Лекция 2 1.3 Вероятность события

Лекция 2
1.3 Вероятность события
Если мы рассматриваем исходы некоторого испытания, то, вообще говоря, мы можем
заметить, что они обладают разной степенью возможности. Например: выпадение хотя бы
одного орла при двух подбрасываниях монеты более возможно, чем выпадение двух орлов;
вытащить туза из случайно перемешанной колоды карт менее возможно, чем карту заданной
масти и т. д. Вообще, говорят, что одно событие более возможно, или более вероятно, чем
другое, если при повторении испытания первое происходит чаще чем второе.
Очевидно, чтобы количественно сравнивать события по степени их возможности,
необходимо с каждым событием связать число, которое будет тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовем вероятностью события.
Определение. Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности этого события.
Данное определение хоть и вводит понятие вероятности события, но ничего не говорит о том, как определять эту величину. Существует несколько подходов, поясняющих понятие вероятности. В каждом из этих подходов указываются правила, по которым случайному
событию ставится в соответствие положительное число, объективно характеризующее степень возможности появления этого события.
1.3.1 Статистическое определение вероятности.
Пусть производится серия из n испытаний в одних и тех же условиях, результатом которых
является появление или не появление события A . Если в этой серии событие A произошло
m раз, то отношение   m n называется относительной частотой события A в серии испытаний.
Частота события   A сама имеет случайный характер. Однако, во многих случаях,
при увеличении числа испытаний данная величина обнаруживает устойчивость. То есть, если
над одним и тем же случайным событием в одних и тех же условиях будем проводить серии
испытаний, то в этих сериях ломанные, соединяющие точки (n, ω) , будут стремиться при
n   к некоторой прямой ω  p . Эту величину, к которой устойчиво стремится   A при
n   и можно было бы назвать вероятностью события A .
Определение 1. Статистической вероятностью P A события A называется предел, к
которому стремится относительная частота   A при неограниченном увеличении числа испытаний:
7
m
.
n  n
P A  lim   A  lim
n 
(1.1)
Однако такое определение вероятности оказывается неудобным. Во первых всю последовательность частот получить невозможно. Кроме того, относительная частота   A обнаруживает устойчивость именно потому, что данному событию A присуща некоторая вероятность P A . То есть именно устойчивость относительной частоты события порождена вероятностью события, а не наоборот, как в данном определении.
1.3.2 Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов
Пусть  есть дискретное пространство элементарных исходов, то есть множество,
содержащее конечное или счетное число элементов:   {ω1 , ω 2 , ω3 ,} .
Определение 2. Поставим каждому ωi   в соответствие число p(ωi )  [0,1] так что
 p(ω )  1. Назовем
ωi 
i
p (ω i ) вероятностью элементарного исхода ω i .
Определение 3. Вероятностью события A   называется число
P( A) 
 p (ω ) ,
ωi  A
(1.2)
i
равное сумме вероятностей исходов ω i , входящих в множество A .
Пользуясь данным определением можно получить следующие свойства вероятности:
0  P A  1, P  1, P  0 , P( A )  1  P( A) , если A  B , то P A  P(B) , для несовместных событий вероятность суммы событий: P( A  B)  P( A)  P( B) , для произвольных
событий: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) .
Данное определение ставит в соответствие каждому событию A дискретного пространства исходов соответствующую ему вероятность, но ничего не говорит о том, как определять ее практически.
1.3.3 Классическое определение вероятности.
Пусть  есть конечное множество равновозможных исходов. Тогда, очевидно,
m
p(ω i )  1 / n , где n |  | - число элементов множества  , а P ( A)   p (ω i ) 
i 1
m
, m | A | n
число элементов множества A .
Определение 4. Исход называется «благоприятным» некоторому событию, если появление
этого исхода влечет за собой появление события.
Определение 5. Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятных
этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных исходов испытания:
8
P  A 
m
n
(1.3).
Это, так называемая, классическая формула вероятности.
Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью
тех случайных экспериментов, которые можно свести к схеме равновозможных исходов.
Пример 1. В корзине два белых и три черных шара. Вынимается наугад один шар. Найти
вероятность того, что он белый.
Решение. Общее число элементарных исходов n  5 (можно достать любой из пяти шаров). Среди этих исходов благоприятствуют событию A (будет вынут белый шар) два исхода. Следовательно, искомая вероятность:
P  A  2 .
5
Для подсчета числа исходов в более сложных случаях используют формулы комбинаторики.
1.3.4 Основные формулы комбинаторики.
Основное правило комбинаторики. Пусть имеется k групп элементов по ni различных
элементов в каждой i  1, 2, , k . Из каждой группы отбирается по одному элементу. Тогда,
общее число способов N , которыми можно произвести такой выбор равняется:
N  n1  n2    nk .
(1.4)
Формула для числа размещений без повторений. Из группы, содержащей n различных
элементов отбираются m элементов и размещаются в порядке их появления. Получающиеся
таким образом комбинации называются размещениями из n элементов по m элементов, а
полное число таких выборок определяется формулой:
Anm  n(n  1)( n  2)    (n  m  1) 
n!
(n  m)!
(1.5)
Формула для числа перестановок. Пусть имеется n различных элементов, из которых
формируются выборки, отличающиеся порядком элементов. Получающиеся таким образом
комбинации называются перестановками из n элементов, а полное число таких выборок
определяется формулой:
Pn  n  (n  1)  (n  2)    2  1  n!
(1.6)
Формула для числа сочетаний без повторений. Из группы, содержащей n различных элементов отбираются m различных элементов без учета порядка элементов. Получающиеся
таким образом комбинации называются сочетаниями из n элементов по m элементов, а
полное число таких выборок определяется формулой:
9
C nm 
Anm n(n  1)( n  2)    (n  m  1)
n!


Pm
m!
m!(n  m)!
(1.7)
Формула для числа размещений с повторениями. Из группы, содержащей n различных
элементов отбираются m элементов и размещаются в порядке их появления, причем каждый
последующий элемент выбирается из полной группы. Получающиеся таким образом комбинации называются размещениями с повторениями, а полное число таких выборок определяется формулой:
Anm  n  n    n  n m
(1.8)
Пример 2.В корзине находятся четыре белых и пять черных шаров. Наудачу вынимаются
три шара. Найти вероятность того, что из них ровно два белых и один черный.
Решение. Общее число элементарных исходов n равно числу способов, которыми можно
выбрать из девяти имеющихся шаров по три различных шара, т.е. n  C93 . Из этих трех
шаров, два белых, из четырех имеющихся, можно получить C42 способами. При этом для
каждой выбранной комбинации из двух белых шаров, оставшийся один черный шар можно
выбрать, из пяти имеющихся черных, C51 способами. Следовательно, m  C42  C51 и
P  A 
m C42C51
4! 5! 3!6! 5




 .
3
n
C9
2!2! 4!1! 9! 14
Пример 3.Числа 1,2,…,9 записываются в случайном порядке. Какова вероятность, что числа 1 и 2 будут рядом в порядке возрастания.
Решение. Общее число исходов n равно числу перестановок из 9 элементов, т.е. n  P9  9!
Число 1 в этой последовательности из 9 чисел может занимать 8 различных позиций (с 1ой по 8-ую), при этом число 2 должно занимать соседнюю позицию. При каждом фиксированном положении чисел 1 и 2, оставшиеся 7 позиций могут быть заняты оставшимися 7
числами очевидно 7! способами (число перестановок из 7 элементов). Следовательно, искомая вероятность:
P A 
8  P7 8  7! 1

 .
P9
9!
9
Пример 4. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность,
что в нем все цифры различные?
Решение. Так как на каждом из пяти мест в пятизначном номере может стоять любая из
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных пятизначных номеров будет: n  105 Номе-
10
ра, у которых все цифры различные, - это размещения из 10 элементов по 5, то есть
m  A105 . Следовательно:
P A 
m A105 10  9  8  7  6


 0,3024 .
n 105
105
1.3.4.Геометрическое определение вероятности.
«Классическое» определение вероятности основано на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Для случая, когда исходы равновозможны, но число их бесконечно необходимо перейти к некоторому видоизменению
этого определения.
Определение 6. Пусть пространством элементарных событий является некоторая область   R
n

(на прямой, на
плоскости, в пространстве), причем все ее точки равноправ-
A
ны, то есть если мы наудачу выбираем точку в  , то вероятность ее попадания в область A   не зависит от распо-
Рис 9.
ложения A внутри  , а зависит только от меры множества
A (длины, площади, объема). Тогда вероятность того, что точка, взятая наудачу в области
 , попадет в область A равна:
P  A 
μ ( A)
,
μ ()
(1.9)
где μ ( A) , μ () - меры соответствующих областей (длины, площади, объемы и т.д.).
Пример 5. Случайным образом в интервале 0,1
выбираются два числа: a и b . Найти вероятность следующих событий:
A : a  b  1;
B:
y
1.0
x+y<1
ab  1 .
2
Решение. Выберем декартовую систему коорди-
0.5
нат, и на оси OX будем откладывать число a , а
на оси OY
g
- число b . По условиям задачи
0  a  1, 0  b  1 . Очевидно, что множеству
элементарных исходов (область G ) при таком
подходе будет соответствовать квадрат со сто-
x
y
0.0
1.0Рис 10.
0.5
1.0
y=1/2x
роной равной 1. mes G  SG  1.
g
Для события A областью g , благоприятствующей этому событию, будет являться мно-
0.5
11
x
0.0
Рис 11.
0.5
1.0
жество точек данного квадрата, для которых x  y  1 (заштрихованная на рис 2 область). mes g  S g  1 .
2
Следовательно: P  A 
Sg
SG
1
1
 2 .
1
2
Для события B областью g благоприятствующей этому событию будет являться
множество точек квадрата, для которых xy  1
1
2
(заштрихованная на рис 3 область).
1
1 1
1
1
1 1
Sg   
dx   ln x   ln 2  0,85 .
2 2
2 1 2x
2 2
12
2
Следовательно: PB  
Sg
SG

0,85
 0,85 .
1
Пример 6. (Задача о встрече). В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T = 50 c. Моменты поступления сигналов независимы один от другого.
Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 10 c. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T, если каждое из
устройств пошлет за этот промежуток времени по одному сигналу.
Решение. Введем декартовую систему координат. Будем откладывать на оси OX время прихода сигнала от
одного устройства, на оси OY - время прихода от
йй 50 y
40
второго устройства, а в качестве единицы масштаба
30
выберем одну секунду. Возможные исходы изобразятся
20
точками квадрата со стороной 50 (область G ). Исходы, которые влекут срабатывание сигнализатора,
10
есть множество точек данного квадрата, для кото-
0
рых x  y  10 , то есть область квадрата , заключен-
x
0
10
20
30
40
50
Рис 12.
ная между прямыми y  x  10 и y  x  10 (заштрихованная на рис 3 область). Следовательно: P A 
Sg
SG
1
50 2  2   40 2
2

 0,36 .
2
50
12