s(t) + n(t), а с вероятностью P0 = (1 – P1) – колебание u(t) = n(t), где n(t) –
нормально распределённый стационарный шум с нулевым средним, с ограни– 120 –
ченной дисперсией (Dn = R(0) =
Wn (ω) dω < ∞) и с непрерывной спектраль-
ной плотностью мощности Wn(ω).
Итак, пусть ставится задача оптимального обнаружения априори известного сигнала s(t) на фоне гауссовских шумов n(t). Для решения этой задачи
нужно так обработать принимаемое колебание u(t) = s(t) + n(t), чтобы получить
максимальное значение отношения сигнал/помеха.
Для этого нужно провести повторные регистрации (если, например, радиолокационная цель приближается достаточно медленно), а результаты сеанса
регистраций правильно обработать – с точки зрения математической статистики.
Из метрологии известно, что если провести повторные независимые равноточные измерения ui; i = 1, 2, …, m; некоторой величины s, то выборочное
1
среднее u m
i1ui будет иметь теоретическое среднее (математическое ожиm
дание) u
1
m
m
i 1
m
1
u m
i1 u s и дисперсию DΣ = Dn/m.
Значит, результирующее отношение сигнал/шум будет qΣ = s2/DΣ = m q.
b
Интересно, что если вычислить статистику v m
i1ui , где b ≠ 0, то
m
v b s , DΣ = b2Dn/m, qΣ = b2s2/(b2DΣ /m) = m s2/Dn = m q.
То есть
1
умножение статистики u m
i1ui на любое ненулевое число b ≠ 0
m
не меняет результирующего отношения сигнал/помеха qΣ.
Пусть мы провели серию регистраций uk; k = 1, 2, …, m; дискретного сигнала sk > 0. Будем полагать, что помехи nk; k = 1, 2, …, m; имеют дисперсии
{Dk} 1m и не коррелированы между собой, а величина sk изменяется от регистрации к регистрации.
В результате обработки сеанса регистраций {uk} 1m нужно получить максимальное отношение «суммарный сигнал/суммарная помеха» qΣ.
– 121 –
Поскольку величины {nk} 1m – гауссовские, то будем обрабатывать серию
m
1
{uk} 1m линейно, то есть будем искать такую оценку uΣ = m
k 1 uk , при условии
1
m
k 1 ak =
m
1, чтобы максимизировать величину q =
суммарный сигнал sΣ есть sΣ =
DΣ =
m
2
k 1 k
a Dk.
m
k 1
m
k 1
m
[ a sk] a
2
k
k 1
2
k
Dk , ибо
ak sk, а дисперсия суммарных помех
Методом математической индукции можно доказать, что
если при регистрации дискретных сигналов {sk > 0} 1m
аддитивные гауссовские помехи {nk} 1m не коррелированы между собой,
то при оптимальной линейной обработке vΣ =
k 1 uk sk /Dk
m
результатов регистраций {uk} 1m отношения сигнал/помеха qk = sk2/Dk,
характерные для каждой k-й регистрации, просто суммируются:
m
qΣ = k 1 qk ; при этом в отсутствие сигналов {sk = 0} 1m
безразмерная статистика vΣ имеет гауссовское распределение
с нулевым средним vΣ = 0 и дисперсией D(vΣ) = qΣ ,
а при наличии на входе приёмника сигналов {sk} 1m
величина vΣ имеет среднее vΣ = qΣ и дисперсию D(vΣ) = qΣ .
О
братим внимание на то, что в этом случае даже в отсутствие сигналов дисперсия величины vΣ зависит от отношения qΣ, а потому вероятность ложного срабатывания α, так же как и вероятность пропуска сигнала β, зависит от результирующего отношения сигнал/помеха qΣ.
2.2. Обнаружение полностью известных аналоговых сигналов
Чтобы воспользоваться полученными выше результатами для решения
задачи оптимального обнаружения аналогового сигнала s(t) с ограниченной
энергией следует перейти в частотную область представления сигналов и помех, в которой спектральные составляющие помех n(t) (как стационарного случайного процесса) всегда не коррелированы, даже при Δ ω → 0.
– 122 –
В этом представлении мы можем провести такую (линейную) обработку
входного колебания u(t), чтобы использовать всю априорную информацию о
принимаемом сигнале s(t), получить максимально возможное результирующее
отношение сигнал/помеха и наилучшие (из всех возможных) характеристики
обнаружения сигнала s(t). Соответствующие линейные искажения сигнала s(t)
при этом не существенны, поскольку ставится задача обнаружения сигнала, а
не оценивания его параметров или фильтрации (воспроизведения сигнала с
минимальными искажениями).
Однако сигнал s(t) и реализация помехи (шума) n(t) принадлежат к разным классам функций (функциональным пространствам): сигнал s(t) – к гильбертову пространству функций L2(t) с ограниченной энергией Es < ∞, а реализации n(t) – к пространству функций с ограниченной мощностью N n
= Rn (0) Wn (ω) dω .
0
Сигнал s(t) L2(t) имеет обычное спектральное представление:
s(t) =
S (ω) exp ( j ω t) dω = S (2 π f ) exp ( j 2 π f t) df,
где S (ω) = 1 s (t) exp (– j ω t) dt, S ( f ) = 2 π S (ω).
2 π
Следует обратить внимание на разнообразие форм записи преобразования
Фурье, имеющихся в разных источниках. Дело в том, что условие ортогональности функционального базиса {exp ( j λ t); – ∞ < λ < ∞; – ∞ < t < ∞, } есть:
exp( j λ t ) exp( j χ t ) dt
exp[ j (λ χ)t ] dt 2 π δ(λ χ) .
Поэтому можно для преобразования Фурье выбрать ортонормированный
базис φ(ω, t) = (2 π)–1/2 exp ( j ω t) и представлять сигналы s(t) в виде:
s(t) =
S (ω) φ(ω, t ) dω
В этом случае S (ω)
1
2π
1
2π
S (ω) e j ωt dω .
s (t ) e j ωt dt .
– 123 –
Действительно, подставим в разложение s(t) представление для S (ω) :
s(t) = 1
2π
или
s(t) =
s(t ) e j ωt j ωtdt dω 21π
s(t ) exp[ j ω(t t )] dω dt ,
s (t ) δ(t t ) dt s (t ) .
Большинство «чистых» математиков предпочитают пользоваться ортонормированным базисом φ(ω, t) = (2 π)–1/2 exp ( j ω t).
В «детерминистской» радиотехнике прямое преобразование Фурье обычно записывается в виде (см. [3]):
S (ω) =
s (t) exp (– j ω t) dt,
(13)
В статистической радиофизике (см. [7]):
Fm (k ) = (2 π)
m
f (r ) exp [– j(k·r)] d r,
где m – размерность евклидова пространства R m (r ) .
Иногда в прямом преобразовании Фурье в показателе экспоненты берут
знак «+», а сомножитель (2 π)– m помещают в обратное преобразование и т. п. В
этом причина (не принципиального характера) различия одинаковых формул в
разных теоретических руководствах.
При построении вероятностных моделей различных стохастических сигналов было показано, что для рассмотрения случайных процессов удобно брать
прямое преобразование Фурье в виде: S (ω) (2 π) 1 s(t ) exp( j ωt ) dt ,
а для рассмотрения случайных скалярных полей:
Fm (k ) (2 π) m f ( x ) exp[ j (k x )] dx .
Для рассмотрения детерминированных сигналов s(t) L2(t) прямое преобразование Фурье предпочтительно записывать как
S ( f ) s (t ) exp( 2 π j f t ) dt .
– 124 –
В этом случае энергия Es сигнала s(t) есть:
Es
s 2 (t ) dt
S ( f ) S (v) e2π j ( f t vt ) dv df dt
S( f ) S
(v ) e
2π j ( f v ) t
dt dv df
S( f ) S
(v) δ( f v) dv df .
Окончательно получаем [формулу Парсеваля для энергии Es сигнала s(t)]:
Es
s (t ) dt 2 π
2
S (ω) dω
2
S ( f ) 2 df .
Значит, спектральная плотность S ( f ) [например в Вольтах-на-Герц] сигнала s(t) [Вольт] даёт нам распределение его энергии Es [в Вольтах-квадрат] по
всевозможным гармоническим составляющим вида: sk(t) = Uk cos (2 π fk t + φk),
где Uk – амплитуда k-й гармоники sk(t); φk – начальная фаза.
В этом состоит удобство приведённой выше записи прямого преобразования Фурье для радиотехники. При этом
S (ω) exp ( j ω t) dω = S ( f ) exp ( j 2 π f t) df.
s(t) =
Таким образом, чтобы в дальнейшем не задумываться о сомножителе 2 π и
о физическом смысле функций S (ω) 2 , S ( f ) 2 , Wξ(ω) и Wξ( f ), будем пользоваться следующей сводкой формул, связанных с преобразованием Фурье:
S ( f ) s (t ) exp( 2 π j f t ) dt ; S (ω) S ( f )/(2 π) ;
S (ω) exp ( j ω t) dω = S ( f ) exp ( j 2 π f t) df;
s(t) =
exp[ 2 π j f t ] dt δ( f ); δ(ω) = δ( f )/(2 π)
exp[ 2 π j f t ] df δ(t );
Es
exp( j ωt ) dω 2 π δ(t );
s (t ) dt 2 π
2
S (ω) dω
2
S ( f ) 2 df ;
(14)
Wξ ( f )
Rξ (τ) cos(2π f τ) dτ; Wξ (ω) Wξ ( f ) / (2π);
Rξ (τ)
W ( f ) cos(2 π f τ) df W (ω) cos(ωτ) dω;
ξ
ξ
N ξ ξ (t ) Rξ (0)
2
W ( f ) df W (ω) dω .
ξ
ξ
– 125 –
Для белого шума: Wξ (ω) N0 ; Wξ ( f ) 2π N 0 .
Перейдём от приведённого интегрального представления случайного сигнала s(t) к бесконечной сумме дискретных гармоник путём выбора достаточно
малого значения Δ f ≈ 0 на оси частот {– ∞ < f < ∞}:
s(t) ≈
k
k Δ f ) exp ( 2 π j k Δ f t) Δ f.
S(
Тогда s(t) ≈ s0 +
φsk = arg S (2 π k Δ f ).
s cos ( 2 π k Δ f t + φsk), где sk = 2 | S ( 2 π k Δ f ) | Δ f;
k 1 k
Ансамбль реализаций шума n(t) будем представлять в виде гармонических
колебаний со случайными амплитудами, начальными фазами и частотами
(гармоническое представление Найквиста).
Если частота k-го гармонического компонента шума n(t) попадает в промежуток {(k – 1/2) Δ f < f ≤ (k + 1/2) Δ f }, то будем считать, что f = f k. Это можно
делать, поскольку, в силу непрерывности спектра мощности шума Wn( f ), при
дальнейшем переходе к пределу при Δ f → 0 соответствующие суммы перейдут
в интегралы.
Значит, n(t) ≈ n0 +
n cos (2 π k Δ f t + φnk), где дисперсии Dk значений
k 1 k
компонентов вектора амплитуды nk для k-й гармоники шума n(t) в соответствии
с формулой (4) есть: Dk = Wn( fk) Δ f.
Тогда принятое колебание u(t) представится в виде ряда гармонических
функций времени: u(t) ≈ u0 +
u cos (2 π k Δ f t + φuk), где с вероятностью P0
k 1 k
компоненты uk(t) представляют собой случайные реализации шума
uk(t) = nk cos (2 π k Δ f t + φnk),
а с вероятностью P1 = (1 – P0) – сумму сигнала и реализации шума: uk (t) =
= sk cos (2 π k Δ f t + φsk) + nk cos (2 π k Δ f t + φnk).
Поскольку обнаруживаемый сигнал s(t) полностью известен, а векторы uk ;
k = 0, 1, …; распределены по закону Гаусса с дисперсиями квадратурных компонентов Dk = Wn( fk) Δ f и не коррелированы между собой, то задача обнаружения сигнала s(t) сводится к задаче обнаружения дискретного сигнала с помо– 126 –
щью его повторных регистраций. Мы уже выяснили, как можно максимизировать результирующее отношение сигнал/помеха qΣ с помощью линейной операции vΣ =
m
k 0
ak uk. Для этого нужно положить ak = sk /Dk; k =0, 1, …, m. В дан-
ном случае, при условии lim k 0 ak 2 , а также с учётом априорной
m
m
информации о комплексном спектре S ( f ) сигнала s(t) и спектральной плотности мощности Wn( f ) шума n(t),
vΣ ≈
k
U ( f k ) ak Δ f ≈
k
[ S ( f k ) + nk] ak Δ f,
где Δ fk = k Δ f; ak = S * ( fk)/Wn( fk). Знак комплексного сопряжения (*) у спектральной плотности S ( fk) берётся для того, чтобы получить квадрат её модуля
sk
2
= S ( f k ) 2 ( Δ f )2 = S ( f k ) S * ( f k ) ( Δ f )2.
Результирующее отношение сигнал/шум qΣ (при m → ∞) окажется при
этом максимальным и равным:
qΣ =
2
S ( fk ) Δ f
k
Wn ( f k )
=
qk ,
k
2
где qk S ( f k ) f /Wn ( f k ) – «парциальные» отношения сигнал/шум.
При переходе к теоретическому пределу при Δω → 0 формально получа
ем: vΣ = U ( f ) S * ( f ) Wn–1( f ) d f; qΣ =
S( f )
2
Wn ( f )
df.
Подчеркнём, что величина vΣ размерности не имеет.
Если в эффективной полосе частот сигнала s(t) помеха n(t) имеет равномерную спектральную плотность средней мощности Wn( f ) = N0, то мы приходим к формулам: vΣ =
1
N0
1
U ( f ) S * ( f ) d f, qΣ = N
0
S( f )
2
d f, или qΣ =
= Es /N0 = q. Формальному равенству для vΣ в спектральной области по теореме
швейцарского математика Планшереля (1910 г.) соответствует следующий интеграл во временнóй области:
vΣ =
1
N0
u (t ) s(t) dt.
(15)
– 127 –
Если на входе приёмника сигнал s(t) отсутствует, то
vΣ = 1
N0
n(t ) s(t) dt; v = 0; D(vΣ) = N1
0
Если присутствует, то
s 2 (t ) dt = q.
vΣ = 1
N0
[ s (t ) + n(t)] s(t) dt; vΣ = N1
0
s 2 (t ) dt = q;
D(vΣ) = (v v ) 2 = q; qΣ = v 2/ D(vΣ) = q.
Значит, «идеальный наблюдатель» должен задаться порогом обнаружения
U 0 = v / 2 = q
1
2 N0
s 2 (t ) dt и получить в результате наименьшую, из всех
возможных, вероятность ошибки, равную Pош = (1 – erf q / 8 )/2.
А если шум n(t) – «окрашенный», то есть Wn( f ) ≠ const, то принятое колебание u(t) предварительно следует пропустить через «отбеливающий
фильтр», то есть через стационарную линейную цепь с коэффициентом передачи, который удовлетворяет уравнению | K отб ( f ) | = Wn–1/2( f ). Фазочастотная
характеристика такого фильтра может быть произвольной, что позволяет сделать его физически реализуемым (то есть реализовать в аналоговом виде).
Затем полученное колебание u (t ) следует умножить на известный нам
сигнал s(t), интегрированием по формуле (15) при N0 = 1 получить соответствующую величину v и сравнить её с порогом обнаружения V0 .
В этом случае q
S( f )
2
Wn–1( f ) d f, порог «идеального наблю-
дателя» V0 = q / 2 , а вероятность ошибки наблюдателя Pош = (1 – erf q / 8 )/2.
Если же в решающем (пороговом) устройстве приёмника в качестве критерия оптимальности используются другие критерии (кроме «идеального
наблюдателя»), то для определения оптимального порога V0 нужно иметь выражение для отношения правдоподобия (v , q) . В данном случае («окрашенный
– 128 –
шум») в отсутствие сигнала p0 (v , q)
p1 (v , q)
2
1 exp (v q ) .
2πq
2q
2
1 exp v ; при его наличии (s(t) ≠ 0)
2πq
2q
2
2
Значит, (v , q) = p1 (v , q ) / p0 (v , q ) = exp (v q ) v ,
2q
2q
(v , q) = exp v q /2 .
или
2.3. Поиск и обнаружение узкополосных радиосигналов
с неизвестными параметрами
Радиосигнал s(t), вообще говоря, представляет собой высокочастотное
колебание, получаемое посредством модуляции низкочастотным колебанием
(передаваемым сигналом) s0(t) синусоидального колебания (несущей) f (t) =
= cos (2 π f0 t + φ0) высокой частоты f0, которое вырабатывается задающим генератором (гетеродином) передатчика. В результате процесса модуляции спектр
сигнала переносится в окрестность частоты f0 и, в зависимости от вида модуляции (амплитудная, фазовая, частотная, фазовая или частотная манипуляция,
квадратурная амплитудная модуляция и т. д.), претерпевает существенные
спектральные преобразования.
Однако если эффективная ширина спектра высокочастотного колебания
s(t) много меньше, чем частота несущей f0, то вне зависимости от типа модуляции радиосигнал s(t) можно представить в виде:
s(t) = s (t ) cos (2 π f0 t + φ0), где s (t ) =
S ( f ) exp ( 2 π j F t) dF.
При этом функция s (t ) не совпадает с модулирующим сигналом s0(t), поскольку при переходе к функции s (t ) проводится не демодуляция радиосигнала
s(t), а осуществляется только перенесение его спектра в область f 0 на величину f 0 (синхронное детектирование). Функция s (t ) для высокочастотного колебания s(t) = s (t ) cos (2 π f0 t + φ0) является огибающей радиосигнала, а такое
представление сводит все виды модуляции к эквивалентной амплитудной моду
– 129 –
ляции s(t) = s (t ) cos (2 π f0 t + φ0), где φ0 – известная нам начальная фаза несущей.
Если известный радиосигнал s(t) обнаруживается на фоне «белого» [в полосе частот радиосигнала s(t)] шума n(t) мощностью N0, то, согласно формуле
(15), для получения максимального значения результирующего отношения сигнал/шум qΣ мы должны с принятым высокочастотным колебанием u(t) = s(t) +
+ n(t) провести операцию:
1
N0
v=
u (t ) s(t) dt =
u (t ) s (t ) cos (2 π f0 t + φ0) dt.
1
N0
(16)
Среднее, по ансамблю реализаций шума n(t), значение величины v
v
= N1
0
s (t ) s (t ) cos (2 π f0 t + φ0) dt = N1
0
=
1
2 N0
s 2 (t ) cos2 (2 π f0 t + φ0) dt =
2
s (t ) dt +
1
2 N0
s 2 (t ) cos [2(2 π f0 t + φ0)] dt,
ибо cos x = [1 + cos (2 x)]/2.
2
Второй интеграл в последней сумме приблизительно равен нулю в силу
того, что функция s 2 (t ) на временнóм промежутке T = 1/(2 f0) меняется незначительно [в силу узкополосности радиосигнала s(t)].
Отсюда получаем:
v =
1
2 N0
2
s (t ) dt =
1
2 N0
2 | S ( f – f 0) | 2 d f = N1
0
S (F )
2
dF,
или окончательно: v = Es /N0 = q.
В силу линейности операции (16) величина v распределена по закону
Гаусса со средним v = q и с дисперсией Dv = q.
Величина v должна подаваться на решающее устройство с порогом срабатывания «идеального наблюдателя» U0 = q/2. Это будет оптимальный обнаружитель, если сигнал s(t) полностью известен, вплоть до точных значений амплитуды и начальной фазы несущей φ0.
Однако на практике более типичен случай, когда огибающая s (t ) известна достаточно точно, а вот амплитуда и начальная фаза φ0 несущей, вследствие
– 130 –
недостаточной предсказуемости затухания и электрической длины трассы распространения, априори неизвестны. Будем полагать, что случайная начальная
фаза φ0 у радиосигнала s(t) = s (t ) cos (2 π f0 t + φ0) равномерно распределена на
некотором промежутке значений начальной фазы φ0 длиной 2 π; например:
0 < φ0 ≤ 2 π. С точки зрения математической статистики – это самый худший
случай.
Значит, относительно шкалы времени приёмника поступающее на его
вход узкополосное высокочастотное колебание
u(t) = s (t ) cos (2 π f0 t + α) + n(t) = s (t ) [cos (2 π f0 t) cos α – sin (2 π f0 t) sin α] + n(t),
где α ≡ φ0 – случайная начальная фаза несущей.
Поскольку величина α нам неизвестна, то мы можем вычислить две случайные величины, имеющие максимально возможные отношения сигнал/помеха:
vc = N1
0
u (t ) s (t ) cos (2 π f0 t) dt =
2
s (t ) [cos (2 π f0 t) cos α – sin (2 π f0 t) sin α] cos (2 π f0 t) dt +
1
N0
=
+ N1
0
n(t ) s (t ) cos (2 π f0 t) dt,
vs = N1
0
n(t ) s (t ) sin (2 π f0 t) dt =
= N1
0
s 2 (t ) [cos (2 π f0 t) cos α – sin (2 π f0 t) sin α] sin (2 π f0 t) dt +
+ N1
0
n(t ) s (t ) sin (2 π f0 t) dt.
Средние [по ансамблю реализаций шумов n(t)] значения vc и vs величин vс
и vs суть:
cos α
vc = N
0
α
= cos
N
0
α
s (t ) cos2 (2 π f0 t) dt – sin
N
s
2
0
2
(t ) cos2 (2 π f0 t) dt = q cos α;
– 131 –
sin α
vs = N
0
s
2
(t ) sin2 (2 π f0 t) dt = q sin α.
s 2 (t ) sin (2 π f0 t) cos (2 π f0 t) dt =
Ясно, что величина v 2 = vc 2 vs 2 = q 2 cos 2 α q 2 sin 2 α = q 2 не зависит от
неизвестной нам случайной начальной фазы α.
Флуктуации vc и ν s величин vс и vs имеют дисперсии
Dvc = N1
0
s (t ) cos2(2 π f0 t) dt = q, Dvs = N1
2
0
s 2 (t ) sin2(2 π f0 t) dt = q
и корреляцию R(vс, vs) = N1
0
s 2 (t ) cos (2 π f0 t) sin (2 π f0 t) dt = 0.
Значит, в силу линейности соответствующих операций, величины vc и vs
распределены нормально и независимо друг от друга со средними значениями
vc = q cos α и vs = q sin α и с равными дисперсиями Dvc = Dvs = q. То есть величины vc и vs представляют собой проекции случайного вектора-столбца v =
= || vc, vs||Т в соответствующей декартовой системе координат на плоскости
{vc, vs}, имеющего при значении α вектор средних vc = || q cos α, q sin α ||Т и корреляционную матрицу R ν =
q 0
.
0 q
Выведем точное выражение для плотности вероятности величины
v vc2 vs2 . Для этого положим α = 0 (поскольку ситуация на плоскости
{vc, vs} не зависит от α) и введём обозначения: x = s + n cos β; y = n sin β, где β –
случайный угол, распределённый на промежутке (0, 2 π] равномерно.
Тогда p(x, y) =
1 exp ( x x ) y , где в данном случае σ 2 = q, v q .
2πσ2
2σ 2 2σ 2
2
2
Введём на плоскости {x, y} полярную систему координат (ρ, φ). Тогда
ρ 2 x 2 y 2 , x = ρ cos φ, а элемент площади на плоскости {ρ, φ} будет ds =
= ρ dρ dφ. В результате получим
p(ρ, φ) =
x2 x 2 2 x x y 2 ρ
ρ2 q 2
ρ
exp
exp
ρ
cos
φ
.
2
2
2πσ
2q
2σ
2π q
– 132 –
Значит, в присутствии сигнала s(t) ≠ 0 величина v имеет плотность веро2
2
2
2
p1(v) = 2πvq exp v q ev cosφ dφ v exp v q I 0 (v) , где I0(v) –
q
2q 0
2q
2π
ятности
модифицированная функция Бесселя I рода. Это – так называемое распределение Релея-Райса, которое при отсутствии сигнала (s(t) = 0) вырождается в рас-
v2
пределение Релея: p0(v) = v exp .
q
2q
Однако при q >> 1 величина ν =
vc2 vs2 имеет, как модуль вектора v =
= || vc, vs ||Т, асимптотически нормальное распределение со средним v q и с
дисперсией Dν = Dvc + Dvs = 2 q.
Задача оптимального приёма узкополосного радиосигнала со случайной
начальной фазой несущей α сводится к вычислению величин vc и vs
(квадратурных составляющих: косинусной vc и синусной vs),
к вычислению величины v =
vc2 vs2 и к выбору
соответствующего порогового значения V0 для случайной величины ν
исходя из априорных сведений о распределении величины v при наличии
(с вероятностью P1) и в отсутствие (P0) радиосигнала s(t).
При большом значении величины q >> 1 приближённо получаем:
α(V ) =
V
p0 (v) dv = 1q
v exp [– v
2
/(2q)] dv,
V
V
β(V ) = (v) dv =
1
4πq
exp [– (v – q)2/(4 q)] dv.
Значит, α(V ) = exp [ – V /(2q)], β(V ) = 12 {1 + erf [ (V q)/ 2 2q ]}.
2
Если приём осуществляется по правилу «идеального наблюдателя», то
следует минимизировать суммарную ошибку Pош(V ) = 12 [α(V ) + β(V )], то есть
решить уравнение dPош (V )/dV = 0 или
V
q
exp [– V 2/(2q)] = 2 1π q exp [– (V – q)2/(4 q)].
– 133 –
Отношение правдоподобия соответственно равно:
Λ(V, q) =
q/π
2V
2
2
exp (V q ) 2 q .
4q
При P1 = P0 = 0,5 отсюда получаем следующее трансцендентное уравнение для определения оптимального порога V0:
(Vп + q)2 – 2 q2 = 4 q [ ln V0 + ln ( 2 π q )].
Численное решение этого уравнения показывает, что несовершенство
подсистемы синхронизации радиосистем приводит к заметному увеличению
вероятности ошибки «идеального наблюдателя», эквивалентному уменьшению
отношения сигнал/помеха q по сравнению с идеальной синхронизацией в два
раза.
Точное выражение для отношения правдоподобия Λ(v, q) есть
v2 q2 v2
2 q I 0 (v) exp(q /2) .
Λ(v, q) = I 0 (v) exp
2q
Усложним ещё более задачу обнаружения.
Предположим, что принимается узкополосный радиосигнал с неизвестной начальной фазой φ0 несущей cos (2 π f0 t + φ0) на фоне белого шума. Для
квадратурной обработки поступающего на вход приёмника высокочастотного
колебания бортовой генератор опорных сигналов должен вырабатывать два высокочастотных колебания:
sc(t) = s0 (t ) cos (2 π f0 t) и ss(t) = s0 (t ) sin (2 π f0 t).
Предположим далее, что ожидаемый радиосигнал известен нам с точностью до случайного множителя s(t) = A s0 (t ) cos (2 π f0 t + φ0), где φ0 – случайная
начальная фаза, A – случайная величина (A > 0), которая в задачах статистической радиотехники обычно называют амплитудой сигнала s(t).
Отметим, что A – безразмерная величина и её лучше трактовать как коэффициент ослабления сигнала s0(t) на трассе распространения.
После вычисления квадратурных составляющих
vc = N1
0
u (t )
s0 (t ) cos (2 π f0 t) dt и vs = N1
0
– 134 –
u (t ) s0 (t ) sin (2 π f0 t) dt
мы получим две случайные величины: vc и vs (косинусную и синусную квадратурные составляющие), которые имеют средние (по ансамблю реализаций белого шума) значения
vc = A q0 cos α и vs
2
= A q0 sin α, где q0 = N1
0
2
s (t ) dt = N1
0
2
s
2
(t ) dt.
Дисперсии квадратурных составляющих Dνc = Dνs = A2 q0.
Значит, в присутствии сигнала s(t) величина ν =
vc2 vs2 будет иметь
распределение Релея-Райса с параметром q = A2 q0.
Если на входе приёмника сигнал отсутствует, то величина ν имеет однопараметрическое распределение Релея с безразмерным параметром q0.
При условии, что амплитудный коэффициент имеет некоторое значение
A, функции p0(ν) и p1(ν |A) суть:
2
4 2
q0
p0(ν) = ν exp [– ν 2/(2 q0)]/q0, p1(ν |A) = v I 0 (v)exp v A
( A2q0 ) .
2
2 A q0
Совместное распределение величин ν и A при наличии сигнала
p(ν, A) = p(A) p1(ν |A).
Значит, p1(ν) =
0
p ( ν, A) dA =
0
p ( A) p1(ν |A) dA.
Таким образом, мы свели решаемую задачу к задаче обнаружения известного сигнала с неизвестной фазой несущей. Если априори задана плотность вероятности p(A) амплитудного коэффициента A, то решение задачи можно довести до численных результатов.
Например, пусть величина A распределена по закону Релея
A2
p0( A) = A2 exp 2
σA
2σ A
при значении моды Mo(A) = σA = 1, то есть p0(A) = A exp A2 / 2.
Дисперсия случайной амплитуды A при этом DA = (2 – π/2) ≈ 0,429, то
есть среднеквадратическое отклонение амплитудного множителя A от единицы
составляет около 65%!
– 135 –
2
4 2
4
1 exp v A q0 A q0 dA .
В этом случае p1(ν) = v I 0 (v) Aq
0
0
2 A2 q0
Заменой переменной x = A2q0 получаем
2
1 q
1 q0
v
p1(ν) =
I 0 (v) 1 exp v x
dx v I 0 (v) K 0 2 q 0
0
2 q0
x
q0
q0
2x
0
где K0(z) – модифицированная функция Бесселя II рода.
v,
1 q
Значит, Λ(V, q0) = p1(v)/p0(v) = I 0 (v) K 0 2 q 0 v exp(v2/2q0).
0
Это в том случае, если амплитудный множитель нам известен с точно-
стью до 65 %, как это может иметь место в радиолокации, где рассеянный от
сложной цели сигнал может варьировать в значительных пределах. В системах
радиосвязи и радионавигации мы можем рассчитать параметры трассы распространения и ожидаемого радиосигнала достаточно точно. Поэтому закон распределения случайной величины A лучше аппроксимировать двухпараметрическим логарифмически нормальным законом
p( A) σ z A 2π
1
exp (ln A M z ) 2 /(2σ 2z ),
где величина z = ln A имеет нормальное распределение с параметрами z M z ,
Dz = σz2. При этом мы можем учесть среднее значение величины ln A в амплитуде опорного сигнала s0(t) и считать, что Mz = 0 ( A 1). Поэтому
p ( A) σ z A 2π
1
exp ln 2 A /( 2σ 2z ) .
Отсюда
v I 0 (v )
p1(ν) = p( A) p1(ν |A) dA =
2π σ z
0
0
1 exp v A q0 ln A dA .
2
A q0
2 σ2z
2 A q0
2
4 2
2
Такие интегралы приходится рассчитывать численными методами на
ЦВМ. Зато в этом случае величина σz может быть подобрана в соответствии с
экспериментальными данными, имеющимися у Разработчика радиосистемы
или у её Заказчика.
– 136 –
Теперь предположим, что нам неизвестна не только начальная фаза несущей φ0 узкополосного радиосигнала s(t) = s (t ) cos (ω0 t + φ0), но и временнáя
задержка его на трассе распространения, то есть ожидаемое колебание u(t) имеет вид: u(t) = s(t) + n(t) = s (t t0 ) cos [ω0 (t – t0) + α] + n(t), где t0 – неизвестное нам
запаздывание радиосигнала относительно начала временнóй шкалы приёмника,
α – неизвестная начальная фаза φ0 несущей ω0 в этой же шкале. Такая ситуация
типична для систем радиолокации.
Тогда в качестве опорных вырабатываются сигналы
sc(θ) = s (t θ) cos [ω0 (t – θ)] dt, ss(θ) = s (t θ) sin [ω0 (t – θ)] dt,
вычисляют квадратурные составляющие
vc(t0, θ) = N1
0
u(t ) s (t θ) cos [ω0 (t – θ)] dt,
vs(t0, θ) = N1
u(t ) s (t θ) sin [ω0 (t – θ)] dt
0
и величину v(t0, θ) =
vc 2 (t0 , θ) vs 2 (t0 , θ) как функцию неизвестного нам значе-
ния задержки t0 и задаваемого значения θ.
Если мы найдём максимум по аргументу θ функции v2(t0, θ), то его среднее по реализациям шума n(t) значение (при q0 >> 1) будет соответствовать величине θ0 = t0.
2
Найдя этот максимум, можно величину vмакс
подавать на пороговое ре-
шающее устройство.
Функция
Rs(τ) =
s (t t ) dt = s (t) s [t (t
0
0
θ)] dt' = s (t ) s (t τ) dt',
где t' = t – t0, а τ = t0 – θ, по аналогии с эргодическими стационарными случайными процессами ξ(t), называется автокорреляционной функцией огибающей
s (t ) радиосигнала s(t) = s (t ) cos (ω0 t + α), или сигнальной функцией.
Вообще говоря, автокорреляционная функция эргодического процесса
T
ξ(t) вычисляется по формуле Rξ (τ) = lim 21T
T
– 137 –
ξ(t ) ξ(t + τ) dt.
T
Поскольку в реальных радиосистемах время регистрации 2T реализаций
ξ(t) ограничено, а функция Rξ(τ) – чётная, то при большом (относительно интервала корреляции) значении T: Rξ(τ) ≈ 21T
T
T
ξ(t ) ξ(t + τ) dt.
А поскольку умножение на константу типа 1/(2T ) выражения Rs(τ) =
=
s (t ) s (t τ) dt практически не влияет на отношение сигнал/шум q, то
функция Rs(τ) формально аналогична автокорреляционной функции Rξ(τ) эргодического стационарного случайного процесса ξ(t). Правда, как и функция Rξ(τ),
функция Rs(τ) может иметь множество локальных максимумов, из которых при
оптимальном приёме сигнала s(t) следует найти глобальный.
Наконец, если радиолокационная цель перемещается с неизвестной скоростью Vr (относительно направления на местоположение РЛС), то несущая f 0
и
все
спектральные
составляющие
узкополосного
радиосигнала
s(t) =
= s (t ) cos [2 π f0 (t – t0) – α], претерпевают приблизительно одинаковый доплеровский сдвиг F = Vr f0 /c0, где c0 – скорость света в свободном пространстве,
так что принимаемый радиосигнал s(t) имеет представление
s(t) = s (t ) cos [(2 π f0 – 2 π F ) (t – θ) – α].
Величина так называемого «продольного эффекта Доплера» (существует
ещё и релятивистский «поперечный эффект Доплера»):
F = f – f0 = (Vr /c0)/(1 – Vr /c0).
Пренебрегая величиной Vr /c0 по сравнению с единицей (Vr /c0 << 1), получаем: F ≈ f0 Vr /c0.
Если величина F нам неизвестна, то мы должны принятое колебание u(t)
квадратурно обработать и искать глобальный максимум величины v(θ, F ) не
только по временнóму аргументу θ, но и по частотному F.
– 138 –
Раздел 3. Основы статистической теории измерения и оценивания
параметров сигналов радиотехнических систем
Радиоволны при распространении в определённой среде (по трассе распространения) претерпевают как регулярные, так и случайные изменения. Случайные изменения вызываются непредсказуемыми вариациями условий распространения на трассе (хаотическим движением неоднородностей среды
распространения и её границ – см. разд. 6). Регулярные (детерминированные)
вариации параметров среды распространения приводят к трём основным радиофизическим явлениям, сопровождающим распространение (в основном – узкополосных) радиосигналов: ослабление (уменьшение с расстоянием амплитуды
радиосигнала), запаздывание (временнáя задержка начальных фаз гармонических колебаний, вызванная конечной величиной фазовой скорости распространения электромагнитных волн) и эффект Доплера (отличие частоты несущей
принятого радиоприёмником высокочастотного колебания от частоты несущей
передатчика, вызванное непрерывным изменением расстояния между антенной
передатчика и антенной приёмника).
Достаточно сложный аппарат математической статистики даёт нам мощные и весьма общие методы получения оптимальных оценок. Однако в данном
курсе лекций мы придерживаемся принципов наглядности и простоты постановки и решения основных задач статистической радиотехники и будем использовать преимущественно методы линейного оценивания параметров сигналов, имея в виду особенности математической и радиотехнической подготовки
читателя.
Под измерением будем понимать совокупность действий,
выполняемых при помощи специальных измерительных приборов,
с целью получения числового значения некоторой
физической величины в заранее выбранных единицах измерения.
Измерения бывают прямыми, когда измеряемая величина непосредственно сравнивается с соответствующими делениями шкалы измерительного прибо– 139 –
ра, и косвенными, когда измеряемая величина получается по результатам измерения другой величины, связанной с измеряемой величиной известной функциональной зависимостью.
Под оцениванием некоторой величины будем понимать
вычислительную процедуру, с помощью которой по результатам
прямых или косвенных измерений получают статистические выводы
относительно интересующей нас величины.
Процесс получения оптимальных значений параметров сигналов по результатам регистрации данного электрического колебания будем называть оцениванием параметров сигнала, а результаты решения такой задачи оценивания – оптимальными оценками параметров сигналов. Хотя зачастую, если
это не вызывает недоразумений, и сам процесс оценивания также называют
оценкой.
В свою очередь, процесс обнаружения также предполагает измерение некоторых величин и сравнение результатов изменения с некоторыми заданными
величинами (порогами сравнения); оценивание параметров сигналов проводят,
как правило, после их обнаружения.
Начнём с постановки и решения простейшей задачи: оценивание неизвестной амплитуды сигнала априори известной формы.
Пусть принятый приёмником сигнал (после обнаружения и демодуляции)
s(t) = A s0(t), где s0(t) – известная нам функция времени, имеющая ограниченную энергию: E0 =
s0 (t ) dt
2
< ∞.
Тогда принятое колебание: u(t) = A s0(t) + n(t), где n(t) – аддитивная нормальная стационарная помеха («шум») с нулевым средним и с непрерывной
спектральной плотностью мощности Wn( f ). Неизвестная нам величина A сигнала s(t) может иметь весьма произвольное априорное распределение вероятностей с плотностью pA(x); 0 < x < ∞. Если плотность pA(x) близка к дельта-функции вида δ(x – A0), то задачи оценивания величины A вообще не возникает
– 140 –
(величина A = A0 известна априори). Ясно также, что достаточно точно величину A можно оценить лишь тогда, когда отношение сигнал/шум qs = A2 E0/Dn =
= A2 q0 достаточно велико (qs >> 1). Здесь q0 E0 /Dn , Dn – дисперсия шума в
полосе частот принятого сигнала.
А если так, то задачу оптимального оценивания величины A можно свести к метрологической схеме многократных прямых независимых неравноточных измерений переходом в спектральную область представления сигналов и
шумов, поскольку спектральные составляющие шумов как нормальных стационарных помех независимы.
С радиофизической точки зрения величина A является, например, коэффициентом ослабления радиосигнала s0(t) при его прохождении по некоторой
трассе распространения. С радиотехнической – коэффициентом усиления электрического сигнала s0(t) при его прохождении по линейным блокам приёмника.
Возможны другие интерпретации; однако о безразмерности величины A забывать не следует.
Итак, разобьём ось частот {– ∞ < f < ∞} на одинаковые промежутки длиной Δ f. Тогда принятое колебание u(t) представится бесконечной суммой k-х
парциальных гармонических составляющих:
uk(t) = uk cos (2 π f k t + φuk) = A s0k cos (2 π f k t + φsk) + nk cos (2 π f k t + φnk).
Значит, «парциальные колебания» uk(t) являются гармоническими колебаниями частоты f k со случайными амплитудой uk и начальной фазой φuk.
При больших значениях «парциальных отношений сигнал/шум» qk ≡
≡ A2 s0k2/Dnk приближённо имеем:
uk ≈ A s0k + nk cos(2 π f nk + φsk); uk ≈ A s0k; Duk = (u k u k ) 2 ≈ Dnk.
В отсутствие помех uk = A s0k. Поэтому оценка Âk величины A есть
Aˆ k u k /s0 k A , то есть в этом случае можно абсолютно точно оценить неиз-
вестную амплитуду (амплитудный коэффициент) A сигнала s(t) = A s0(t) известной формы s0(t) по одной спектральной составляющей uk(t).
– 141 –
При наличии помех мы получаем бесконечное количество оценок Âk
амплитуды A сигнала s(t) – независимых и неравноточных
nk
cos (φnk – φsk); k = 0, 1, ….
s0 k
Средние значения этих оценок Aˆ A , а дисперсии суть:
Âk = A +
k
Dk = nk /s0 k = Wn( f k) /[2 | S0 ( f k ) |2 Δ f]; k = 0, 1, 2, …; D0 = Wn(0) /[| S0 (0) |2 Δ f].
2
Как правильно усреднять такие оценки чтобы получить оптимальную
общую оценку ÂΣ , которая обладала бы минимальной дисперсией D̂Σ ?
Пусть мы имеем результаты двух измерений x1 и x2 некоторой неслучайной величины x0; при этом погрешности измерения величин x1 и x2 не имеют
регулярных составляющих (систематических погрешностей), не зависят друг от
друга и обладают дисперсиями D1 и D2 соответственно. Будем искать точечную
оценку x̂ величины x0 в классе линейных оценок, то есть будем полагать, что
x0 ≈ x̂ ≡ a1 x1 + a2 x2 + b.
Чтобы оценка x̂ была несмещенной, то есть чтобы выполнялось равенство x̂ = x0, следует определить математическое ожидание оценки выражением
xˆ a1 x1 a2 x2 b x0 .
Отсюда a1 x1 + a2 x2 + b = x0, или ( a1 + a2 ) x0 + b = x0.
Значит, следует положить b = 0. Тогда: a1 + a2 = 1,
x̂
= a1 x1 + a2 x2.
Введём обозначение: a = a1; тогда a2 = 1 – a.
Определим дисперсию DΣ оценки x̂ :
D (xˆ xˆ )2 [a1 x1 a2 x2 (a1 a2 ) x0 ]2 [a1 ( x1 x0 ) a2 ( x2 x0 )]2 ,
или DΣ = a12 D1 + a22 D2, поскольку ( x1 x0 ) ( x2 x0 ) = 0 – в силу независимости погрешностей результатов измерений x1 и x2.
Отсюда DΣ = a2 D1 + (1 – a)2 D2.
Кроме несмещённости оценки x̂ разумно потребовать, чтобы она имела
дисперсию, наименьшую из возможных дисперсий для линейных оценок вида
x̂ = a1 x1 + a2 x2 (эффективность оценки).
– 142 –
Для этого нужно решить уравнение dDΣ /da = 2 a D1 – 2 (1 – a) D2 = 0, из
которого находим:
a = D1–1/(D1–1 + D2–1) = a1; a2 = D2–1/(D1–1 + D2–1);
x̂
= a1 x1 + a2 x2;
(DΣ)–1 = D1–1 + D2–1, или (σΣ)–2 = σ1–2 + σ2–2.
Методом математической индукции можно доказать, что при произвольn
ном значении n для оценки x̂ = i 1 ai xi будем иметь:
n
ai = DΣ /Di; DΣ =
Di1 ;
(σΣ)–2 =
i 1
n
σ i 2 .
i 1
Если же случайные величины xi; i = 1, 2, …, n; статистически взаимосвязаны и известна их корреляционная матрица
Rn = || ( xi x0 ) ( xi x0 ) ; i, s = 1, 2, …, n || = || Ris; i, s = 1, 2, …, n ||,
(такая ситуация типична для флуктуаций измерительных радиосигналов, прошедших стохастическую трассу распространения радиоволн), то рассуждая
аналогичным образом, получаем следующее.
При n = 2: (σΣ)–2 = (σ1–2 – 2 ρ12 σ1 σ2+ σ2–2)/(1 – 2 ρ122);
a1 = σ1–1(σ1–1 – ρ12 σ2)/[(1 – ρ122) σΣ–2]; a2 = σ2–1(σ2–1 – ρ12 σ1)/[(1 – ρ122) σΣ–2].
n
При произвольном значении n: ai R i s σ ;
2
s 1
n
n
σ Ri s , где
2
s 1 i 1
|| Ri s ; i, s = 1, 2, …, n || = R n–1 – матрица, обратная матрице Rn.
Значит,
при любой последовательности (x1, x2, …, xi, …, xn) из n несмещённых
измерений, имеющих известную корреляционную матрицу R n
погрешностей измерений Δi = (xi – x0) некоторой величины x0 ,
наименьшей (в классе линейных оценок) дисперсией DΣ
обладает оценка: xˆ i 1 xi s 1 Ri s
n
n
n
n
l 1
k 1
R k l . Эта оценка является
несмещённой и имеет среднеквадратическое значение
n
n
σ 1 l 1 k R k l . Здесь || R k l ; k, l = 1, 2, …, n || = Rn–1 – матрица,
обратная корреляционной матрице Rn погрешностей измерений.
– 143 –
Вычислив значения x̂ и DΣ по выборке ( x1, x2, …, xi, …, xn), можно утверждать, что измеряемая величина x0 с вероятностью 0,95 ≤ P < 1 находится в
пределах ( x̂ – 2 σΣ) ≤ x0 ≤ ( x̂ + 2 σΣ). Это – интервальная оценка величины x0.
При гауссовских погрешностях измерений в указанных пределах величина x0
находится с вероятностью P = 0,95.
Итак, оптимальная оценка ÂΣ амплитуды A сигнала s(t) известной формы
s0(t) на фоне аддитивных стационарных помех n(t) равна:
ÂΣ ≈
A D
k 0
D∑–1 ≈
k
D
1
k
S0 ( f k ) Δ f
A
k
k 0
S 0 ( fl ) Δ f
l 1
Wn ( fl )
Wn ( fk )
2
;
2
S0 ( fk ) Δ f
k 1
Wn ( f k )
≈
l
l 1
2
1
.
При Δ f → 0 получаем окончательно
ÂΣ = D∑
U ( f ) S0 ( f )
2
S 0 ( f ) Wn ( f )
d f = D∑
*
U ( f ) S0 ( f )
d f ; D∑ =
–1
Wn ( f )
S0 ( f )
2
Wn ( f )
df .
Если шум n(t) – белый, то
ÂΣ = N1
0
U( f ) S
*
0
( f ) d f ; D∑
–1
= N1
0
S0 (ω)
2
dω = E0 /N0 = q0.
Если помехи n(t) – «окрашенный шум», то нужно предварительно его
«отбелить», то есть пропустить через фильтр с модулем коэффициента передачи K ( f ) Wn 1/2 ( f ) .
По теореме Планшереля операции в частотной области для вычисления
величины ÂΣ соответствует операция во временнóй области:
 =
1
N0
u (t ) s0(t)
dt.
Дисперсия такой оценки удовлетворяет равенству:
D∑
–1
= N1
0
s0 (t ) dt = E0 /N0 = q0.
2
В силу линейности операции для оценивания амплитуды сигнала случайная величина Â распределена нормально с параметрами:
 = E1
0
A s0 (t ) n(t ) s0 (t ) dt = E1
0
– 144 –
s
2
0
(t ) dt = A и D∑ = 1/q0.
Отсюда можно получить интервальную оценку. Например, с вероятностью 95 % величина A лежит в пределах ( Â – 2/q0) < A < ( Â + 2/q0).
Задачу оценивания неизвестной амплитуды A сигнала s(t) = A s0(t) на фоне
аддитивных стационарных помех n(t), рассмотренную выше, мы свели, переходом в частотную область, к метрологической схеме прямых независимых
неравноточных измерений. Аналогично можно решать задачу оптимального
оценивания и получения потенциальной точности измерения временнóго положе-ния полностью известного сигнала на фоне стационарных помех.
Пусть принятое колебание u(t) = s(t – t0) + n(t), где t0 – неизвестная временнáя задержка (например – на трассе распространения) сигнала s(t) с ограниченной энергией E. Величина t0 измеряется относительно начала t = 0 шкалы
времени приёмника. Перейдём в частотную область представлений сигналов и
помех.
При достаточно малом значении Δ f (Δ f ≈ 0) k-е парциальное колебание
(k-я гармоника, k = 1, 2, …) есть:
uk(t) = uk cos (2 π fk t – φuk) = sk cos [2 π fk (t – t0) – φsk] + nk cos (2 π fk t – φnk).
Заметим, что гармоника u0 (константа) информации о величине t0 не
несёт. Если помехи отсутствуют (n(t) = 0), то
uk(t) = uk cos (2 π fk t – φuk) = sk cos [2 π fk (t – t0) – φsk).
В этом случае uk = sk, φuk = ωk t0 + φsk. Отсюда tˆ0 = (φuk – φsk)/(2 π fk), то
есть мы абсолютно точно можем оценить задержку t0 по любой (одной) гармонической составляющей uk(t) принятого колебания u(t) (вопрос об устранении
многозначности фазовых измерений мы здесь не рассматриваем).
Если n(t) ≠ 0, то при больших отношениях qk = sk2/Dnk >> 1 фазы φuk парциальных колебаний uk(t) распределены асимптотически нормально и независимо с параметрами uk ≈ 2 π fk t0 + φsk; Dφk = Dnk /sk 2 = qk– 1.
Значит, измерение разности Δφk = φuk – φsk даёт нам парциальную асимптотически нормальную несмещённую оценку tˆ0 k = (φuk – φsk)/(2 π fk) со средним
– 145 –
значением tˆ0 k = (2 π fk t0 + φuk – φsk)/(2 π fk) = (ωk t0 + φsk – φs k)/ωk = t0 и с дисперсией Dtk = Dnk (sk ωk)– 2 = 1/(qk ωk2).
Усредняя с оптимальным взвешиванием парциальные оценки t̂ 0 k , получаем приближённую (зависящую от дискретности Δ f ) несмещённую оптимальную оценку временнóго положения известного сигнала s(t) на фоне аддитивных
помех n(t):
t̂0 ≈
Dt k1 (φuk – φsk)/ωk
k 1
D
k 1
1
tk
,
имеющую дисперсию Dt0 ≈ [ k 1 Dt k 1 ] – 1.
Подставив в выражения для t̂0 и Dt0 значения Dtk, получим
t̂0 ≈
k 1
k 1
k 1
ω k qk (φuk – φsk) [ ω k2 qk] – 1; Dt0 ≈ [ ω k2 qk] – 1.
Но qk = sk2/Dnk = | S (ω k ) | 2Δω/Wn(ωk). Поэтому при Δω → 0 получаем
асимптотически несмещённую оценку tˆ потенциальной точности измерения
величины t0: tˆ = Dt 0 ω | S (ω) | 2 Wn– 1(ω) [arg U (ω) – arg S (ω) ] dω, которая имеет
0
дисперсию Dt0, соответствующую равенству
Dt 0
–1
=
0 ω
2
| S (ω) | 2 Wn– 1(ω) dω.
Если в эффективной полосе частот сигнала Wn(ω) = N0 (n(t) – белый шум),
то Dt0– 1 = N2 ω2 | S (ω) | 2 dω.
0
0
Если обозначить величину
0 ω
2
| S (ω) |
2
dω
/
S (ω)
2
dω]1/2, которая
называется эффективной шириной спектра сигнала s(t), через βэ, то
Dt 0– 1 = 2 E βэ2 /N 0 , или Dt 0 = 1/(2 q0 βэ 2 ) .
Последняя формула впервые была получена в 1948 г. английским радиоинженером Ф. Вудвордом совместно с И. Дейвисом. (Филип Вудворд: родился в
1919 г., до сих пор живёт в Вустершире, Великобритания.)
Оценив дисперсию Dt 0, можно указать те пределы, в которых с заданной
вероятностью Pи находится истинное значение величины t0 (провести интервальное оценивание параметра t0). Например, если задано значение Pи =
0,95,то ( t̂0 – 2 Dt 0 ) < t0 < ( t̂0 + 2 Dt 0 ).
– 146 –
Выражению для дисперсии D0 в частотной области соответствует энергия
производной по времени от сигнала s(t), делённая на мощность белого шума N0:
0
Dt 0–1 = N1
s(t )
2
dt, а оптимальной оценке t̂0 – решение уравнения
u (t ) s'(t – θ) dt = 0.
Действительно, при n(t) = 0:
v(t0, θ) = u (t ) s'(t – θ) dt = s(t – t0) s'(t – θ) dt = 0,
то есть t0 = θ и v(t0, θ) = v(τ) = s(t – τ) s'(t') dt', где τ = θ – t0, t' = t – t0.
В окрестности точки θ = t0 величина τ = θ – t0 ≈ 0, и выражение для функции v(τ) линеаризуется: v(τ) ≈ v(0) + τ dv(0)/dτ, или
v(τ) ≈ s(t ) s'(t' ) dt' + n(t + t0) s'(t' ) dt' + τ{ s(t ) 2 dt' + n(t + t0) s'(t' ) dt'}.
Отсюда оценка
τ̂
величины τ есть:
τ̂
= – n(t + t0) s'(t' ) dt'/ s(t ) 2 dt.
Эта оценка имеет нулевое среднее значение (то есть оценка θ̂ = t0 +
τ̂
–
асимптотически несмещённая) и дисперсию, равную
D( τ̂ ) ≈ N0
s(t ) 2dt/[ s(t ) 2dt]2, или D( τ̂ ) ≈ N0 / s(t ) 2dt,
что и требовалось доказать.
Значит,
при воздействии белого шума на известный сигнал s(t) решение задачи
оптимального линейного оценивания его временнóго положения t0
сводится к умножению принятого колебания u(t) = s(t – t0) + n(t)
на производную s'(t – θ) сигнала s(t), интегрированию произведения
по всей оси времени {– ∞ < t < ∞} и к нахождению нулевого значения
этого интеграла как функции параметра θ, то есть к нахождению временнóго положения максимума свёртки принятого колебания
u(t) = s(t – t0) + n(t) и генерируемого в приёмнике опорного сигнала s(t – θ).
Отметим, что полученная оценка t̂0 неоднозначна, ибо автокорреляционная функция сигнала (её называют также сигнальной функцией)
T
Rs(τ) = lim 21T
T
s(t ) s(t – τ) dt
T
– 147 –
может иметь множество экстремумов. Оптимальная оценка t̂0 и её дисперсия D
относятся к глобальному положительному экстремуму. Поиск временнóго положения этого максимума является операцией устранения неоднозначности
( разрешения многозначности) измерения параметра t0, которая, в результате
воздействия помех n(t), является вероятностной задачей, решаемой с некоторой
отличной от единицы вероятностью PРМ.
Если форма сигнала s(t) может быть задана заранее (радиолокационный
сигнал), то следует так выбирать эту форму, чтобы сигнал s(t) имел автокорреляционную функцию с одним глобальным максимумом. Таковым является,
например, сигнал s(t) = A exp [– t 2/(2 τи2)], где τи – эффективная длительность
импульса. Дисперсия оценки Dt 0 его временнóго положения
0
Dt 0–1 = N1
то есть Dt 0 =
2 N 0 τи
π A2
s(t )
2
dt =
A2
N 0 τи 4
t
2
exp (– t 2/τи2) dt =
A2
N 0 τи 4
π τи3
2
,
.
В статистической теории радиосистем возникает задача одновременного
прецизионного измерения временнóго положения и частоты несущей узкополосных радиосигналов на фоне белого шума.
Пусть излучается узкополосный радиосигнал s0(t) = s0 (t) cos (ω0 t); принимается радиосигнал s(t) = A s0(t – t0) = A s0 (t – t0) cos [ω0 (t – t0)] (A – известный
коэффициент ослабления, t0 – неизвестное запаздывание радиосигнала s0(t) на
трассе распространения) на фоне белого аддитивного шума n(t) мощностью N0:
u(t) = s(t) + n(t).
Для оптимальной оценки tˆ0 величины t0 необходимо найти временнóе положение максимума функции R(t0, θ) = A u (t ) s0 (t – θ) cos [ω0 (t – θ)] dt.
– 148 –
Дисперсия оценки tˆ0 = θ0 –
A
D( τ̂ ) ≈ N 0
2
= N0
τ̂
есть Dt 0 = D( τ̂ ) ≈ N 0
d
{s0 (t θ) cos[ω0 (t θ)]}
dθ
A
2
2
s(t ) 2 dt, или
dt =
cos (t – θ) ddθ [ s0 (t – θ)] + ω0 s0 (t – θ) sin [ω0 (t – θ)]|2 dt.
Поскольку эффективная длительность огибающей s0 (t) много больше периода несущей T0 = 2 π /ω0 [ узкополосность радиосигнала s0 (t) cos (ω0 t)], то
D( τ̂ ) ≈ N0 /{A2 ω02 s02 (t – θ) sin2 [ω0 (t – θ)] dt},
2
2
или D( τ̂ ) ≈ 2 N0 /{A2 ω02 s0 (t ) dt} = 2 N 0 (ω 02 E s ) , то есть D( τ̂ ) ≈ 2 (q0 ω 0 ) .
А так как начальная фаза φ0 несущей cos [ω0(t – t0) + φ0] обычно непред-
сказуема, то при высокочастотной квадратурной обработке принятого колебания u(t) = s(t) + n(t) дисперсия оценки величины t0 увеличивается:
2
D( τ̂ ) ≈ 4 (q0 ω 0 )
Однако поскольку огибающая s0 (t) – медленно меняющаяся функция
времени (на промежутке T0 = 2 π /ω0), то оценка tˆ0 – неоднозначная. Поэтому
обычно применяется двухэтапное оценивание величины t0: сначала эта величина оценивается по огибающей A s0 (t – t0), а затем – уточняется по «нулевому переходу» несущей (импульсно-фазовые системы). При такой процедуре однозначного оценивания величины t0 необходимо, чтобы дисперсия оценки
2
ˆ ≈ N 0 A2 s0 (t ) dt была бы много меньше
величины t0 по огибающей D(τ)
квадрата периода T0 несущей cos (ω0 t).
Например, если s0 (t) = exp [– t 2/(2τи2)], то s0 (t) = – t exp [– t 2/(2τи2)]/τи2. Поˆ ≈ N 0 τ и4 A2 t 2 exp( t 2 / τ и2 ) dt = 2 N 0 τ и
этому D(τ)
π A2 .
Значит, для получения почти однозначной оценки величины t0 импульсно-фазовым методом необходимо выполнить условие:
– 149 –
N0τи
2π
2
π A2 ω0
2
<< 1.
Перейдём к решению задачи оценивания потенциальной точности определения априори неизвестной частоты несущей f узкополосного радиосигнала
s(t) = s (t) cos (2 π f t).
Поскольку всегда ΔF << f0, то можно считать, что все спектральные составляющие узкополосного радиосигнала s(t) получают одно и то же доплеровское смещение ΔF частоты f0, а потому задача оптимальной оценки величины
ΔF на фоне аддитивных помех n(t) сводится к задаче оценивания смещения
спектра S ( f ) радиосигнала s(t) по оси частот (с учётом «зеркальности» спектров
действительных сигналов). То есть эта задача аналогична задаче оптимального
оценивания смещения сигнала по временнóй оси.
А поскольку преобразованиям во временнóй области соответствуют аналогичные преобразования в спектральной области, то мы можем сразу же записать решение поставленной задачи, уточнив понятие эффективной длительности радиосигнала αэ:
DΔω ≈ 1/(2 q αэ2), где αэ2 =
t
2
s 2 (t ) dt
s
2
(t ) dt .
Например, при (t) = A exp [– t 2/(2 τи2)]:
2
2
2
Es = A exp ( t / τ и ) dt
π A2 τ и ; αэ2 = A 2 t 2 exp ( t 2 / τ и2 ) dt / E s τ и2 / 2 .
Значит, DΔω ≈ 1/(2 q α э2) = 1/(q τи2).
В то же время,
t2
2
2
= s(t ) dt
π A τ и = 4 exp ( t / τ и ) dt
τи
2
2
2
или βэ = 1/(2 τи ). Поэтому Dt0 ≈ 1/(2 q βэ ) = τи2/q.
βэ2
2
2
π τи ,
Если мы возьмём произведение дисперсий оценок временнóго положения
радиосигнала и величины Доплер-эффекта, то получим интересный результат:
τ и2
1
1
Π = Dt0 DΔω =
,
4 q 2 э2 э2 q 2 τ и2 q 2
то есть произведение Π зависит только от отношения сигнал/шум q и не зависит
от длительности зондирующего радиоимпульса.
– 150 –
Значит, если мы хотим с помощью радиолокационной станции как можно
точнее измерить дальность до цели: R = c0 tз /2, где c0 – скорость света, а tз – запаздывание принятого радиолокационного импульса относительно излучённого, то мы должны взять зондирующий импульс РЛС как можно более коротким,
но «пожертвовать» при этом точностью измерения скорости цели по величине
продольного Доплер-эффекта: V = c0 F/f0 – и наоборот.
Это чисто метрологическое явление называется «принципом неопределённости в радиолокации» или более общо: «принципом неопределённости в
радиотехнике». Термин «принцип неопределённости» заимствован из теоретической физики. В 1927 г. немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг (19011976), обобщая результаты экспериментальных исследований в области физики элементарных частиц, сформулировал общий «принцип неопределённости»:
произведение среднеквадратических отклонений от средних значений измеренных координаты микрочастицы и проекции её импульса (произведения массы
на скорость) на эту координату больше или равно половины постоянной величины (постоянной Планка) ħ ≈ 10 –34 ( Дж ·с).
В физике элементарных частиц (в микромире) этот принцип интерпретируется как один из фундаментальных законов природы. Вместе с тем, радиоинженеры научились «обходить» этот закон путём синтеза таких (сложных) радиосигналов, которые позволяют прецизионно измерять дальность до цели и
одновременно – достаточно точно измерять её радиальную скорость. К сожалению, физики-экспериментаторы пока такой возможности не имеют.
Вопросы синтеза сложных сигналов, нарушающих общий «принцип неопределённости», рассматриваются в разд. 5.
– 151 –
Раздел 4. Основы теории оптимальной фильтрации сигналов
При передаче и приёме потока речевой или цифровой информации в радиоканале и во входных цепях приёмника на эту информацию неизбежно
накладываются внешние радиопомехи и тепловые шумы элементов радиоприёмника. Поэтому здесь возникает задача не обнаружения сигнала с ограниченной мощностью на фоне стационарных помех, а «очистки» потоков полезной
информации от помех. Аналогичная задача возникает и при реставрации,
например, записей на старых граммофонных пластинках. И хотя полезная информация – вполне детерминированный процесс (мы слышим голос певца, записанный на пластинке, и вполне разбираем сквозь шуршания и трески или заранее знаем, о чем он поёт!), при построении соответствующей аппаратуры для
«очистки» такой полезной информации от помех мы используем вероятностный подход, то есть предполагаем, что полезный сигнал (реставрируемая запись) представляет собой случайный процесс, который следует отфильтровать от стационарных случайных помех.
Таким образом, задачу оптимальной фильтрации непрерывного сигнала с
ограниченной мощностью s(t) от непрерывной помехи n(t) (– ∞ < t < ∞) можно
сформулировать следующим образом. На вход фильтра поступает аддитивная
смесь uвх(t) = s(t) + n(t) сигнала s(t) и помехи n(t). Требуется сформировать такой фильтр (электрический четырёхполюсник), чтобы электрические колебания
на его выходе uвых(t) в наименьшей возможной степени отличались от неизвестного нам полезного сигнала s(t). При этом ясно, что линейную фильтрацию
имеет смысл проводить в том случае, если спектрально-корреляционные характеристики сигнала s(t) и помех n(t) существенно отличаются друг от друга.
Для математической постановки задачи оптимальной фильтрации следует
сформулировать предположения о статистических свойствах сигнала s(t) и помехи n(t), о критерии оптимальности степени отличия функций uвых(t) и s(t) и о
типе фильтрующего четырёхполюсника.
– 152 –
В простейшем случае эти предположения таковы.
1. Сигнал s(t) и помеха n(t) представляют собой независимые гауссовские
стационарные случайные процессы с нулевыми средними и со спектральными
плотностями мощности Ws(ω) и Wn(ω) соответственно.
2. Колебание uвых(t) и сигнал s(t) должны различаться между собой в
наименьшей степени в среднеквадратическом смысле.
3. В качестве оптимального фильтра предполагается стационарный линейный четырёхполюсник с коэффициентом передачи K (ω) .
Поскольку случайные процессы s(t) и n(t) – стационарные и фильтр с коэффициентом передачи K (ω) – тоже, то можно пользоваться «обычной» формой
записи преобразования Фурье. Колебание на выходе фильтра uвых(t) является
стационарным процессом, и можно решать задачу оптимальной фильтрации в
области круговых частот для представления реализаций этих процессов.
Возьмём достаточно малые отрезки на оси круговых частот:
(ωk – Δω/2) < ω < (ωk + Δω/2); k = 1, 2, …, m; Δω ≈ 0;
и минимизируем дисперсии D(Δk) разностей амплитуд uвых k и sk парциальных
почти гармонических колебаний, которые равны:
Dвых k = | K (ω k ) | 2 (Ws(ωk) + Wn(ωk)) Δω и Dsk = Ws(ωk) Δω.
Значит, D(Δk) = (uвых k sk )2 = Dвых k + Dsk – 2 uвых k sk ,
или
D(Δk) = Dвых k + Dsk – 2 | K (ω k ) | (Dsk + sk nk ).
Поскольку сигнал s(t) и помеха n(t) – независимы, то sk nk = 0, и мы полу-
чаем
D(Δk) = | K (ω k ) | 2 (Ws(ωk) + Wn(ωk)) Δω + Ws(ωk) Δω – 2 | K (ω k ) | Ws(ωk) Δω.
Минимизация величины D(Δk) по модулю коэффициента передачи
| K (ω k ) | даёт нам следующее. Из уравнения dD(Δk) /d | K (ω k ) | = 0 вытекает
| K (ω k ) | = Ws(ωk)/[Ws(ωk) + Wn(ωk)].
– 153 –
Подставляя выражение для | K (ω k ) | в формулу для D(Δk), получаем минимальное значение D0k величины D(Δk): D0k = Ws(ωk) Δω /[Ws(ωk) + Wn(ωk)].
Суммированием всех значений D0k по индексу k от 1 до m и предельным
переходом при Δω → 0 и m → ∞ получаем минимальную величину результирующей дисперсии D0 отклонения выходного колебания uвых(t) от сигнала s(t):
D0 =
Ws (ω)
0 Ws (ω) Wn (ω) dω .
В отсутствие помех Wn(ω) = 0, | K (ω k ) | = Ws(ω)/Ws(ω) = 1 и D0 = 0. Действие же оптимального фильтра K (ω k ) сводится к вычислению спектральной
плотности выходного сигнала: Uвых(ω) = Uвх(ω) Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)], и к обратному преобразованию Фурье от неё.
Отметим, что решение задачи оптимальной фильтрации стационарного
сигнала s(t) из аддитивной смеси его со стационарными помехами n(t) определяет только модуль коэффициента передачи фильтра K (ω k ) (амплитудночастотную характеристику соответствующего четырёхполюсника). Фазочастотная
характеристика Φ0(ω) = arg K (ω k ) у оптимального линейного фильтра K (ω k )
может быть произвольной.
Однако в радиотехнике для построения линейного фильтра задания одной
лишь амплитудно-частотной характеристики недостаточно, ибо по модулю коэффициента передачи | K (ω k ) | нельзя найти его импульсную характеристику
h(t) ( реакцию на дельта-импульс). При этом у физически реализуемого фильтра
характеристика h(t) должна обладать свойством h(t) = 0 при t < 0, так как пассивные четырёхполюсники не могут дать отклика на своём выходе до поступления электрического воздействия на свой вход. Если удастся найти такую фазочастотную характеристику Φ0(ω) фильтра K (ω k ) с модулем коэффициента
передачи | K (ω k ) | = Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)], что преобразование Фурье ком– 154 –
плексной функции K (ω k ) = | K (ω k ) | [ j arg K (ω k ) ] будет обладать этим свойством (физической реализуемостью):
h(t) = 21
Ws (ω)
j ωt (ω)
dω = 0 при t < 0,
Ws (ω) Wn (ω) e
то оптимальный фильтр K (ω k ) для выделения сигнала s(t) из шума n(t) сконструировать можно (хотя бы в цифровом исполнении). Иначе оптимума при
решении поставленной задачи фильтрации сигнала s(t) достичь невозможно.
Из курса «Радиотехнические цепи и сигналы» известно, что для физической реализуемости фильтра с заданным модулем коэффициента передачи
| K (ω k ) | нужно, чтобы выполнялось условие:
0
ln K (ω)
1 ω
2
dω < ∞.
В этом случае можно найти функцию Φ(ω) физически реализуемого
фильтра, соответствующего линейному четырёхполюснику с минимальнофазовой характеристикой Φмф(ω) = arg K (ω k ) , вычисляемой по формуле
Φмф(ω) = 1π
0
ln[ K (ν) / K (ω) ]
νω
dν .
Тогда искомый оптимальный фильтр будет иметь комплексный коэффициент передачи K (ω k ) = | K (ω k ) | exp [ j Φмф(ω)] и импульсную характеристику
h(t) = 21
j ωt мф (ω)
Ws (ω)
e
dω .
Ws (ω) Wn (ω)
Поскольку | K (ω k ) | – чётная функция круговой частоты ω, то выражение
для фазочастотной характеристики Φмф(ω) можно записать в симметричной
ln[ K (ν) / K (ω) ]
форме: Φмф(ω) = 21π
dν , из которой видно, что при изменении
νω
коэффициента усиления фильтра K (ω k ) его фазочастотная характеристика,
естественно, не меняется.
Реальные радиосигналы имеют ограниченную полосу частот (скажем,
± ΔF
= ± Ω/2π = ± 3,4 кГц – для передачи речевого сигнала), а в этой полосе
– 155 –
частот величина практически постоянна: Wn(ω) ≈ N0, то есть
| K (ω k ) | = [1 – N0 /Ws(ω)] –1 при – Ω < ω < Ω и | K (ω k ) | = 0 при | ω | > Ω.
В этом случае дисперсия D0 погрешностей оптимальной фильтрации
D0 = [N 0 + Ws–1(ω)] –1 dω.
0
Выше мы рассмотрели только основы теории оптимальной фильтрации.
За последние 60 лет эта теория получила глубокое развитие и широчайшее
применение в радиотехнике и других областях техники. Были рассмотрены негауссовские сигналы и помехи, неаддитивные помехи и нестационарные сигналы и т. д. Более обширные сведения по теории оптимальной фильтрации можно
почерпнуть из учебного пособия [2], а также из многочисленной монографической литературы.
– 156 –
Раздел 5. Различение и разрешение сигналов. Сложные сигналы
В разд. 2 мы по существу уже сталкивались с задачей различения сигналов: различалась ситуация, когда на входе приёмника присутствовали только
помехи («нулевой сигнал»), от ситуации, когда среди помех присутствовал известный нам сигнал, возможно с некоторыми неизвестными параметрами. Поэтому многие полученные в разд. 2 результаты применимы и для решения задач
оптимального различения сигналов на фоне аддитивных помех. В статической
теории РТС решение таких задач необходимо для количественной оценки (анализ приёмника) и минимизации (синтез приёмника) потерь информации в каналах передачи отдельных сообщений и для оценки потенциальной помехоустойчивости РТС.
Пусть на входе КПДС может с априорной вероятностью Pj поступить одно из двух элементарных сообщений: uj; j = 1, 2. Сообщение uj будем переда
вать с помощью сигнала sj(t) с конечной энергией: E j
s 2j (t ) dt .
Пройдя канал передачи дискретных сообщений (КПДС) сигнал sj(t) исказится за счёт некоторой помехи n(t). Пусть помехи n(t) в канале КПДС – аддитивные стационарные гауссовские с равномерной [в эффективной полосе частот сигналов s1(t) и s2(t)] спектральной плотностью мощности, равной Wn(ω) =
N0. Тогда на входе приёмника сообщений с априорными вероятностями P1 и P2
могут поступить два колебания: u1 (t ) s1 (t ) n (t ) и u2 (t ) s2 (t ) n (t ) .
Наша частная задача:
синтезировать такие сигналы s1(t) и s2(t) и так задать алгоритм
функционирования приёмника, чтобы он автоматически различал
ситуацию наличия на входе приёмника сигнала s1(t)
либо сигнала s2(t) наилучшим образом.
Как всегда в таких случаях возникает вопрос о критериях оптимальности приёмника. Но предварительно нужно максимизировать отношения сигнал/шум: q1 – для сигнала s1(t) и q2 – для сигнала s2(t).
– 157 –
А для этого нужно вычислить значения интегралов
v1 1
N0
u (t ) s1(t) dt и v1 1
N0
u (t ) s2(t) dt
и их условных вероятностей.
Если помехи отсутствуют [n(t) = 0], то возможны четыре ситуации, которые определяются тремя числами:
E11 ν1 1
N0
s
2
1
(t ) dt q1 , E22
ν2 1
N0
E12 e12 1
N0
s22 (t ) dt q2 ,
s1 (t ) s2 (t ) dt , E21 e21 1
N0
s2 (t ) s1 (t ) dt E12 ,
образующие матрицу E E11 E12 q1 e12 , где e12 N 0 s1 (t ) s2 (t ) dt
E21 E22
e12 q2
– так называемая взаимная энергия сигналов s1 (t ) и s2 (t ) .
При наличии помех
E11 = q1 + 1
N0
n(t ) s1(t) dt, E12
= e12 + 1
N0
E21 = e12 + 1
N0
n(t ) s2(t) dt,
n(t ) s1(t) dt, E22 = q2 + 1
N0
n(t ) s2(t) dt.
Тогда величины {Ei j; i, j = 1, 2} имеют следующие матрицу средних
E Ei j ; i, j 1, 2 и матрицу дисперсий D = Di j ; i, j 1, 2 :
E
q1
e12
e12
q
, D 1
q2
q1
q2
.
q2
Пороговое устройство на выходе приёмника с вероятностью
1
1
2
P11 p11 ( E ) dE
exp
(
E
q
)
dE
1
2π q1 U1
2π
q
U1
1
1
1 erf (U1 q1 )
2
примет правильное решение: u (t ) s1 (t), а с вероятностью
P12
U2
p12 ( E ) dE
1
2π q2
неправильное: u (t ) s2 (t).
U2
exp
( E e12 ) 2 dE
2π q2
12 1 erf (U 2 e12 )
2q1
1
– 158 –
2q2
Аналогично: если передано сообщение u2 с помощью сигнала s2(t), то, в результате воздействия помех n(t) на сигналы s1(t) и s2(t), приёмник в совокупности с
пороговым устройством, имеющим порог срабатывания U2, примет с вероятностью
P22
U
2
(U
1 erf
p22 ( E ) dE 1
2
2
q2 )
2q2
правильное
решение: u (t ) s2 (t), а с вероятностью
P21
U2
1 erf (U1 e12 )
p21 ( E ) dE 1
2
2q1
– неправильное: u (t ) s1 (t).
Нам нужно оптимизировать решающее устройство при определённых
ограничениях на форму сигналов s1(t) и s2(t) и их энергию.
Пусть E1 = E2 = E =
s
2
1
(t ) dt =
s
2
1
(t ) dt . Тогда q1 = q2 = q.
Минимизация e12 приводит к очевидному следствию:
s (t ) s (t ) dt .
N0 e12 = – E =
1
2
Значит, s2(t) = – s1(t), e12 = e21 = – q, U2 = U1 = 0.
В этом случае
P12 p12 ( E ) dE 12 1 erf
0
q 2
P22 P11 p11 ( E ) dE 12 1 erf
При этом P12 1 P11 .
0
P21 ;
q 2
.
Надёжность такого бинарного канала определяется формулой:
χ = 1 P11 log P11 (1 P11)log (1 P11) .
Обобщим полученные выше результаты. Для этого рассмотрим высокочастотные узкополосные сигналы вида s(t) = s (t ) cos (ω0 t + φ). После проведения процедуры поиска и обнаружения у сигналов с бинарной фазовой манипуляцией (0°/180°) в симметричном бинарном канале будут приняты:
либо сигнал s1 (t ) s (t ) cos(ω0t ) – при φ = 0°,
либо s2 (t ) s (t )cos(ω0t ) s (t ) cos (ω0t ) – при φ = 180°.
– 159 –
Если N = 4, то sj(t) = s (t ) cos (ω0 t + φj), где φj = j π/4, E =
s
2
(t ) dt .
Именно такие сигналы применяются в магистральных (транкинговых) системах подвижной радиосвязи европейского стандарта TETRA: фазоманипулированные элементарные посылки длительностью τ э 27,8 мкс с начальными
фазами несущей φj = j π/4 – π:
s j (t ) π(T 2, t ) cos(ω0t )cos j sin(ω0t )sin j /T
π(T 2, t ) a j cos(ω0t ) b j sin(ω0t ) ,
где функция π T 2, t A при T 2 t T 2 ; π T 2, t 0 при t T 2 ;
aj = cos φj; bj = sin φj; T ω0 /(2π) – целое число.
В то же время
T
T
T
2
1
= T1 sin 2 (ω0t ) dt = 1, T1 cos (ω0t ) sin (ω0t ) dt 0 , E j A j2 .
T cos (ω0t ) dt
0
0
0
Значит, мы представили сигналы s j (t ) в ортонормированном базисе:
s j (t ) k 1 c jk ψ k (t ) , где 1 (t ) T 1 2 π T /2, t cos(0t ) ;
2
2 (t ) T 1 2 π T /2, t sin(0t ) ; c j12 c j 2 2 Aj 2 .
При этом Ej s j 2 (t ) dt A j 2 .
Если энергии сигналов s j (t ) ограничены величиной E0, то можно выбрать
все сигналы с максимально возможной энергией, то есть Ej = E0 = A2. Следовательно, сигналы s j (t ) мы можем выбирать, задавая на окружности A2 c j12 c j 22
соответствующие точки (c j1, c j 2 ) .
Если N = 2, то, например, c11 = A, c12 c21 0 , c22 A .
Если N = 4, то c11 A
c32 A
2 , c41 A
2 , c12 A
2 , c42 A
2 , c21 A
2 , c22 A
2 , c31 A
2,
2 , то есть на окружности радиуса r A в
плоскости {c1 , c2 } симметрично располагаются сигналы s1 (t ) и s2 (t ) . При оптимальном приёме таких сигналов на фоне белого шума вычисляются величины ν k
1
N0
u (t ) ψ k (t ) dt ; k 1, 2 ; которые имеют дисперсии
Dk D q A2 N 0 .
– 160 –
Обычно при поиске по задержке сигнала во времени и по частоте несущей узкополосного радиосигнала проводят квадратурную обработку сигнала,
то есть вычисляют, максимизируют и сравнивают с заданным пороговым значением величину ν = ν s2 ν c2 или ν 2 = ν s2 ν c2 . Однако включать непосредственно в задачу различения сигналов {sj(t)} и «нулевой сигнал» s0(t), то есть
его отсутствие [s0(t) = 0], нецелесообразно, ибо задача и правила обнаружения
(наличия на входе приёмника) радиосигнала отличается от задачи и правил различения сигналов. Поэтому сначала нужно принять решение (оптимальным образом!) о наличии на входе приёмника одного из известных, с точностью до некоторых параметров, сигналов (путём вычисления, например, величины
ν 2 = ν s2 ν c2 и сравнения её с оптимальным порогом Vп2 ), а затем, анализируя
комбинацию величин vc и vs, принять решение о том, какой из сигналов {sj(t)}
принят.
Сигналы, рассмотренные выше, называются многопозиционными дискретными сигналами, а их конфигурация на плоскости {c1 , c2 } называется сигнальным созвездием.
Теперь уже обобщение на случай k > 4 очевидно.
Пусть требуется синтезировать оптимальный канал передачи источника
дискретных сообщений, который в качестве алфавита содержит N элементарных сообщений (первичных знаков) U = {uj (t)} 1N . В таком случае последовательность действий такова.
1. В заданном диапазоне частот при допустимой мощности P0 излучения
передатчика выбирают M оптимальных, с точки зрения возможного соотношения сигнал/шум, ортонормированных базовых сигналов: k (t ); k 1, 2,
, M .
2. В числовом евклидовом пространстве RM (x) на гиперсфере радиуса
P0
x12 x22 ... xM2 равномерно располагают N точек, которые представ-
ляются координатными векторами xj = || xj1, xj2, …, xj M ||Т; j = 1, 2, …, N; и стро– 161 –
ят области ℬj их оптимального разделения.
3. В качестве переносчиков дискретной информации формируют N сигналов: s j (t )
N
k 1
x jk ψ k (t ) ; j 1, 2,
,N.
На этом синтез оптимальной подсистемы формирования и генерирования
сигналов (ПФГС) заканчивается.
При передаче i-го сообщения (текста) Si ( n ) (ν i1, ν i 2 ,
, ν i j , ..., ν in ) дли-
ной n радиопередатчиком подсистемы ПФГС последовательно излучаются сигналы si1 (t ), si 2 (t ),
трассу
, sin (t ) . Пройдя в общем случае стохастическую
, si j (t ),
распространения,
радиосигнал
принимается
антенно-фидерным
устройством подсистемы приёма и обработки сигналов (ППОС).
4. Проектируется радиоприёмник подсистемы ППОС, который принимает узкополосные высокочастотные колебания u (t ) и измеряет совокупность
значений величин ν j
1
N0
u (t ) s j (t ) dt , где
s j (t ) – вырабатываемые в при-
ёмнике опорные сигналы.
5. Проектируется устройство поиска и обнаружения, в котором вычисляется величина ν 2 ν12 ν 22
ν N 2 и путём последовательного ввода в опор-
ных сигналах {s j (t )}1N задержек по времени и сдвигов по частоте несущей
2
находится глобальный максимум величины vмакс
и фиксируются соответствую-
щие ему преобразованные сигналы { sˆ j (t ) }1N .
2
6. Найденное значение vмакс
сравнивается с величиной оптимального (по
заранее выбранному критерию обнаружения) порога Vп2 и принимается реше2
ние: если vмакс
≤ Vп2, то сигнал на входе приёмника отсутствует – и цикл поиска
2
и обнаружения сигналов заканчивается; если vмакс
> Vп2, то приёмник перево-
дится в режим различения сигналов.
– 162 –
7. Проектируется устройство различения, которое определяет, в какую
из областей ℬj попадает вектор-столбец ν ν1, ν 2 ,
, νN
T
. Принимается ре-
шение о том, что на вход приёмника поступил сигнал s j (t ) , соответствующий
передаче j -го элементарного сообщения.
На этом заканчивается синтез подсистемы приёма и обработки сигналов.
8. Вычисляется матрица переходных вероятностей Π Pjl
спроектиро-
ванного канала передачи дискретных сообщений (КПДС), а по вероятностным
характеристикам Ρ { Pjl ; j , l 1, 2,
, N } источников дискретных сообще-
ний ДИС оценивается надёжность КПДС
N
N
χ = Pj Pjl log Ps Psl Pjl
j , l 1
s =1
N
Pj log Pj .
j =1
Здесь Pjl – вероятность того, что при условии излучения радиосигнала
s j (t ) на выходе подсистемы приёма и обработки сигналов принято решение: на
вход приёмника поступил сигнал sl (t ) . Величина Pj – безусловная вероятность
того, что от источника дискретных сообщений на подсистему формирования и
генерирования сигналов поступило элементарное сообщение u j ; j 1, 2,
,N.
Тем самым статистическая теория РТС согласуется с информационной теорией РТС [9].
Если в задачах различения сигналов предполагается, что на входе приёмника присутствует один из возможных известных нам сигналов и требуется
определить, какой именно из сигналов присутствует, то в задачах разрешения
сигналов предполагается, что на входе приёмника присутствуют несколько одинаковых по форме сигналов, отличающихся значениями некоторых своих параметров – и требуется определить, сколько имеется сигналов и, после принятия
решения о количестве принятых сигналов, с какими именно значениями этих
параметров. Эта ситуация типична для радиолокации, когда требуется по рассеянным несколькими целями радиосигналам определить, сколько имеется целей,
– 163 –
какие они имеют координаты и скорости движения.
Рассмотрим разрешение двух радиосигналов
s1, 2 (t ) A1, 2 s0 (t ) cos (ω0 t )
с гауссовской огибающей вида s0 (t ) exp t 2 (2τ0 2 ) , где A1, 2 – амплитудные
коэффициенты, 2 τ0 – эффективная длительность сигналов. Будем полагать, что
предварительно проведено обнаружение радиосигналов и их синхронное детектирование.
Тогда сигналы будут отличаться только положением во времени, а задача
разрешения сигналов сводится к тому, чтобы определить: приняты два сигнала с
огибающими
s1 (t t1 ) A1 exp (t t1 ) 2 (2τ0 2 ) и s2 (t t1 ) A 2 exp (t t2 ) 2 (2τ0 2 )
либо только один?
Ясно, что поскольку амплитуду отраженного от цели радиолокационного
сигнала заранее (априори) предсказать невозможно, то при τ 0 устройством
разрешения будет принято решение: на вход радиолокационного приёмника
поступил (один) сигнал с амплитудой (после её оценки) Â A1 A 2 .
При
увеличении значения
τ0
вершина суммы двух
сигналов
s (t t0 ) s1 (t t1 ) s2 (t t2 ) будет «притупляться», станет «столообразной»
(плоской) и, наконец, сигнал s (t ) превратится в «двугорбую» (двухмодовую)
кривую.
Разрешающей способностью измерительного физического прибора
по Релею называется интервал δt = τР, при котором вершина кривой
s (t t0 ) становится плоской, то есть при котором
d 2 s (t ) dt 2
t t0
2
2
0 или d s (t ) dt
– 164 –
t 0
0 , где t t t0 .
В данном случае
(t τ 2) 2
(t τ 2) 2
s (t ) A1 exp
A 2 exp
,
2 0 2
2 0 2
s (t )
(t τ 2)2
1
2 A1 (t τ 2) exp
0
2 0 2
(t τ 2) 2
A 2 (t τ 2) exp
2 0 2
,
(t τ 2) 2
(t τ 2) 2
1
s(t ) 2 A1 1
exp
2
2
0
2
0
0
s(0)
A1 A 2
0 2
e
2 8τ02
2
2
4 0
(t τ 2) 2
(t τ 2) 2
1
2 A 21
exp
,
0
0 2
20 2
1 .
(17)
Отсюда получаем: τР2/(4 τ02) = 1, τР = 2 τ0.
Можно было бы на принципе определения второй производной огибающей принятого высокочастотного колебания сформулировать алгоритм работы
устройства разрешения радиосигналов. Однако при таком алгоритме не будут
учитываться конечная точность соответствующих вычислений, Доплер-эффект,
воздействие различных помех на полезные сигналы и оптимальная, с точки
зрения потенциальной помехоустойчивости, обработка радиосигналов.
Учтём влияние белого шума мощности N0 на разрешающую способность
радиолокационного приёмника при оптимальной обработке принятых узкополосных радиосигналов.
Пусть соответствующий Доплер-эффект – незначительный (или априори
известна несущая частота принятого сигнала), а амплитудный коэффициент A
сигнала известен, то есть можно полагать, что A = 1.
Тогда радиолокационный приёмник в режиме поиска радиосигналов
определяет значение величины ν = ν s2 ν c2 как функции времени t', где
ν s (t )
1
N0
u (t ) s (t t ) sin (ω0 t ) dt ;
ν c (t )
1
N0
u (t ) s (t t ) cos (ω0 t ) dt ;
u(t) – высокочастотные колебания на входе приёмника;
– 165 –
vs(t' ) и vc(t' ) – синусная и косинусная составляющие сигнала.
При большом значении отношения сигнал/шум q0 >> 1, где
2 0
1
1
,
q0
s 2 (t ) dt
exp t 2 /(20 2 ) dt
N0
N0
N0
среднее значение величины как функции t'
2 t 2 2t t t2
2 0 t2 / (4τ02 )
1
1
,
(t)
s0 (t ) s0 (t t ) dt
exp
dt
e
2
N0
N0
N
2
0
0
или (t ) q0 exp t 2 /(40 2 ) .
Дисперсия величины ν(t' ) есть Dν = 2 q0, а корреляционная функция белого шума, прошедшего оптимальную (согласованную) фильтрацию, в данном
случае имеет вид: R ν () Dν exp 2 /(4 0 2 ) .
Корреляционная функция первой производной R (1) () от такого случайного процесса Rν
(1)
Dν
2 2 /(4 τ02 )
.
() dRν ()/d
1
e
2 0 2
2 0 2
Корреляционная функция второй производной
Rν
(2)
() d Rν
2
(1)
Dν
2
2
2 2 /(4 τ02 )
.
()/d
3 1
3
e
4 0 4
2 0 2 2 0 2
2 0 2
2
Значит, дисперсия такого процесса
D
Dν (2) R ν (2) (0) 34 ν4
τ0
q
3 0 .
2 04
Среднее значение второй производной d 2 (t )/dt 2 в точке t' = 0 по формуле (17) [с учётом того, что функция (t ) – «шире» сигналов s1,2 (t ) в
2
q0 τ2 /(16 τ02 ) 2
раз, а амплитуда A1 = A2 = q0] есть: (0) 2 e
1 .
2
0
8 0
Поэтому ситуация разрешения двух радиолокационных сигналов одинаковой формы асимптотически соответствует ситуации разрешения двух гауссовских сигналов за исключением следующего.
1. Функции v1(t' ) и v2(t' ) являются случайными, распределёнными в
окрестности точки t' = 0 асимптотически нормально со средними значениями
– 166 –
ν1, 2 (t ) q0 exp t 2 (40 2 ) и с дисперсиями D 2 q0 .
2. Разрешающая способность по Релею τР = 2 2 τ0 ≈ 2,83 τ0.
3. Решение о наличии на входе приёмника двух радиосигналов принимается по правилу: в окрестности глобального максимума обнаруженного сигнала
имеется «седловина», в которой dv(t' )/dt' = 0, а d 2 ν (t ) dt 2 0 . В силу линейности операции дифференцирования среднее значение функции
d 2 ν (t ) dt 2 v∑''(t' ) = v1''(t' ) + v2''(t' )
в «седловине» (t' = 0) есть
ν(2)(τ)
q
02 e
τ0
τ2
16τ0 2
τ2
1
.
2
8τ
0
При дифференцировании прошедшего оптимальную фильтрацию белого
шума получается, что дисперсия второй производной функции v∑(t' ) в точке
t' = 0 равна: Dν(2) = 3 q0/(2 τ04).
Если же на входе приёмника присутствует один сигнал, то в точке t 0
мы получим (при той же дисперсии) среднее значение второй производной
νI (2) (0) q0 /(2τ 0 2 ) . Значит, задача разрешения двух сигналов свелась к задаче
проверки простой гипотезы: вторая производная v∑''(t' ) в точке t' = 0, в которой
v∑'(t' ) = 0, знáчимо больше нуля или нет? В этом случае
ν (2) () q0 0 2 exp 2 (16 0 2 ) 2 /(8 02 ) 1 .
Если мы не знаем априорных вероятностей наличия на входе приёмника
одного PI или двух P∑ сигналов, то следует полагать PI = P∑ = 0,5 и оптимальное
решение устройства разрешения (согласно критерию, аналогичного критерию
«идеального наблюдателя» – см. разд. 2) будет соответствовать порогу Vп(2), то
есть: если x > Vп(2), то принимается решение о наличии двух сигналов на входе
приёмника; иначе – одного. При этом суммарная ошибка принятия решения
1 erf
Pош (τ) 1
2
q/8 ,
где q = s2/σ2, s = v( 2 ) ( τ) + q0/(2 τ02), σ2 = Dv(2) = 3 q0/(2 τ04).
– 167 –
Задавшись величиной Pош(τ) [скажем, Pош(τ) = 0,05], можно, при данном
отношении сигнал/шум q0, оценить оптимальную разрешающую способность
δt0 устройства разрешения. Соответствующие численные оценки показывают,
что оптимальная разрешающая способность δt0 определяется равенством
δt0 = 3 τР = 2 6 τ0 ≈ 4,9 τ0. Для упрощения вычислений можно использовать в
качестве величины δt0 ширину сигнальной функции S(t' ) по уровню 0,5 от её
максимума. В последнем случае величина δt0 ≈ δt0,5 ≈ 1,66 τР ≈ 4,7 τ0, а зависимость Pош0,5 ( q0 ) 1 1 erf 0, 272 q0 .
2
Мы уже знаем (см. разд. 3), что для оценивания параметров t1,2 и Ω1,2 сигналов s1(t – t1) и s2(t – t2) следует вычислить функцию
v(θ, ) vc2 (θ, ) vs2 (θ, ) ,
v (θ, )
cos[(ω0 )t ]
1
где c
N u (t ) s0 (t θ)
dt , и определить глобальный
0
v
(θ,
)
sin[(ω
)
t
]
0
s
максимум функции v(θ, Ω) по переменным θ и Ω. При наличии на входе приёмника двух одинаковых по форме и по амплитуде сигналов нужно сначала решить задачу обнаружения сигналов, то есть определить, превышает ли глобальный максимум функции v(θ, Ω) заданное пороговое значение? А затем уже
решать, в принятом колебании u(t) обнаружен один из сигналов: s1(t – t1) или
s2(t – t2), – либо в колебании u(t) присутствуют оба сигнала?
Решение последней задачи зависит от отношения сигнал/шум q и от формы сигнала, то есть от сигнальной функции
Ψ (θ, t , Ω, Ω) N1
0
или Ψ(τ, Ω) N1
s0 (t θ) s0 (t t) cos[(ω0 Ω) t ] cos[(ω0 Ω) t ] dt ,
s0 (t ) s0 (t τ) cos(ω0t ) cos[(ω0 ΔΩ) t ] dt ,
0
где τ = θ t , ΔΩ = Ω Ω .
– 168 –
Поскольку cos (ω 0 t ) cos [(ω 0 ) t ] 12 {cos ( t ) cos [(2 ω 0 ) t ]} , то, в
силу узкополосности радиосигнала s0 (t ) s0 (t )cos(ω0 t 0 ) и малости величины Доплер-эффекта ( 2 ω 0 ), приближённо имеем
Ψ (τ, Ω)
1
E0
s0 (t ) s0 (t τ) cos(Ω t ) dt .
Если принятые сигналы имеют одинаковое временнóе положение, то τ = 0
s0
0
и Ψ (τ, Ω) E1
2
(t ) cos (Ω t ) dt .
В этом случае во временнóй области принятые сигналы неразрешимы.
Однако они могут быть разрешены в спектральной области, ибо в этом случае
спектры сигналов s1(t) и s2(t) смещены друг относительно друга на величину Δ
Ω = Ω – Ω'.
Поскольку функция h (t ) f (t ) g (t t ) dt имеет спектр H (ω) =
= F (ω) G * (ω) , то h (t ) 1 F (ω) G (ω) exp( j ωt ) dω f (t ) g (t t ) dt .
2π
1 S (Ω) S (Ω) exp( j Ω t ) d Ω .
Значит, s0 (t ) s0 (t t ) dt 2π
А поскольку сдвиг спектра одного из сигналов в правой части последнего
равенства на величину – ΔΩ (от начала координат ω = 0) соответствует умножению соответствующего сигнала на функцию exp ( j ΔΩ t), то с учётом того,
что и отрицательные частоты сдвинутся на величину Δ Ω – также в сторону от
начала координат ω = 0, окончательно получаем
Ψ(τ, Ω)
1
E0
s0 (t) s0 (t τ) cos(Δ Ω t) dt
1
S (Ω Δ Ω) S (Ω) exp( j Ω τ) d Ω.
2π E0
Как видим, ситуация с разрешением сигналов по величине Доплерэффекта аналогична их разрешению по временнóму сдвигу. В случае гауссовских огибающих релеевская разрешающая способность по частоте
Δ Ω Р = 4 2 / 0 или Δ FР = 2 2 π τ0 . При этом произведение разрешающих
способностей по времени τ Р = 2 2 τ 0 и по частоте Δ FР равно
Р Δ FР = 8 π 2,55 и не зависит от величины τ 0 .
– 169 –
Для получения минимальной вероятности ошибок разрешения обе величины следует увеличить в 3 раз, то есть t 0 Δ F0 = 24 π 7,65 .
В разд. 4 мы уже встречались с аналогичной ситуацией: произведение
среднеквадратических погрешностей измерения временнóго положения сигнала
σt 0 1/ q и частоты его несущей σ f 1/ q не зависит от длительности
гауссовского сигнала и составляет величину σt 0 σ f 2 q (принцип неопределённости в радиотехнике). В силу большой практической важности этого
принципа рассмотрим его более подробно.
Запишем выражение для сигнальной функции Ψ(τ, Ω) в более симметричном виде, обозначив ΔΩ через Ω, а Ω – через ω и t' – через t:
1 s (t τ 2) s (t τ 2) cos(Ωt ) dt
Ψ (τ, Ω) = E
2 1E S (ω Ω 2) S (ω + Ω 2) exp( j ωτ) dω,
где s(t) – огибающая сигнала, E – его энергия.
Действительную функцию Ψ(τ, Ω) двух переменных: взаимного сдвига
двух копий сигнала s(t) по времени τ и по частоте Ω, ввёл в статическую радиотехнику в 1948 г. Ф. Вудворд и назвал её функцией неопределённости.
Выведем основные свойства этой функции.
1 s 2 (t ) dt 1 .
При τ = Ω = 0 функция Ψ (τ, Ω) = E
При τ 0 и 0 : Ψ (τ, Ω) 1 .
2
Вычислим интеграл V Ψ (τ, Ω) d τ d Ω , который называется «объёмом тела неопределённости».
Поскольку Ψ (τ, Ω)
V
1
E
2
2
Ψ (τ, Ω) Ψ (τ, Ω) , то
j (Ω t Ω t )
dΩ dτ dt dt
s t τ 2 s t τ 2 s t τ 2 s t τ 2 e
2π
E2
2π
E
2
s t τ 2 s t τ 2 s t τ 2 s t τ 2 δ t t dτ dt dt
2
2
s t τ 2 s t τ 2 dτ dt .
– 170 –
Сделаем замену переменных: x = t τ 2 , y = t τ 2 .
Тогда t ( x y ) 2 , τ = y x , якобиан этого линейного преобразования J 1 и V 2π2 s 2 ( x) s 2 ( y ) J dx dy 2π2 s 2 ( x) dx s 2 ( y ) dy 2π .
E
E
Значит,
объём тела неопределённости Ψ(τ, Ω) огибающей радиосигнала s(t)
не зависит от формы огибающей и от способа модуляции
и является постоянной величиной, равной V 2π .
Посмотрим, какова же «острота» сечений функции неопределённости
вертикальными плоскостями, параллельными осям O τ и O Ω в начале координат τ = Ω = 0. Для этого возьмём вторые производные по переменным τ и Ω.
Получим:
2Ψ(0, 0)
2
j2
2π E
2 j ωτ
S ω Ω 2 S ω Ω 2 ω e d 0
2Ψ(0, 0)
Ω 2
j2
E
j Ωτ 2
s t τ 2 s t τ 2 e t dt
0
1
2π E
1
E
s
2
S (ω) ω2 dω,
2
(t ) t 2dt .
Но мы уже знаем (см. разд. 3), что ω2 S (ω) 2 dω/E 2 ,
t
s (t ) dt /E 2 , где α и β соответственно эффективная длительность и эф-
2 2
фективная ширина спектра радиосигнала соответственно.
Значит, 2Ψ(0, 0) τ 2 β 2 2π , 2Ψ(0, 0) Ω 2 α 2 .
Рассмотрим радиосигнал с колоколообразной огибающей
s (t ) exp[ t 2 (2τ02 )] cos(ω0 t ) .
Поскольку его энергия E s 2 (t ) dt π τ0 , то его функция неопределённости
2
2
1
Ψ (τ, Ω) =
exp t τ 2 t τ 2
(2τ 0 2 ) cos(Ωt ) dt
π τ0
exp[ τ 2 (4τ 0 2 )] t 2 /τ02
e
cos(Ωt ) dt exp τ 2 (4τ 0 2 ) Ω 2 τ 0 2 4
π τ0
– 171 –
или окончательно Ψ (τ, Ω) = exp τ 2 τ 0 2 Ω 2 τ 0 2
4 ;
2Ψ(0, 0) τ 2 β 2 (2π) 1 (2τ 02 ) ; 2Ψ(0, 0) Ω2 α 2 τ02 2 .
Значит, эффективная длительность такого сигнала α t = τ0 / 2 , а ширина
спектра βω =
π /τ0, или βf = 1/(2 π τ0) (Гц). При этом база такого сигнала
Bs = αt βf = 1/(2 2 π ) ≈ 0,2.
Если мы возьмём горизонтальное сечение функции Ψ(τ, Ω) по уровню
e–1/2 ≈ 0,606 , то получим эллипс, который определяется уравнением:
τ2/(2 τ02) + Ω2 τ02/2 =1.
Это – каноническое представление эллипса. Его полуоси удовлетворяют
равенствам:
2 τ0 = 2 α – по оси O τ;
2 /τ0 – по оси круговых частот O Ω и
2/π βf = 1/(π 2 τ0) – по оси частот OF. На плоскости (τ, F ) этот единичный эл-
липс имеет площадь Se = π 2 τ0 /(π 2 τ0) = 1.
Рассмотрим
линейно-частотно-модулированный
(ЛЧМ) радиосигнал
s (t ) exp t 2 (2τ 02 ) cos(γt 2 ω0 t 0 ) , у которого мгновенная круговая часто-
та ω(t) изменяется по закону: (t ) (t ) d ( t 2 0 t 0 )/dt 2 t 0 , то есть
со скоростью 2 γ.
Энергия такого радиосигнала
E exp t 2 (2τ02 ) cos(γ t 2 ω0 t 0 ) dt 0 .
Функция неопределённости огибающей ЛЧМ-радиосигнала
1
(τ, Ω) exp kсж2 τ 2 τ 02 4γ τ 02 Ωτ τ 02 Ω 2 ,
4
где kсж 1 4γ 2 τ04 – так называемый «коэффициент сжатия», название которого подлежит разъяснению.
При τ = 0 получаем (0, Ω) exp Ω2 τ02 /4 exp Ω 2 /(2 02 ) , где введено обозначение Ω0 = 2 /τ0.
– 172 –
При Ω = 0 соответственно
(τ, 0) exp kсж2 τ 2 /(4 02 ) exp τ 2 /(2 2э ) ,
где обозначено τэ
20 / kсж .
Единичный эллипс на плоскости (τ, F ) определяется выражением
2 2
kсж
τ (2τ02 ) 4 γ τ02 F τ 22 τ 02 F 2 1 .
Если привести это уравнение к каноническому виду, то можно получить
(при k сж 1 ) оценку полуосей эллипса: a kсж (π 2 τ 0 ) и b 2 τ0 kсж . При
этом площадь единичного эллипса Se, естественно, не изменится, поскольку
объём тела неопределённости V = 2 π не меняется:
Se = π a b = π 2 τ0 kсж/(π 2 τ0 kсж) = 1.
Просто большая полуось этого эллипса составляет с осью O τ угол , определяемый равенством tg / .
Значит, процедура синтеза ЛЧМ-радиосигнала с большой базой Bs >> 1
заключается в следующем. Если нам заданы, например, разрешающая способность по Релею в частотной области ΔFР и во временнóй τР, то сначала из равенства 2 π ΔFР = 2 Ω0 = 2 2 τ0 находится параметр гаусссовской огибающей
ЛЧМ-сигнала: 0
2 /( FР ) .
Затем по заданному значению τР находится требуемый коэффициент
2
сжатия kсж = 2 2 τ0/τР и соответствующий ему параметр kсж
1 / 2
2
0
.
«Сжатие» ЛЧМ-радиосигнала аппаратурно можно осуществить, например, на
промежуточной частоте приёмника с помощью дисперсионной линии задержки, у которой фазовая скорость высокочастотных электрических колебаний зависит от их частоты.
Таким образом, при одной и той же эффективной длительности сигнала α
можно существенно увеличить базу радиосигнала Bs за счёт увеличения эффективной ширины β его спектра. Однако задача синтеза оптимальных радиосигналов sрс(t) по заданному значению его базы Bs, а тем более по заданной фун-
– 173 –
кии неопределённости Ψ(τ, Ω), является очень сложной задачей, не имеющей
точного аналитического решения. Поэтому практически поступают следующим
образом. Берут форму сигнала s(t) (закон изменения его амплитуды) и способ
фазовой модуляции φ(t) несущей радиосигнала f0: sрс(t) = s(t) exp [ j φ(t)], и исходя из заданной ширины полосы радиочастот, допустимых внеполосных межсистемных радиопомех и уровня локальных максимумов («боковых лепестков»), которая определяется вероятностными характеристиками решения задач
поиска и обнаружения, различения и разрешения радиосигналов, ищут такие
значения параметров функций s(t) и φ(t), при которых база сигнала Bs = α β будет максимально возможной. Если величина базы Bs недостаточна, например, с
точки зрения точности измерения параметров радиосигнала – рассматривают
другие возможные функции s(t) и φ(t) и т. д. В этом заключается творческий
момент системотехнического проектирования конкретной радиотехнической
системы. Статистическая теория РТС может только вооружить системотехника
типовым набором решений с оценками их вероятностных характеристик.
– 174 –
Раздел 6. Методы расчёта статистических характеристик
пространственно-временных радиосигналов
6.1. Основные системотехнические задачи
статистической радиофизики
В разд. 3-5 мы рассмотрели основные задачи статистической радиотехники. Главное внимание там уделялось оптимальным методам обработки принятых антенной приёмника высокочастотных электрических колебаний на
фоне внутренних аддитивных тепловых шумов входных цепей приёмника. Эти
тепловые шумы обычно являются нормально распределёнными стационарными
процессами с равномерной (в полосе частот радиосигнала) спектральной плотностью мощности (так называемый «белый шум»). Такой же характер имеют и
поступающие на антенну приёмника некоторые внешние радиопомехи: атмосферные (вызванные грозовой активностью атмосферы Земли), космические и
галактические, промышленные и др.
Однако внешние радиопомехи, такие как межсистемные и преднамеренные, «белыми шумами» не являются. При разнесённом радиоприёме различие
между внешними и внутренними помехами ещё более существенно: если внутренние шумы антенных усилителей являются независимыми, то внешние радиопомехи имеют определённую пространственную корреляцию.
При оптимальном оценивании параметров радиосигналов [коэффициента
затухания A радиосигнала s0(t) на трассе распространения, временнóй задержки
t0 на трассе, величины Доплер-сдвига Fдп частоты несущей f0 при передвижении передатчика и (или) приёмника и т. п.] мы предполагали, что параметры
трасс распространения в течение сеанса измерений параметров радиосигналов
не меняются. Однако реальные трассы распространения от сеанса к сеансу измерений претерпевают случайные макроскопические вариации, которые вызываются непредсказуемыми движениями неоднородностей среды, заполняющей
трассу распространения радиосигналов, а также неоднородностей среды, лежащей в приграничных слоях трассы. Поэтому оцениваемые параметры радиосигналов сами являются случайными функциями пространственных координат и
– 175 –
времени. Для системотехнического проектирования современных радиотехнических систем необходимо учитывать не только статистические свойства сигналов и помех как функций времени (случайных процессов), но и как функций
пространственных координат (случайных полей). Задачи оценки пространственно-временных статистических характеристик радиосигналов и радиопомех относятся к весьма сложной и обширной экспериментально-теоретической
научной области – статистической радиофизике.
В разд. 6 курса лекций рассматриваются наиболее простые методы решения основных задач статистической радиофизики, имеющие непосредственное
отношение к системотехническому проектированию оптимальных РТС. Даются
также примеры их численной реализации.
Из курса «Электродинамика и распространение радиоволн» мы знаем, что
в любой точке пространства свойства электромагнитного поля характеризуются
векторами
напряженности
электрического
E ( x, y, z,t )
и
магнитного
H ( x, y, z, t ) полей, которые подчиняются четырём дифференциальным уравне-
ниям Максвелла, вытекающим из основных, установленных экспериментально,
законов электромагнетизма.
Во-первых, вводится электрическая индукция: D ε a E , где εа – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, а также магнитная индукция:
B μ a H , где μ a 0 – абсолютная магнитная проницаемость среды распро-
странения, а μ0 = 4 π 10 – 7 (Гн/м) – магнитная постоянная, μ – относительная
магнитная проницаемость среды. В вакууме B(Тл) μ 0 H ( А Гн / м2 ) .
Абсолютная диэлектрическая проницаемость есть εa = ε0·ε, где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды распространения. Для вакуума, естественно, ε = 1.
Уравнения D ε a E и B μ a H называются материальными уравнениями
(среды распространения). На приземных трассах распространения радиосигналов обычно μа = μ0, то есть среда распространения нейтральна по отношению к
– 176 –
магнитному компоненту электромагнитной волны. Относительная диэлектрическая проницаемость обычно зависит от координат и изменяется со временем
ε ε ( x, y, z,t ) ε (r ,t ) .
Во-вторых, магнитная составляющая электромагнитного поля H имеет
вихревой характер, определяемый токами проводимости J (в источнике поля) и
изменениями электрической индукции D во времени:
rot H J D t .
В-третьих, по закону Фарадея электрическое поле электромагнитной
волны E имеет вихревой компонент, который порождается изменениями магнитной индукции во времени: rot E B t .
Приведённые два дифференциальных уравнения дополняются двумя
уравнениями, являющимися их следствиями:
div B 0 – магнитная составляющая электромагнитного поля не имеет
собственных источников;
div D ρ – источником электростатической составляющей электромаг-
нитного поля являются электрические заряды, распределённые в данной точке
пространства с плотностью ρ.
Напомним, что величины E , H , ε a и ρ зависят от пространственных координат, например декартовых (x, y, z), и времени. Чтобы получить значения
компонентов векторов E и H в точке расположения антенны приёмника необходимо знать:
а) распределение зарядов в пространстве и их изменение во времени, то
есть функции ρ( x, y, z , t ) и J ( x, y, z, t ) , где div J ( x, y, z, t ) ρ ( x, y, z , t ) t –
начальные условия;
б) электрические свойства среды распространения, то есть функцию
ε a ( x, y , z , t ) ;
– 177 –
в) граничные условия на поверхностях раздела данной среды распространения электромагнитной волны, включающей источники излучения и приёмную антенну, – и других сред, окружающих источники излучения и приёмную
антенну.
Соответствующее интегрирование дифференциальных уравнений Макс
велла в этих условиях теоретически даёт нам значения векторов E и H в точке приёма, которые в антенне приёмника наводят соответствующие высокочастотные электрические колебания, поступающие на вход приёмника.
Изменения во времени векторов E , H – с одной стороны, и величины εa –
с другой имеют совершенно различные масштабы: первые – единицы-тысячи
наносекунд, последняя – десятки-тысячи секунд. Поэтому можно проводить радиофизические расчёты для комплексных амплитуд гармоник электромагнитного поля E (r ,t ) и H (r , t ) с зависимостью от времени вида exp ( j ω t) путём
решения системы дифференциальных уравнений:
rot E (r ) j ωμ 0 H (r ); rot H (r ) J (r , t ) j ωε a (r , t ) D (r );
div μ 0 H ( r ) 0 ,
div
ε (r , t ) D (r , t )
ρ ( r , t );
a
где E (r , t ) E (r ) exp ( j ω t ) ; H (r , t ) H (r ) exp ( j ω t ) .
Подчеркнём, что временнóй масштаб вариаций величины ε a (r ,t ) – десятки-(десятки тысяч) секунд.
В дальнейшем нас будут интересовать только волновая составляющая
электромагнитного поля (полное поле включает также статический электрический и индукционные электрический и магнитный члены), которая в радиотехнических системах является переносчиком радиосигнала. Для комплексных амплитуд волновых составляющих Eв ( x, y, z ) и H в ( x, y, z ) , которые обе имеют
вихревой характер, предыдущая система дифференциальных уравнений может
– 178 –
быть сведена к раздельным уравнениям для Eв ( x, y, z ) и H в ( x, y, z ) :
2 Eв ( x, y, z ) ω2 μ 0 ε a ( x, y, z,t ) Eв ( x, y, z ) 0;
(18)
2 H в ( x, y, z ) ω2 μ 0 ε a ( x, y, z,t ) H в ( x, y, z ) 0 ,
(19)
где i / x j / y k / z – набла-оператор Гамильтона (1805–1865);
2 ( ) 2 / x 2 2 / y 2 2 / z 2 – оператор Лапласа.
При такой форме записи уравнений Максвелла в обычных (слабо диэлектрических) средах распространения можно решать уравнения для любых компонентов комплексной амплитуды электрической составляющей Eв ( x, y, z )
волнового поля как скалярное дифференциальное уравнение Гельмгольца. Мы в
основном будем пользоваться уравнением Гельмгольца для вертикальной составляющей электричеcкого поля:
2 Ez 2 Ez 2 Ez
ω2 μ 0 ε a E z 0 ,
2
2
2
x
y
z
(20)
и решать его как скалярное.
Пусть комплексная диэлектрическая проницаемость ε a имеет регулярную
и небольшую случайную составляющие:
ε a ( x, y, z ,t ) εa ( x, y, z ,t ) ε a ( x, y, z ,t ),
2
где ε a ( x, y, z ,t ) εa ( x, y, z ,t ) . В результате функция E z будет также
2
иметь регулярную E z и случайную Ez составляющие.
Тогда уравнение (20) будет иметь вид
2 Ez 2 Ez ω2μ 0 (εa ε a )( Ez Ez ) 0 ,
или
2 Ez ω2μ 0 εa Ez 2 Ez ω2μ 0 εa Ez ω2μ 0ε a Ez ω2μ 0ε a Ez 0 .
Первые два слагаемых относятся к регулярному полю в данной среде и в
таком (линейном) приближении в сумме дают ноль. Последним слагаемым
ε a Ez , в силу малости величин ε a и E z , можно пренебречь по сравнению со сла-
гаемыми ε a Ez и εa Ez .
– 179 –
Остаётся решить уравнение
2 Ez ω2 μ 0 εa Ez ω2 μ 0 ε a Ez .
(21)
Если среда распространения радиоволн в среднем не поглощает электромагнитной энергии, то величина εa Re εa j Imεa не имеет мнимой части
Imε
a
0 и радиоволны в такой среде распространяются с фазовой скоростью
vф μ 0 Re εa
1 2
.
Значит, ω2 μ 0 εa ω vф 2π λ k 2 и уравнение (21) запишется в
2
2
виде:
2 E z k 2 E z 2k 2 n E z ,
где k – волновое число в среде распространения с параметрами μ 0 и εa ;
n ε a εa – показатель (коэффициент) преломления в среде с диэлектрической
проницаемостью ε a относительно среды с проницаемостью εa ;
n 2 εa ε a
εa 1 2 n .
Волновое уравнение (21) содержит в правой части наведённые регулярным
полем E z на неоднородностях ε a вторичные источники. Поэтому решение
уравнения (21) можно записать для каждой реализации ε a ( x, y, z,t ) в виде:
Ez (r ,t ) 2k 2 n (r ,t ) Ez (r ,t ) ℰ( r r , t ) dr', где ℰ( r , t ) – поле вторичного тоV
чечного источника излучения, расположенного в точке x = y = z = 0 и имеющего
единичный дипольный момент P 1 , а d r = dx dy dz – элемент объёма в декартовых координатах (x, y, z).
В качестве излучающей и приёмной антенн будем рассматривать элементарный диполь с дипольным моментом PД I lд ω , где I – амплитуда высокочастотного тока, протекающего по вертикальному диполю, lд – длина диполя.
Мы знаем, что волновое поле элементарного гармонического диполя в
однородной диэлектрической среде имеет [в сферической системе координат
(r, , θ) ] только тангенциальную составляющую электрического поля Eθ:
Eθ (r , , θ) Pд k 2 e j k r sinθ r , где k – волновое число, равное k = 2 π /λ = ω/v;
v – фазовая скорость электромагнитной волны в данной среде распространения.
– 180 –
Значит, вертикальная составляющая волнового электрического поля, излучённого элементарным диполем, есть
Ez (r , φ, θ) Eθ (r , φ, θ) sin θ Pд k 2e j k r sin 2 θ/(4 π ε a ) .
Для представления волны вертикальной электрической составляющей
E z (r ) первичных и вторичных источников произвольной конфигурации мы бу-
дем пользоваться принципом Гюйгенса (1629-1695), то есть будем строить поля
таких источников как суперпозицию волновых полей элементарных диполей:
Ez (r )
k
2
4 π εa
p ( r ) Pд ( r )
exp j k
V
( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
( x x) ( y y) ( z z )
2
2
2
sin 2 θ d r ,
где V – объём пространственной области, в которой распределены с плотностью p(x', y', z' ) вертикальные дипольные источники.
Граничные условия в) (см. с. 178) на поверхностях раздела данного объёма среды распространения радиоволн и остального пространства также могут
иметь регулярную и случайную составляющие. А значит, и распространяющийся в этом объёме радиосигнал будет иметь соответственно регулярную («среднюю») E (r , t ) и случайную E (r,t ) составляющие.
Итак, исходя из представленных уравнений, можно определить следующие три класса задач статистической радиофизики.
1. Электромагнитное поле случайных источников излучения [случайной
является плотность p ( x, y, z) источников PД ( x, y, z , t ) ].
2. Флуктуации электромагнитного поля в стохастической среде распространения
[случайной
является
диэлектрическая
проницаемость
среды
ε a ( x, y, z , t ) или вариации коэффициента (показателя) её преломления
n ( x, y, z , t ) ].
– 181 –
3. Дифракция радиоволн на стохастических границах раздела («шероховатых поверхностях»: случайными являются граничные условия на поверхностях раздела).
Решение таких задач основано на общем решении (обычно – приближённом) задачи распространения радиоволны в каждой из реализаций среды распространения или граничных условий – с последующей статистической обработкой полученных общих решений по ансамблю этих реализаций (обычно –
численными методами). При таком подходе успех решения стохастической задачи распространения радиоволны зависит от используемой вероятностной модели параметров случайного поля среды распространения или граничных условий.
Как правило, точных решений задачи распространения радиоволны в любой из реализаций стохастической среды распространения получить не удаётся.
Поэтому используются многочисленные методы приближённого решения задачи распространения радиоволн, справедливость которых зависит от величин
параметров трёх типов:
– отношение среднеквадратического значения σε вариаций диэлектрической проницаемости ε a ( x, y, z, t ) к среднему значению ε a ( x, y, z ) или соответ-
ствующих параметров границ разделов сред ηε = σ ε
εa (r ) ;
– отношение пространственных масштабов неоднородностей среды распространения rн к длине волны узкополосного радиосигнала ( χн = rн / λ0);
– отношение поперечных к трассе распространения пространственных
масштабов неоднородностей r к поперечным размерам первой зоны Френеля
rфр μ r / rфр .
Что касается первого параметра задачи распространения радиоволн в стохастических средах, то мы будем, для простоты, предполагать, что
ηε = σ ε
εa 1 (флуктуации среды распространения слабые).
– 182 –
Это позволяет линеаризовать задачи статической радиофизики и существенно упростить их решение. Правда, при этом исключаются из рассмотрения
сильные флуктуации радиоволн и скользящее распространение радиоволн
вдоль «шероховатых поверхностей» (большие углы падения радиоволны на
среднюю граничную поверхность). Здесь мы по существу пренебрегаем многократным рассеянием радиоволн на неоднородностях трасс распространения и
применяем методы расчёта, известные в теоретической физике как приближения Релея-Ганса-Вентцеля-Крамерса-Борна-Бриллюэна.
Второй параметр χ н может принимать следующие значения: 0 < χ н << 1,
χ н ≈ 1 и χ н >> 1. Этим трём случаям соответствуют три различные постановки
задачи расчёта статистических характеристик случайной радиоволны:
α) рассеяние радиоволн на мелкомасштабных («точечных») неоднородностях;
β) рассеяние радиоволн на неоднородностях, соизмеримых с длиной радиоволны λ0 (среднемасштабных неоднородностях);
γ) рассеяние радиоволн на крупномасштабных неоднородностях.
Первая и третья постановки задачи иногда позволяют получить аналитическое решение стохастической задачи распространения радиоволн; вторая
– требует исключительно численных методов решения.
Третий параметр задач ( r ) приводит к двум предельным случаям и соответствующим им методам расчёта:
* поперечные (к трассе распространения) размеры первой зоны Френеля
rфр существенно меньше поперечного масштаба неоднородностей r (rфр r ) .
Здесь применяются приближение Кирхгофа, метод «плавных возмущений» или
метод модулированных мод;
* масштабы неоднородностей r много меньше размеров первой зоны
Френеля (rфр r ) . Здесь применяются методы суперпозиции волновых полей
случайных вторичных источников или методы возмущений.
– 183 –
Обычно неоднородности коэффициента преломления среды распространения радиоволн (например, тропосферы) или неоднородности её границ
(например, нижней ионосферы) представляют собой случайные пространственно-временные поля, которые имеют многомасштабные (многомодовые) спектральные плотности мощности Wn(ω) флуктуаций во времени [периоды флуктуаций: десятки-(десятки тысяч) секунд]. Эти флуктуации вызываются
различными физическими механизмами образования неоднородностей в атмосфере и в ионосфере Земли, имеющих различные характерные скорости возникновения и рассасывания этих неоднородностей. В связи с этим, пространственная спектральная плотность интенсивности Wn(χ) неоднородностей имеет
различные пространственные масштабы (пространственные периоды Λ = 2 π/| χ |
от метров до мегаметров), которые через скорость хаотической изменчивости
Vc соотносятся с различными составляющими спектральной плотности Wn(ω).
Значит, с одной стороны, многомодовую спектральную плотность Wn(χ)
можно представить суммой независимых случайных пространственных полей
неоднородностей, соответствующих различным модам спектра мощности
флуктуаций Wn(ω) =
k 1Wk n (ω) . С другой стороны
K
– можно разбить общий
пространственно-временнóй спектр неоднородностей на мелко-, средне- и
крупномасштабные компоненты уже с точки зрения данной длины волны λ 0
распространяющегося в случайно-неоднородной среде радиосигнала и данной
конфигурации трассы его распространения. Тогда случайное поле пространственно-временных флуктуаций радиосигнала (в первом – линейном – приближении) можно представить суммой независимых компонентов, статистические
характеристики которых рассчитываются соответствующими приближёнными
методами статистической радиофизики.
Для окончательных численных расчётов пространственно-временных и
межчастотных корреляционных функций флуктуаций амплитуды и фазы рассеянного неоднородностями коэффициента преломления трасс распространения
– 184 –
радиосигналов более удобным оказывается аналог «импульсного представления» реализаций неоднородностей среды распространения такого типа, который был рассмотрен в разд. 1.
Тогда корреляционную функцию Rn (s , ) однородного стационарного поля флуктуаций, например, показателя преломления n(r , t ) можно (в окрестности её максимума) аппроксимировать гауссовской четырёхмерной функцией
Re Rn (s x , s y , s z , )
2
2
2
s
V
τ
s
V
τ
s
V
τ
1
y
y
2 2
x
x
z
x
D exp
Vc τ ,
2
rx
ry
rz
где s = || sx, sy, sz ||T = || x – x′, y – y′, z – z′ ||T; τ = t – t′; V Vx ,Vy ,Vz
T
– скорость
дрейфа неоднородностей; Vc – скорость хаотической изменчивости; rx, ry и rz –
масштабы неоднородностей по осям O x, O y и O z соответственно.
В соответствии с перечисленными выше тремя классами задач и различными типами параметров среды распространения далее мы рассмотрим простейшие задачи статистической радиофизики, решение которых используется
для системотехнического проектирования оптимальных систем РТС. В силу
большого разнообразия этих задач методы решения будут рассматриваться для
весьма конкретных диапазонов радиоволн и стохастических сред распространения. При решении соответствующих радиофизических задач мы будем придерживаться инженерного уровня строгости.
6.2. Пространственно-временная корреляция внешних радиопомех
Ясно, что если приёмники (или антенные устройства) разнесены в пространстве на некоторое расстояние d > 0, то тепловые шумы этих приёмников
не коррелированы между собой, так как порождаются разными случайными источниками. Иное дело – внешние радиопомехи, которые порождаются совокупностью различных случайных источников электромагнитного поля естественного и искусственного происхождения.
– 185 –
Рассмотрим пространственно-временнýю корреляцию, например, промышленных радиопомех. Из статистической радиотехники мы знаем, что оптимальный приёмник осуществляет фильтрацию нормальных стационарных помех с коэффициентом передачи фильтра, равным модулю спектральной
плотности принимаемого радиосигнала: K ( f ) S ( f ) . Отсюда можно определить спектральную плотность мощности принятых промышленных радиопомех Wвн ( f ) Wпр ( f 0 ) S ( f )
2
, где f 0 – частота несущей радиосигнала.
Временнáя корреляционная функция Rвн(τ) этих помех вычисляется с помощью косинус-преобразования Фурье функции Wвн(ω)
Rвн (τ) 2 Wпр (ω0 ) S (ω)
2
cos(ωτ) dω
0
Wпр (ω0 ) cos (ω0 τ)
2
S (Ω) cos (Ωτ) dΩ,
где Ω ω ω 0 ; S (Ω) – спектральная плотность огибающей радиосигнала.
Что касается пространственной корреляции промышленных радиопомех,
то в простейшем случае можно полагать, что радиопомехи поступают на горизонтально разнесённые на расстояние da приёмные антенны со всевозможных
горизонтальных направлений равновероятно.
Выделим в спектральной плотности мощности Wвн(ω) очень узкую полосу
круговых частот от (ω – Δω/2) до (ω + Δω/2); Δω << ω0. Тогда случайная плоская волна радиопомех E ( x, y, t ) E0 (ω) exp j (k x x k y y ) j ω t имеет дисперсию комплексной амплитуды E0 (ω)
Здесь k (ω)
2
Wвн (ω) Δω .
k x 2 k y 2 2π λ 0 , λ 0 – длина волны.
Введём полярную систему координат (ρ, α).
Будем полагать, что основная масса источников промышленных радиопомех расположена достаточно далеко относительно приёмной базы длиной da
(ρ >> da), а приёмные антенны 1 и 2 имеют координаты (da /2, 0) и (– da /2, 0).
– 186 –
Тогда в точке 1 с координатами (da /2, 0) волна E (α, t ) удалённого источника с координатами (ρ, α) будет иметь опережение фазы высокочастотных колебаний относительно точки ρ = 0 на величину 1 12 k (ω) d a cos α , а в точке 2 с
координатами (– da /2, 0) – запаздывание на ту же величину. Поэтому принятые
в точках 1 и 2 плоские волны будут иметь вид:
E1 (α, d a , t ) E0 (ω) exp j ω t j 12 k (ω) d a cosα ,
E2 (α, d a , t ) E0 (ω) exp j ω t j 12 k (ω) d a cosα .
Корреляционная функция таких случайных колебаний есть:
RΔω (d a , τ) E1 (α, d a , t1 ) E2 (α, d a , t2 ) ,
где усреднение проводится по всевозможным случайным плоским волнам
E ( x, y, t ) , частота которых лежит в пределах от (ω Δω 2 ) до (ω + Δω/2).
Учитывая, что случайный угол α распредёлен равномерно в пределах
(0, 2 π], в результате усреднения получаем:
RΔω (d a , τ)
1
W (ω)Δω cos(ωτ)
2π вн
2π
cos[k (ω) da cosα] dα .
0
Поскольку
1
2
2π
0
cos[k (ω) d a cos α] dα J0 k (ω) d а ;
k (ω) ω c0 ;
где J0 ( z ) – функция Бесселя нулевого порядка, то
RΔω (d a , τ) Wвн (ω) Δω cos (ω τ) J 0 ω d a с0 .
Отсюда получаем общий вид пространственно-временнóй корреляционной функции промышленных радиопомех в полосе частот оптимального приёмника: R (d a , τ)
0
S (ω)
2
Wпр (ω) J0 ω d a с0 cos (ω τ) dω .
Учитывая узкополосность радиосигналов, по которым работает данная
радиосистема, получаем:
Rвн (d a , τ) Wпр (ω 0) cos(ω0 τ)
S ()
2
J 0 ω d a с0 cos( τ) d .
– 187 –
Если, например, радиолокационный сигнал представляет собой колоколообразный радиоимпульс вида s(t) = exp [ – t 2/(2 τи2)] cos (ω0 t), то спектр его
огибающей: S (Ω) 2 exp t 2 /2τ и 2 cos (Ω t ) dt
0
2π τ и e
2
τи 2 2
.
Для пространственно-временнóй корреляционной функции промышленных радиопомех, после оптимальной фильтрации радиолокационным приёмником, получаем:
Rвн (d a , τ) Wпр (ω0 )
τ и2
e
Ω 2 τи 2
J 0 Ω d a c0 cos (Ω τ) d Ω .
0
При τ 0 :
Rвн (d a , 0) Wпр (ω0 ) τи
2
Ω
e
2
τи 2
J 0 Ω d a c0 d Ω
0
2
π
Wпр (ω0 ) τ и e da
2
(8τи 2 c02 )
I 0 d a 2 (8τ и2 c0 2 ) ,
где I 0 ( z ) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
При d a 0 :
Rвн (0, τ) Wпр (ω0 ) τ и
2
e
Ω 2 τи 2
cos (Ωτ) d Ω
π
2
Wпр (ω0 ) τ и e τ
2
(4τ и 2 )
.
0
По уровню e
–1/2
от максимума функции R вн(d a , τ) интервал корреляции
τ 0 = 2 τи, а масштаб корреляции d0 ≈ 1,53 2 c0 τи. Поэтому d0 /τ0 ≈ 1,53 c0.
Вообще можно показать, что нормированную корреляционную функцию
огибающей ρ(da, τ) изотропных однородных узкополосных стационар-ных случайных полей волнового типа в окрестности точки (da ≈ 0, τ ≈ 0)
можно аппроксимировать поверхностью
ρ (d a , τ) exp d a 2 d 0 2 τ 2 τ 0 2 2 ,
где v0 ≈ d0 /(a τ0) – фазовая скорость распространения волн данной природы в
данной среде распространения в окрестности середины полосы частот распространяющихся волн, а величина a – порядка единицы.
Практический вывод здесь следующий. Сначала в какой-либо приёмной
точке теоретически или экспериментально оценивается временнáя автокорре-
– 188 –
ляционная функция поступающих на антенну приёмника волн случайных источников электромагнитного излучения. Затем эта автокорреляционная функция у своей вершины аппроксимируется кривой Гаусса и оценивается интервал
корреляции τ0 по уровню e–1/2 < ρ(0, τ0) < 1. Потом (теоретически или экспериментально) определяется фазовая скорость распространения волн v0 в данной
среде распространения (в нашем случае v0 ≈ c0). Тем самым определяется общий вид нормированной автокорреляционной функции ρ(d, τ) случайных
волновых полей в окрестности её максимума ρ(0, τ) = 1:
ρ(d , τ) exp d 2 d 0 2 τ 2 τ 0 2 2 , где d0 = a v0 τ0.
В одномерном случае (например, помехи, наведённые в высокочастотных кабелях, волоконно-оптических линиях связи и т. п.)
Rвн (d a , τ)
4πWпр (ω0 ) τи2
exp( Ω
2 2
τи )
cos(Ω d a c0 )cos(Ωτ) d Ω.
0
При τ 0 : R (d a , 0) 2π π Wпр (ω0 ) τи exp d a 2 (4 c02 τи 2 ) .
При d a 0 : R (0, τ) 2π π Wпр (ω0 ) τи exp τ 2 (4τи 2 ) .
Значит, τ0 2 τи , d 0 2 c0 τ и , d 0 τ 0 c0 .
В двумерном случае d 0 τ 0 1,53 c0 .
В трёхмерном случае (например, галактические радиопомехи) плоские
случайные волны приходят равновероятно со всей небесной полусферы. То
есть равномерность распределения углов прихода радиоволны от точек равномерно излучающей поперечные плоские радиоволны полусферы имеет плотность вероятности p(φ, θ) = sin θ/(2 π2), где θ – угол относительно вертикали к
поверхности Земли. Поэтому:
RΔω (d a , τ)
1
2π
ω
2
cos
d
sin
θ
cosα
sin dα dθ .
a
0 c0
π 2 2π
Wвн (ω)Δω cos(ωτ)
2
0
Функция sin2θ учитывает как распределение p(φ, θ), так и то, что на вертикальный электрический диполь наводится ЭДС, амплитуда которой пропорциональна синусу угла падения поперечной плоской волны.
– 189 –
Здесь
π 2 2π
1
22
0
0
ω
cos d a sin θ cosα dα sin 2 dθ 1π
c0
π 2
J
0
0
ω
2
d a sin θ sin θ dθ.
c0
Заменой переменной z sin θ ; dz cos θ dθ ; dθ dz
1 z 2 получаем:
π 2
ω
ω da z 2
2
1
J
d
sin
θ
sin
θ
d
θ
J
z
dz .
π 0
0 0 c0 a
2
c
1
z
0
0
Этот интеграл приходится оценивать численно. Численные оценки покаπ 2
1
π
зывают, что если взять узкополосные радиопомехи и аппроксимировать пространственную и временнýю корреляции гауссовскими кривыми, то получим:
d 0 τ 0 c0 – в одномерном, d0 τ0
2 c0 – в двумерном
и d0 τ0 3 c0 – в трёхмерном случаях соответственно.
6.3. Распространение радиоволн в стохастических средах
Задачи расчёта статистических характеристик электромагнитных волн,
рассеянных на статистически неоднородных поверхностях, весьма разнообразны. Но все они имеют общие черты. Поэтому для конкретности рассмотрим задачу рассеяния радиоволн вертикальной поляризации диапазона частот от
10 кГц до 1 МГц на неоднородностях нижней ионосферы.
Вообще говоря, случайные неоднородности диэлектрической проницаемости a или коэффициента преломления
n
ионосферы имеют самые разнообраз-
ные пространственно-временные масштабы, связанные с различной приро-дой
движений атмосферы Земли на ионосферных высотах. Глобальными являются
изменения, обусловленные циклом солнечной активности, вращением Земли
вокруг Солнца (сезонные изменения) и вокруг своей оси (суточные изменения,
в том числе солнечные и лунные приливы).
Существуют также планетарные волны в атмосфере Земли с горизонтальными масштабами в несколько тысяч километров и с временными масштабами в несколько суток, которые связаны с гидрометеорологическими явлениями в тропосфере Земли, оказывающими своё влияние на нижнюю ионосферу.
– 190 –
Меньшие пространственно-временные масштабы имеют внутренние гравитационные волны, вызванные архимедовыми силами («плавучести» воздуха)
в гравитационном поле Земли. На высотах E-слоя ионосферы внутренние гравитационные волны имеют периоды десятки минут и горизонтальные пространственные масштабы десятки и сотни километров.
Еще меньшие пространственно-временные масштабы (сотни метров – десятки секунд) имеют неоднородности нижней ионосферы, вызванные гидродинамической турбулентностью.
И, наконец, ионосфера представляет собой динамическую среду, в которой под действием различных излучений происходят очень сложные физикохимические процессы ионизации и нейтрализации. Эти процессы приводят к
флуктуациям диэлектрической проницаемости ионосферы пространственновременных масштабов (метры – секунды).
Для начала рассмотрим рассеяние СДВ-, ДВ- и СВ-радиоволн на крупномасштабных неоднородностях нижней ионосферы, вызванных глобальными,
планетарными и гравитационными волнами в ионосфере Земли.
Пусть передатчик с антенной в виде элементарного вертикального диполя
расположен в точке x y z 0 декартовой системы координат, а в точках
P1 ( D
da
2
cos,
da
2
sin , 0) и P2 ( D
da
2
cos,
da
2
sin , 0) расположены приёмные
антенны.
Сложную структуру механизма отражения радиосигнала от среднего
профиля ионосферы можно заменить упрощённой: как прямой волны источника, наведённого в ионосфере в точке (0, 0, P), где P – мнимый источник излучения (изображение реального источника P0 в «мутном зеркале»), находящийся
на высоте z = 2 hи, а hи – эквивалентная высота неоднородной ионосферы.
Комплексная амплитуда радиосигнала, принятого в точке P1 или P2,
определяется по формуле: Ez E0 1 Rфр exp ( 2 j k R) (2 R ) , где Rфр – коэффициент отражения радиосигнала от средней по своему профилю ионосфе-
– 191 –
ры, приведённый к высоте hи и называемый коэффициентом Френеля.
Величина Rфр обычно определяется численными методами радиофизики
исходя из среднего профиля электронной концентрации и частоты соударений
электронов с ионами и молекулами ионосферы.
Средние значения компонентов радиоволн, отражённых от ионосферы,
соответствуют решению детерминистской задачи радиофизики для среднего
профиля электронной концентрации и частоты их соударений внутри отражающего слоя ионосферы. Поэтому для одного из средних значений компонентов
гармонической электромагнитной волны, скажем, Ez, приходящей в точки P1 и
P2, можно записать:
Ez 1, 2 k 2 P0 Rфр1, 2 exp( j k 2 R1, 2 ) (4πε 0 R1, 2 ) .
Небольшие крупномасштабные случайные вариации параметров ионосферы, вызванные, например, планетарными и внутренними гравитационными
волнами в верхней атмосфере Земли, приводят к тому, что коэффициенты отражения Френеля Rфр1, 2 приобретают слабые случайные вариации модуля
Rфр1, 2 и фазы arg Rфр1, 2 . Это, в свою очередь, приводит к слабым случайным
вариациям принятого в точках P1 и P2 радиосигнала:
Ez 1, 2 k 2 P0 Rфр1, 2 exp( 2 j k R1, 2 ) (4πε 0 R1, 2 ) .
Усредняя произведение Ez1 E z 2 по всевозможным вариациям параметров ионосферы, получим пространственные корреляционную и ковариационную функции случайной комплексной амплитуды радиосигнала круговой частоты ω = k c0:
R12 Ez1 E z 2 k 4 P0 2 Rфр1 R фр2 exp 2 j k (R1 R2 ) (4πε 0 ) 2 R1 R2 ,
B12 Ez1 Ez 2 k 4 P0 2 Rфр1 Rфр2 exp 2 j k (R1 R2 ) (4πε 0 ) 2 R1 R2 .
Поскольку коэффициент Rфр имеет смысл для однородной по горизон– 192 –
тальным координатам (x, y) ионосферы, то есть для вертикального профиля
ионосферы, неизменного в пределах нескольких зон Френеля, то горизонтальные масштабы крупномасштабных случайных неоднородностей ионосферы
должны существенно превышать большую полуось a сечения первой зоны
Френеля плоскостью z = hи. Это значит, что метод случайного коэффициента
Френеля справедлив для приёмных антенн, разнесённых на расстояние d || > 4 a
в продольном к трассе распространения направлении и на расстояние d 4 b в
поперечном направлении, где b – малая полуось соответствующего сечения.
В таком случае корреляция Rфр1 Rфр2 приближенно равна Dфр ρ h12 , где
ρ h12 – корреляция неоднородностей ионосферы, представляющих собой слу-
чайные изменения эквивалентной высоты ионосферы hи ( x, y ) в точках O1 и O2
соответственно.
Значит, методом случайного коэффициента Френеля мы можем рассчитывать дисперсии флуктуаций амплитуды и фазы принимаемого радиосигнала.
Временнáя корреляция имеет тот же временнóй масштаб, что и вариации hи , а
пространственный масштаб – в два раза больше горизонтального масштаба dкм
пространственной корреляции крупномасштабных неоднородностей ионосферы.
При этом с увеличением расстояния D дисперсии флуктуаций амплитуды
и фазы рассеянного поля, однократно отразившегося от ионосферы, при прочих
равных условиях, уменьшаются, что объясняется увеличением угла падения
волны точечного источника на границу ионосферы.
Аналогичные методы используются при расчётах статистических характеристик СВЧ-радиосигналов, рассеянных на морской поверхности и т. п. Они
называются методами Кирхгофа, или квазигеометрической оптики.
Возьмём мелкомасштабную составляющую случайных неоднородностей
ионосферы d мм << λ 0, обусловленных турбулентностью и мелкомасштабными
флуктуациями электронной концентрации и частоты соударений. При заданной
– 193 –
геометрии наземной радиосистемы на рассеянный мелкомасштабными неоднородностями гармонический радиосигнал существенное влияние оказывают неоднородности, которые попадают в пространственную область, охватываемую
несколькими первыми зонами Френеля. Поэтому при стремлении пространственного разнесения приёмных антенн da к нулю пространственная корреляция флуктуаций принимаемых радиосигналов не будет стремиться к нулю, а
будет определяться относительным вкладом в рассеянный радиосигнал тех неоднородностей, которые попадают в область пересечения нескольких зон Френеля для данной пары разнесённых приёмных пунктов. К какому же пределу
стремится масштаб пространственной корреляции радиоволн при d0 → 0?
Напомним, что зоны Френеля ограничиваются поверхностями (или контурами), являющимися геометрическими местами точек, которые отстоят от
антенн передатчика P0 и приёмников P1 и P2 на таких расстояниях, что сумма
их электрических длин отличается от электрической длины прямого пути (или
пути с отражениями от границы раздела) на целое число полуволн. Это значит,
что соответствующие сферические волны точечных источников, наведённых
внутри одной и той же зоны Френеля, попадают на антенны приёмников с фазами одного и того же знака.
Пусть в ионосфере хаотическим образом возникают и рассасываются
микронеоднородности электронной концентрации и частоты соударений и соответствующего показателя (коэффициента) преломления n(r , t ) . Падающая на
ионосферу радиоволна наводит на микронеоднородностях ионосферы элементарные электрические диполи с соответствующей диаграммой направленности
излучения.
Пусть в двух точках P1 и P2 принимается вертикальная составляющая
электрического компонента радиоволны, рассеянной мелкомасштабными неоднородностями ионосферы.
– 194 –
Возьмём элементарный рассеиватель, который расположен в точке
M(x, y, hи). Он порождает рассеянную сферическую радиоволну, принимаемую
в точках P1 и P2: Ep1, 2 R Er
exp ( j k ρ1, 2 )
ρ1, 2
cos 2 ψ p , где R – случайный коэффици-
ент рассеяния.
Для корреляции рассеянных радиоволн Eр1 и Eр 2 получим
R12
Ep1 E p 2
2
σфр
Er E r 1 R З
2
или R12
2
σфр
π 2 P02
ε0 λ0
2
4
4
1 RЗ
cos 2 ψ1 cos 2 ψ 2
exp jk (ρ1 ρ 2 )
dxdy,
ρ1 ρ 2
cos 4ψр cos 2ψ1 cos 2ψ2
r ρ1 ρ2
2
e j k (ρ1 ρ2 ) dx dy,
2
где σфр
– средняя интенсивность рассеяния элементарных диполей.
Для корреляционной функции амплитуды рассеянного радиосигнала получаем:
Rмм ( D, , d a )
2
σфр
Er Er 1 Rз
4
e
j k (ρ1 ρ2 )
ρ1 ρ2
или Rмм ( D, , d a )
2
σфр
λ0
a2
4
1 Rз
4
cos 2ψρ1 cos 2ψρ2
cos 4 ψ р cos 2 ψρ1 cos 2 ψρ2
r ρ1 ρ 2
dxdy ,
dxdy e j k (ρ1 ρ2 ) dxdy, где
2
a π P0 ε 0 ; σфр – интенсивность рассеивателей.
2
Будем полагать, что σфр
1.
Среднее поле первого скачкá (отражения от ионосферы) в точках P1 и P2
равно:
a exp(2 j kr0 )
E1,2 2
(1 R З ) Rи cos 2 ψ0 ,
λ0
2r0
где r0 и ψ 0 – геометрооптические значения r0 и ψ 0 для P1 или P2, Rи – средний
коэффициент отражения от ионосферы.
Корреляционные функции флуктуаций
амплитуды поля: R1 ( D, , da ) Rмм ( D, , d a ) cos( 1 2 ) 2 ;
фазы: R ( D, , d a ) Rмм ( D, , d a ) cos ( 1 2 ) 2 E1 E2 ;
амплитуды с фазой: RA ( D, , d a ) Rмм ( D, , d a ) sin ( 1 2 ) 2 E1 .
– 195 –
Рассмотрим фазу рассеянного поля. Будем считать ионосферу хорошо
проводящей (то есть Rи 1 ). Тогда дисперсии фазы в точках P1 и P2:
D1,2
cos 4 ψ р cos 4 ψβ12
r 2 ρ 212
2
dx dy
E12 ,
а коэффициент корреляции флуктуаций фазы в разнесенных точках P1 и P2:
ρ φ AB Rξ cos (φ φ A φ B )
E A EB
DA D B .
Численные расчёты показывают колебательный характер корреляционной
функции ρ(d ) и уменьшение масштаба корреляции d0 с уменьшением длины
волны λ0. Зависимость минимального масштаба пространственной корреляции
низкочастотных радиоволн dмин от длины зондирующей волны можно аппроксимировать формулой dмин ≈ 0,78 λ 00,65, где величины dмин и λ 0 измеряются в километрах.
Результаты численных расчётов приводят к конкретным практическим
выводам: неоднородности нижней ионосферы с размерами от 0,4 λ 00,65 до
3,6 λ 00,6 км можно исследовать методом почти вертикального низкочастотного
зондирования при интерпретации результатов измерения численным методом,
развитым выше. Неоднородности размером более 3,6 λ 00,6 км можно исследовать с интерпретацией результатов методом случайных коэффициентов Френеля. Размеры неоднородностей менее 0,4 λ00,65 км оценке методом почти вертикального низкочастотного зондирования не поддаются. Например, при частоте
зондирующей волны f0 = 15 кГц квазигеометрооптическое приближение справедливо для неоднородностей, бóльших 20 км, а неоднородности мельче 3 км
эквивалентны точечным. Если принять в качестве скорости хаотической изменчивости неоднородностей ионосферы величину Vc = 50 м/c, то можно оценить
временнóй интервал корреляции флуктуаций рассеянного ионосферой поля:
τкго ≈ 4,5 мин, τточ ≈ 0,7 мин.
Полученные соотношения позволяют по результатам оценки временных
масштабов корреляции рассеянного нижней ионосферой поля в неподвижном
– 196 –
пункте правильно выбрать пространственное разнесение приёмных пунктов
(базу ионозонда), а также адекватный эксперименту метод интерпретации результатов почти вертикального низкочастотного зондирования неоднородностей ионосферы и оценить горизонтальные размеры этих неоднородностей,
превышающих величину 0,4 λ 00,65 км.
Аналогичная ситуация возникает при радиозондировании слабо взволнованной морской поверхности («мертвой зыби», или капиллярных волн).
Границы применимости метода расчёта статистических характеристик
пространственной корреляции мелкомасштабных флуктуаций радиосигналов
можно оценить отношением площади пересечения первых зон Френеля для
разнесённых приёмных пунктов к среднегеометрическому значению этих площадей: ρ12 = S12
S1 S 2 , где ρ12 – коэффициент корреляции флуктуаций рассеян-
ной радиоволны в точках приёма P1 и P2; S12 – площадь пересечения зон Френеля для точек P1 и P2; S1, S2 – площади зон Френеля для точек P1 и P2
соответственно.
Для почти вертикального низкочастотного радиозондирования неоднородностей нижней ионосферы в односкачковом приближении зависимость
ρ12(da) от расстояния dа между точками P1 и P2 можно оценить аналитически.
Именно. Расстояние между точками зеркального отражения равно da /2.
Радиус первой зоны Френеля r = [(h + λ 0 /8) λ 0 /2]1/2. Площадь пересечения первых зон Френеля S12 = r 2da – l da /2, где l = (r 2 – da2/16)1/2.
d
r 2 dа l dа 2 2
Отсюда ρ12 (d а )
π arccos а
2
πr
4r
d 1 ( d а 4r ) 2
4r
.
(22)
Введём обозначение ξ = da /(4 r). Тогда формула (22) перепишется в виде:
2 arccos ξ ξ
ρ12 (ξ ) π
1 ξ2
.
– 197 –
Если определять масштаб пространственной корреляции d0 по уровню
e–1/2 зависимости ρ12(ξ), то из равенства ρ12(ξ) = e–1/2 численно находим
d0 4r 0,324 . Отсюда d 0 0,324 λ 0 2 8 λ 0 h .
Для диапазона частот 10-1000 кГц: λ 0 ≤ 30 км и hи ≥ 70 км. Поэтому
d 0 1,3 λ 0 h 2 .
Для расчёта зависимостей d0( f0) на различных расстояниях от передатчика можно вначале рассчитать зависимости ρ12(da) для различных значений f0 методом Монте-Карло. В результате серии вычислений и их обработки получаются зависимости масштабов поперечной d 0 и продольной d 0 корреляции флуктуаций рассеянных ионосферой радиоволн от частоты f0 зондирующей радиоволны и расстояния D до передатчика в ближней зоне в односкачкóвом приближении.
Результаты подобных расчётов (см. [1]) приводят к следующим выводам.
Границы областей применимости методов теории рассеяния радиоволн на мелкомасштабных неоднородностях шероховатых поверхностей определяются как
частотой зондирующей радиоволны f0, так и расстоянием до передатчика D и
ориентацией φ базы разнесённых приёмных пунктов. При этом поперечные (к
трассе распространения радиоволн) характерные размеры зоны разделения соизмеримы с шириной первой зоны Френеля.
При волноводном распространении электромагнитных колебаний
направляющие границы волновода могут иметь неоднородности различных
пространственно-временных масштабов. Мелкомасштабные неоднородности
могут быть учтены как дополнительное ослабление бегущей по волноводу радио- или оптической волны. Влияние статистических характеристик крупномасштабных (в продольном направлении) неоднородностей может быть рассчитано методом модулированных мод, аналогичным методу плавных
возмущений, предложенному советским радиофизиком С. М. Рытовым (19081996) в 1937 г.
– 198 –
При этом задача может быть поставлена как одномерная (распространение электромагнитных волн по оптическому волокну, имеющему случайные
«медленные» изменения площади сечения и коэффициента затухания материала волокна) либо как двумерная (распространение радиоволн УКВ-диапазона –
в тропосферном волноводном канале, СДВ- и ДВ-дипазонов – в стохастическом
волноводе «земля-нижняя ионосфера», имеющем случайные вариации эффективной высоты и толщины ионосферы) задача расчёта статистических характеристик электромагнитных волн при заданных статистических характеристиках
волновода. Рассмотрим двумерный случай.
Итак, пусть вертикальный электрический дипольный источник, расположенный в точке (0, 0, hис), возбуждает в плоском волноводе бегущую электромагнитную волну. Поскольку границы волновода, имеющего среднюю высоту hвв (hвв >> hис), не идеальны, то принимаемую на расстоянии D (с помощью
вертикальной штыревой антенны P, которая расположена на высоте hп), радиоволну можно рассматривать как распространения прямой волны источника и
многократно отражённых от верхней и нижней границ волновода сферической
волны, излучаемой элементарным диполем. В результате в точке приёма с декартовыми координатами (D, 0, hп) будет принята радиоволна, как бы синхронно излучённая действительным и мнимыми источниками, которые имеют координаты (0, 0, hис), (0, 0, 2 hвв – hис), (0, 0, 2 hвв + hис), (0, 0, – hис) и т. д., – в
отсутствие волновода. Мнимые источники являются «отражениями» действительного источника в неидеальных стенках волновода (в «мутных плоскопараллельных зеркалах»).
Поскольку временнóй масштаб случайных отклонений параметров волновода много больше периода радиоволны, то можно рассматривать медленные
вариации комплексных амплитуд электромагнитных колебаний при их зависимости от времени вида: f (t) = exp ( j ω0 t ).
– 199 –
В результате получаем:
Eп (ρ, z )
Pj cos2 α j exp( j k R j ) / R j ,
j
где Pj – дипольный момент j-го источника, учитывающий количество и углы
отражения от границ волновода, а также соответствующие им коэффициенты
отражения; αj – угол скольжения отражённой волны действительного источника; Rj – расстояние от j-го источника до приёмника.
В то же время, (см. разд. 1) каждый точечный источник можно разложить
по цилиндрическим волнам:
exp( j k R j )
Rj
j
2
exp j k 2 K 2 z
0
k2 K2
J ( K ρ) dK ,
0
где k – волновое число среды, заполняющей плоский волновод.
В теории преобразования Фурье для удобства вычислений мы вводили
отрицательные частоты и использовали представление:
cos (ωt 0 ) exp j (ωt 0 ) exp j (ωt 0 ) 2 ,
а интегрирование по переменной ω проводили в пределах (– ∞ < ω < + ∞).
Аналогичным образом поступают в радиофизических вычислениях:
J 0 ( K ) H 0(2) ( K ) H 0(1) ( K ) 2 ,
где H 0(1) ( z ) и H 0(2) ( z ) – первая и вторая функции Ганкеля (функции Бесселя III
рода) аргумента z = x + j y нулевого порядка
При больших значениях аргумента z 1 :
J 0 ( z ) 2 (π z ) cos z π 4 ,
H (1) ( z )
2 (π z ) exp j ( z π 4) , H (2) ( z ) 2 (π z ) exp j ( z π 4) ,
и аналогия представлений cos (ωt 0 ) и J 0 ( K) очевидна.
Вспоминая про временнóй множитель, получаем, например,
H (2) ( K ) e j (ωt 0 )
2
e
π K
j ω(t ρ vф )
где vф – фазовая скорость цилиндрической волны.
e
j ( 0 π 4)
,
– 200 –
Значит, асимптотически выражения H (1), (2) ( K ) exp
j (ωt 0 ) есть
цилиндрические волны, имеющие ослабление (за счёт расхождения волн), пропорциональное ρ1/2, и бегущие с фазовой скоростью vф = ω/K от и по направлению к началу координат.
Далее. Синхронно с действительным источником P0 излучающие мнимые
источники Pj; j = …, – 2, – 1, 1, 2, …; будут образовывать синфазные конические фронты, образующие с осью Oz углы θl, удовлетворяющие очевидному
условию синфазности:
cosθl
где v0 ω0
l
2hвв
l λ0
l v0
2π l
,
2hвв 2hвв f 0 2hвв k0
a μ a – скорость распространения радиоволн в среде, заполняю-
щей волновод; k0 = 2 π /λ0 – волновое число в этой среде.
При | l | λ 0 ≤ 2 hвв мы получаем обычные (однородные) конические волны;
при | l | λ 0 > 2 hвв мы получаем (неоднородные) экспоненциально затухающие
волны.
Волны с номерами ± l образуют по направлению вертикали (оси O z) стоячие волны. По отношению к радиальной координате ρ цилиндрической системы координат (ρ, φ, z) волна с номером | l | будет «бежать» от оси O z с фазовой
скоростью vl = v0/sin θl .
Решая соответствующую граничную задачу на стенках среднего волновода и переходя к асимптотикам функций Бесселя (при ρ >> K ), можно получить
разложение среднего поля в данном волноводе по цилиндрическим волноводным
модам (типам нормальных волн):
Eп (ρ, hиc , hп ) l g l (hиc ) g l (hп )
l 0
exp( j kl ρ)
Kl ρ
,
l – коэффициент возбуждения l-й моды; g ( z ) – высотный множитель;
где
l
kl ω0 / vl j αl – волновое число l-й моды; vl – её фазовая скорость; αl – коэф-
фициент ослабления l-й моды; ρ x 2 y 2 .
– 201 –
Если волновод имеет в ограничивающих его полупространствах случайные
неоднородности, горизонтальный масштаб которых dнг удовлетворяет условию
dнг 2π Re kl , то случайные вариации электромагнитного поля Eп в стохасти-
ческом волноводе (в волноводе с малыми крупномасштабными в горизонтальной плоскости случайными неоднородностями границ волновода) можно записать в виде:
Eп ( D, , hиc , hп ) l gl (hиc ) gl (hп ) D
l 0
l gl (hиc ) gl (hп ) D
1/ 2
l 0
1/ 2
D
exp j kl (ρ, ) dρ
0
D
D
exp j Re kl (ρ, ) dρ αl (ρ, ) dρ ,
0
0
где kl (ρ, ) – волновое число l-й моды в волноводе, имеющем параметры, которые соответствуют стохастическому волноводу в точке (ρ, φ) цилиндричес-кой
системы координат (ρ, φ, z); kl (ρ, ) kl (ρ, ) kl .
Если принимается радиоволна в двух точках:
P1 = (D + cos α da /2, sin α da /2, z) и P2 = (D – cos α da /2, – sin α da /2, z),
то взаимнокорреляционная функция вариаций полей, принятых в этих точках,
Rп ( D, α, z1, z2 ) Λl Λs gl (hиc ) g s (hиc ) gl ( z ) g s ( z )( R1 R2 ) 1 2
l 0 s 0
R2 R1
exp j kl (1, / 2) ks (1, / 2) d 1d 2 .
0 0
Обычно в детерминированных волноводах существенными для общего
поля в дальней зоне распространения kl D >> 1 являются две-три ведущие моды.
Поэтому можно рассматривать крупномасштабные флуктуации, например, фазы одной из ведущих мод:
R
R, γ 2 Re kв ρ, γ 2 d ρ ,
0
где Re kв ρ, γ 2 vв ρ, γ 2 ω0 vв 2 ; vв – средняя фазовая скорость ведущей
моды; vв – отклонение скорости от среднего значения.
– 202 –
R
ω0
vв (ρ, γ 2) dρ .
v в2 0
Для корреляционной функции флуктуаций фазы ведущей моды получаем:
R R
ω0 2 2 1
R ( D, d a , α) 4 vв (ρ1, γ 2) vв (ρ 2 , γ 2) dρ1dρ 2 .
vв 0 0
Значит, ( R, γ 2)
Поскольку флуктуации фазовой скорости vв (ρ, ) определяются случайными вариациями эффективной высоты волновода h (ρ, ) , то
ω 2 v
Rφ ( D, d a , α) 0 4 в
vв h
2 R2 R1
Rh ρ1, ρ2 , dρ1dρ 2 ,
0 0
где Rh (ρ1, ρ 2 , γ) – корреляционная функция флуктуаций эффективной высоты
волновода h (, ) в точках (ρ1, – γ/2) и (ρ2, γ/2).
Будем считать флуктуации высоты волновода h (ρ, ) однородным изотропным случайным полем. В этом случае
Rи (ρ1, ρ2 , γ) Rи (r ) Rи (ρ12 ρ22 2 ρ1 ρ2 cos γ) ,
ω0 2 vв
R ( D, d a , α)
v в4 h
2 R2 R1
Rи (ρ1
2
ρ12 2 ρ1 ρ 2 cos γ) dρ1dρ 2 .
0 0
Для дисперсии флуктуаций фазы ведущей моды получаем (в этом случае:
γ = 0 ; R1 R2 D ):
D
σ ( D) η
2
2
D
2
Rи (ρ1 ρ2 ) d ρ1d ρ2 2η Rи (r ) ( D r ) dr ,
2
2
0
2
0
где η ω0 vв h vв .
Если корреляционную функцию случайных вариаций эффективной высоты волновода hвв аппроксимировать, например, кривой Гаусса:
Rh(r) = Dh exp [– r 2/(2 r02)], то
D
σ 2 ( D)
2η Dh exp r 2 / 2 r0 2 ( D r ) dr
2
0
2η2 σ h2 D π 2 erf D
2 r0
r02 1 exp D
2 r0
.
Функция
σ 2 ( D)
– 203 –
имеет две асимптотики: при длине трассы распростра-
нения D много меньшей и много большей горизонтальных масштабов r0 неоднородностей границ волновода соответственно.
В этих двух предельных случаях: σ ( D) η D и σ ( D) η 2 r0 D .
Аналогичные асимптотические случаи имеют место для продольной корреляции ρ ( D, d a ) флуктуаций фазы ведущей моды при γ = 0 ; D = ( R2 R1 ) 2 ;
2
2
R2 R1 = d a : ρ ( D, d a ) R в ( D, d a , 0) R в ( D, 0, 0) ρ в ( D, d a , 0) 1 d a (2 D) и
ρ ( D, d a ) 1 d a (2 D) .
Для поперечной корреляции ρ ( D, d a ) ρ в D, d a , π 2 и произвольно
ориентированных приёмных пунктах P1 и P2 оценка корреляции флуктуаций
фазы ведущей моды: ρ ( D, d a , ) R в ( D, d a , α) σ ( R1 ) σ ( R 2 ) производится
численными методами. При таких расчётах оказывается, что если r0 << D, то
масштаб поперечной корреляции d приблизительно в два раза больше, чем
r0 : d 2 r0 , то есть результат оказывается аналогичным геометрооптическо-
му отражению от слабых крупномасштабных неоднородностей «шероховатой
поверхности» в дальней зоне.
Аналогичные результаты получаются для флуктуаций амплитуды ведущей моды электромагнитной волны. Для флуктуаций амплитуды поля лучше
рассматривать их отношение к среднему (регулярному) полю. В радиофизике
вводят величину χ = ln (A/A0), называемую уровнем амплитуды поля, где A0 –
величина невозмущенного поля.
В наших приближениях: A0 A , A A A , то есть
χ = ln A A A = ln 1 A A .
Поскольку мы полагаем, что σ A A , то χ ln 1 A A A A .
Значит,
χ 0
и χ R, γ 2 R α в (ρ, γ 2) d ρ , то есть статистические
0
– 204 –
закономерности, связанные с флуктуациями уровня χ, аналогичны закономерностям фазовых флуктуаций.
Что касается среднемасштабных флуктуаций радиоволн в стохастических волноводах, то, в отличие от рассеяния сферических волн на «шероховатой поверхности», для волноводных мод, границами соответствующих зон
Френеля являются эллиптические цилиндры, фокусами которых в вертикальной
проекции являются проекции приёмных антенн. С учётом этого обстоятельства
методом Монте-Карло можно определить в каждом конкретном случае распространения радиоволн в стохастическом волноводе границы разделения масштабов неоднородностей на мелкомасштабную и среднемасштабную компоненты.
Для среднемасштабных неоднородностей, то есть неоднородностей границ волновода, горизонтальные масштабы которых соизмеримы с горизонтальной длиной волны ведущих мод λвв = v0/( f0 sin θвв), следует поступать аналогично
рассеянию
на
среднемасштабных
неоднородностях
«шероховатой
поверхности» сферических волн. При этом задача расчёта рассеяния волноводных мод в плоском стохастическом волноводе оказывается проще, ибо
является двумерной [не нужно учитывать координату z – аппликату, ибо она
уже учтена в высотных множителях g ( z ) ].
6.4. Эффективная площадь рассеяния радиолокационных целей
При решении задач рассеяния радиоволн в неограниченном случайнонеоднородном пространстве следует учитывать, что зоны Френеля в этом случае представляют собой трёхмерные слои, ограниченные эллипсоидами вращения, фокусы которых расположены в фазовых центрах передающей и приёмной
антенн. Здесь также методом Монте-Карло можно определить, для заданных
значений расстояния D и поперечного к трассе распространения разнесения
приёмных антенн da, зоны разделения неоднородностей среды на мелкомасштабную и среднемасштабную составляющие.
– 205 –
Влияние крупномасштабных неоднородностей показателя преломления
можно учитывать аналогично методу модулированных мод:
R
2k 2 jk R
E ( R, , θ)
e
exp j k (ρ, , θ) d ρ .
R
0
Тогда, если комплексное поле k (r ) – изотропное однородное, то
R2
4k 4 j k ( R1 R 2 )
E ( D, d a , α, )
e
exp j
R1 R 2
0
R1
0
R k (r ) d ρd ρ ,
где r – расстояние между точками r и r , расположенных на трассах распространения Oρ' и Oρ" радиосигналов соответственно.
Что касается точечных рассеивателей, то численное интегрирование соответствующих формул приведёт к расходящимся интегралам. Поэтому эту,
как говорят математики, «некорректно поставленную» задачу следует предварительно «регуляризировать», например, введением конечных размеров точечных неоднородностей, рассмотрением задачи рассеяния на точечных неоднородностях, расположенных в зоне пересечения диаграмм направленности
передающей и приёмной антенн при несовпадении их осей и т. п.
Влияние среднемасштабных неоднородностей среды распространения
можно оценивать численными методами с использованием метода Релея-Ганса
(см. [1]) для расчёта рассеяния на слабой гауссовской неоднородности при произвольном отношении её размеров к длине распространяющейся волны.
Особый случай имеет место, когда передающая и приёмная антенны совмещены, как например в активной радиолокации. В этом случае границами зон
Френеля являются сферы радиуса Rn = (n λ 0)/4. Поэтому здесь ограничиваются
оценкой наиболее важных для работы РЛС характеристик рассеяния: эффективной площади рассеяния (ЭПР) цели, ЭПР искусственных отражателей, осадков, «шероховатой поверхности» Земли и морского волнения.
При расчёте дальности действия РЛС исходят из следующих соображений. Если мощность излучения РЛС Pизл, то плотность потока мощности Πц у
– 206 –
цели, которая расположена на расстоянии D, есть: Πц = Pизл G(α, β)/(4 π D2), где
G(α, β) – коэффициент направленного действия антенной системы РЛС по азимуту α и углу места β. Если цель обладает эффективной площадью рассеяния
σц, то в месте расположения антенны РЛС плотность потока мощности отраженной от цели радиоволны:
ΠРЛС = Πц σц G(α, β)/(4 π D2) = Pизл σц G 2(α, β)/(16 π2 D 4).
Если задана минимальная плотность потока мощности радиоволны ΠμРЛС,
при которой РЛС всё ещё обладает соответствующими эксплуатационнотехническими (тактико-техническим) характеристиками, то максимальная
дальность действия РЛС:
Dмакс
4
Pизл G 2 (α, β)
σц ,
Π РЛС 16 π 2
то есть при данных технических характеристиках РЛС: Pизл, ΠμРЛС и G(α, β) величина Dмакс определяется эффективной площадью рассеяния (ЭПР) цели σц.
По имеющейся возможности теоретической оценки величины ЭПР σц радиолокационные цели подразделяются на элементарные, для которых теоретический расчёт величины σц возможен, и сложные цели. ЭПР сложных целей
определяется физико-статистическими методами.
С точки зрения разрешающей способности данной РЛС радиолокационные цели подразделяются на точечные и распределённые. Точечные цели – такие цели, отдельные элементы которых не могут быть разрешены ни по дальности (то есть по задержке отражённых от цели зондирующих сигналов), ни по
угловым координатам (то есть с использованием диаграммы направленности
антенны РЛС), ни по скорости (Доплер-эффекту). У распределённых целей данная РЛС может различить отдельные элементы. Распредёленные цели могут
быть поверхностными (земная, водная поверхность) и объёмными (облака, туман, осадки и т. п.).
– 207 –
ЭПР элементарных отражателей может быть рассчитана исходя из следующих эвристических соображений. Поскольку плотность потока мощности
есть модуль вектора Умова-Пойнтинга:
Π = E · H = E 2/Z0, где Z0 = 120 π ≈ 376,6 (Ом) – волновое сопротивление
(характеристический импеданс) свободного пространства, то
2
ΠРЛС = Πц σц G(α, β)/(4 π D2) = E РЛС
/ Z0 .
2
Значит σц = 4 π D2 EРЛС
/[G (α, β) Eц2 ] .
Поскольку G(α, β) является характеристикой антенны РЛС, то ЭПР можно
определить как
отношение квадрата модуля напряженности электрического поля
в точке расположения антенны РЛС к отношению квадрата модуля
напряженности электрического поля, созданного РЛС
в месте расположения цели (с учётом только сферического
расхождения радиоволны), которое наводит на поверхности цели
2
/ Eц2 .
вторичный изотропный источник: σц = 4 π D2 EРЛС
Если цель ограничена идеально проводящей выпуклой поверхностью S,
то, согласно принципу Гюйгенса, в ней наводятся точечные источники, которые
в месте расположения антенны РЛС создают отражённое электромагнитное поле напряжённостью
k Eц
exp( j k D) cosθ d s ,
2π S D
где D = D0 + d – расстояние от антенны РЛС до элемента поверхности ds;
E РЛС
θ – направление вектора D относительно нормали к элементу d s поверхности.
При этом должны выполняться условия применимости принципа Гюйгенса:
λ 02 << S << D 2.
Если в пределах поверхности S значения D и Eц меняются несущественно,
то E РЛС
k Eц
2π D0
e
j k D0
exp( j k D) cosθ d s .
S
– 208 –
Тогда
σ ц 4π D 2 EРЛС
2
E1
2
k2
π
2
exp ( j k d ) cos θ d s
.
S
Вычислим ЭПР металлического листа, имеющего размеры a × b и расположенного нормально к направлению на антенну РЛС. При этом будем полагать: λ02 << a << D 2; λ02 << b << D 2. Получим:
σц
k2
π
exp ( j k d ) cosθ d s
2
k 2 S 2 π , где S a b – площадь листа.
S
Однако уже при небольшом отклонении положения листа от нормали к
направлению на РЛС величина его ЭПР сильно уменьшается: ширина диаграммы обратного рассеяния такой цели по уровню половинной мощности θ 0,5 в
таком случае: θ 0,5 30 λ 0 / a b . Например, при λ 0 10 см и a b 1м получаем:
θ0,5 ≈ 3○.
Этим недостатком не обладают уголковые отражатели, у которых геометрооптический луч отражается обратно строго по направлению облучения. У
уголкового отражателя с треугольными гранями длиной a величина ЭПР есть
σц ≈ k 2 a4/(3 π), а ширина диаграммы обратного рассеяния θ0,5 ≈ 60○.
У идеально проводящего шара радиуса rш ≥ 2 λ0 эффективная площадь
рассеяния равна σц π rш2 и не зависит от направления на антенну РЛС.
Для любой идеально проводящей поверхности: σц = π r1 r2, где r1 и r2 –
главные радиусы кривизны этой поверхности в точке, касательная плоскость в
которой нормальна к направлению на РЛС (в «блестящей точке» поверхности);
при этом λ 0 << r1 и λ 0 << r2. Если же rш < 2 λ 0, то зависимость интенсивности
отражения радиоволны от радиуса шара имеет осциллирующий характер.
ЭПР полуволнового вибратора (тонкого металлического цилиндра длиной l = λ 0 /2) имеет ширину диаграммы обратного рассеяния θ0,5 ≈ 65○ и величину σц ≈ 0,86 λ 02 sin4φ, где φ – угол между направлением на РЛС и осью вибратора.
– 209 –
Полученные формулы для оценки ЭПР σц элементарных отражателей
можно использовать для расчёта средней эффективной площади рассеяния
группы пассивных отражателей, используемых для маскировки радиолокационных целей. Будем считать, например, что с самолёта противника сбросили N
пассивных отражателей, которые хаотическим образом падают на землю со
случайной ориентацией своих осей диаграммы обратного рассеяния. Не будем
учитывать многократных переотражений радиоволн от пассивных отражателей
(учтём только однократное рассеяние на отражателе) и будем полагать, что
точка пересечения оси диаграммы обратного рассеяния с единичной сферой, в
центре которой расположено начало диаграммы, распределено равномерно по
этой сфере, то есть имеет плотность вероятности p(φ, θ) = 1/(2 π2 sin θ).
Тогда среднее значение ЭПР группы из N отражателей
π 2
Gобр (θ)
N σц
σΣ
dθ ,
π π 2 sin θ
где Gобр(θ) – коэффициент направленного действия обратного рассеяния элементарного отражателя.
Для круглого металлического листа радиуса r >> λ 0 получим:
r
2
Gобр (θ) 2 J 0 (θ)ρ d ρ
J1 (θ r ) ,
θ
r
0
π 2
σΣ 2k πr N
4
π 2
π J1 (θ r )d θ π J1 (θr )
J1 (θ r ) cos 2 θ
4
d θ = 2k πr N
sinθ d θ .
θ r sinθ
θr
0 θ r sinθ
0
Для уголкового отражателя с треугольными гранями длиной a
k 2 a4
σΣ N
3π
60
0
dθ
k 2 a4
=N
ln tg 75 ln tg15
sin θ
3π
0, 403 k a
2 4
.
Простейшей моделью сложной точечной цели могут служить два изотропных отражателя, имеющие одинаковые ЭПР σ0 и находящиеся на расстоянии d друг от друга. Узкополосный радиосигнал, переизлучённый такой идеализированной сложной целью, будет иметь два компонента с почти равными
амплитудами:
E1 E 2 G (α, β) Z 0 Pизл σ 0 (4π D 2 ) , но с различными началь-
ными фазами, которые определяются разностью электрических длин трасс
– 210 –
распространения плоских волн (при D >> d ) относительно угла θ сложной цели:
1 2 2k 2kd sin θ . Около антенны РЛС компоненты поля E1 и E2
суммируются векторно: E 2 E1 E 2 2 E1 E 2 cos .
Значит, в данном случае (σ1 ≈ σ2 ≈ σ0): σ ц 21 cos (2k d sin θ)σ 0 .
При этом значение σц может случайным образом изменяться от величины σц = 0 до σц = 2 σ0. Полагая, что случайный угол θ равномерно распределён в
пределах от – π /2 до + π /2, получим плотность вероятности ЭПР простейшей
из сложных целей:
p (σ ц ) = π 1 d θ d σ ц , θ = arcsin arccos 1 σ ц
2σ0
(2kd ) ,
2
2
1 σ ц (4σ 0 )
p (σц ) = 4π 2 σ 0 σ ц
(2k d ) arccos 1 σ ц (2σ 0 )
1 2
.
При σ ц 2σ 0 плотность вероятности
p (2σ0 ) 1 /
2
2
.
4π 2 σ 02
(2k d ) π 4
Отсюда находят среднее значение ЭПР сложной цели:
σц
2σ 0
0 σ ц p(σ ц ) dσ ц .
Более сложные цели состоят из случайно ориентированных элементарных
отражателей, находящихся на случайных удалениях друг от друга. Если их достаточно много, а величины их ЭПР σi; i = 1, 2, …; не существенно отличаются
друг от друга, то в простейшем случае плотность p(σц) можно аппроксимировать законом Пуассона:
p (σ ц ) exp( σ ц σц ) σц , где σц – среднее значение
ЭПР сложной цели. Если среди отражателей, из которых состоит сложная точечная цель, имеется доминирующий, то плотность вероятности p(σц) флуктуа-
ций
ЭПР цели лучше
всего
аппроксимировать
законом Релея-Райса:
σ ц2 S 2 S σ ц
σц
p (σ ц ) 2 exp
I 0 2 , где I 0 ( z ) – модифицированная функция
2
s0
2
s
0
2s0
Бесселя I рода нулевого порядка.
– 211 –
ЭПР распределённой цели рассчитывается исходя из следующих соображений. Пусть ширина диаграммы направленности антенны (ДНА) по половинной мощности (например, по азимуту α) составляет α0,5 ≈ 1○. Тогда на дальности
D = 100 км разрешающая способность РЛС составляет
d D α 0,5 / 57,3 1750 м .
В то же время, при
λ 0 10 см
ширина первой зоны Френеля
dфр D λ 4 25 м , то есть рассеянные точечными отражателями, находящи-
мися на расстоянии 2 dфр = 50 км друг от друга, поля в окрестности РЛС оказываются некоррелированными, а потому плотности потока их мощности складываются
арифметически.
Таких
точечных
отражателей
на
интервале
поперечного разрешения d может разместиться N d (2 d фр ) 35 .
Значит, среднее значение ЭПР распределенной цели является суммой
средних значений ЭПР, попадающих в элемент разрешения РЛС (по дальности,
по угловым координатам, по рабочей полосе частот РЛС). Если же определить
удельную ЭПР распределённой цели σуд (обычно экспериментально-теоретическим методом), то среднее значение ЭПР распределённой цели можно оценить как σц = σудS Sр или как σц = σудV Vр, где σудS имеет размерность [м2/м2] для
элемента разрешения данной отражающей поверхности площадью Sр [м2],
а σудV – размерность [м2/м3] (для элемента разрешения Vр объёмно распределённой цели, например, некоторого объёма облака, осадков и т. п.).
Удельная ЭПР σудS поверхности суши или моря зависит от степени её
«шероховатости», которая теоретически определяется «малостью» и «плавно-
стью» этих шероховатостей. Малость величины шероховатостей означает, что
их среднеквадратическая высота много меньше длины волны λ0 РЛС, а плавность означает, что среднеквадратическое значение радиуса их кривизны много больше длины волны λ0 данной РЛС.
– 212 –
Для сильно шероховатых поверхностей рассеяние радиоволн практически изотропно и их удельная ЭПР подчиняется закону Ламберта (Иоганн Ламберт, немецкий физик и математик: 1728-1777): σудS = σ0 cos θ, где θ – угол падения радиоволны на поверхность.
Величина удельной ЭПР поверхностей обычно оценивается эмпирически:
путём соответствующего набора экспериментальных данных и их статистической обработки.
Удельная ЭПР σудV объёмных целей в большинстве случаев может быть
определена теоретически исходя из количества элементарных отражателей в
единице объёма и значения их ЭПР. Например, капля дождя (при rк << λ0) имеет ЭПР: σэл ≈ 1,8 104 rк6 λ 0– 4, а снежинка радиуса rсн: σэл ≈ 0,4 104 rсн6 λ 0– 4. Число
капель или снежинок в одном кубометре зависит от интенсивности осадков или
плотности тумана и оценивается гидрометеорологами.
– 213 –
Заключение
Статистическая теория радиотехнических систем (РТС) – весьма обширная и развивающаяся область экспериментально-теоретических исследований,
результаты которых имеют большое практическое значение, как для оптимизации проектируемых радиотехнических систем, так и для оценивания эксплуатационно-технических характеристик существующих радиосистем, в том числе
для оценивания пропускной способности различных систем передачи информации, методы которых рассматриваются в «Прикладной теории информации».
В настоящем курсе представлены основные подходы к решению линейных и линеаризованных задач статистической теории РТС как наиболее простых и достаточно распространённых. Разнообразие РТС и статистических проблем, возникающих при их системотехническом проектировании, приводят к
постановке более сложных задач.
Курс «Статистическая теория радиотехнических систем» даёт основу для
дальнейшего углублённого изучения проблем статистической теории РТС в
различных направлениях. Это, прежде всего, разнообразные задачи оптимальной и адаптивной фильтрации различных сигналов на фоне аддитивных и неаддитивных, стационарных и не-стационарных, гауссовских и не-гауссовских
радиопомех. Отдельный класс задач представляют собой задачи статистической
теории антенн. Большое практическое значение имеют статистические задачи
теории когерентности. Различные нелинейные задачи радиотехники и радиофизики также имеют стохастические составляющие.
Большое разнообразие задач статистической радиофизики возникает при
системотехническом проектировании различных РТС, работающих в самых
разных диапазонах радиоволн, распространяющихся по самым различным случайно-неоднородным трассам.
Освоение материалов данного курса является первым шагом в выбранном
радиоинженером направлении: изучении конкретных проблем статистической
теории радиотехнических систем.
В заключение следует повторить основные положения изученного материала, просмотреть тренировочные тесты и перейти к выполнению контрольной работы.
– 214 –
3.4. Глоссарий (краткий толковый словарь)
Номер
раздела
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
Понятие
2
Автокорреляционная
функция
Определение
3
Взаимно-корреляционная функция двух
одинаковых сигналов: сигнала и смещённой по аргументу его копии –
как функция от значения этого смещения
Априорная
Вероятность появления события перед
вероятность
проведением опыта по его реализации
Апостериорная
Мера остаточной неопределённости
вероятность
события после проведения опыта
по его реализации
Безусловная
Вероятность события вне зависимости
вероятность
от одновременной реализации
других событий
Белый шум
Стационарный случайный процесс, имеющий равномерную спектральную плотность мощности
в бесконечной полосе частот
ВзаимноКорреляция значений двух случайных
корреляционная
функций при различных значениях
функция
их аргументов
Вероятность
Количественная характеристика исхода
некоторого опыта в очень сложных
явлениях определённого класса
Вероятность ложной
Условная вероятность принятия решения
тревоги
о наличии на входе приёмника сигнала
(ложного обнаружения) при фактическом его отсутствии
Вероятность
Условная вероятность принятия решения
правильного
о наличии на входе приёмника сигнала
2
обнаружения
Вероятность
пропуска сигнала
1
Время (интервал)
корреляции
при фактическом его присутствии
Условная вероятность принятия решения
об отсутствии на входе приёмника сигнала при фактическом его присутствии
Ориентировочное значение разности
моментов времени стационарного
случайного процесса, при котором
мгновенные значения процесса можно
считать некоррелированными
– 215 –
1
1
2
Выборка
1
Выборочные моменты
1
Генеральная
совокупность
2
Гипотезы
простые и сложные
1
Гистограмма
1
Дисперсия
случайной величины
Доверительный
интервал
3
6
Зона Френеля
1
Изотропность
случайного поля
3
Совокупность из n независимых
реализаций некоторой случайной
величины (n – объём выборки)
Статистическая оценка значений
моментов данной случайной величины
по некоторой выборке из её генеральной
совокупности
Совокупность стохастически эквивалентных между собой выборок бесконечного
объёма данной случайной величины
Непротиворечивое множество предположений относительно распределения
случайной величины (вектора)
Ступенчатая кривая, полученная по
выборке и аппроксимирующая плотность
вероятности случайной величины
Среднее значение квадрата отклонения
случайной величины от её среднего
Интервал значений, внутри которого
с заданной вероятностью находится
оцениваемая величина
Часть пространства, охватывающая
источник электромагнитного излучения и
его приёмник, точки которого имеют
суммарные электрические длины
удалённостей от источника и приёмника,
отличающиеся не более чем на половину
длины распространяющейся волны
Независимость корреляции однородного
скалярного случайного поля
от направления вектора разности
1
2
1
Каноническое
представление
случайного вектора
Каноническое
представление
случайного сигнала
Корреляция
двух точек пространства
Представление данного случайного
вектора суммой независимых
случайных векторов
Представление данного случайного
сигнала суммой независимых
случайных процессов
Степень статистической связи двух
случайных величин, характеризуемая
средним значением произведения
их отклонений от средних значений
– 216 –
1
1
2
Корреляционная
функция
1
Коэффициент
асимметрии
6
Коэффициент Френеля
1
Коэффициент
эксцесса
2
Критерий согласия
статистический
3
Критерий хи-квадрат
1
Линейный блок
2
Ложная тревога
(ложное срабатывание)
1
Математическое
ожидание
Медиана
1
3
Функция двух аргументов, равная
корреляции двух случайных функций при
различных значениях их аргументов
Отношение третьего центрированного
момента случайной величины к кубу её
среднеквадратического отклонения
Комплексная величина, равная
отношению комплексных амплитуд
плоских монохроматических электромагнитных волн, падающих и отражённых от
плоской границы раздела двух сред
Отношение четвёртого центрированного
момента случайной величины к квадрату
её дисперсии без трёх
Правило принятия статистического
решения (правило выбора гипотезы),
которое в наилучшей степени согласует
принятое решение с действительностью
Критерий согласованности гипотетических вероятностей случайных событий
с их относительными частотностями
Часть пространства, осуществляющая
линейное преобразование
пространственно-временнóго сигнала
Принятие решения о наличии на входе
приёмника ожидаемого сигнала
при условии его отсутствия
Среднее значение
данной случайной величины
Величина, вероятности превышения и
распределения
6
Мода волноводная
1
Мода распределения
1
Момент распределения
порядка m
непревышения которой данной
случайной величиной одинаковы
Один из членов разложения электромагнитного поля в различных волноводах
Значения случайной величины,
при которых её плотность вероятности
достигает локального максимума
Среднее значение m-й степени значений
случайной величины или её отклонений
от среднего (центрированный момент)
– 217 –
1
1
2
Независимость
статистическая
2
Обнаружение сигнала
1
Однородность
случайного поля
1
Ординарность
случайного потока
2
Отношение
правдоподобия
2
3
Отношение
«сигнал/помеха»
Оценивание
3
Оценка несмещённая
3
Оценка состоятельная
3
Оценка эффективная
3
Ситуация, при которой вероятностные
характеристики двух и более событий
никак не связаны между собой
Процедура принятия решения о наличии
на входе приёмника ожидаемого сигнала
Зависимость корреляции скалярного
случайного поля только от вектора
разности двух точек пространства
Практическая невозможность появления
двух и более событий за очень малый
промежуток времени
Отношение условных вероятностей для
данной выборки при наличии на входе
приёмника сигнала и при его отсутствии
Отношение мощности сигнала
к мощности шума или помех
Процедура предсказания значений
параметров случайных величин или
процессов на основании их реализаций
Оценка параметра, среднее значение
которой равно истинному значению
параметра
Оценка параметра, значение которой
при увеличении числа реализаций
сходится по вероятности
к истинному значению параметра
Оценка параметра, значение которой
имеет наименьшую дисперсию
из данного класса оценок
1
Плотность
вероятности
2
Порог решения
2
Потери
1
Принцип суперпозиции
Кусочно-непрерывная функция, значения
которой, умноженные на объём данного
элементарного промежутка, являются
вероятностями попадания значений
случайной величины в этот промежуток
Граница значений статистики, при
которой принимается данная гипотеза
Условная величина, которая оценивает
ущерб от принятия ошибочного решения
Равенство отклика электрической цепи
на произвольную сумму входных
воздействий сумме откликов
на каждое из них в отдельности
– 218 –
1
1, 6
2
Принцип Гюйгенса
2
Проверка
статистической
гипотезы
1
Пространственновременной сигнал
5
Различение сигналов
5
Разрешающая
способность
5
Разрешение сигналов
1
Реализация
случайного процесса
3
Поле в каждой точке пространства в некоторый момент времени есть суперпозиция полей, излучаемых совокупностью
вторичных элементарных источников,
соответствующих фронту волны в
предыдущий момент времени
Процедура принятия решения о
правомочности той или иной статистической гипотезы при наличии данной
выборки из генеральной совокупности
Электромагнитное поле, параметры
которого переносят в пространстве
между передатчиком и приёмником
определённое сообщение
Процедура принятия решения о наличии
на входе приёмника конкретного сигнала
из множества ожидаемых сигналов
Граничное значение некоторого
параметра сигнала, при котором
принимается решение о наличии
на входе приёмника
двух одинаковых по форме сигналов
Процедура принятия решения о наличии
на входе приёмника одновременно двух
или более сигналов из ожидаемого
множества сигналов
Некоторая функция времени, которая
получается в результате проведения
процедуры регистрации данного
В
Регулярный
случайный сигнал
Сигнал
1
Сигналы дискретные
1
случайного процесса
Случайный процесс, имеющий кусочнонепрерывный энергетический спектр
Изменения в пространстве и (или) во
времени параметров электромагнитных
волн или электрических колебаний в соответствии с передаваемым сообщением,
которое нёсет некоторую информацию
Последовательность значений
некоторой физической величины
в определённые моменты времени
– 219 –
1
3
5
2
Сигнальная функция
Сигналы простые
и сложные
1
Сингулярный
случайный сигнал
Система
В
В
Система
радиотехническая
1
Случайная величина
1
Случайная величина
векторная
1
Случайный сигнал
В
Сообщение
3
см. «функция неопределённости»
Сигналы, у которых произведение
эффективной ширины спектра
на эффективную длительность имеет
порядок единицы, являются простыми;
у которых оно значительно
больше единицы – сложными
Случайный процесс, имеющий дискретный обобщённый энергетический спектр
Целостная совокупность взаимодействующих между собой функционально
законченных элементов
Техническая подсистема информационной эрготехнической системы, имеющая
каналы фиксированной или подвижной
радиосвязи
Совокупность стохастически эквивалентных между собой ансамблей реализаций
скалярных величин
Совокупность стохастически эквивалентных между собой ансамблей реализаций
векторных величин
Совокупность стохастически эквивалентных между собой ансамблей реализаций
функций времени, переносящих
информацию источников сообщений
Материальная форма представления
информации для её хранения, распределения, обработки и преобразования
3
Спектральная плотность
средней мощности
(энергетический спектр)
Среднее значение
случайной величины
Среднеквадратическое
(стандартное)
отклонение
Статистики
1
Стационарность
1
1
1
Распределение средней мощности
стационарного случайного процесса
по всевозможным частотам
Момент первого порядка
данной случайной величины
Положительное значение
квадратного корня из дисперсии
данной случайной величины
Функции от значений элементов выборки
из данной генеральной совокупности
Независимость вероятностных свойств
случайного процесса от начала отсчёта
по шкале времени
– 220 –
1
1, 2
6
2, 3
4
2, 3
4
1, 6
3, 4
1
2
Стохастическая
эквивалентность
3
Равенство вероятностных характеристик
различных ансамблей реализаций случайной величины, вектора или функции
Трасса распространения Часть физического пространства,
ограниченная несколькими первыми
зонами Френеля
Узкополосный
Высокочастотный сигнал, у которого эфрадиосигнал
фективная ширина спектра существенно
меньше частоты несущей
Условие физической
Условие, при котором фильтр с заданным
осуществимости (реали- коэффициентом передачи может быть резуемости) фильтра
ализован из пассивных элементов
Фильтр отбеливающий Фильтр, на выходе которого
энергетический спектр электрических
шумов становится равномерным
в эффективной полосе частот сигнала
Фильтрация
Процедура обработки сигналов
на фоне помех в соответствии
с заданным критерием оптимальности
Функция Грина
Решение неоднородного волнового
(функция влияния)
уравнения (Гельмгольца) для элементарного точечного источника излучения
Функция
Зависимость относительной взаимной
неопределённости
энергии огибающих двух узкополосных
(сигнальная, или
радиосигналов: первоначального радиообобщённая автокорре- сигнала и его копии, имеющей сдвиги по
ляционная функция)
времени прихода и по частоте несущей
Функция
Зависимость вероятности того, что
распределения
реализация случайной величины
1
Функция с финитным
спектром
2
Характеристики
обнаружения
2
Энергия сигнала
не превысит заданную величину,
от значения этой величины
Функция, значения преобразования
Фурье которой вне некоторого
промежутка частот равны нулю
Зависимость вероятности правильного
обнаружения от вероятности ложного
обнаружения (ложной тревоги) при
заданном отношении сигнал/помеха
Полный интеграл от квадрата функции,
соответствующей данному сигналу
– 221 –
1
1
2
Эргодичность
2, 3
Эффект Доплера
поперечный
2, 3
Эффект Доплера
продольный
3
Эффективная
длительность сигнала
3
Эффективная ширина
спектра сигнала
6
Эффективная площадь
рассеяния (ЭПР) цели
3
Возможность оценки вероятностных
характеристик стационарного случайного
процесса по любой из его реализаций
Изменение частоты принятого гармонического колебания относительно частоты
излучаемого при взаимном движении
приёмника и передатчика электромагнитных волн с субсветовыми скоростями
Изменение частоты принятого гармонического колебания относительно частоты
излучаемого при взаимном приближении
или удалении приёмника и передатчика
электромагнитных волн
Величина промежутка времени,
на котором сосредоточена основная часть
энергии сигнала
Величина полосы частот, в которой
сосредоточена основная часть
энергии сигнала
Площадь условного изотропного непоглощающего переизлучателя, который в
антенне РЛС создаёт такую же плотность
потока мощности, что и данная цель
3.5. Методические указания к проведению практических занятий
Практические занятия студентов проводятся преподавателем с целью выработки навыков в решении типовых задач теории вероятностей и статистиче-
ской радиотехники, а также подготовки студентов к выполнению ими контрольной работы по статистической теории радиосистем. Кроме того, студенты
могут самостоятельно решать такие задачи и преодолевать трудности их решения, консультируясь с преподавателем (очно или дистанционно).
На практических занятиях преподаватель чётко формулирует условия
очередной задачи, добивается от студентов их понимания и предлагает студентам наметить пути решения задачи. Затем преподаватель последовательно проводит решение типовой задачи, делает соответствующие практические выводы
и возможные усложнения и обобщения решения задачи.
– 222 –
Студенты, которые обучаются с использованием информационно-коммуникационных технологий, должны самостоятельно решить практические задачи по каждому разделу дисциплины в соответствии с тематическими планами, приведёнными в табл. 2.2.1 и 2.2.2. Для этого они должны найти в библиотеках по месту жительства задачники и учебники, современные и прошлых лет,
и прорешать имеющиеся в них задачи и упражнения по своему выбору. В качестве таких задачников и учебников можно рекомендовать следующие.
Васин, В. В. Справочник-задачник по радиолокации/В. В. Васин, Б. М.
Степанов.– М.: Сов. радио, 1977.
Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения/Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М.: Академия, 2003.
Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения/Е.
С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М.: Академия – М., 2003.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике/В. Е. Гмурман. – М.: Физматгиз, 2004.
Горяинов, В. Т. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи/В. Т. Горяинов. – М.: Сов. радио, 1980.
Задачник по курсу «Основы теории радиотехнических систем»/ Под ред.
П. А. Бакулева и В. А. Вейцеля. – М.: Радио и связь, 1996.
Заездный, А. М. Основы расчётов по статистической радиотехнике /
А. М. Заездный. – М.: Сов. радио, 1966.
Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники (любое
издание).
Примеры и задачи по статистической радиотехнике/ Под ред. В. И. Тихонова. – М.: Сов. радио, 1970.
Тихонов, В. И. Случайные процессы. Примеры и задачи. В 4-х тт./В. И. Тихонов, Б. И. Шахтарин, В. В. Сизых; под ред. В. В. Сизых. – М.: Радио и связь,
2003-2005.
– 223 –
4. БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Задание на контрольную работу
и методические указания к её выполнению
4.1.1. Методические указания к выполнению контрольной работы
Целью выполнения контрольной работы является проверка умения студента применять полученные теоретические знания при решении типовых задач
статистической радиотехники.
Работу следует выполнять на стандартных сброшюрованных листах размером 297×210 мм или в ученической тетради, оставляя (справа) поля шириной
20 мм. Титульный лист должен быть оформлен по установленным в СЗТУ правилам; остальной материал – в соответствии с требованиями ЕСКД. Работу
необходимо датировать и подписать.
Исправлять незачтённую работу следует так, чтобы преподаватель мог
сопоставить первоначальный и новый тексты. Переработки большого объёма
можно приводить на отдельных листах.
По данной дисциплине студент должен решить одну из представленных
ниже задач. Номер задачи выбирается по предпоследней цифре шифра, номер
варианта исходных данных – по последней цифре шифра студента.
– 224 –
4.1.2. Задание на контрольную работу
Задача 1. Напряжение U, являющееся нормальной случайной величиной
со средним значением U и с дисперсией σ 2, подаётся на нелинейный элемент с
вольт-амперной характеристикой вида I(U ) = a U n + b.
Какова плотность вероятности p(I ) в нелинейном элементе?
Данные для решения задачи приведены в табл. 1.
Таблица 1
№
варианта
U
σ
a
n
b
U
σ
a
n
b
А
№
варианта
В
B
А·В–n
–
В
B
А·В–n
–
А
1
0
0,5
1
2
0
6
1
1,0
1
4
–1
2
0
1,0
–1
4
0
7
1
2,0
2
2
–1
3
0
1,5
2
3
1
8
–1
1,5
–1
3
–2
4
0
2,0
–2
2
1
9
–1
0,5
1
3
–2
5
1
2,5
1
2
2
0
–1
2,5
–2
2
0
Указание. При решении задачи воспользоваться таблицами значений интеграла вероятности Φ(x) или erf (x) из любого справочника по высшей математике (И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев, Г. Корн и Т. Корн и т. п.), учебника
по теории вероятностей (Б. В. Гнеденко, Е. С. Вентцель, В. Феллер и т. п.) или
по статистической радиотехнике (Б. Р. Левин, В. С. Пугачёв т. п.).
Задача 2. Два подвижных объекта независимо друг от друга передают
свои координаты в центр мониторинга. Параметры единичных эллипсов рассеяния объектов σx1, σy1, ρxy1 и σx2, σy2, ρxy2 соответственно. Какова точность определения расстояния между объектами, осуществляемого в центре мониторинга?
Данные для решения задачи приведены в табл. 2.
– 225 –
Таблица 2
σx1
σy1
ρxy1
σx2
σy2
ρxy2
м
м
–
м
м
–
1
100
50
0
50
100
0
2
100
50
– 0,5
50
100
– 0,5
3
100
50
0,5
50
100
0,5
4
50
100
0
50
100
0
5
50
100
– 0,5
50
100
– 0,5
6
50
100
0,5
50
100
0,5
7
20
20
0,8
10
10
0,8
8
20
20
– 0,8
10
10
– 0,8
9
10
10
0,8
10
10
0,8
0
10
10
– 0,8
10
10
– 0,8
Номер варианта
Задача 3. На вход электрической цепи (см. рисунок) поступает напряжение uвх(t), представляющее собой аддитивную смесь сигнала s(t) и «белого шума» n(t ) со спектральной плотностью мощности N0.
C1
R1 L
uвх(t)
C2
uвых(t)
R2
– 226 –
Определить спектральную плотность мощности W(ω) напряжения на выходе цепи uвых(t). Вычислить точки экстремумов кривой W(ω) и начертить её
примерный вид.
Данные для решения задачи приведены в табл. 3.
Таблица 3
C1 C2 R1 R2
L
C1 C2 R1 R2
L
Номер
Номер
варианта мкФ пФ Ом Ом мкГн варианта мкФ пФ Ом Ом мкГн
1
1,0
10 100
1
10
6
0,5
50
50
5
20
2
1,0
10 100
1
10
7
0,2
10
20
0,5
1
3
1,0
10 200
2
10
8
0,2
20
20
0,5
1
4
0,5
20 200
2
20
9
0,1
50
10
1
1
5
0,5
20
5
20
0
0,1
10
10
1
0,5
50
Задача 4. Характеристики обнаружения по одному зондирующему импульсу РЛС суть: вероятность пропуска цели β, вероятность ложной тревоги α.
Сколько импульсов n нужно накопить в устройстве обнаружения РЛС,
чтобы при том же значении α получить заданную вероятность правильного обнаружения Pпо(n).
Данные для решения задачи приведены в табл. 4.
Указание. Для решения задачи воспользоваться графиком рис. 4.10 в [2],
либо рис. 3.6 в [3], либо 4.3 в [4].
– 227 –
Таблица 4
Номер
варианта
β
–
α
–
Pпо(n)
–
Номер
варианта
β
–
α
–
Pпо(n)
–
1
0,5
10– 5
0,95
6
0,3
10– 5
0,99
2
0,5
10– 4
0,95
7
0,4
10– 5
0,99
3
0,5
10– 3
0,95
8
0,5
10– 5
0,97
4
0,5
10– 2
0,95
9
0,6
10– 5
0,97
5
0,5
10– 1
0,95
0
0,7
10– 5
0,95
Задача 5. Определить вероятность ошибки Pош «идеального наблюдателя», который обнаруживает радиоимпульс с колоколообразной огибающей вида
u(t) = U exp [t 2 /(2 τ и2 )] , имеющий амплитуду U и длительность τи по уровню
U
e , на фоне теплового шума приёмника, имеющего шумовую температуру
T ºK.
Данные для решения задачи приведены в табл. 5.
Таблица 5
Номер
U
τи
T
Номер
U
τи
T
варианта
мкВ
мкс
°K
варианта
мкВ
мкс
°K
1
1
0,1
300
6
0,1
0,5
600
2
0,1
1
500
7
0,2
2
400
3
0,25
1
400
8
0,1
0,1
10
4
0,5
0,5
300
9
0,1
5
200
5
1
0,2
500
0
0,5
0,1
300
– 228 –
Указание. При решении задачи воспользоваться таблицами значений интеграла вероятности Φ(x) или erf (x) из любого справочника по высшей математике (И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев, Г. Корн и Т. Корн и пр.), учебника по
теории вероятностей (Б. В. Гнеденко, Е. С. Вентцель, В. Феллер и пр.) или по
статистической радиотехнике (Б. Р. Левин, В. С. Пугачёв, В. И. Тихонов и пр.).
Задача 6. Ожидаемый сигнал является колоколообразным импульсом
u(t) = U exp [t 2 /(2 τ и2 )] , имеющим амплитуду U и длительность τи по уровню
U
e , и обнаруживается на фоне помехи в виде «белого шума» со спектраль-
ной плотностью мощности N0 = 10 – 18(Вт/ Гц).
Определить, какое пороговое значение Uп нужно установить на выходе
оптимального приёмника, чтобы получить вероятность правильного обнаружения Pпо?
Данные для решения задачи приведены в табл. 6.
Таблица 6
Номер
варианта
U
τи
Pпо
U
τи
Pпо
–
Номер
варианта
мкВ
мкс
мкВ
мкс
–
1
0,1
0,2
0,95
6
0,2
1
0,95
2
0,2
0,1
0,98
7
0,2
2
0,95
3
0,3
0,3
0,99
8
0,2
3
0,98
4
0,4
0,4
0,95
9
0,2
4
0,98
5
0,5
0,5
0,95
0
0,2
5
0,99
Указание. См. указание к задаче 5.
Задача 7. Определить требуемое значение амплитуды A0 для обнаружения на фоне тепловых шумов приёмника с нормальной шумовой температурой
прямоугольного радиолокационного импульса длительности τи с вероятностью
пропуска сигнала β при вероятности ложной тревоги α.
Данные для решения задачи приведены в табл. 7.
– 229 –
Таблица 7
τи
α
β
мкс
–
–
1
0,1
10– 5
0,1
2
0,2
10– 4
3
0,3
4
5
Номер
варианта
τи
α
β
мкс
–
–
6
0,6
10– 5
0,1
0,1
7
0,7
10– 4
0,08
10– 3
0,1
8
0,8
10– 3
0,06
0,4
10– 2
0,1
9
0,9
10– 2
0,04
0,5
10– 1
0,1
0
1,0
10– 1
0,02
Номер
варианта
Указание. При решении задачи воспользоваться графиками, представленными на рис. 4.10 из [2], либо на рис. 3.6 из [3], либо на рис. 2.8 из [6].
Задача 8. Зондирующий радиоимпульс РЛС имеет гауссовскую форму с
параметрами τи и f0. Для некоторой цели вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги суть Pпо и Pлт.
Определить потенциальные точности измерения дальности σD до этой цели и её радиальной скорости σV.
Данные для решения задачи приведены в табл. 8.
Указание. Для решения задачи воспользоваться графиком рис. 4.10 в [2],
либо рис. 3.6 в [3], либо 4.3 в [4].
– 230 –
Таблица 8
Номер
варианта
f0
τи
Pпо
Pлт
f0
τи
Pпо
Pлт
–
Номер
варианта
ГГц
мкс
–
ГГц
мкс
–
–
1
1
1
0,9
10– 4
6
5
0,2
0,9
10– 4
2
10
1
0,95
10– 5
7
20
0,5
0,95
10– 4
3
10
0,1
0,98
10– 3
8
5
1
0,98
10– 2
4
30
0,1
0,98
10– 2
9
20
0,2
0,95
10– 2
5
10
0,1
0,9
10– 4
0
1
1
0,99
10– 1
Задача 9. Зондирующий радиолокационный импульс имеет гауссовскую
форму огибающей вида s (t ) U 0 exp [t 2 / (2 τи2 )] и внутриимпульсную линейную частотную модуляцию несущей с девиацией частоты Δ f. Коэффициент затухания импульса на трассе распространения от места расположения
РЛС до цели и обратно K.
Определить базу зондирующего импульса B, релеевскую разрешающую
способность по дальности δD и по радиальной скорости движения цели δVr.
Данные для решения задачи приведены в табл. 9.
Таблица 9
Номер
варианта
1
2
3
4
5
τ
Δf
K
Номер
мкс МГц дБ варианта
0,5 20 100
6
0,5 200 150
7
1
10 200
8
1
100 250
9
2
5
100
0
τ
Δf
мкс МГц
2
50
2
500
5
2
5
20
5
200
K
дБ
150
200
250
100
200
– 231 –
Задача 0. РЛС с частотой несущей f0 производит обзор пространства
гауссовским радиоимпульсом с линейной частотной модуляцией. Потенциальная разрешающая способность РЛС по дальности составляет ΔD.
Какова должна быть девиация частоты Δ fм частотной модуляции, чтобы
РЛС имела потенциальную разрешающую способность по радиальной скорости
ΔV ?
Данные для решения задачи приведены в табл. 0.
Таблица 0
Номер
варианта
f0
ΔD
ΔV
f0
ΔD
ΔV
км /час
Номер
варианта
ГГц
км
ГГц
км
км /час
1
1
10
100
6
10
30
30
2
10
10
100
7
100
30
30
3
100
10
10
8
100
10
100
4
10
20
200
9
30
5
20
5
10
30
100
0
50
3
30
4.2. Текущий контроль. Тренировочные тесты
Тест № 1
1. Радиотехнические системы отличаются от электротехнических
a) малой мощностью.
b) большей сложностью.
c) наличием радиоканала.
d ) наличием радиоэлектронных компонентов.
– 232 –
2. Если случайная величина β является результатом линейного преобразования β = 4 α + 4 данной случайной величины α, имеющей нормальное распределение со средним значением
α
и с дисперсией Dα, то дисперсия Dβ слу-
чайной величины β есть:
a) Dβ = 8 Dα.
b) Dβ = 2 Dα.
c) Dβ = 4 Dα.
d ) Dβ = 16 Dα.
3. Прикладной смысл формулы Байеса заключается в следующем. Она
позволяет
a) определить процедуру проверки статистических гипотез.
b) полную группу случайных событий.
c) объективно выбирать статистические критерии.
4. Для того чтобы случайный процесс ξ(t) был эргодическим, необходимо,
чтобы случайный процесс ξ(t)
a) был стационарным и непрерывным.
b) имел непрерывный интеграл от спектральной плотности мощности Wξ( f ).
c) имел непрерывную автокорреляционную функцию Rξ(τ).
5. Вероятностный смысл теоремы Винера-Хинчина состоит в том, что она
даёт
a) пару косинус-преобразований, связывающих корреляционную
функцию стационарного случайного сигнала с его энергетическим
спектром.
b) способ нахождения энергетического спектра стационарного случайного сигнала по его автокорреляционной функции.
c) каноническое представление стационарного случайного сигнала с
ограниченной мощностью в гармоническом базисе представления.
– 233 –
6. Пространственно-временным сигналом называется
a) электромагнитное поле, параметры которого переносят в пространстве между передатчиком и приёмником определённое сообщение.
b) сигнал, который переносит сообщение об изменении во времени
состояния объектов, распределённых в пространстве.
c) электромагнитное поле, переносящее информацию между радиопередающими и радиоприёмными устройствами.
7. Пуассоновским потоком точек на числовой оси называется
a) совокупность случайных точек, расстояния между которыми
распределены по закону Пуассона.
b) совокупность случайных точек, вероятность числа попадания которых в заданный промежуток числовой оси распределено по закону Пуассона.
c) стационарный ординарный поток без последействия.
Тест № 2
1. При оптимальной линейной обработке результатов независимых
неравноточных измерений дискретных сигналов отношения «сигнал/помеха»
этих результатов
a) перемножаются.
b) складываются линейно.
c) складываются среднеквадратически.
d ) преобразуются среднегеометрически.
2. Если при заданном пороге обнаружения амплитуда сигналов, поступающих на вход приёмника, будет больше расчётной, то уменьшится вероятность
a) ложной тревоги.
b) правильного обнаружения.
c) правильного необнаружения.
d ) пропуска сигнала.
– 234 –
3. Простой гипотезой называется предположение о
a) конкретном значении оцениваемого параметра.
b) длине промежутка числовой оси, в пределах которого может лежать значение оцениваемого параметра.
c) границах, в пределах которых лежит величина оцениваемого параметра.
4. Характеристика обнаружения – это зависимость вероятности правильного обнаружения от
a) дальности до цели при заданной мощности излучения РЛС.
b) эффективной площади рассеяния цели при заданной дальности
до цели.
c) вероятности ложной тревоги при заданном отношении сигнал/помеха.
5. В теории обнаружения сигналов используется критерий проверки простых статистических гипотез
a) Крамера-Рао.
b) Котельникова-Шеннона.
c) Винера-Хинчина.
d ) Карунена-Лоэва.
e) Неймана-Пирсона.
6. Началу характеристики обнаружения (α = 0, Pп.о. = 0) соответствует величина порога обнаружения Uп, равная
a) Uп = + ∞.
b) Uп = – ∞.
c) Uп = 0.
d ) Uп = 1.
– 235 –
Тест № 3
1. Величина поперечного эффекта Доплера, если f0 – частота несущей,
V – скорость движения объекта, c0 – скорость света, θ – угол между направлением на источник излучения и вектором скорости движения объекта, определяется по формуле
a) f f 0 1 V 2 / c02 .
b) f f 0 1 V 2 cos θ / c02 .
c) f f 0 1 V cos θ / c0 .
d ) f f 0 1 V 2 / c02 .
2. Точность определения дальности до радиолокационной цели с помощью простого зондирующего радиоимпульса РЛС увеличивается при увеличении
a) отношения амплитуды импульса к его длительности.
b) длительности импульса РЛС.
c) произведения амплитуды зондирующего импульса на его длительность.
3. Интервальное оценивание характеризуется
a) интервалом значений объёма выборки, при котором получается
точная оценка.
b) доверительным интервалом и коэффициентом доверия.
c) оценивание случайной величины с помощью интервала минимальной длины.
4. Общим методом получения точечных оценок является метод
a) максимального правдоподобия.
b) наименьших квадратов.
c) моментов.
– 236 –
5. Характеристики совместного оценивания временнóго положения и частоты несущей узкополосного радиосигнала определяются
a) эффективной длительностью сигнала.
b) эффективной шириной спектра сигнала.
c) отношением «сигнал/помеха».
d ) функцией неопределённости радиосигнала.
Тест № 4
1. Вероятностный смысл критерия оптимальности линейного фильтра заключается в том, что он
a) максимизирует отношение «сигнал/белый шум» на выходе фильтра.
b) минимизирует дисперсию разности между выходным колебанием
и входным.
c) минимизирует дисперсию разности между выходным колебанием
и ожидаемым сигналом.
2. Оптимальные линейные стационарные фильтры являются физически
реализуемыми, если у них
a) интеграл по всей оси частот ( – ∞ < ω < ∞) от квадрата модуля
коэффициента передачи K( jω) имеет конечное значение.
b) импульсная характеристика h(τ) равна нулю при τ > 0.
c) импульсная характеристика h(τ) – ограниченная функция аргумента τ.
3. Что такое «экстраполирование случайного сигнала s(t)»?
a) Оптимальное оценивание поведения сигнала s(t) в будущем по
одной из реализаций смеси сигнала с шумом ui(t) = si(t) + ni(t), известной до настоящего времени.
b) Предсказание поведения реализации si(t) случайного сигнала s(t)
в будущем по её прошлому.
c) Оценивание мгновенного значения случайного сигнала s(t) в момент времени t > t0 по значению сигнала s(t) в момент t = t0.
– 237 –
4. Коэффициент передачи K( j ω) оптимального фильтра определяется, если Ws(ω) и Wn(ω) – энергетические спектры сигнала s(t) и аддитивной помехи
n(t) соответственно, по формуле:
a) K( j ω) = Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)].
b) | K( j ω)| = Ws (ω)
Ws 2 (ω) Wn 2 (ω) .
c) | K( j ω)| 2 = Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)].
d ) | K( j ω)| = Ws(ω)/[Ws(ω) + Wn(ω)].
Тест № 5
1. Элементом разрешения РЛС по объёму называется
a) объём пространства, занимаемый зондирующим электромагнитным импульсом на данном расстоянии от РЛС по уровню 0,5 от
максимума диаграммы направленности антенны и максимума
напряжённости электрической составляющей импульса.
b) объём единичного эллипсоида рассеяния погрешностей определения декартовых координат цели.
c) объёмы двух одинаковых целей, воспринимаемых данной РЛС
как отдельные сложные точечные цели.
2. Чем отличается различение сигналов от разрешения сигналов?
a) При различении сигналов принимается решение о наличии на
входе приёмника конкретного сигнала, а при разрешении – о наличии на входе приёмника одновременно двух или более сигналов из
ожидаемого множества сигналов.
b) При разрешении сигналов сначала сигнал обнаруживается, а затем обнаружитель даёт разрешение на процедуру оценивания значений его основных параметров. При различении – сначала оцениваются значения его параметров, а затем принимается решение об
отличии этих оценок от аналогичных параметров помех.
c) При различении сигналов анализ принятых сигналов производится параллельно, а при разрешении – последовательно.
– 238 –
3. Простые радиосигналы от сложных отличаются тем, что
a) простые радиосигналы получают простыми способами модуляции: амплитудной (двухполосной и однополосной) модуляцией,
многопозиционной амплитудной манипуляцией и т. п. Сложные радиосигналы получают более сложными способами: фазовой, относительной фазовой, частотной и т. п.
b) простые радиосигналы описываются элементарными функциями:
полиномами, синусоидами, экспонентами, функцией Гаусса и т. п.
Сложные радиосигналы описываются специальными функциями:
Бесселя, Эрмита, Чебышева, Уолша и т. п.
c) у простых сигналов произведение длительности сигнала на ширину его спектра имеет порядок единицы, у сложных – это произведение может значительно превышать единицу.
4. Разрешающая способность по радиальной скорости радиолокационной
станции с простым зондирующим радиоимпульсом гауссовской формы увеличивается, если
a) увеличить длину волны несущей зондирующего радиоимпульса.
b) уменьшить длительность зондирующего радиоимпульса.
c) увеличить отношение частоты несущей зондирующего радиоимпульса к его длительности.
d ) увеличить произведение частоты несущей зондирующего радиоимпульса и его длительности.
5. Базой сигнала называется
a) произведение длительности сигнала на ширину его спектральной
плотности.
b) произведение длительности сигнала на его амплитуду.
c) произведение длительности сигнала на квадрат его амплитуды.
d ) количество базисных функций, на которые разлагается данный
сигнал.
– 239 –
Тест № 6
1. Основными классами задач статистической радиофизики являются:
a) статистические характеристики электромагнитных полей в ближней, средней и дальней зонах.
b) электромагнитное поле случайных источников, флуктуации электромагнитного поля в стохастической среде распространения и дифракция электромагнитных волн на стохастических границах раздела.
c) статистика электромагнитных полей в зонах Френеля, Фраунгофера и на бесконечности.
2. Пространственно-временнáя корреляция ρ(da, τ) изотропных стационарных волновых случайных полей в окрестности начала координат (da = 0, τ = 0)
обычно аппроксимируется функцией:
a) ρ(da, τ) = exp[– (da2 + τ2/τ02)/d02].
b) ρ(da, τ) = exp[– (da2/d02 + τ2)/(2 τ02)].
c) ρ(da, τ) = exp[– (da2/d02 + τ2/τ02)/2].
d ) ρ(da, τ) = exp[– (da2/d02 + τ2/τ02)].
3. Типичным законом распределения амплитуд радиолокационных сигналов, рассеянных сложными точечными целями, является распределение
a) Стефана-Больцмана.
b) Релея-Райса.
c) Гаусса-Крюгера.
4. Чем отличается распределённая радиолокационная цель от точечной?
a) Распределённая цель занимает объём или участок поверхности,
превышающий по своим размерам элемент разрешения РЛС, а точечная – нет.
b) Распределённая цель содержит несколько независимых элементарных отражателей, а точечная – один.
c) Распределённая цель непрерывно заполняет некоторый объём
или участок поверхности, точечная – дискретно.
– 240 –
Правильные ответы на тренировочные тесты
Тест
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Правильный
ответ
c
d
a
b
c
a
c
b
d
a
c
e
b
d
a
16 17 18 19 20 21 22 23 24
25
26
27
28
29
30
b
d
a
b
c
b
a
Тест
Правильный
ответ
a
d
c
b
a
d
a
c
4.3. Итоговый контроль. Вопросы для подготовки к зачёту
1. Вероятностные модели случайных событий.
2. Формула полной вероятности и Байеса.
3. Вероятностные модели скалярных случайных величин.
4. Преобразования случайных величин.
5. Совокупности случайных величин.
6. Векторные случайные величины и их линейные преобразования.
7. Общая характеристика случайных процессов.
8. Простейшие свойства случайных сигналов.
9. Периодические и почти периодические случайные сигналы.
10. Случайные сигналы с ограниченной энергией. Теорема Карунена-Лоэва.
11. Стационарные случайные сигналы. Теорема Винера-Хинчина.
12. Регулярные случайные сигналы и их импульсное представление.
13. Эргодические случайные сигналы, белый шум и его представление.
14. Стационарные случайные сигналы с финитным энергетическим спектром. Обобщённая теорема Котельникова-Шеннона.
15. Линейные преобразования случайных сигналов и помех.
16. Скалярные случайные поля.
17. Пространственно-временные сигналы.
18. Обнаружение дискретных сигналов. Общее решение задачи обнаружения.
– 241 –
19. Обнаружение дискретных сигналов. Критерии оптимальности порога
обнаружения.
20. Обнаружение полностью известных непрерывных сигналов с ограниченной энергией.
21. Обнаружение полностью известного узкополосного радиосигнала.
22. Обнаружение узкополосных радиосигналов с неизвестной начальной
фазой несущей.
23. Обнаружение радиосигналов с неизвестной амплитудой.
24. Поиск и обнаружение радиосигналов с неизвестным временем прихода и частотой несущей.
25. Структуры оптимальных устройств обнаружения и их качественные
показатели.
26. Оптимальное оценивание амплитуды сигналов известной формы.
27. Определение временнóго положения флуктуирующих сигналов.
28. Совместное измерение временнóго положения и частоты несущей радиосигналов. Принцип неопределённости в радиотехнике.
29. Потенциальная точность оценок параметров сигналов. Интервальное
оценивание их параметров.
30. Структуры оптимальных устройств измерения и оценивания параметров сигналов.
31. Основные положения теории оптимальной фильтрации сигналов.
32. Основы теории различения сигналов. Структуры оптимальных
устройств различения и их качественные показатели.
33. Разрешение сигналов известной формы.
34. Функция неопределённости и синтез сложных сигналов.
35. Простанственно-временнáя корреляция внешних радиопомех.
36. Рассеяние радиоволн на крупномасштабных неоднородностях. Метод
случайных коэффициентов Френеля.
37. Рассеяние радиоволн в стохастических слоистых средах. Метод модулированных мод.
38. Рассеяние радиоволн в неограниченном случайно-неоднородном пространстве.
39. Эффективная площадь рассеяния поверхностных радиолокационных
целей.
40. Эффективная площадь рассеяния объёмных радиолокационных целей.
– 242 –
СОДЕРЖАНИЕ
1. Информация о дисциплине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы . . . . . . . . . .7
2. Рабочие учебные материалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Рабочая программа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Тематический план дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Временной график изучения дисциплины с использованием
информационно-коммуникационных технологий . . . . . . . . . 13
2.4. Структурно-логическая схема дисциплины . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Практический блок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1. Практические занятия (очно-заочное обучение) . . . . 15
2.5.2. Практические занятия (заочное обучение) . . . . . . . . . 15
2.6. Балльно-рейтинговая система оценки знаний . . . . . . . . . . . . . 16
3. Информационные ресурсы дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Опорный конспект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Письменные лекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4. Глоссарий (краткий толковый словарь) . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.5. Методические указания к проведению
практических занятий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4. Блок контроля освоения дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.1. Задание на контрольную работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2. Текущий контроль. Тренировочные тесты . . . . . . . . . . . . . . 232
4.3. Итоговый контроль. Вопросы для подготовки к зачёту . . . 241
– 243 –
Геннадий Иванович ХУДЯКОВ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Редактор М. Ю. Комарова
Сводный темплан 2009 г.
Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97
Подписано в печать
Б. кн.-журн.
Формат 60×84 1/16
П. л.
Тираж
Б. л.
экз.
Изд-во СЗТУ
Заказ
Северо-Западный государственный заочный технический университет
Изд-во СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации
университетов России
191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5