урок «Геометрическое определение

У р о к 82
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Цели: ввести понятия достоверного, невозможного события; ввести
понятие геометрической вероятности и формировать умение его применять
при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Ответьте, равновероятны ли следующие события:
а) 1 июля 2015 г. температура в Москве будет –50° С;
1 июля 2015 г. температура в Москве будет выше –50° С.
б) Наудачу выбранная цифра окажется цифрой 5;
наудачу выбранная цифра окажется отличной от цифры 5.
в) При бросании трех монеток выпало три «герба»;
при бросании трех монеток выпало три «решки».
г) При бросании игрального кубика выпала «шестерка»;
при бросании игрального кубика выпала не «шестерка».
д) При бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков оказалась равной 2;
при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков оказалась равной 5.
III. Объяснение нового материала.
1. Уже при проведении устной работы (п. а)) учащиеся обнаружили, что некоторые
события происходят всегда (достоверное событие) либо не могут произойти ни при каком
исходе опыта или наблюдения (невозможное событие). Целесообразно привести
достаточное количество достоверных и невозможных событий и вывести формулы:
Р(А) = 1, где А – достоверное событие;
Р(В) = 0, где В – невозможное событие.
2. Вводится простейшая геометрическая интерпретация в виде вероятностной шкалы:
Точкой 0 изображается вероятность невозможного события;
точкой 1 изображается вероятность достоверного события;
точкой Р(С) изображается вероятность некоторого случайного события С.
Вместе с учащимися нужно проанализировать расположение точки Р(А) на прямой,
ответив на в о п р о с ы:
1) Что означает, если точка Р(А) расположена правее точки Р(В)? (Событие А более
вероятно, чем событие В.)
2) Что означает совпадение точек Р(А) и Р(В)? (События А и В – равновероятны.)
3) Может ли точка Р(А) выйти за пределы отрезка [0; 1]? (Нет.
т
т
Р(А) = п , где т ≤ п, значит, п ≤ 1 и Р(А) ≥ 0, значит, 0 ≤ Р (А) ≤ 1.)
Затем устно выполняем № 807 и № 808.
3. Формировать представление о понятии геометрической вероятности на конкретном
примере согласно пункту учебника. Обратить внимание учащихся, что в ряде случаев
размерами некоторых объектов (фишки, пули, шайбы) можно пренебречь.
После введения понятия геометрической вероятности целесообразно дать учащимся
под запись правило.
П р а в и л о (нахождения геометрической вероятности).
Пусть фигура F1 содержится в F. Тогда вероятность попадания в фигуру F1, при
S ( F1 )
условии попадания в фигуру F, равна отношению площадей S ( F ) .
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые должны выполнить учащиеся на этом уроке, можно разбить на
три группы. В первую группу войдут достаточно простые задания на непосредственное
применение понятия геометрической вероятности (желательно заранее на доске
заготовить необходимые рисунки). Во вторую группу войдут более сложные задания, в
которых учащимся придется применять некоторые дополнительные знания. Задания 3-й
группы предназначены для сильных в учебе учащихся.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD, разбитая на 9 равных
квадратиков. Стрелок, не целясь, стреляет в мишень и попадает. Сравните вероятности
попадания в правый верхний, центральный и левый квадратики.
2. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD. Стрелок, не целясь, стреляет и
попадает в нее. Какова вероятность того, что он попал в треугольник ABC? В треугольник
AОB?
3. На рисунке изображена мишень ABCDEF. Стрелок, не целясь, стреляет в нее и
попадает. Какова вероятность того, что он попадет в квадрат BCEF? В равносторонний
треугольник BAF? В равносторонний треугольник CDE?
2-я г р у п п а.
№ 814.
Решение
1
Треугольник CDE гомотетичен треугольнику ABC с коэффициентом гомотетии 3 .
Площади гомотетичных фигур относятся друг к другу как k2, где k – коэффициент
гомотетии. Вероятность того, что случайным образом выбранная точка попадает в 
CDE, равна отношению площади
.
 CDE к площади  ABC, то есть равна
1
 
3
2
1
или 9
1
О т в е т: 9 .
№ 815.
Решение
Точка разрыва телефонной линии удалена от точки А не более чем на 500 м.
Графически это можно представить так, что точка разрыва находится на отрезке АМ
(причем точка разрыва может совпадать и с точкой А и с точкой М). Вероятность того, что
точка лежит на отрезке АМ, равна отношению длины отрезка АМ к длине отрезка АВ и
0,5 1

2,5
5 = 0,2.
равна
О т в е т: 0,2.
П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся на то, что длины отрезков должны
выражаться в одинаковых единицах измерения.
3-я г р у п п а.
1. Рассматривается квадратная мишень ABCD. Отметьте на ней две такие фигуры, что:
а) вероятность попадания хотя бы в одну из них, при условии попадания в мишень,
равна 1;
б) вероятность попадания в обе фигуры одновременно, при условии попадания в
мишень, равна нулю;
в) при условии попадания в мишень вероятность попадания хотя бы в одну фигуру
1
равна 1, а вероятность одновременного попадания в обе фигуры равна 4 .
2. На рисунке изображен квадрат ABCD, М – середина стороны AB. Случайным
образом выбирают точку Х квадрата и проводят луч СХ. Какова вероятность того, что
построенный так луч пересечет отрезок МВ?
V. Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. В классе 12 мальчиков, шестерых из них зовут Сережами, четверых – Алешами, а
остальных – Сашами. Новый учитель, еще не знающий имен мальчиков, вызывает их к
доске.
а) Вызывается один мальчик. Какова вероятность того, что вызванного зовут Сережей?
б) Вызывается один мальчик. Какова вероятность того, что вызванного зовут Алешей?
в) Какое наименьшее количество мальчиков нужно вызвать, чтобы с вероятностью,
равной 1, среди них был Саша?
2. Объясните, равновероятны ли следующие события:
а) Сумма цифр наугад написанного двузначного числа равна 1.
б) Сумма цифр наугад написанного двузначного числа равна 5.
Вариант 2
1. В классе 15 девочек, восьмерых из них зовут Ленами, пятерых – Анями, а остальных
– Наташами. Новый учитель, еще не знающий имен учащихся, вызывает их к доске.
а) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Наташей?
б) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Леной?
в) Какое наименьшее количество девочек нужно вызвать, чтобы с вероятностью 1
среди них была Аня?
2. Объясните, равновероятны ли следующие события:
а) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 1.
б) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 6.
VI. Итоги урока.
– Какие события называются достоверными? Невозможными? Равновероятными?
Приведите примеры.
– В каких ситуациях используется понятие геометрической вероятности?
– Сформулируйте правило нахождения вероятности попадания в фигуру,
содержащуюся в другой фигуре.
Домашнее задание.
З а д а ч а. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см.
Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она
попадет в выделенный круг?
№ 816, № 859, № 860.