ответы, решения и критерии оценивания к варианту 3

гипотенузе). Следовательно, НА = НВ = НС ,
окружности треугольника АВС .
Вариант 3
15 а) Решите уравнение
cos 2x  3 cos x  1  0 .
 7

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
,  2  .
 2

а) x  
Ответ:

3
7
б) 
.
3
 2k , где k  Z .
а)
Так
как
cos 2 x  2 cos 2 x  1 ,
то
исходное
уравнение
примет
вид
2 cos x  3cos x  2  0 , откуда находим, что cos x  2  1 – не подходит, или
1

cos x  , x    2k .
3
2
2
б) Используя единичную окружность (или с помощью графика, или путём решения
 7

двойных неравенств и т.п.) находим, что отрезку 
,  2  принадлежит только
 2

7
корень 
.
3
Замечание. Текст решения должен содержать обоснованный как-либо отбор корней.
Баллы
2
1
0
Критерии оценивания задания 15
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)
Обоснованно получен верный ответ в п. а) или в п. б)
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется
верная последовательность всех шагов решения и отбора корней
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
16 В треугольной пирамиде ТАВС с вершиной Т и основанием АВС боковые
рёбра ТА , ТВ и ТС равны между собой. Точка Н – проекция вершины Т на
основание АВС .
Н – центр описанной
б) Находим радиус НА описанной окружности треугольника АВС:
НА  RABC 
abc
3840

 10 . По теореме Пифагора получаем:
4S ABC
384
ТA 2 НA 2 
ТH =
Решение.
и точка
Баллы
2
1
0
26 2  10 2  24 .
Критерии оценивания задания 16
Обоснованно получены правильные ответы в п. а) и б) .
Обоснованно получен правильный ответ только в одном из п. а) или б) .
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Решите неравенство 2 x 2  2 x  2 x  8  x 2 .
17
 


Ответ: x   1  5 , - 2  0 ,  1  5 .
Решение: заменой
x 2  2 x  t  0 преобразуем исходное неравенство к виду:
t 2  2t  8  0 . C учётом неотрицательности t получим: 0  x 2  2 x  t  2 .
 1  5  x  1  5
 x 2  2 x  4

Отсюда последовательно получаем: 
,
,
 x  2
2
 x  2 x  0

 x  0
 


x  1 5 , - 2  0 , 1 5 .
Баллы
2
1
0
Критерии оценивания задания 17
Обоснованно получен верный ответ
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно приведшая к
неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех
шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
а) Докажите, что Н – центр описанной окружности треугольника АВС .
б) Найдите ТН , если ТА = 26 , площадь основания АВС равна 96 ,
а произведение сторон основания АВС равно 3840 .
18 Две окружности с центрами О1 и О2 касаются друг друга внутренним образом.
Третья окружность, с центром в точке О, касается первых двух и прямой О1О2.
Ответ: 24 .
а) Докажите, что периметр треугольника ОО1О2 равен наибольшему из диаметров
этих трёх окружностей.
Решение.
а) Так как высота пирамиды ТН перпендикулярна плоскости основания АВС , то
ТАН , ТВН и ТСН – прямоугольные треугольники, равные между собой (по катету и
б) Найдите диаметр третьей окружности, если диаметры первых двух равны 4 и 6 .
Ответ:
1,92 .
Решение.
а) Обозначим за О1 – центр и за r – радиус меньшей из двух первых окружностей, за
О2 – центр и за R – радиус большей из двух первых окружностей, а за О – центр и за
x – радиус третьей окружности, касающейся первых двух и прямой О 1О2 . Так как
точка касания двух окружностей и центры этих окружностей лежат на одной прямой,
то
Поэтому
O1O 2  R  r ,
O1O  r  x ,
O2O  R  x .
O1O 2  О1О  О 2 О  R  r  r  x  R  x  2R .
б) Опустим из точки О перпендикуляр ОН = х на прямую О1О2 . Обозначим за y –
длину отрезка О2Н . Применяя теорему Пифагора к треугольникам О2ОН и О1ОН ,
 x 2  y 2  ( R  x) 2
получим систему уравнений: 
. Решая эту систему
 2
2
2

 x  ( R  r  y )  (r  x)
при r = 2 и R = 3 , последовательно получаем:
5 x  32  9  6 x
 y 2  9  6x
,
.


 2 y  1  10 x  5
 y  5 x  3
системы, получаем ( с учетом того, что x > 0 ) х = 0,96 .
Баллы
3
2
1
0
2
2
2

 x  y  (3  x)
,
 2
2
2

x

(
1

y
)

(
2

x
)

Решая первое уравнение
Критерии оценивания задания 18
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и обоснованно получен
верный ответ в п. б)
Получен обоснованный ответ в п. б)
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и при обоснованном
решении п. б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения п. а)
ИЛИ
при обоснованном решении п. б) получен неверный ответ из-за
арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в п. б) с использованием утверждения п.
а), при этом утверждение п. а) не доказано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Ответ:
Решение. Обозначим за S взятую в кредит сумму, за p – величину ежегодного
платежа при выплате кредита за два года, а за q – величину ежегодного платежа при
выплате кредита за четыре года. Тогда, с учётом условий задачи, для нахождения
неизвестных величин
х
и
S
получим следующую систему уравнений:
 100  x
 100  x
 S  100  p   100  p  0


. Перепишем эту

   S  100  x  q   100  x  q   100  x  q   100  x  q  0
 100
 100
  
100
 100



S  t 2  pt  p  0
систему уравнений в виде 
, где
S  t 4  qt 3  qt 2  qt  q  0
t 1
t3  t 2  t 1
S  p 2  q
t
t4
Отсюда:
.
Решая
t
последнее
100  x
.
100
уравнение
t 1
t3  t 2  t 1
,
p 2  q
t
t4
t 2 1
100 x
q
732050
 1,1 и x = 10.
p  q 2 , t2 

 1,21 . Поэтому t 
100
p  q 605000
t
относительно
Баллы
3
2
1
0
19 1 января 2014 года Иван Иванович взял в банке некоторую сумму рублей в
кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита такова: 1-го января
каждого следующего года банк начисляет х% на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на х процентов), затем Иван Иванович переводит в банк очередной
ежегодный платёж. Если он будет платить каждый год по 732050 рублей, то выплатит
долг за четыре года. Если же он будет платить каждый год по 1337050 рублей, то
выплатит долг за два года. Под какой процент годовых Иван Иванович взял деньги в
банке?
10% .
t ,
последовательно получаем:
Критерии оценивания задания 19
Обоснованно получен верный ответ
Получена верная система уравнений, но при её решении допущена
единичная вычислительная ошибка
Получена верная система уравнений, но в её решении допущена
существенная (не вычислительная) ошибка или более одной вычислительной
ошибки
ИЛИ
Искомый процент годовых верно найден подбором, при этом проверка
выполнена
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
20 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых множество решений
неравенства


a  4  29  2a  3a 2 cos x
sin x  a  1`
2
2
  2 
 1 содержит промежуток  ,
 .
2 3 
Ответ:
Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример. Обозначим за
7 
 7
 
x  
,  1   2 ,
 .
2
2

 
Решение.
значениях
Так как знаменатель левой части неравенства положителен при всех
х ,
то это неравенство можно переписать в виде:
 1
a  4  (29  2a  3a ) cos x  sin x  a  1 . Сделав замену cos x  t    ,
 2
2
2
2

0 ,

2
2
2
перепишем неравенство в виде t  (3a  2a  29)t  (a  a  2)  0 . Графиком
левой части y(t) этого неравенства является парабола, ветви которой расположены
вверх. Поэтому это неравенство будет выполнено при всех
только тогда, когда


 1
t  ,
 2

0

тогда и
  1 1 1
2
2
 y  2   4  2 3a  2a  29  (a  a  2)  0
.



  
2
 y 0  (a  a  2)  0
Решая эту систему неравенств, получим последовательно:
7
 7

a
 2 49

2
a 
 2
2
, 

и
a 2  a  2  0 a  1

a  2
Баллы
4
3
2
1
0
 7
  2  x  1

.
7

2  x  2

Критерии оценивания задания 20
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений а ,
отличающееся от искомого конечным числом точек
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого
множества значений а
С помощью верного рассуждения задача сведена к условию выполнения
квадратного неравенства на промежутке
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
общее количество отметок, а за
получаем: S  4,85  n .
Ответ: а) 20; б)
17
.
380
S
 4,85 , откуда
n
S
97
 4,85 
и S — целое число. С учётом того, что 97 – простое
n
20
число, получаем, что n делится на 20, а значит n ≥20.
а) По условию
Набор из трёх отметок «4» и семнадцати отметок «5» удовлетворяет условию задачи.
б) Среднее арифметическое набора отметок после замены равно
S  8 4,85n  8
1,7

 4,85 
. Значение этого выражения максимально при
n2
n2
n2
наименьшем возможном значении n , удовлетворяющем условию задачи. Если всего
было 20 отметок, то их сумма равняется 97 , но максимальная сумма 20 отметок,
среди которых есть две отметки «3», равняется S  2  3  18  5  96 . Значит, так
как n кратно 20 , то всего было не менее 40 отметок. Следовательно, среднее
арифметическое отметок ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» на
две
отметки
«4»
может
увеличиться
не
более
чем
на
1,7 
1,7 
17


. Набор из двух отметок «3»,
 4,85 
  4,85   4,85 
  4,85 
n2
40  2 
380


двух отметок «4» и тридцати шести отметок «5» удовлетворяет условию задачи.
В этом случае при замене четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4»


среднее арифметическое увеличивается на  4,85 
Баллы
4
3
2
1
21 В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5».
Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,85 .
а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
б) На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок
этого ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками
«4»?
S — их сумму. По условию
n
0
1,7 
17
.
  4,85 
40  2 
380
Критерии оценивания задания 21
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов:
— искомая оценка в п. а;
— пример в п. а, обеспечивающий точность предыдущей оценки;
— искомая оценка в п. б;
— пример в п. б, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше