L10-2

Кинетическая энергия вращательного движения.
Полная кинетическая энергия системы, вращающейся вокруг неподвижной оси,
равна
mi vi2
К 
 K вр  K рад  K
2
i 1
n
(10.14)
где учтено представление скорости (10.6).
Кинетическая энергия вращательного движения - это энергия, обусловленная
только вращением:
1 n
1 n
2 n
 вр  2
2
К вр   mi vi
  mi [ri  ] 
 Ii ,
2 i 1
2 i 1
2 i 1
где учтены соотношения
vi  [ri ]
и (10.10).
Значит, кинетическая энергия вращения системы вокруг неподвижной оси
выражается формулой
Квр  I 2 2  L2 2I .
(10.15)
Работа силы, сообщающей телу вращение.
Для передачи системе вращательного движения, силы, действующие на систему,
должны совершить работу. Причем, связь между кинетической энергией и совершенной
работой дается теоремой о кинетической энергии. Разделяя силы на внутренние и
внешние, будем иметь
Квр   Aвнут   Aвнеш .
Здесь отметим следующее важное обстоятельство. Внутренние силы могут менять
как полную кинетическую энергию, так и кинетическую энергию вращательного
движения. Однако изменение кинетической энергии вращательного движения они
осуществляют за счет изменения момента инерции системы (см. (10.15)): внутренние
силы не могут вызвать изменение момента импульса системы. Следовательно, какую
бы работу не совершали внутренние силы, они не могут сообщить
невращающейся системе кинетическую энергию вращения.
Невращающейся системе вращение могут сообщить только внешние силы.
Этот факт содержится в формуле расчета работы, необходимой для сообщения системе
вращательного движения. Получим эту формулу.
На элементарном перемещении
dri   d ri 
i-той частицы, сила, действующая на
нее, совершает работу
 Ai  Fi dri  Fi  d ri   d  ri Fi   M i d.
Так как угловое перемещение частицы dφ направлено по оси вращения Z, то
полученное выражение получит следующий вид
 Ai  M i d   M iвнеш  M iвнут  d .
Для полной работы, учитывая равенство нулю суммарного момента внутренних сил,
будем иметь
 A  M внеш d
.
(10.16)
Работа внешних сил, необходимая для перемещения системы на конечный угол,
будет

A   M внеш d .
(10.17)
0
Примеры сохранения углового момента системы. Скамья Жуковского.
Для иллюстрации закона сохранения углового момента можно провести
поучительные опыты на устройстве, называемом скамьей Жуковского. Это - диск,
который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 10.3а). В состоянии
вращения на систему диск + экспериментатор момент внешних сил относительно оси
вращения могут создавать воздух и, что более важно, силы трения, возникающие в
месте соединения вертикальной оси с диском. Последние силы значительно
ослабляются применением подшипников. Так что вращательным моментом указанных
сил, при кратковременных вращениях системы, можно пренебречь и считать условия
сохранения углового момента системы диск + экспериментатор выполненными.
рис. 10.3а
рис. 10.3б
Пусть экспериментатор, держа в вытянутых руках гантели, вращается вместе с
диском с угловой скоростью  (рис.10.3а). Согласно закону сохранения углового
момента, внутренние силы системы диск + экспериментатор ни коим образом не могут
изменять полный угловой момент системы. Если экспериментатор приблизит гантели к
оси вращения, то в это время будет наблюдаться увеличение угловой скорости системы
(рис.10.3б). Это понятно, так как при приближении гантелей к оси вращения
экспериментатор уменьшает момент инерции системы относительно этой оси на
2
величину 2mR . Так что для сохранения углового момента необходимо увеличение
угловой скорости, что и наблюдается в эксперименте.
Если обозначить момент инерции системы диск + экспериментатор в конечном
состоянии (б) через
I0 ,
то в обсуждаемом эксперименте для сохранения углового
момента можем записать
I
0
 2mR 2    I 0 0 ,
(10.18)
Откуда

2mR 2
0  1 
I0


   .

(10.19)
Значит, во сколько раз уменьшается момент инерции системы, во столько же раз
увеличивается ее угловая скорость.
Это явление широко используется в балете, в фигурном катании, других видах спорта.
Для фигуриста, вращающегося на коньках, полностью выполнены условия закона сохранения углового
момента, так как сила трения между коньками и льдом практически отсутствует. Для выполнения
упражнения, называемого «волчок», фигурист сначала придает своему телу такую форму, которой
соответствует максимальный момент инерции (выпрямляет руки и одну ногу) и, отталкиваясь в этом
состоянии ногой, он приобретает угловой момент IΩ. Уменьшая момент инерции тела относительно оси,
фигурист начинает быстро вращаться. Для остановки фигурист должен максимально увеличить свой момент
инерции относительно оси вращения, поэтому заканчивает это упражнение, как правило, реверансом.
Балерины получают возможность воспользоваться законом сохранения углового момента, танцуя на
кончиках пальцев ноги, так как таким образом они существенно уменьшают плечо силы трения со стороны
пола. Для прекращения вращения балерина распрямляет руки и ногу и как обычно заканчивает вращение
реверансом, что способствует остановке. Проследите за движениями танцовщиц во время выступления, и вы
убедитесь, сколько бы потеряло танцевальное искусство, не воспользуйся оно законом сохранения углового
момента.
Закон сохранения углового момента действует также для вращения Земли вокруг собственной оси.
Любые радиальные перемещения масс на Земле (атмосферные осадки, крупные вулканические извержения и
т.п.) изменяют ее момент инерции и вместе с этим ее угловую скорость. Это вызывает нерегулярные
изменения длительности суток. Экспериментально зафиксированы колебания длительности суток
приблизительно на 0,001 с.
При уменьшении момента инерции вращающейся системы диск + экспериментатор
кинетическая энергия вращения возрастает. Это следует из формулы
Квр  L2 2I ,
(10.20)
если учесть условие L  const . Однако изменение кинетической энергии возможно
только благодаря работе определенных сил. Это действующие в системе внутренние
силы. Для приближения гантелей к оси вращения экспериментатор на скамье
Жуковского должен развивать мышечную силу. Эта сила играет в данном случае роль
центростремительной силы и численно равна F  m r , где r - расстояние гантели
от оси вращения. При приближении гантелей к оси вращения эта сила совершает
положительную работу, благодаря которой и возрастает кинетическая энергия системы.
2
Подтвердим сказанное конкретными расчетами. Работа силы
минус показывает, что сила направлена к оси вращения)
перемещение dr будет равна
F  m2 r
на
(знак
элементарное
 A1  Fdr  m2 rdr  m2 rdr .
Для перемещения двух гантелей, совершится вдвое больше работы. Работа для
полного перемещения будет
0
0
A  2m   rdr  2m 
2
R
R
 I   rdr  2m
2
I2
0
L2
R I 2 rdr .
Так как во время движения L = const , а
0
A  2mL
2

R
I
I  I 0  2mr 2 , то
rdr
0
 2mr 2 
2

L2  1
1
  
,
2 
2  I 0 I 0  2mR 
или
A
L2
L2

 К вр .
2 I 0 2  I 0  2mR 2 
(10.21)
То есть, возрастание кинетической энергии системы обусловлена работой
мышечной силы и равна ей по величине.
Хотя приведенные расчеты и рассуждения полностью объясняют энергетическую
сторону рассматриваемого явления, но не отвечают на вопрос, какие силы вызывают
изменение угловой скорости. Ведь угловые моменты гантелей и системы диск +
экспериментатор каждый в отдельности изменились, причем угловой момент гантелей
полностью передался системе диск + экспериментатор. Понятно, что мышечноцентростремительная сила совершить подобного действия не может, так как ее момент
относительно оси вращения равен нулю. Перераспределение углового момента могут
вызвать те силы, которые будут действовать на гантели и систему диск +
экспериментатор с противоположно направленными моментами сил. Медленно
перемещая гантели, экспериментатор чувствует наличие сил бокового давления. Они
перпендикулярны как оси вращения, так и перемещению гантелей и поэтому работы не
совершают. Эти силы, действующие на гантели со стороны рук, изменяют угловой
момент гантелей, а силы, действующие со стороны гантелей на руки (а через них и на
тело экспериментатора и диск), уменьшают момент инерции системы диск +
экспериментатор. С этими силами мы познакомимся в разделе сил инерции (сила
Кориолиса).
рис.10.4а
рис.10.4б
С помощью скамьи Жуковоского можно показать векторную природу закона
сохранения момента импульса. С этой целью передадим экспериментатору, неподвижно
стоящему на диске, длинный стержень с быстро вращающимся на его конце обручем,
соединенном с ним через подшипник (рис.10.4а). В этом положении весь угловой
момент системы направлен по оси Z и сосредоточен в обруче:
момент инерции обруча, а
 об – угловая скорость его вращения.
L  I об об ,
где
I об –
Так как относительно оси Z суммарный момент сил равен нулю, то относительно
этой оси угловой момент системы обруч + диск + экспериментатор сохранится. При
отклонении экспериментатором оси вращения обруча на некоторый угол α
относительно оси Z (рис. 10.4б) вся система приобретает вращение в направлении
вращения обруча. Это вполне соответствует закону сохранения углового момента.
Действительно, в отклоненном положении момент импульса обруча относительно оси Z
уменьшается и становится равным
Lоб
z  I об об cos  .
Так что сохранение момента импульса обеспечивается дополнительным вращением
всей системы с угловой скоростью Ωα, чем компенсируется убыль z проекции момента
импульса
Lz  I об об 1  cos    I  ,
где
I –
момент инерции системы относительно оси Z при отклоненном положении
обруча. При возвращении оси вращения обруча в вертикальное положение, вращение
системы как целого, прекращается, хотя, вообще говоря, система, взятая в целом, к
исходному состоянию не возвращается. Например, если в начальном состоянии
экспериментатор стоял лицом к нам, в конечном состоянии он может стоять лицом в
обратную сторону.
Как и в предыдущем примере, здесь также перераспределение момента импульса
происходит за счет сил бокового давления.