вопросы к экз. ркт1

1
Вопросы для подготовки к экзамену
по курсу Операционное исчисление, теория вероятности и
математическая статистика
(для РКТ1-61)
МОДУЛЬ 1: РЯДЫ ФУРЬЕ, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НАЧАЛА ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Определение ряда Фурье по тригонометрической системе функций. Формулировка
теоремы о поточечной сходимости ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных
функций.
Определение оригинала и изображения.
Свойства преобразования Лапласа: линейность, теорема подобия, дифференцирование и интегрирование оригинала, дифференцирование и интегрирование изображения, теорема запаздывания.
Обращение преобразования Лапласа. Таблица оригиналов и изображений.
Изображение периодического оригинала. Определение и свойства свертки. Теорема
о свертке (умножение изображений).
Три теоремы разложения.
Решение задачи Коши для уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Интеграл Дюамеля.
Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений первого
порядка с постоянными коэффициентами.
Пространство элементарных событий. Классическое, статистическое и аксиоматическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
Формула сложения вероятностей. Совместные и несовместные события. Условная
вероятность. Формула умножения вероятностей.
Независимые случайные события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Дискретные случайные величины. Биномиальная схема независимых испытаний.
Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Теорема Бернулли.
Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии.
МОДУЛЬ 2: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
15. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности и функции распределения
непрерывной случайной величины.
16. Равномерное и нормальное распределения. Функция Лапласа. Показательное распределение, Г-распределение и его свойства.
17. Функция от случайной величины и ее числовые характеристики.
18. Случайные векторы (система). Дискретные случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее основные свойства.
19. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распределения непрерывного
случайного вектора.
20. Независимые случайные величины. Ковариация и ее основные свойства. Коэффициент корреляции и его основные свойства. Ковариационная матрица.
2
21. Закон больших чисел и его основное содержание. Неравенство Чебышева. Теорема
Чебышева.
22. Центральная предельная теорема. Теорема Бернулли и теорема Муавра-Лапласа как
следствия центральной предельной теоремы.
23. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность,
выборка, вариационный ряд, мода, медиана. Гистограмма и полигон частот, выборочная функция распределения.
24. Статистическая оценка неизвестного параметра. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Примеры оценок.
25. Точечные оценки. Метод моментов. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Показатели асимметрии и эксцесса.
26. Метод максимального правдоподобия (МП). Оценка МП для вероятности
успеха в биномиальной схеме.
27. Оценка МП для параметра экспоненциального распределения.
28. Оценка МП дисперсии нормального распределения.
29. Неравенство Рао-Крамера. Доказательство несмещенности и эффективности
оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
30. Доказательство несмещенности и эффективности оценки дисперсии при известном математическом ожидании нормального распределения.
31. Доказательство смещенности выборочной дисперсии и несмещенности исправленной выборочной дисперсии как оценок дисперсии нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием.
32. Основные распределения математической статистики: Г- распределение,
экспоненциальное, нормальное, хи-квадрат, Стьюдента и Фишера. Свойства Граспределения.
33. Интервальные оценки. Интервальные оценки математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии и при неизвестной дисперсии
Интервальная оценка дисперсии нормального распределения.
34. Общий принцип построения интервальных оценок. Оценка параметра экспоненциального распределения.
35. Приближенные интервальные оценки. Оценка параметра в схеме Бернулли.
36. Проверка статистических гипотез. Основные понятия: нулевая и конкурирующая гипотеза, простые и сложные гипотезы. Статистический критерий, критическая область, область принятия решений. Ошибки первого и второго рода. Уровень
значимости и мощность критерия.
37. Критерий Колмогорова. Проверка нормальности распределения по критерию Колмогорова.
38. Критерий хи-квадрат Пирсона.
39. Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения.
40. Лемма Неймана-Пирсона.
41.
Метод наименьших квадратов.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
7.1. Основная литература
1. Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М. и др. Математическая статистика – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 424 с.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
1972. – 368 с.
3
3. Исследование операций; Т.ХХ – М. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 560 с.
4. Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Вся высшая математика. Т. 3 и 4. – М.: УРСС, 2001
5. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 386 с
6. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 2006. – 584 с.
7.3 Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)
1. Карташов Г.Д., Павлов И.В., Тимонин В.И. Проверка статистических гипотез. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.
2. Карташов Г.Д., Павлов И.В., Тимонин В.И. Методические указания к выполнению типового расчета по математической статистике. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1995 .