115x

УДК 519.217.4:538.221
МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ ПЕРВОГО ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦ ПАРАМЕТРОМ СОСТОЯНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
С.И.Денисов, проф.; А.Н. Юнда, асп.
ВВЕДЕНИЕ
Во многих случаях для адекватного описания реальной системы необходимо учитывать флуктуации ее
вектора состояния, обусловленные влиянием внешней среды. Это влияние при определенных условиях
может быть учтено путем введения в эволюционные уравнения для компонент вектора состояния
флуктуирующих в пространстве и во времени слагаемых (см., например, [1,2]).
Для одномерных систем, характеризуемых единственным параметром состояния (t), простейшим
уравнением, учитывающим как пространственные, так и временные (тепловые) флуктуации среды, является

(1)
 =h+g)+f(t),
где h0, а g(x) и f(t)  -коррелированные гауссовские случайные функции с нулевыми средними
значениями, моделирующие пространственные и временные флуктуации соответственно. На основании
этого уравнения рассмотрена, в частности, диффузия броуновских частиц, находящихся в поле постоянной и
случайной силы. Интерес к этой проблеме инициировала работа [3], в которой при h=0 была обнаружена
аномально медленная диффузия, получившая название диффузии Синая. Обзор основных результатов,
полученных для уравнения (1) и эквивалентных ему моделей, а также ссылки на оригинальные работы
можно найти в обзорных статьях [4,5].
Следующим по общности является случай, когда функция g(x) в уравнении (1) не коррелирована.
Насколько нам известно, точных результатов для статистических характеристик (t) в этом случае получено
не было. Между тем они представляют интерес как с точки зрения выяснения роли конечности радиуса
корреляции случайной функции g(x), так и с точки зрения интерпретации особенностей динамики
локализованных образований различной природы (доменных границ, дислокаций, вихрей Абрикосова и
т.п.) в случайно-неоднородных средах. Последнее особенно актуально, если радиус корреляции соизмерим
или превышает размер локализованного образования.
В данной работе мы нашли общие выражения для первого и второго моментов распределения времени
первого достижения заданного уровня параметром состояния (t) для произвольной однородной случайной
функции g(x)=hcr(x), (hc0, |r(x)|1). В частном случае, когда интенсивность теплового шума равна нулю,
исследовали зависимость первого момента от h и статистических характеристик r(x).
1 ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ МОМЕНТЫ. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
При нахождении моментов Tn возникает необходимость в вычислении средних значений тех или иных
величин по реализациям теплового шума f(t) и реализациям случайной функции r(x). Будем обозначать
усреднение первого типа как . . . , а усреднение второго типа - как <>. В соответствии с этим соотношения,
определяющие тепловой шум в (1), запишем в виде
f ( t )  0,
f ( t ) f ( t ' )  2  t  t ' ,
(2)
где  - интенсивность шума, рассматриваемая как феноменологический параметр, (t)  функция Дирака.
Определим теперь моменты Tn. Для наглядности будем говорить не о параметре состояния системы, а о
координате частицы, движение которой описывается уравнением (1). Предположим, что частица в
начальный момент времени t= имеет координату )=y и находится внутри интервала (-c,q), где c>0 и
q>0. Левую границу этого интервала мы будем считать отражающей (попавшую на нее частицу она
возвращает обратно в интервал), а правую - поглощающей (попавшую на нее частицу она удаляет из
интервала). Обозначим через T(y,) время, которое необходимо частице, чтобы при заданных реализациях
случайных функций f(t) и r(x) попасть на поглощающую границу. Тогда моментом n-го порядка
распределения времени первого пересечения частицей заданного уровня будем называть величину,
определяемую соотношением
Tn  lim  T n  0,0 
c 
( n  1,2, . . .) .
(3)
Внешнее усреднение в (3), требующее задания статистических характеристик случайной функции r(x), мы
проведем позже, а сейчас вычислим T n  0,0 для произвольной ее реализации. Поскольку, согласно теореме
Дуба [6], случайный процесс (t) марковский, это можно сделать методом [7,8], основанным на составлении
и решении цепочки уравнений для величин Tn ( y)  T n  y,0 .
С этой целью введем в рассмотрение вероятность R(y,t) того, что частица, имеющая в начальный момент
времени =0 координату (0)=y, к моменту времени t все еще находится в интервале (-c,q). Поскольку левую
границу интервала частица пересечь не может, а, попав на правую, мгновенно из него удаляется, функция
R(y,t) должна удовлетворять следующим граничным условиям [7]:
R’(-c,t)=0,
R(q,t)=0
(4)
(штрих обозначает дифференцирование по пространственной переменной y). Далее, R(y,t) является
убывающей функцией t, и в соответствии с тем, что в начальный момент времени частица находится внутри
интервала, при -cy<q имеет место соотношение R(y,0)=1. Для вычисления моментов нам понадобится
также значение R(y,t) при t=. В рассматриваемом здесь случае, когда предельный переход c
выполняется последним, частица по истечении достаточно большого промежутка времени с вероятностью 1
должна покинуть интервал (-c,q), поэтому R(y,)=0. Принимая, наконец, во внимание, что вероятность
выхода частицы из рассматриваемого интервала за промежуток времени dt равна  R  y, t  dt , моменты
Tn(y), отвечающие произвольной реализации r(x), могут быть представлены в виде


Tn ( y)   dt R ( y, t ) t n .
(5)
0
Чтобы получить систему уравнений для Tn(y), воспользуемся сначала свойством марковости случайного
процесса (t), которое позволяет связать вероятность R(y,t) с плотностью P=P(x,t|y,) вероятности перехода
частицы из точки (t)=y в точку (t)=x (t):
R  y, t  
q
 dxP( x , t y,0)
(6)
c
и записать обратное уравнение Фоккера-Планка
P
P
 2P
 h  hcr  y 
 2 ,

y
y
(7)
отвечающее уравнению (1). Затем, учитывая однородность случайного процесса (t), заменим в (7)
дифференцирование по начальному времени  на дифференцирование по текущему времени
t  /    / t  и положим =0. Умножая далее это уравнение на tn-1 и интегрируя обе его части по t и x
в тех же пределах, как в (5) и (6), получаем искомую цепочку зацепляющихся уравнений
Tn' '  y  h  hcr  y Tn'  y  nTn 1  y .
(8)


Решая эти уравнения с граничными условиями Tn' '   c  Tn  q  0 , следующими из (4) и (5), и
принимая во внимание, что согласно (5) T0(y)=1, можно последовательно, начиная с n=1, найти все функции
Tn(y) в квадратурах. Ограничиваясь вычислением первых двух:

1
T1 y 


2
T2 y  2

q
cx
q
cx
 dx  dze  F( z, z) ,
 z
y
0
q
c u
 dx  dz  du  dpe  

y
0
x z
z p
 F ( x , z) F ( u, p) ,
(9)
(10)
0
где
x


F  x , z  exp  dyr  y ,


x z



(11)
=h/, =hc/, и замечая, что вследствие однородности случайной функции r(x) результат усреднения F(x,z)
от x не зависит, на основании (3), (9) и (10) получаем:
T1 

2
T2 y  2

 dze 
q
c u
cx
q

q

 z
 F ( z, z) ,
 dx  dz  du  dpe  

y
x z
0
 lim  T12  0  
c 
z p
  F ( x , z) F ( u, p) ,
(13)
0

q
2
2
(12)
0
x

 z  p
du dpe    F ( u, z) F ( u, p) .
   
dx dz
y
x z
0
0
2 ПЕРВЫЙ МОМЕНТ. НУЛЕВАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ ТЕПЛОВОГО ШУМА
Обозначим через P(g,z) плотность вероятности того, что при заданном значении z интеграл в (11) равен g.
В соответствии с общими положениями теории вероятностей ее можно представить в виде
P g, z  l im
N x  z
x  0
1

N


dr N   g  x
r j   r1 , x ; . . . ; r N , N x ,



j 1 
1
1
dr1 . . .
1


(14)
где w(r1,x;...:rN,Nx) - N-мерная плотность вероятности случайных величин r(jx). Поскольку
z
 F  z, z 
 dge
 g
P  g , z ,
(15)
z
отсюда следует, что для вычисления T1 при 0 необходимо располагать полной (в статистическом смысле)
информацией о случайной функции r(x).
Рассмотрим случай, когда интенсивность теплового шума равна 0. Используя формулу (15),
преобразуем выражение (12) к виду
T1 
q

1

dr dze z  r  zP r z, z
 
1
(16)
0
и перейдем в нем к пределу 0. При h>hc основной вклад в величину интеграла по z дает ближайшая
окрестность его нижнего предела интегрирования, поэтому функцию zP(rz,z) мы можем заменить на ее
значение в точке z=0. Чтобы найти это значение, умножим обе части выражения (14) на z и устремим z к
нулю. Принимая во внимание, что N-мерная плотность вероятности при z0 равна w(r1)(r2-r1)...(rN-rN-1)
(w(r)=w(r,x) - одномерная плотность вероятности), и используя при интегрировании по rj свойства функции, находим lim zP r z, z  w r  . Подставив это значение в (16) и проинтегрировав по z, получаем
z 0
искомое выражение для первого момента при =0 и h>hc:
1

T1  q dr
1
wr 
.
h  h cr
(17)
Если же h<hc, тогда, как следует из (16), T1=. Это означает, что при h<hc частица в конце концов
попадает в положение равновесия, в котором остается сколь угодно долго. Определив среднюю скорость
частицы как v=q/T1, нетрудно видеть, что v=0 при p=h/hc<1 и v=hcp+O(p2) при p. Найдем также
асимптотику v при p1+0. Согласно (17) ее вид зависит от характера поведения функции w(r) в
окрестности нижнего предела интегрирования. Если, например, область значений случайной функции r(x)
дискретна и вероятность значения r(x)=-1 конечна, тогда в главном приближении по малому параметру p-1
имеем
v=hc(p-1).
(18)
При w(r)=w(-r) коэффициент пропорциональности  удовлетворяет условию 2, причем 2, если
w(r)=(1/2)[(r-1)+(r+1)]. С уменьшением вероятности значений r(x)=±1, возможным для случайных
функций, обладающих более чем двумя допустимыми значениями, параметр  увеличивается.
Если функция w(r) в окрестности нижнего предела интегрирования непрерывна, тогда интеграл в (17)
при p+0 может быть разложен в асимптотический ряд. Полагая, что w(-1)0 и  и ограничиваясь
главным членом асимптотики (для этого в (17) следует w(r) заменить на w(-1)), получаем [9]
v  ln  p  1
1
.
(19)
Согласно (18) и (19) средняя скорость частицы v как функция p при p1 изменяется быстрее, чем при
p>>1.
3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в данной работе методами теории марковских процессов получены общие выражения
для первого и второго моментов распределения времени первого пересечения заданного уровня параметром
состояния одномерных стохастических систем, взаимодействующих с флуктуирующей в пространстве и во
времени окружающей средой. Установлено, что в случае, когда временные флуктуации среды отсутствуют,
а пространственные флуктуации моделируются произвольной ограниченной случайной функцией, первый
момент зависит лишь от одномерной плотности вероятности этой функции. Определена также средняя
скорость достижения параметром состояния заданного уровня.
SUMMARY
Within the theory of continuous Markovian processes the first and the second moments of the first-passage time distribution of a given level
by the state parameter of one-dimensional systems interacting with fluctuating medium, are found.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. -М.: Мир, 1987.- 400 с.
2. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии.- М.: Высшая школа, 1990.- 376 с.
3. Sinai Ya.G.// Theor. Prob. Appl, 1982.- V 27.- P.247-251.
4. Bouchaud J.P., Georges А.// Phys. Rep.- 1990.- V.195.- N 4,5.- P.124-293.
5. Bouchaud J.P., Comtet A., Georges A., Le Doussal P.// Annals of Phys. 1990.- V.201.- N 2.- P.285-341.
6. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы.- М.: ИЛ, 1956. - 605 c.
7. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках.- М.: Мир, 1986.- 528 с.
8. Тихонов В.И.,Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов.- М.: Наука, 1987.- 304 с.
9. Денисов С.И. Письма в ЖЭТФ, 1994. Т.20, N 11.- С.32-34.
Поступила в редколлегию 6 марта 1996 г.